वक्रता त्रिज्या क्या है?

उदाहरण 18.15 (चरघातांकी का चुंबन वृत्त)

बिंदु $(0, 1)$ पर $y = \eu^x$ के लिए: $f'(0) = f''(0) = 1$, अतः नीचे दिए ग्राफ़-सूत्र से

इकाई स्पर्शी $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ है, सीधा अभिलंब $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$, और वक्रता केंद्र

है; चुंबन वृत्त का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ है। “सर्वोत्तम वृत्तीय सन्निकटन” के दावे की जाँच के रूप में: $(0,1)$ के निकट वृत्त के समीकरण को $y$ के लिए हल करके प्रसारित करने पर $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ मिलता है — ठीक $\eu^x$ का द्वितीय-कोटि टेलर प्रसार। चुंबन वृत्त मान, ढाल तथा द्वितीय अवकलज तीनों से मेल खाता है; कोई साधारण स्पर्शी वृत्त केवल पहले दो से मेल खाता।

उदाहरण 18.16 (वृत्त की विकसिता उसका केंद्र है)

वामावर्त तय किए गए त्रिज्या $R$ के वृत्त के लिए $\kappa = 1/R$ और $N$ केंद्र की ओर संकेत करता है, अतः हर $s$ के लिए वक्रता केंद्र $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ वृत्त का केंद्र ही है: वृत्त का चुंबन वृत्त स्वयं वही वृत्त है, और वक्रता केंद्रों का बिंदुपथ एक बिंदु में सिमट जाता है। यह अपभ्रष्ट स्थिति अभ्यास 18.6 का अंशांकन करती है: वहाँ विकसिता का वेग $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ है, जो ठीक तभी सर्वत्र लुप्त होता है जब $\kappa$ अचर हो।

उदाहरण 18.18 (वृत्त, रेखा, परवलय)

रेखा की $\kappa = 0$ होती है (और विलोमतः: $T' = 0$ का अर्थ है $T$ अचर, अतः $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$, यानी कोई रेखा)। वामावर्त तय किए गए त्रिज्या $R$ के वृत्त की $\kappa = 1/R$ होती है: $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ के साथ सूत्र $\kappa = R^2/R^3$ देता है। परवलय $y = x^2/2$ के लिए: $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$, जो शीर्ष पर अधिकतम है — परवलय वहीं सबसे तीखा मुड़ा होता है जहाँ वह पलटता है।