O que é raio de curvatura?

Exemplo 18.15 (O círculo osculador da exponencial)

Para $y = \eu^x$ no ponto $(0, 1)$: $f'(0) = f''(0) = 1$, de modo que, pela fórmula do gráfico adiante,

A tangente unitária é $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$, a normal direta $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$, e o centro de curvatura é

o círculo osculador tem equação $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$. Como verificação da afirmação “melhor aproximação circular”: resolver a equação do círculo em $y$ perto de $(0,1)$ e desenvolver dá $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exatamente o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de $\eu^x$. O círculo osculador casa valor, inclinação e segunda derivada; um círculo tangente comum casaria apenas os dois primeiros.

Exemplo 18.16 (A evoluta de um círculo é seu centro)

Para o círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário, $\kappa = 1/R$ e $N$ aponta para o centro, de modo que o centro de curvatura $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ é o centro do círculo, para todo $s$: o círculo osculador de um círculo é o próprio círculo, e o lugar dos centros de curvatura colapsa num ponto. Esse caso degenerado calibra o Exercício 18.6: ali a velocidade da evoluta é $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$, que se anula identicamente precisamente quando $\kappa$ é constante.

Exemplo 18.18 (Círculo, reta, parábola)

Uma reta tem $\kappa = 0$ (e reciprocamente: $T' = 0$ significa $T$ constante, logo $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$, uma reta). O círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário tem $\kappa = 1/R$: com $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$, a fórmula dá $\kappa = R^2/R^3$. Para a parábola $y = x^2/2$: $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$, máxima no vértice — a parábola é mais fortemente dobrada onde ela dá a volta.