Wat is kromtestraal?

Voorbeeld 18.15 (De osculerende cirkel van de exponentiële functie)

Voor $y = \eu^x$ in het punt $(0, 1)$: $f'(0) = f''(0) = 1$, dus volgens de grafiekformule hieronder

De eenheidsraakvector is $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$, de directe normaal $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$, en het krommingsmiddelpunt is

de osculerende cirkel heeft vergelijking $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$. Als controle van de bewering “beste cirkelvormige benadering”: de cirkelvergelijking naar $y$ oplossen nabij $(0,1)$ en ontwikkelen geeft $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — precies de tweede-ordeontwikkeling van Taylor van $\eu^x$. De osculerende cirkel past bij de waarde, de helling en de tweede afgeleide; een gewone raakcirkel past alleen bij de eerste twee.

Voorbeeld 18.16 (De evolute van een cirkel is haar middelpunt)

Voor de cirkel met straal $R$, tegen de wijzers van de klok in doorlopen, is $\kappa = 1/R$ en wijst $N$ naar het middelpunt, dus is het krommingsmiddelpunt $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ voor elke $s$ het middelpunt van de cirkel: de osculerende cirkel van een cirkel is de cirkel zelf, en de meetkundige plaats van de krommingsmiddelpunten klapt ineen tot één punt. Dit ontaarde geval ijkt Oefening 18.6: daar is de snelheid van de evolute $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$, die identiek verdwijnt precies wanneer $\kappa$ constant is.

Voorbeeld 18.18 (Cirkel, rechte, parabool)

Een rechte heeft $\kappa = 0$ (en omgekeerd: $T' = 0$ betekent dat $T$ constant is, dus $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$, een rechte). De cirkel met straal $R$, tegen de wijzers van de klok in doorlopen, heeft $\kappa = 1/R$: met $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ geeft de formule $\kappa = R^2/R^3$. Voor de parabool $y = x^2/2$: $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$, maximaal in de top — de parabool buigt het scherpst waar zij omkeert.