Apa itu jari-jari kelengkungan? — Matematika

Definisi 18.14 Matematika Universitas — Tahun 2 · Bab 18 — Kurva

Ketika $\kappa(s) \neq 0$ , jari-jari kelengkungan adalah $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ dan pusat kelengkungan adalah $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; sedangkan lingkaran dengan pusat itu dan berjari-jari $R(s)$ disebut lingkaran oskulasi, yakni hampiran lingkaran terbaik bagi kurvanya di $\tilde\gamma(s)$ .

Parabola y = x2/2, kerangka Frenet bergeraknya (T, N), dan lingkaran oskulasi di puncaknya (yang berjari-jari 1, sebab (0) = 1). Kerangkanya berputar ketika titiknya bergerak; jadi kelengkungannya adalah laju perputaran itu per satuan panjang busur. — **Gambar 18.1.** Parabola $y = x^2/2$ , kerangka Frenet bergeraknya $(T, N)$ , dan lingkaran oskulasi di puncaknya (yang berjari-jari $1$ , sebab $\kappa(0) = 1$ ). Kerangkanya berputar ketika titiknya bergerak; jadi kelengkungannya adalah laju perputaran itu per satuan panjang busur.

Contoh

Contoh 18.15 (Lingkaran oskulasi bagi eksponensialnya)

Untuk $y = \eu^x$ di titik $(0, 1)$ : berlaku $f'(0) = f''(0) = 1$ , jadi menurut rumus grafik di bawah,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

Adapun singgung satuannya $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , normal langsungnya $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , dan pusat kelengkungannya adalah

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

jadi lingkaran oskulasinya berpersamaan $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Sebagai pemeriksaan klaim “hampiran lingkaran terbaik” itu: menyelesaikan persamaan lingkarannya untuk $y$ di dekat $(0,1)$ lalu menguraikannya memberi $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — persis uraian Taylor orde dua bagi $\eu^x$ . Jadi lingkaran oskulasinya mencocokkan nilai, lereng dan turunan kedua; sedangkan lingkaran singgung biasa hanya akan mencocokkan dua yang pertama.

Contoh 18.16 (Evolut sebuah lingkaran adalah pusatnya)

Untuk lingkaran berjari-jari $R$ yang ditempuh berlawanan arah jarum jam, berlaku $\kappa = 1/R$ dan $N$ menunjuk ke pusatnya, jadi pusat kelengkungannya $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ adalah pusat lingkarannya, untuk setiap $s$ : jadi lingkaran oskulasi sebuah lingkaran adalah lingkarannya sendiri, dan tempat kedudukan pusat kelengkungannya runtuh menjadi satu titik. Kasus merosot ini menakar Latihan 18.6: sebab di sana kecepatan evolutnya adalah $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , yang lenyap secara identik persis ketika $\kappa$ bersifat tetap.

Contoh 18.18 (Garis, lingkaran, parabola)

Sebuah garis punya $\kappa = 0$ (dan sebaliknya: sebab $T' = 0$ berarti $T$ tetap, jadi $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , yakni sebuah garis). Adapun lingkaran berjari-jari $R$ yang ditempuh berlawanan arah jarum jam punya $\kappa = 1/R$ : sebab dengan $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , rumusnya memberi $\kappa = R^2/R^3$ . Sedangkan untuk parabola $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , yang maksimum di puncaknya — jadi parabolanya paling tajam membengkok di tempat ia berbalik.

Baca dalam konteks →