Tentang GitHub Pelatih Masuk Mulai membaca

Matematika · Glosarium

Apa itu Kuantor?

Definisi 1.4 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 1 — Logika, Himpunan dan Pemetaan

Misalkan P(x)P(x) sifat dari suatu unsur xx pada himpunan EE.

  • ∀x∈E, P(x)\forall x \in E,\ P(x) (“untuk setiap xx di EE, P(x)P(x)”) benar bila setiap unsur EE memenuhi PP;
  • ∃x∈E, P(x)\exists x \in E,\ P(x) (“terdapat xx di EE sedemikian sehingga P(x)P(x)”) benar bila sekurang-kurangnya satu unsur EE memenuhi PP.

Kita tulis ∃!\exists! untuk “terdapat dengan tunggal”.

Contoh

Contoh 1.6 (Menegasikan kalimat matematis sehari-hari)

Misalkan f ⁣:R→Rf \colon \R \to \R. Kalimat “ff naik” berbunyi

∀x∈R, ∀y∈R,x≤y  ⟹  f(x)≤f(y),\forall x \in \R,\ \forall y \in \R,\quad x \leq y \implies f(x) \leq f(y) ,

dan negasinya, menurut Proposisi 1.5 beserta kaidah ¬(P  ⟹  Q)  ⟺  P∧¬Q\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q:

∃x∈R, ∃y∈R,x≤y  dan  f(x)>f(y):\exists x \in \R,\ \exists y \in \R,\quad x \leq y \ \text{ dan }\ f(x) > f(y) :

satu pasang saksi sudah cukup. Demikian pula “ff terbatas” berarti ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M, dengan negasi

∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:\forall M \in \R,\ \exists x \in \R,\quad \abs{f(x)} > M :

berapa pun batas yang diajukan, ada titik yang melampauinya. Inti gagasannya: negasi yang benar tidak pernah memuat “bukan” yang dikenakan pada blok berkuantor — ia adalah pernyataan positif yang baru, dengan peran yang bertukar: kini kita yang menghasilkan saksi, padahal tadinya kita yang menerimanya.

Contoh 1.7 (Urutan kuantor)

Urutan kuantor yang berlainan jenis itu penting:

∀x∈R, ∃y∈R, y>xbenar (ambil y=x+1),\forall x \in \R,\ \exists y \in \R,\ y > x \quad\text{benar (ambil } y = x+1\text{),}
∃y∈R, ∀x∈R, y>xsalah (tak ada bilangan real yang melampaui semua bilangan real).\exists y \in \R,\ \forall x \in \R,\ y > x \quad\text{salah (tak ada bilangan real yang melampaui semua bilangan real).}

Pada pernyataan pertama yy boleh bergantung pada xx; pada yang kedua, satu yy harus berlaku untuk semua xx. Sebaliknya, dua kuantor yang sejenis selalu dapat dipertukarkan.

Contoh 1.8 (Membaca definisi dengan tiga kuantor)

Kalimat “barisan (un)(u_n) konvergen ke ℓ\ell” akan dituliskan pada Bab 11 sebagai

∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \N,\ \forall n \geq N,\quad \abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon .

Negasinya, dengan Proposisi 1.5 yang diterapkan tiga kali, adalah

∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.\exists \varepsilon > 0,\ \forall N \in \N,\ \exists n \geq N,\quad \abs{u_n - \ell} > \varepsilon .

Kemampuan menegasikan kalimat semacam itu secara mekanis, tanpa memikirkan artinya, adalah keterampilan yang sesungguhnya: ia memisahkan kerja logika dari kerja matematika.

Baca dalam konteks →

Istilah terkait