نصف قطر التقارب কী?

مثال 11.3 (نصف قطر بلا محك نسبة)

ما نصف قطر $\sum \sin(n)\,z^n$؟ ليس للنسبة $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ نهاية، لكن التعريف يعمل مباشرةً. $R \geq 1$: $\abs{\sin n} \leq 1$، ومن ثم تكون $(\sin n\cdot r^n)$ محدودة من أجل كل $r < 1$ — بل من أجل $r = 1$. $R \leq 1$: يكفي أن يكون $\sin n \not\to 0$. ولنفترض $\sin n \to 0$؛ فصيغة الجمع

كانت ستفرض $\cos n \to 0$ (بالحلّ من أجل $\cos n$: $\sin 1 \neq 0$)، وهذا يناقض $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$. ومن ثم فالحدود $\sin(n)\,1^n$ لا تؤول إلى $0$: فتتباعد المتسلسلة عند $z = 1$، ويكون $R \leq 1$. والخلاصة: $R = 1$. والفكرة الختامية: نصف القطر قولٌ في كون $\abs{a_n}r^n$ محدودة — ولا يُطلب أبدًا وجود نهاية للنسب، وتحسم حجج الحدّية حالات لا يستطيع محك النسبة أن يلمسها (وقارِن بالمعاملات المتذبذبة في التمرين 11.1).

مثال 11.6 (الضرب في $\frac{1}{1-x}$ يجمع المعاملات)

لجداء كوشي في مقابل المتسلسلة الهندسية معنى جدير بالتذكّر: فمن أجل أي $\sum a_nx^n$ نصف قطرها $R > 0$ ومن أجل $\abs x < \min(R, 1)$،

فالضرب في $\frac{1}{1-x}$ يعوّض المعاملات بمجاميعها الجزئية (أي الالتفاف مع متتالية الواحدات). ومثال: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ مع $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$، وهي المجاميع الجزئية للمقدار $\eu$ — وقارِن بالمثال التمرين 11.11، حيث يرمّز الجداء نفسه مع $\eu^{-x}$ أعدادَ الاختلالات. والفكرة الختامية: العمليات على متسلسلات القوى عملياتٌ على متتاليات المعاملات متخفية (فالضرب في $\frac1{1-x}$: جمع؛ والضرب في $x$: إزاحة؛ والاشتقاق: ضرب في $n$ وإزاحة) — وهو معجم سيقرؤه فصل الدوال المولّدة بطلاقة.

مثال 11.20 (صيغة بينيه، منفَّذةً)

ليكن $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ و$\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$، وهما جذرا $X^2 = X + 1$؛ وبما أن $\varphi + \psi = 1$ و$\varphi\psi = -1$،

والكسور الجزئية: بالبحث عن $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$، يعطي الحدّ الثابت $A + B = 0$ ويعطي معامل $x$ أن $-A\psi - B\varphi = 1$، ومنه $A(\varphi - \psi) = 1$: أي $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$. وبعد متسلسلتين هندسيتين،

بوحدانية المعاملات (المبرهنة 11.7). وبما أن $\abs\psi < 1$، فإن الحدّ $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ قيمته المطلقة $< \frac12$: أي إن $F_n$ هو أقرب عدد صحيح إلى $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$. والفكرة الختامية: نصف القطر $\frac1\varphi$ للدالة $F$ هو مقلوب الجذر المهيمن — فنموّ المعاملات ونصف قطر التقارب هما المعلومة نفسها مقروءةً في اتجاهين متعاكسين.