لتكن P(x) خاصية لعنصر x من مجموعة E.
- ∀x∈E, P(x) («لكل x في E، P(x)») صادقة عندما يحقق كل عنصر من E الخاصية P؛
- ∃x∈E, P(x) («يوجد x في E بحيث P(x)») صادقة عندما يحقق عنصر واحد على الأقل من E الخاصية P.
ونكتب ∃! للدلالة على «يوجد عنصر وحيد».
أمثلة
مثال 1.6 (نفي جمل رياضية مألوفة)
لتكن f:R→R. تُكتب الجملة «f متزايدة» هكذا
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
ونفيها، حسب القضية 1.5 وبالقاعدة ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q:
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y و f(x)>f(y):
فيكفي زوج شاهد واحد. وبالمثل تُكتب «f محدودة» ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M، ونفيها
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
مهما يكن الحاصر المقترح فثمّة نقطة تتجاوزه. والفكرة النافذة: لا يحتوي نفي صحيح قط على «ليس» مطبَّقة على كتلة مسوَّرة — بل هو عبارة إيجابية جديدة تتبادل فيها الأدوار: صار على المرء أن ينتج الشواهد التي كان يتلقّاها.
مثال 1.7 (ترتيب المسوِّرات)
ترتيب المسوِّرات المختلفة مهمّ:
∀x∈R, ∃y∈R, y>xصادقة (خذ y=x+1)،
∃y∈R, ∀x∈R, y>xكاذبة (لا يفوق أيّ عدد حقيقي جميع الأعداد الحقيقية).
في العبارة الأولى يجوز أن يتعلق y بالعنصر x؛ وفي الثانية يجب أن يفي y واحد بعينه بالغرض لكل x. أمّا المسوِّران المتماثلان فيتبادلان موقعيهما دائمًا.
مثال 1.8 (قراءة تعريف بثلاثة مسوِّرات)
الجملة «المتتالية (un) تتقارب نحو ℓ» ستُكتب في الفصل 11 هكذا
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
ونفيها، بتطبيق القضية 1.5 ثلاث مرات، هو
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
والقدرة على نفي جمل كهذه آليًا، دون التفكير في معناها، مهارة حقيقية: فهي تفصل العمل المنطقي عن العمل الرياضي.
المدرب