¿Qué es radio de curvatura? — Matemáticas

Definición 18.14 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 18 — Curvas

Cuando $\kappa(s) \neq 0$ , el radio de curvatura es $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ y el centro de curvatura es $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; la circunferencia con ese centro y radio $R(s)$ es la circunferencia osculatriz, la mejor aproximación circular de la curva en $\tilde\gamma(s)$ .

La parábola y = x2/2, su triedro de Frenet móvil (T, N) y la circunferencia osculatriz en el vértice (de radio 1, pues (0) = 1). El triedro gira a medida que el punto se mueve; la curvatura es el ritmo de ese giro por unidad de longitud de arco. — **Figura 18.1.** La parábola $y = x^2/2$ , su triedro de Frenet móvil $(T, N)$ y la circunferencia osculatriz en el vértice (de radio $1$ , pues $\kappa(0) = 1$ ). El triedro gira a medida que el punto se mueve; la curvatura es el ritmo de ese giro por unidad de longitud de arco.

Ejemplos

Ejemplo 18.15 (La circunferencia osculatriz de la exponencial)

Para $y = \eu^x$ en el punto $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , así que, por la fórmula para grafos de más abajo,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

La tangente unitaria es $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , la normal directa $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , y el centro de curvatura es

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

la circunferencia osculatriz tiene ecuación $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Como comprobación de que es “la mejor aproximación circular”: resolver la ecuación de la circunferencia en $y$ cerca de $(0,1)$ y desarrollar da $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ , exactamente el desarrollo de Taylor de segundo orden de $\eu^x$ . La circunferencia osculatriz ajusta el valor, la pendiente y la derivada segunda; una circunferencia tangente ordinaria solo ajustaría las dos primeras.

Ejemplo 18.16 (La evoluta de una circunferencia es su centro)

Para la circunferencia de radio $R$ recorrida en sentido antihorario, $\kappa = 1/R$ y $N$ apunta hacia el centro, de modo que el centro de curvatura $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ es el centro de la circunferencia, para todo $s$ : la circunferencia osculatriz de una circunferencia es ella misma, y el lugar de los centros de curvatura colapsa en un punto. Este caso degenerado calibra el Ejercicio 18.6: allí la velocidad de la evoluta es $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , que se anula idénticamente justo cuando $\kappa$ es constante.

Ejemplo 18.18 (Circunferencia, recta, parábola)

Una recta tiene $\kappa = 0$ (y recíprocamente: $T' = 0$ significa $T$ constante, luego $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , una recta). La circunferencia de radio $R$ recorrida en sentido antihorario tiene $\kappa = 1/R$ : con $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , la fórmula da $\kappa = R^2/R^3$ . Para la parábola $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , máxima en el vértice; la parábola se dobla más bruscamente donde da la vuelta.

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