Seja P(x) uma propriedade de um elemento x de um conjunto E.
- ∀x∈E, P(x) (“para todo x em E, P(x)”) é verdadeira quando todo elemento de E satisfaz P;
- ∃x∈E, P(x) (“existe x em E tal que P(x)”) é verdadeira quando ao menos um elemento de E satisfaz P.
Escreve-se ∃! para “existe um único”.
Exemplos
Exemplo 1.6 (Negando frases matemáticas do dia a dia)
Seja f:R→R. A frase “f é crescente” se escreve
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
e sua negação, pela Proposição 1.5 junto com a regra ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q:
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y e f(x)>f(y):
basta um único par que a testemunhe. Do mesmo modo, “f é limitada” é ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M, com negação
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
qualquer que seja a cota proposta, algum ponto a supera. A ideia: uma negação correta nunca contém “não” aplicado a um bloco quantificado — ela é uma nova proposição afirmativa, na qual os papéis se invertem: agora produzimos as testemunhas que antes recebíamos.
Exemplo 1.7 (Ordem dos quantificadores)
A ordem de quantificadores distintos importa:
∀x∈R, ∃y∈R, y>xeˊ verdadeira (tomey=x+1),
∃y∈R, ∀x∈R, y>xeˊ falsa (nenhum nuˊmero real supera todos os reais).
Na primeira proposição y pode depender de x; na segunda, um único y deve servir para todo x. Já dois quantificadores iguais, esses sempre comutam.
Exemplo 1.8 (Lendo uma definição com três quantificadores)
A frase “a sequência (un) converge para ℓ” será escrita no Capítulo 11 como
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
Sua negação, pela Proposição 1.5 aplicada três vezes, é
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
Saber negar tais frases mecanicamente, sem pensar no que elas significam, é uma habilidade genuína: ela separa o trabalho lógico do trabalho matemático.
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