प्रक्षेप क्या है?

उदाहरण 20.16 (एक प्रक्षेप और उसकी सममिति, स्पष्ट रूप से)

$\R^2$ में $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ के अनुदिश $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ पर प्रक्षेप कीजिए। $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ का विघटन कीजिए: पहला निर्देशांक $a = x$ देता है, दूसरा $b = y - x$। अतः

बीजगणित जाँचिए: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$, और $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$। ज्यामितीय रूप से $s$ ऊर्ध्वाधर दिशा में रेखा $y = x$ के पार का “तिरछा परावर्तन” है: वह $F$ को बिंदुवार अचल रखता है और $G$ को उलट देता है। यदि हमने उसी $F$ पर $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ के अनुदिश प्रक्षेप किया होता, तो सूत्र बदलकर $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ हो जाता: कोई प्रक्षेप अपने प्रतिबिंब और अपनी अष्टि से तय होता है, अकेले प्रतिबिंब से कभी नहीं।