Soit P(x) une propriété d’un élément x d’un ensemble E.
- ∀x∈E, P(x) (« pour tout x de E, P(x) ») est vraie quand tout élément de E vérifie P ;
- ∃x∈E, P(x) (« il existe x dans E tel que P(x) ») est vraie quand au moins un élément de E vérifie P.
On écrit ∃! pour « il existe un unique ».
Exemples
Exemple 1.6 (Nier des phrases mathématiques courantes)
Soit f:R→R. La phrase « f est croissante » s’écrit
∀x∈R, ∀y∈R,x≤y⟹f(x)≤f(y),
et sa négation, d’après la Proposition 1.5 et la règle ¬(P⟹Q)⟺P∧¬Q :
∃x∈R, ∃y∈R,x≤y et f(x)>f(y):
un seul couple témoin suffit. De même, « f est bornée » s’écrit ∃M∈R, ∀x∈R, ∣f(x)∣≤M, de négation
∀M∈R, ∃x∈R,∣f(x)∣>M:
quelle que soit la borne proposée, un point la dépasse. L’idée à retenir : une négation correcte ne contient jamais de « non » appliqué à un bloc quantifié — c’est une nouvelle assertion positive, dans laquelle les rôles sont échangés : on produit désormais les témoins qu’on recevait auparavant.
Exemple 1.7 (Ordre des quantificateurs)
L’ordre de deux quantificateurs différents compte :
∀x∈R, ∃y∈R, y>xest vraie (prendre y=x+1),
∃y∈R, ∀x∈R, y>xest fausse (aucun reˊel ne deˊpasse tous les reˊels).
Dans la première assertion, y peut dépendre de x ; dans la seconde, un seul et même y doit convenir pour tous les x. Deux quantificateurs identiques, en revanche, commutent toujours.
Exemple 1.8 (Lire une définition à trois quantificateurs)
La phrase « la suite (un) converge vers ℓ » s’écrira dans le Chapitre 11 sous la forme
∀ε>0, ∃N∈N, ∀n≥N,∣un−ℓ∣≤ε.
Sa négation, par la Proposition 1.5 appliquée trois fois, est
∃ε>0, ∀N∈N, ∃n≥N,∣un−ℓ∣>ε.
Savoir nier de telles phrases mécaniquement, sans réfléchir à ce qu’elles signifient, est une véritable compétence : elle sépare le travail logique du travail mathématique.
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