Sea P(x) una propiedad de un elemento x de un conjunto E.
- ∀x∈E, P(x) («para todo x de E, P(x)») es verdadera cuando todo elemento de E satisface P;
- ∃x∈E, P(x) («existe x en E tal que P(x)») es verdadera cuando al menos un elemento de E satisface P.
Se escribe ∃! para «existe un único».
Ejemplos
Ejemplo 1.6 (Negar frases matemáticas de todos los días)
Sea f:R→R. La frase «f es creciente» se escribe
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
y su negación, por la Proposición 1.5 junto con la regla ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q:
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y y f(x)>f(y):
basta con un par que lo atestigüe. Del mismo modo, «f está acotada» es ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M, con negación
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
sea cual sea la cota propuesta, algún punto la supera. La idea clave: una negación correcta nunca contiene un «no» aplicado a un bloque cuantificado — es un nuevo enunciado positivo en el que los papeles se intercambian: ahora uno produce los testigos que antes recibía.
Ejemplo 1.7 (Orden de los cuantificadores)
El orden de dos cuantificadores distintos importa:
∀x∈R, ∃y∈R, y>xes verdadera (toˊmese y=x+1),
∃y∈R, ∀x∈R, y>xes falsa (ninguˊn real supera a todos los reales).
En el primer enunciado, y puede depender de x; en el segundo, un único y debe servir para todo x. Dos cuantificadores iguales, en cambio, siempre conmutan.
Ejemplo 1.8 (Leer una definición con tres cuantificadores)
La frase «la sucesión (un) converge a ℓ» se escribirá en el Capítulo 11 como
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
Su negación, aplicando tres veces la Proposición 1.5, es
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
Saber negar mecánicamente frases de este tipo, sin pensar en lo que significan, es una destreza real: separa el trabajo lógico del trabajo matemático.
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