O que é projeção? — Matemática

Definição 20.14 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 20 — Aplicações Lineares

Seja $E = F \oplus G$ . A projeção sobre $F$ ao longo de $G$ leva $x = f + g$ (decomposição única) em $p(x) = f$ ; a simetria associada é $s(x) = f - g$ . Ambas são lineares, e $s = 2p - \mathrm{id}$ .

A projeção sobre F = Vect(1,1) ao longo de G = Vect(0,1) e a sua simetria, no ponto M = (2,\ 0.5): deslizando verticalmente, M atinge F em p(M) = (2,2) e vai parar em s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tão acima de F (medido ao longo de G) quanto M estava abaixo. — A projeção sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ e a sua simetria, no ponto $M = (2,\ 0.5)$ : deslizando verticalmente, $M$ atinge $F$ em $p(M) = (2,2)$ e vai parar em $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , tão acima de $F$ (medido ao longo de $G$ ) quanto $M$ estava abaixo.

Exemplos

Exemplo 20.16 (Uma projeção e a sua simetria, explicitamente)

Em $\R^2$ , projete sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Decomponha $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : a primeira coordenada dá $a = x$ , e a segunda $b = y - x$ . Logo

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Confira a álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , e $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Geometricamente, $s$ é a “reflexão oblíqua” em torno da reta $y = x$ na direção vertical: fixa $F$ ponto a ponto e inverte $G$ . Se tivéssemos projetado sobre o mesmo $F$ ao longo de $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , a fórmula mudaria para $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : uma projeção é determinada pela sua imagem e pelo seu núcleo, nunca pela imagem sozinha.

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