Zij P(x) een eigenschap van een element x van een verzameling E.
- ∀x∈E, P(x) (“voor alle x in E geldt P(x)”) is waar wanneer elk element van E aan P voldoet;
- ∃x∈E, P(x) (“er bestaat een x in E zodat P(x)”) is waar wanneer minstens één element van E aan P voldoet.
We schrijven ∃! voor “er bestaat precies één”.
Voorbeelden
Voorbeeld 1.6 (Alledaagse wiskundige zinnen ontkennen)
Zij f:R→R. De zin “f is stijgend” luidt
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
en haar negatie is, volgens Propositie 1.5 samen met de regel ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q:
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y en f(x)>f(y):
één getuigend paar volstaat. Evenzo is “f is begrensd” de uitspraak ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M, met negatie
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
welke grens ook wordt voorgesteld, er is een punt dat haar overtreft. Het inzicht: een correcte negatie bevat nooit een “niet” vóór een blok kwantoren — ze is een nieuwe, positieve uitspraak waarin de rollen omgedraaid zijn: je levert nu de getuigen die je eerst kreeg aangereikt.
Voorbeeld 1.7 (Volgorde van de kwantoren)
De volgorde van verschillende kwantoren doet ertoe:
∀x∈R, ∃y∈R, y>xis waar (neem y=x+1),
∃y∈R, ∀x∈R, y>xis onwaar (geen ree¨el getal overtreft alle ree¨le getallen).
In de eerste uitspraak mag y van x afhangen; in de tweede moet één enkele y het voor alle x doen. Twee gelijke kwantoren mogen daarentegen altijd van plaats wisselen.
Voorbeeld 1.8 (Een definitie met drie kwantoren lezen)
De zin “de rij (un) convergeert naar ℓ” wordt in Hoofdstuk 11 geschreven als
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
Haar negatie luidt, na driemaal Propositie 1.5,
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
Zulke zinnen werktuiglijk kunnen ontkennen, zonder na te denken over wat ze betekenen, is een vaardigheid op zich: ze scheidt het logische werk van het wiskundige.
Coach