ما معنى نصف قطر الانحناء؟

مثال 18.15 (دائرة التقبيل للدالة الأسية)

من أجل $y = \eu^x$ في النقطة $(0, 1)$: $f'(0) = f''(0) = 1$، ومنه، بصيغة التمثيل البياني أدناه،

والمماس الواحدي هو $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$، والناظم المباشر $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$، ومركز الانحناء هو

ومنه فإن معادلة دائرة التقبيل هي $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$. وللتحقق من دعوى “أفضل تقريب دائري”: فحل معادلة الدائرة بدلالة $y$ بجوار $(0,1)$ ونشره يعطي $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — وهو بالضبط نشر تايلور من الرتبة الثانية للدالة $\eu^x$. فدائرة التقبيل توافق القيمة والميل والمشتقة الثانية؛ أما دائرة مماسة عادية فتوافق الأولين فقط.

مثال 18.16 (مطوّرة الدائرة مركزها)

من أجل الدائرة ذات نصف القطر $R$ المقطوعة عكس عقارب الساعة، لدينا $\kappa = 1/R$ ويشير $N$ نحو المركز، ومنه فإن مركز الانحناء $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ هو مركز الدائرة، من أجل كل $s$: فدائرة التقبيل للدائرة هي الدائرة نفسها، وينهار محل مراكز الانحناء إلى نقطة. وتعاير هذه الحالة المنحلة التمرين 18.6: فهناك تكون سرعة المطوّرة $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$، وهي تنعدم تطابقا إذا وفقط إذا كان $\kappa$ ثابتا.

مثال 18.18 (الدائرة والمستقيم والقطع المكافئ)

للمستقيم $\kappa = 0$ (والعكس صحيح: فالشرط $T' = 0$ يعني أن $T$ ثابت، ومنه $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$، وهو مستقيم). وللدائرة ذات نصف القطر $R$ المقطوعة عكس عقارب الساعة $\kappa = 1/R$: فمع $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$، تعطي الصيغة $\kappa = R^2/R^3$. ومن أجل القطع المكافئ $y = x^2/2$: $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$، وهو أعظمي عند الرأس — فالقطع المكافئ أشد انثناء حيث يستدير.