Qu'est-ce que « rayon de courbure » ? — Mathématiques

Définition 18.14 Mathématiques universitaires — Licence 2 · Chapitre 18 — Courbes

Lorsque $\kappa(s) \neq 0$ , le rayon de courbure est $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ et le centre de courbure est $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; le cercle de ce centre et de rayon $R(s)$ est le cercle osculateur, la meilleure approximation circulaire de la courbe en $\tilde\gamma(s)$ .

La parabole y = x2/2, son repère de Frenet mobile (T, N), et le cercle osculateur au sommet (rayon 1, puisque (0) = 1). Le repère tourne à mesure que le point se déplace ; la courbure est le taux de cette rotation par unité de longueur d’arc. — **Figure 18.1.** La parabole $y = x^2/2$ , son repère de Frenet mobile $(T, N)$ , et le cercle osculateur au sommet (rayon $1$ , puisque $\kappa(0) = 1$ ). Le repère tourne à mesure que le point se déplace ; la courbure est le taux de cette rotation par unité de longueur d’arc.

Exemples

Exemple 18.15 (Le cercle osculateur de l’exponentielle)

Pour $y = \eu^x$ au point $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , donc par la formule pour un graphe ci-dessous,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

La tangente unitaire est $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , la normale directe $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , et le centre de courbure est

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

le cercle osculateur a pour équation $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Pour vérifier l’affirmation de « meilleure approximation circulaire » : en résolvant l’équation du cercle en $y$ près de $(0,1)$ et en développant, on obtient $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exactement le développement de Taylor à l’ordre deux de $\eu^x$ . Le cercle osculateur coïncide en valeur, en pente et en dérivée seconde ; un cercle tangent ordinaire ne coïnciderait qu’avec les deux premières.

Exemple 18.16 (La développée d’un cercle est son centre)

Pour le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct, $\kappa = 1/R$ et $N$ pointe vers le centre, donc le centre de courbure $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ est le centre du cercle, pour tout $s$ : le cercle osculateur d’un cercle est le cercle lui-même, et le lieu des centres de courbure se réduit à un point. Ce cas dégénéré calibre l’Exercice 18.6 : là, la vitesse de la développée est $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , qui s’annule identiquement précisément lorsque $\kappa$ est constante.

Exemple 18.18 (Cercle, droite, parabole)

Une droite a $\kappa = 0$ (et réciproquement : $T' = 0$ signifie $T$ constant, donc $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , une droite). Le cercle de rayon $R$ parcouru dans le sens direct a $\kappa = 1/R$ : avec $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , la formule donne $\kappa = R^2/R^3$ . Pour la parabole $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , maximale au sommet — la parabole est le plus fortement courbée là où elle fait demi-tour.

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