الرياضيات الجامعية — السنة 1 · Bachelor Year 1

22المحددات والجمل الخطية

يضغط المحدد في سلّم واحد الجوابَ عن سؤال «هل هذه المتجهات $n$ أساس؟» — ويقيس، هندسيًا، الحجم الذي تولّده. ونميّزه بخصائصه (متعدد الخطية، متناوب، منظَّم)، ونحسبه في البُعدين $2$ و $3$ وبالنشر بالعوامل المرافقة عمومًا، ونشغّله على الجمل الخطية، إلى جانب الخوارزمية الصالحة لكل غرض: إزاحة غاوس.

22.1 المحدد

مبرهنة 22.1 (التمييز)

يوجد تطبيق واحد بالضبط $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ ، منظورًا إليه دالةً في الأعمدة $n$ ، يكون:

خطيًا في كل عمود (والبقية مثبَّتة)؛
متناوبًا: أي إن مبادلة عمودين تغيّر الإشارة (ومنه فالعمودان المتساويان يعطيان $0$ )؛
منظَّمًا: $\det I_n = 1$ .

ومن أجل $n = 2$ و $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(وقاعدة ساروس للمقدار $3 \times 3$ : جداءات الأقطار النازلة ناقص الصاعدة).

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 22.2

من أجل $n = 2$ : يعطي النشر بثنائية الخطية على الأعمدة القانونية الصيغةَ، وهي بالعكس تحقق البديهيات — أي برهان كامل؛ و $n = 3$ مطابق مع حدود أكثر. وأمّا الحالة العامة (الوجود عبر المجموع على التبديلات، والوحدانية بالنشر نفسه) فتقتضي توقيع تبديلة وهي مؤجَّلة إلى السنة الثانية؛ ونستعمل بحرية البديهيات والنتائج أدناه.

وإليك نشر $n = 2$ كاملًا، لأنه القالب: فمع العمودين $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ و $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ ، تعطي ثنائية الخطية

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

ويقتل التناوب الأزواج المكررة بينما يقلب $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : فينهار التطبيق كله إلى $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ بالتنظيم. والوحدانية مرئية في الحساب نفسه — إذ لم تترك البديهيات أيّ اختيار عند أيّ خطوة — وهذه بالضبط واقعة الوحدانية المسلَّمة المستعملة في برهان قاعدة الجداء أدناه.

مبرهنة 22.3 (الخصائص)

من أجل $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

إضافة مضاعف لعمود إلى عمود آخر لا تغيّر المحدد؛ وضرب عمود في $\lambda$ يضربه في $\lambda$ (ومنه $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ )؛
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ؛
تكون $A$ قابلة للقلب $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ تكوّن الأعمدة أساسًا للمقدار $K^n$ ؛ وعندئذ $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ؛
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — ومنه فكل قاعدة على الأعمدة قاعدةٌ على السطور كذلك؛
محدد مصفوفة مثلثية جداءُ مركّباتها القطرية.

برهان. (1) بالخطية، $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ حيث للمحدد الثاني عمودان متساويان: فهو معدوم.

(2) ثبّت $A$ وانظر في $\varphi(B) = \det(AB)$ دالةً في أعمدة $B$ : ولأن للمقدار $AB$ الأعمدة $AB_j$ ، تكون $\varphi$ متعددة الخطية ومتناوبة في المقادير $B_j$ . ونقبل، مع المبرهنة 22.1، عبارة وحدانيته في صورتها المسلَّمة: كل تطبيق متعدد الخطية متناوب $\varphi$ للأعمدة يساوي $\varphi(I_n) \cdot \det$ . وهنا $\varphi(I_n) = \det A$ ، ومنه $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) إذا كانت $A$ قابلة للقلب: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ ، ومنه $\det A \neq 0$ وتصحّ صيغة المعكوس. وإذا لم تكن $A$ قابلة للقلب، فأعمدتها مرتبطة (النتيجة 20.9 و القضية 20.2)؛ وبالتعبير عن عمود بالبقية والنشر بالخطية تبقى محددات ذات عمودين متساويين: ومنه $\det A = 0$ . وعبارة الأساس هي القضية 19.8.

(4) مقبولة مع البناء العام (فهي مباشرة على صيغة التبديلات)؛ ونسجّلها لاستعمال العمليات على السطور.

(5) إذا انعدمت مركّبة قطرية ما، فإن الأعمدة $k$ الأولى مرتبطة من أجل $k$ ما (باعتبارات الرتبة) و $\det = 0 =$ الجداء. وإلا فنظّف كل عمود تحت وإلى اليسار بعمليات من النوع (1) — وهذا ممكن في الشكل المثلثي — فتُبلغ المصفوفة القطرية، ومحددها جداء المركّبات بتعدد الخطية انطلاقًا من $I_n$ . ∎

مثال 22.4 (القواعد، متحققًا منها على أعداد)

خذ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) و $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). عندئذ

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

فتتأكد الضربية والحفظ بالنقل — بينما تفشل الجمعية الخاطئة على الزوج نفسه:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

وثلاثون ثانية من حساب من هذا النوع، بعد استدعاء أيّ متطابقة محددات، هي أرخص تأمين متوفر ضد الأخطاء.

مثال 22.5 (المحددات مساحاتٍ)

متوازي الأضلاع المولَّد بالمقدارين $u = (2, 0)$ و $v = (1, 3)$ له قاعدة $2$ وارتفاع $3$ : فمساحته $6$ . و

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

فالمحدد $2\times2$ هو المساحة الموقَّعة لمتوازي أضلاع عموديه. وتعيد البديهيات سرد الهندسة: فإضافة مضاعف لعمود إلى الآخر قصّ، ينزلق بمتوازي الأضلاع موازيًا لضلع دون تغيير القاعدة أو الارتفاع (العملية (1) في المبرهنة 22.3)؛ وضرب عمود في سلّم يضرب المساحة؛ ومبادلة العمودين تقلب التوجيه، ومنه الإشارة، $\det(v, u) = -6$ . وفي $\R^3$ تعطي القراءة نفسها حجومًا موقَّعة، ويصير $\abs{\det}$ عاملَ تسليم الحجم الشامل للتطبيقات الخطية — وهي الواقعة وراء صيغة تغيير المتغيرات في التكاملات المضاعفة في مجلّد السنة الثانية.

مبرهنة 22.6 (النشر بالعوامل المرافقة)

لتكن $A \in \mathcal{M}_n(K)$ وليكن $\Delta_{ij}$ محدد $A$ بعد حذف السطر $i$ والعمود $j$ . عندئذ، من أجل أيّ عمود مثبَّت $j$ (أو سطر، بالنقل):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

مثال 22.7

بالنشر على امتداد العمود الأول:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

والاستراتيجية: أنشئ أصفارًا أولًا (بعمليات على السطور أو الأعمدة)، ثم انشر على امتداد أخلى سطر أو عمود.

مثال 22.8 (معكوس العوامل المرافقة، مرة واحدة باليد)

من أجل $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . وتتجمّع العوامل المرافقة التسعة $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ في

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

وهي الصيغة المذكورة في التمرين 22.8. وتحقق من زوج سطر-عمود واحد: (السطر $1$ من $A$ )(العمود $1$ من $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ ، وإزاء العمود $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . أي تسعة محددات $2\times2$ من أجل معكوس $3\times3$ واحد: فأصلًا عند هذا الحجم، يكون تقليص السطور (التمرين 22.3) أرخص — وقيمة صيغة العوامل المرافقة نظرية (الصحيحية في التمرين 22.8، وقابلية اشتقاق المعكوس في مجلّدات لاحقة)، لا حسابية.

مثال 22.9 (قاعدة الكتل المثلثية، في الحجم $4$ )

الادعاء: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ من أجل كتل $2\times2$ . نظّف كتلة $N$ بعمليات على الأعمدة: فإضافة تركيبات مناسبة من العمودين $1, 2$ إلى العمودين $3, 4$ تزيل $N$ عندما تكون $M$ قابلة للقلب (بحلّ $M\Lambda = -N$ من أجل معاملات التركيبة $\Lambda$ )، فيبقى $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ؛ ثم يعطي النشر بالعوامل المرافقة على امتداد العمود الأول، مرتين، المقدارَ $\det M\det P$ من أجل هذا الشكل الكتلي القطري. وإذا لم تكن $M$ قابلة للقلب، فأعمدتها مرتبطة، ومنه فالعمودان الأولان من المصفوفة الكبيرة مرتبطان (لأن نصفيهما السفليين معدومان): فينعدم الطرفان. وتمتدّ القاعدة إلى أيّ أحجام كتل بالحجة ذات الحالتين نفسها — وهي محرّك التمرين 22.10.

مثال 22.10 (محدد $4 \times 4$ ، باستراتيجية)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

مجموع كل سطر هو $10$ : ومنه فالعملية $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ تجعل العمود الأول ثابتًا، وبتعميل $10$ تبقى آحاد. ثم ينظّف $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) العمودَ الأول:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

وينشر المحدد $3\times3$ الأخير على امتداد سطره الأول: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . والعبرة: عمليةٌ واحدة محسنة الاختيار (بملاحظة ثبات مجموع السطر) تغلب ستة عشر عاملًا مرافقًا.

طريقة 22.11 (اختيار استراتيجية للمحدد)

امسح المصفوفة قبل حساب أيّ شيء.

مجاميع سطور أو أعمدة ثابتة: اجمع كل شيء في سطر واحد، وعمّل القيمة المشتركة (المثال 22.10 و التمرين 22.7).
بنية متكررة: اطرح السطور أو الأعمدة المتجاورة لإنشاء أصفار؛ فتنهار الأنماط السلّمية نحو الشكل المثلثي، ومحدده يُقرأ على القطر.
أصفار معزولة: انشر على امتداد أخلى سطر (المثال 22.7)؛ وتعطي العائلات التراجعية (ثلاثية الأقطار، التمرين 22.6) علاقات تراجعية بهذه الكيفية.
وسيط: يكون المحدد كثيرَ حدود فيه؛ فجد جذوره بملاحظة القيم المنحلّة (سطور متساوية، أعمدة متناسبة)، ثم ثبّت كثير الحدود بالدرجة والمعامل المهيمن. ومن أجل مصفوفة التمرين 22.7: يعطي $m = 1$ ثلاثة سطور متساوية (بالرتبة $1$ ، وجذر مضاعف)، ويجعل $m = -2$ مجموع السطور معدومًا (جذر آخر)؛ ودرجة المحدد $3$ في $m$ بحدّ مهيمن $-m^3$ (وهو جداء القطر المضاد $m\cdot m\cdot m$ ، وإشارته حسب ساروس $-1$ )، ومنه يجب أن يكون $-(m+2)(m-1)^2$ — دون أيّ نشر، وتتحقق الطريقتان إحداهما من الأخرى.

مثال 22.12 (محدد فاندرموند)

من أجل السلالم $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

وتخطيط البرهان (مفصَّلًا في التمرين 22.5): تنظّف عمليات الأعمدة $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ من اليمين السطرَ الأول، ويردّ تعميل كل سطر باقٍ الأمرَ إلى $V(x_2, \dots, x_n)$ . وهو غير معدوم إذا وفقط إذا كانت المقادير $x_i$ متمايزة مثنى مثنى — وهو المحدد وراء مقايسة لاغرانج (المثال 20.10).

22.2 الجمل الخطية

تعريف 22.13

الجملة الخطية ذات $n$ معادلة في $p$ مجهولًا هي $AX = B$ مع $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ و $B \in K^n$ ؛ وتكون متجانسة إذا كان $B = 0$ . ومجموعة حلولها، إذا كانت غير خالية، هي $X_0 + \ker A$ : أي حلٌّ خاص زائد الحلّ المتجانس العام — وهي فضاء أفيني جزئي بُعده $p - \operatorname{rk} A$ (بمبرهنة الرتبة).

مثال 22.14 (البنية الأفينية، مجعولةً مرئية)

حُلَّ

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

بطرح المعادلتين: $2y - z = 1$ ، ومنه $z = 2y - 1$ و $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . وتكوّن الحلول المستقيمَ

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

أي الحلّ الخاص $X_0 = (4, 0, -1)$ (بالاختيار $y = 0$ ) زائد مستقيم النواة $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ للجملة المتجانسة المرتبطة — وللتحقق: $(-3) + 1 + 2 = 0$ و $(-3) - 1 + 4 = 0$ . وهندسيًا، يتقاطع مستويان غير متوازيين من $\R^3$ على امتداد مستقيم، وكان عدّ الأبعاد $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ يعلم ذلك قبل أن نحلّ أيّ شيء. وتغيير الحلّ الخاص (ولنقل $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) يغيّر الوصف لا المستقيم: فللفضاء الأفيني الجزئي مبادئ كثيرة واتجاه واحد.

مبرهنة 22.15 (جمل كرامر المربعة)

إذا كان $A \in GL_n(K)$ ، فللجملة $AX = B$ حلٌّ وحيد $X = A^{-1}B$ ، وإحداثياته

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ مع العمود } j \text{ مستبدَلًا بالمقدار } B .

برهان. الوحدانية والوجود هما القابلية للقلب. وأمّا الصيغة: فاكتب $B = \sum_k x_k C_k$ (بأعمدة $A$ )؛ عندئذ، بتعدد الخطية والتناوب،

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

لأن لكل حدّ عدا $k = j$ عمودًا مكررًا. ∎

مثال 22.16 (كرامر بوسيط، كاملًا)

من أجل $m \in \R$ ، حُلَّ

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

المحدد هو $1 - m^2$ . والحالة العامة $m \neq \pm1$ : يعطي كرامر

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

أي حلًا نظيفًا واحدًا من أجل كل $m$ مقبول (وللتحقق عند $m = 0$ : $(1, 2)$ ، وهو صحيح بداهةً). والحالات المنحلّة: عند $m = 1$ تُقرأ المعادلتان $x + y = 1$ و $x + y = 2$ : فهما غير متوافقتين؛ وعند $m = -1$ تُقرآن $x - y = 1$ و $-x + y = 2$ ، أي $x - y = 1$ و $x - y = -2$ : فهما غير متوافقتين مرة أخرى. وانعدام المحدد يعلن أن شيئًا ما ينحلّ، لكنه لا يقول أبدًا ماذا — فالخالي أو غير المنتهي يجب أن يُفصل فيه بالنظر في الطرف الأيمن. ولاحظ كذلك كيف تشير الصيغ إلى حدودها هي: فعندما $m \to 1^{-}$ ، $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ؛ وتهرب نقطة الحلّ كلما صار المستقيمان متوازيين.

طريقة 22.17 (إزاحة غاوس على الجمل)

قلّص بالسطور المصفوفةَ الموسَّعة $(A \mid B)$ إلى الصورة الدرجية.

إذا ظهر محور في العمود الأخير (سطر $0 = 1$ ): فلا حلّ.
وإلا فتنقسم المجاهيل إلى مجاهيل محورية و مجاهيل حرة (وسائط)؛ ويعبّر التعويض الرجعي عن الأولى بالثانية: فتكون مجموعة الحلول فضاءً أفينيًا جزئيًا بُعده $=$ عدد المجاهيل الحرة.

وصيغ كرامر للنظرية وللجمل الصغيرة؛ والإزاحة هي الخوارزمية العملية.

مثال 22.18 (مناقشة بوسيط)

من أجل $m \in \R$ ، انظر في

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

للمصفوفة محدد $-(m+2)(m-1)^2$ (محسوبًا في التمرين 22.7 بإضافة كل الأعمدة إلى الأول). ومن أجل $m \neq 1, -2$ : حلٌّ وحيد $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (بالتناظر). ومن أجل $m = 1$ : معادلة واحدة مكررة ثلاث مرات، أي مستوي حلول. ومن أجل $m = -2$ : يعطي جمع المعادلات الثلاث $0 = 3$ ، فلا حلّ.

ملاحظة 22.19 (مزالق شائعة)

المحدد ليس خطيًا في المصفوفة: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (بل أصلًا $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ )؛ فهو خطي في كل عمود على حدة، وهذا شيء مختلف تمامًا. السلّمة: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ ، لا $\lambda\det A$ — لأن كل عمود من الأعمدة $n$ يُضرب في سلّم. ليست كل العمليات على السطور مجانية: فالعملية $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ تحفظ المحدد، لكن المبادلة تغيّر الإشارة و $L_i \leftarrow \lambda L_i$ يضربه في $\lambda$ — وأخطاء مسك الدفاتر هنا هي المصدر الكلاسيكي للإشارات الخاطئة في الحسابات القائمة على الإزاحة. المحدد المعدوم بداية لا نهاية: فهو يقول «الرتبة $< n$ » لكن لا يقول أيّ رتبة؛ ولا يحدّدها إلا عمل إضافي (الصورة الدرجية، أو المحددات الجزئية في التمرين 22.12) — قارن حالة $m = 1$ إزاء $m = -2$ في المثال 22.18. كرامر يحتاج إلى القابلية للقلب: فعندما $\det A = 0$ تكون الصيغ $x_j = \det A_j/\det A$ بلا معنى، وقد يكون للجملة حلول (لا تُحصى) تمامًا. المصفوفات المربعة وحدها لها محددات: فمن أجل جملة مستطيلة، تكون الإزاحة الأداةَ الوحيدة.

ملاحظة 22.20 (إلى أين تذهب المحددات)

ثلاث حيوات تنتظر هذا السلّم. هندسية: فالمقدار $\abs{\det}$ هو عامل تسليم المساحة أو الحجم للتطبيق المرتبط — وهو مدقَّق من أجل المستوي في الفصل 23 و، بوصفه يعقوبيَّ تغيير متغيرات، في التكاملات المضاعفة في مجلّد السنة الثانية. وجبرية: فالمقدار $\det(A - \lambda I)$ ، وهو كثير الحدود المميّز، يفتح نظرية القيم الذاتية في السنة الثانية — والمتطابقة $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 21 ظلُّه الأول. وتحليلية: فمحددات مصفوفات خاصة (فاندرموند و كوشي وغرام) تفصل متى تكون مسائل المقايسة والتفكيك و الإسقاط مطروحة طرحًا حسنًا؛ وتقوّم مسألة نهاية الأسبوع أدناه العائلتين الأوليين تقويمًا كاملًا.

ملاحظة 22.21 (منظورات داخل الكتاب 3)

يغلق هذا الفصل عمود الجبر الخطي في المجلّد، و يصرف فصلاه الباقيان الأرباح. ففي الفصل 23: تختبر مصفوفة غرام $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ الحريةَ بمحدد (التمرين 23.11)، وتنقسم تقايسات المستوي إلى دورانات وانعكاسات حسب إشارة محددها — ويجري تصنيف مسألة نهاية الأسبوع هناك عليها. وفي الفصل 25: يكون مقدار مونج $rt - s^2$ محددَ المصفوفة المتماثلة للمشتقات الثانية، وتكون المعادلات الناظمية للمربعات الصغرى جملةَ كرامر مصفوفتها مصفوفة غرام (ومنه مصفوفة عزوم) — قابلةً للقلب بالضبط بالمحكات ذات النكهة الفاندرموندية المؤسَّسة هنا. وحين تؤكد تلك الفصول «قابلة للقلب» أو «موجبة»، فالإيصالات في هذا الفصل.

22.3 تمارين

تمرين 22.1 ★

احسب:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

حل

حل التمرين 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

والثاني: يعطي $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (على السطور الأصلية) السطور $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : أي سطران متساويان، فالمحدد $0$ . (ويؤكد ساروس: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

والثالث: هو فاندرموند مع $x = 1, 2, 3$ (المثال 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

تمرين 22.2 ★

من أجل أيّ $\lambda \in \R$ تكون العائلة $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ أساسًا للمقدار $\R^3$ ؟

حل

حل التمرين 22.2.

المحدد يساوي (بإضافة كل الأعمدة إلى الأول، والتعميل) $(\lambda + 2)$ مضروبًا في

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(نظّف بالمقدارين $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ و $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ وانشر)، فينتج $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . فيكون أساسًا $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

تمرين 22.3 ★

حُلَّ بقاعدة كرامر:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{ثم}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

حل

حل التمرين 22.3.

الجملة الأولى: $\det = -7$ ؛ $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ ، $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . وللتحقق: $2(2) + 1 = 5$ ؛ و $3(2) - 2 = 4$ .

والجملة الثانية: بعد $L_2 - L_1$ و $L_3 - 2L_1$ ، تصير السطور $(1,1,1)$ و $(0,-2,0)$ و $(0,-1,-3)$ ، ومنه

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

وبكرامر، باستبدال الأعمدة بالمقدار $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(والبسوط محسوبة بالكيفية نفسها). وللتحقق: $1 + 2 + 3 = 6$ ؛ و $1 - 2 + 3 = 2$ ؛ و $2 + 2 - 3 = 1$ .

تمرين 22.4 ★

حُلَّ بإزاحة غاوس، واصفًا مجموعة الحلول:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

حل

حل التمرين 22.4.

قلّص المصفوفة الموسَّعة: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

فالمجهولان المحوريان $x, z$ ؛ والمجهولان الحران $y, t$ . وبالتعويض الرجعي: $z = 1 + t$ و $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . ومجموعة الحلول:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

أي مستوٍ أفيني (بُعده $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) من $\R^4$ .

تمرين 22.5 ★★

برهن على صيغة فاندرموند في المثال 22.12 بالاستقراء على $n$ ، مع عمليات الأعمدة $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ منفَّذةً من $k = n$ نزولًا إلى $k = 2$ .

حل

حل التمرين 22.5.

بالاستقراء؛ و $n = 1$ جداءٌ خالٍ $= 1$ . ومن أجل الخطوة، نفّذ $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ من أجل $k = n, n-1, \dots, 2$ (بهذا الترتيب، بحيث تستعمل كل عملية عمودًا لم يُعدَّل بعد). فيصير السطر الأول $(1, 0, \dots, 0)$ ؛ وفي السطر $i \geq 2$ ، تصير المركّبة $k$ هي $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . وبالنشر على امتداد السطر الأول وتعميل $(x_i - x_1)$ من كل سطر $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

ويُتمّ فرض الاستقراء الجداءَ $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

تمرين 22.6 ★★

(ثلاثية الأقطار) ليكن $D_n$ المحدد $n \times n$ ذا $2$ على القطر و $1$ على القطرين المجاورين و $0$ فيما عداهما. وبالنشر على امتداد السطر الأول، برهن على $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ و احسب $D_n$ ( $D_1 = 2$ و $D_2 = 3$ ).

حل

حل التمرين 22.6.

بنشر $D_n$ على امتداد السطر الأول: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-كتلة} \end{vmatrix}$ ؛ والمحدد الثاني، منشورًا على امتداد عموده الأول، هو $D_{n-2}$ . ومنه $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ ، أي $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : فالفروق ثابتة وتساوي $D_2 - D_1 = 1$ . ومنه $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (وللتحقق: $D_2 = 3$ ، وحالة $3\times3$ هي المثال 22.7: أي $D_3 = 4$ .)

تمرين 22.7 ★★

أكمل المثال 22.18: احسب المحدد $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ بالعملية $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ، ونفّذ المناقشة الكاملة للجملة.

حل

حل التمرين 22.7.

تجعل $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ العمودَ الأول ثابتًا $(m+2)$ ؛ فعمّله:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(وانشر على امتداد العمود الأول: فالمركّبة المفردة $1$ تحمل الإشارة $+$ ، والمحدد $2 \times 2$ الباقي هو $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

والمناقشة. $m \notin \{1, -2\}$ : أي جملة كرامر؛ وبتناظر المعادلات، $x = y = z$ ، وتعطي كل معادلة $(m + 2)x = 1$ : فالحلّ الوحيد $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . و $m = 1$ : تُقرأ المعادلات الثلاث كلها $x + y + z = 1$ : فتكوّن الحلول المستوي الأفيني $x + y + z = 1$ . و $m = -2$ : يعطي جمع المعادلات الثلاث $0 = 3$ : فمجموعة الحلول خالية.

تمرين 22.8 ★★

لتكن $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ ذات مركّبات صحيحة. برهن على أن للمقدار $A$ معكوسًا بمركّبات صحيحة إذا وفقط إذا كان $\det A = \pm 1$ . (ومن أجل الاتجاه المباشر، خذ المحددات؛ ومن أجل العكس، اقبل — أو برهن من أجل $n \leq 3$ عبر العوامل المرافقة — أن $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ بمصفوفة عوامل مرافقة صحيحة.)

حل

حل التمرين 22.8.

( $\Rightarrow$ ) إذا كانت مركّبات $A^{-1}$ صحيحة: فإن $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ بمحددين صحيحين كليهما (لأنهما مجاميع جداءات المركّبات): وعددان صحيحان جداؤهما $1$ كلاهما $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) لصيغة العوامل المرافقة $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (المتحقَّق منها من أجل $n \leq 3$ بالنشر المباشر، والمقبولة عمومًا) $\operatorname{Com}(A)$ بمركّبات صحيحة (لأن كل عامل مرافق محدد صحيح)؛ والقسمة على $\det A = \pm 1$ تبقي الأعداد صحيحة.

تمرين 22.9 ★★★

احسب المحدد $n \times n$ للمصفوفة $aI + bJ$ (التمرين 21.9)، أي ذات $a + b$ على القطر و $b$ فيما عداه. (أضف كل الأعمدة إلى الأول، وعمّل، ثم نظّف.) واستعد شرط القابلية للقلب $a \neq 0$ و $a + nb \neq 0$ .

حل

حل التمرين 22.9.

أضف كل الأعمدة إلى الأول: فتصير كل مركّبة من العمود الأول الجديد $a + nb$ ؛ فعمّلها، بحيث يصير العمود الأول كله آحادًا. ثم تنظّف عمليات السطور $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) كلَّ مركّبة تحت المقدار $1$ في أعلى اليسار وتترك $a$ على القطر و $0$ فيما عداه في تلك السطور: فتكون المصفوفة مثلثية عليا بقطر $(1, a, \dots, a)$ . ومنه

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

وهو غير معدوم إذا وفقط إذا كان $a \neq 0$ و $a + nb \neq 0$ : وهو شرط التمرين 21.9.

تمرين 22.10 ★★★

لتكن $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . برهن على أن

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

بعمليات كتلية على الأعمدة والسطور ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ ، ثم $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ ، في صورة كتلية)، مفترضًا قاعدة الكتل المثلثية الطبيعية $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — المبرهن عليها من أجل كتل $2 \times 2$ في المثال 22.9.

حل

حل التمرين 22.10.

عمليات كتلية (وكلٌّ منها تركيبٌ للعمليات السلّمية $n$ المقابلة، ويسمح بها المبرهنة 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

باستعمال قاعدة الكتل المثلثية في الخطوة الأخيرة.

تمرين 22.11 ★★

(الدائرية من الرتبة $3$ ) ليكن $a, b, c \in \C$ و

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

برهن على أن $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ ، وعمّل تعميلًا كاملًا على $\C$ باستعمال $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(ابدأ بالمقدار $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ؛ ومن أجل الصورة العقدية، لاحظ أن العمود $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ يكاد يسلك سلوك متجهة ذاتية.)

حل

حل التمرين 22.11.

تجعل $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ العمودَ الأول ثابتًا $(a + b + c)$ ؛ فعمّله، ثم $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

وبالنشر، $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . وعلى $\C$ ، مع $j^3 = 1$ و $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

ومنه التعميل الكامل. (وبنيويًا: يحقق العمود $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ الشرطَ $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ ، وكذلك من أجل $j^2$ و $1$ : فالعوامل الثلاثة هي «القيم الذاتية» الثلاث للدائرية، وهي قصة تُنظَّم في مجلّد السنة الثانية.)

تمرين 22.12 ★★★

(الرتبة والمحددات الجزئية) لتكن $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . برهن على أن $\operatorname{rk} A$ يساوي أكبر حجم $r$ لمصفوفة جزئية $r \times r$ قابلة للقلب من $A$ (والمصفوفة الجزئية تحتفظ بالمركّبات عند تقاطعات $r$ سطرًا مختارًا و $r$ عمودًا مختارًا). (إذا كان $\operatorname{rk} A = r$ ، فاختر $r$ عمودًا حرًا، ثم $r$ سطرًا حرًا من الكتلة $n \times r$ الناتجة؛ وبالعكس، تفرض مصفوفة جزئية قابلة للقلب أن تكون الأعمدة المقابلة من $A$ حرة.)

حل

حل التمرين 22.12.

اكتب $r = \operatorname{rk} A$ .

وجود مصفوفة جزئية $r \times r$ قابلة للقلب. اختر $r$ عمودًا حرًا من $A$ ولتكن $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ المصفوفة التي تكوّنها: $\operatorname{rk} B = r$ . ولأن رتبة السطور تساوي رتبة الأعمدة (المبرهنة 21.13)، فللمقدار $B$ عدد $r$ سطرًا حرًا؛ والاحتفاظ بتلك السطور يعطي مصفوفة جزئية $r \times r$ من $A$ رتبتها $r$ ، أي قابلة للقلب.

ولا وجود لأكبر منها. لتكن $S$ مصفوفة جزئية $s \times s$ قابلة للقلب، مأخوذة من الأعمدة $j_1, \dots, j_s$ والسطور $i_1, \dots, i_s$ من $A$ . فإذا انعدمت تركيبة $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ من الأعمدة الكاملة المقابلة، فإن قراءة السطور $i_1, \dots, i_s$ وحدها تعطي $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ على أعمدة $S$ ، ومنه كل $\lambda_k = 0$ (لأن $S$ قابلة للقلب): ومنه فالأعمدة $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ من $A$ حرة، و $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

ومنه فالمقدار $\operatorname{rk} A$ هو بالضبط أكبر حجم لمصفوفة جزئية قابلة للقلب.

22.4 مسألة: المتناوب المزدوج لكوشي

مسألة 22.1

محددان يحكمان تطبيقات هذا الفصل: محدد فاندرموند، المقوَّم في التمرين 22.5، و محدد كوشي $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ ، المقوَّم هنا. وحول هذين يجمع هذا العمل عدّةَ المتناوبات: حيل الأعمدة الكثيرةالحدود، والمقايسة بكرامر، ومصفوفة هيلبرت، ومميّز كثير حدود تكعيبي، و طريقة كثيرات الحدود المتناوبة. وفي كل ما يأتي، يرمز $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ إلى قيمة فاندرموند.

الجزء 1 — عدّة فاندرموند.

احسب $V(1, 2, 3, 4)$ ، وتذكّر لماذا تكون المقايسة عند $n$ عقدة متمايزة مثنى مثنى جملةَ كرامر.
(المتناوب الكثيرالحدود) ليكن $P_0, \dots, P_{n-1}$ واحديات مع $\deg P_k = k$ . برهن على

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

فعمليات الأعمدة تستبدل بكل عمود قوى أيَّ سلّم واحديّ، بالمجّان.
طبّق السؤال 2 على كثيرات الحدود الثنائية $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : وبرهن على أنه من أجل أعداد صحيحة $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ،

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

أي إن جداء كل الفروق مثنى مثنى لعدد $n$ من الأعداد الصحيحة يقبل القسمة على العاملي الفائق $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
برهن على $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (والقوى تبدأ الآن من $1$ ).
(مصفوفة العزوم) لتكن $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ حيث $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . برهن على أن $S = W^{\mathsf T} W$ من أجل المصفوفة $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ ، واستنتج

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

واختم بأن: $n$ عددًا حقيقيًا تكون متمايزة مثنى مثنى إذا وفقط إذا كانت مصفوفة عزومها قابلة للقلب، وأن $\det S \geq 0$ دائمًا.

الجزء 2 — المقايسة، مُعادًا النظر فيها. العقد $x_1 < \dots < x_n$ ، والقيم $y_1, \dots, y_n$ .

اكتب الشروط « $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ يقايس» جملةً خطية في المقادير $c_k$ مصفوفتها $W$ ، واستعد من $\det W = V \neq 0$ وجود المقايِس ووحدانيته (وقارن البرهانين السابقين، المبرهنة 8.23 و المثال 20.10).
بقاعدة كرامر وبالنشر بالعوامل المرافقة للمحدد المعني على امتداد عموده الأخير، برهن على أن المعامل المهيمن للمقايِس هو

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(فاندرموند الملتحم) احسب

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

وفسّر: فالمعطيات $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ تحدّد $P \in \R_2[X]$ وحيدًا عندما يكون $x_1 \neq x_2$ (وهي مقايسة إرميت).
جد $P \in \R_2[X]$ الوحيد الذي يحقق $P(0) = 1$ و $P'(0) = 0$ و $P(1) = 2$ ، وتحقق من جوابك إزاء السؤال 8.

الجزء 3 — محدد كوشي. ليكن $a_1, \dots, a_n$ و $b_1, \dots, b_n$ سلالم تحقق $a_i + b_j \neq 0$ من أجل كل $i, j$ ، ولتكن

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

احسب $C_2$ باليد وضعه في الصورة «جداءات فروق على جداءات مجاميع».
من أجل $n \geq 2$ ، نفّذ $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) وعمّل السطور والأعمدة لتبرهن على

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

حيث تتفق $M$ مع مصفوفة كوشي على السطور $i < n$ ولها السطر الأخير $(1, 1, \dots, 1)$ .
نفّذ $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) على $M$ ، و عمّل مرة أخرى، واختم بالاستقراء المتناوب المزدوج لكوشي:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
استنتج محك القابلية للقلب (المقادير $a_i$ متمايزة مثنى مثنى والمقادير $b_j$ متمايزة مثنى مثنى). ومن أجل مصفوفة هيلبرت $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : احسب $\det H_2$ و $\det H_3$ من الصيغة، وتحقق من أن $H_2^{-1}$ ذات مركّبات صحيحة.
بيّن أنه من أجل $b_j$ متمايزة مثنى مثنى وأيّ طرف أيمن، يكون للجملة $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) حلٌّ وحيد، واربط ذلك بوجود التفكيك إلى عناصر بسيطة ذات أقطاب بسيطة ووحدانيته (المبرهنة 9.5).

الجزء 4 — مميّز كثير حدود تكعيبي. ليكن $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ جذور $X^3 + pX + q$ (في $\C$ )، ولتكن $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

باستعمال $\lambda^3 = -p\lambda - q$ عند كل جذر و فييت ( $p_1 = 0$ )، احسب $p_2 = -2p$ و $p_3 = -3q$ و $p_4 = 2p^2$ .
مع السؤال 5 (على $\C$ ، مع الاحتفاظ بالمقدار $\det S = V^2$ )، احسب

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
استنتج: لكثير الحدود $X^3 + pX + q$ جذر مضاعف إذا وفقط إذا كان $4p^3 + 27q^2 = 0$ ؛ وتحقق على $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
افترض $p, q$ حقيقيين. برهن على أن للتكعيبي ثلاثة جذور حقيقية متمايزة إذا وفقط إذا كان $\operatorname{disc} > 0$ ، وجذرًا حقيقيًا واحدًا مع جذرين عقديين مرافقين إذا وفقط إذا كان $\operatorname{disc} < 0$ . (إذا كان $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ و $\lambda_1 \in \R$ ، فبيّن أن $V$ تخيّلي محض.)

الجزء 5 — الأرباح، وطريقة التناوب.

من أجل $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ ، بيّن $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
احسب $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ من أجل $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ ، أولًا بالسؤالين 2–3، ثم بالنشر المباشر.
ليكن $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ متمايزة مثنى مثنى وغير معدومة. وباستعمال مصفوفة فاندرموند قابلة للقلب، برهن مرة أخرى على أن المتتاليات الهندسية $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ تكوّن عائلة حرة من فضاء المتتاليات.
احسب $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ من المتناوب المزدوج.
(كثيرات الحدود المتناوبة) سمِّ كثير حدود $F$ في $x_1, \dots, x_n$ متناوبًا إذا كانت مبادلة أيّ متغيرين تغيّر إشارته. بيّن أن كثير الحدود المتناوب $F$ ينعدم كلما كان $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ )، واستنتج — متغيرًا في كل مرة، بمبرهنة العامل — أن $F$ يقبل القسمة على $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
استعمل السؤال 23 لتعيد البرهان على صيغة فاندرموند دون أيّ استقراء: فالمحدد $\det(x_i^{\,j-1})$ كثيرُ حدود متناوب درجته الكلية $\binom n2$ ، ومنه فهو مضاعفٌ ثابت للمقدار $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ؛ وعيّن الثابت بمقارنة وحيد حدّ واحد.
توليفة، في أربع جمل: أيّ خاصية وحيدة من خصائص المحدد (أيّ بديهية) تولّد كل التعميلات في هذه المسألة؛ ولماذا تحوّل متطابقة مصفوفة العزوم في السؤال 5 عبارةً عن التمايز العقدي إلى اختبار إشارة حقيقي قابل للحساب؛ وأيّ مصفوفتين كلاسيكيتين قُوّمتا تقويمًا كاملًا هنا وأيّ مسائل خطية تحكمانها؛ وكيف تفسّر طريقة التناوب في السؤالين 23–24، دفعة واحدة، سببَ استمرار ظهور $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ . وسمِّ مبرهنة الجزء 3.

حل

حل المسألة 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . والمقايسة عند عقد متمايزة تطلب معاملات $P$ التي تحلّ $W c = y$ مع $W = (x_i^{\,j-1})$ ، و $\det W = V \neq 0$ : أي جملة كرامر.

2. اعمل على الأعمدة من اليسار إلى اليمين. فالعمود $C_1$ هو العمود الثابت $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ واحديّ من الدرجة $0$ ). وافترض أن الأعمدة $1, \dots, j-1$ رُدّت أصلًا إلى القوى المحضة $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . ولأن $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ ، فإن طرح التركيبة $\sum_k \alpha_k\,(\text{عمود} x_i^k)$ من $C_j$ — وهي عملية لا تغيّر المحدد — يترك عمود القوة المحضة $x_i^{\,j-1}$ . وبعد العمود الأخير تكون المصفوفة مصفوفةَ فاندرموند: ومنه $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. كثيرات الحدود $(j-1)!\,B_{j-1}$ واحدية من الدرجة $j - 1$ ، ومنه يعطي السؤال 2

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

والطرف الأيسر محدد مصفوفة ذات مركّبات صحيحة ( $B_k$ صحيح القيم على $\Z$ : السؤالان 16–17 من مسألة نهاية الأسبوع المسألة 18.1)، ومنه فهو عدد صحيح؛ وهو موجب لأن $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ من أجل $m_1 < \dots < m_n$ . ومنه فالعاملي الفائق يقسم جداء كل الفروق مثنى مثنى.

4. عمّل $x_i$ من كل سطر $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : أي $S = W^{\mathsf T}W$ . ومنه $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (المبرهنة 22.3 (2),(4)). ومن أجل $x_i$ حقيقية: $\det S = V^2 \geq 0$ ، وتكون $S$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $V \neq 0$ إذا وفقط إذا كانت المقادير $x_i$ متمايزة مثنى مثنى — أي اختبار معيَّن الإشارة قابل للحساب من مجاميع القوى وحدها.

6. تكوّن شروط المقايسة $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ الجملةَ $Wc = y$ ؛ ويعطي $\det W = V \neq 0$ الوجودَ والوحدانية دفعة واحدة. وهذا هو البرهان الثالث في الكتاب: صيغة صريحة في المبرهنة 8.23، وحجة نواة في المثال 20.10، وكرامر هنا.

7. بكرامر: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ حيث $W'$ هي $W$ بعد استبدال عمودها الأخير بالمقدار $y$ . وبنشر $\det W'$ على امتداد ذلك العمود:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

والآن $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ ، وتحويل الجداء الثاني يكلّف $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

ومنه $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — أي صيغة الفروق المقسومة مرة أخرى.

8. تعطي $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ السطور $(1, x_1, x_1^2)$ و $(0, 1, 2x_1)$ و $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ؛ وبالنشر على امتداد العمود الأول وتعميل $(x_2 - x_1)$ :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

وهو غير معدوم من أجل $x_1 \neq x_2$ : ومنه فالجملة الخطية التي تعبّر عن $P(x_1) = u$ و $P'(x_1) = v$ و $P(x_2) = w$ على معاملات $P \in \R_2[X]$ جملةُ كرامر — أي إن مقايسة إرميت بعقدة مضاعفة مطروحة طرحًا حسنًا.

9. $P = a + bX + cX^2$ مع $a = P(0) = 1$ و $b = P'(0) = 0$ و $a + b + c = P(1) = 2$ : ومنه $c = 1$ ، أي $P = 1 + X^2$ ، وهو وحيد. والاتساق: هنا $x_1 = 0$ و $x_2 = 1$ ومحدد السؤال 8 هو $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. بالحساب المباشر:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

وينشر البسط إلى $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : أي فروق على مجاميع.

11. من أجل $i < n$ ، تكون المركّبة الجديدة في السطر $i$

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

عمّل $(a_n - a_i)$ من كل سطر $i < n$ ، ثم $\frac1{a_n + b_j}$ من كل عمود $j$ : فيبقى ما مركّباته $\frac1{a_i + b_j}$ في السطور $i < n$ والثابت $1$ في السطر $n$ — أي المصفوفة $M$ ، بالعامل المعلن.

12. على $M$ ، من أجل $j < n$ تحوّل العملية $C_j \leftarrow C_j - C_n$ السطرَ $n$ إلى $(0, \dots, 0, 1)$ و، في السطر $i < n$ ،

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

عمّل $(b_n - b_j)$ من كل عمود $j < n$ و $\frac1{a_i + b_n}$ من كل سطر $i < n$ ، ثم انشر على امتداد السطر الأخير (بالإشارة $(-1)^{n+n} = +1$ ): فيكون المحدد الباقي $C_{n-1}$ . وبجمع عوامل السؤالين 11–12:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

ويجمّع الاستقراء (بالأساس $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) المتناوبَ المزدوج لكوشي بالضبط: أي العوامل $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ من أجل كل الأزواج، على كل المجاميع $(a_i + b_j)$ .

13. تنعدم الصيغة إذا وفقط إذا كان $a_j = a_i$ ما أو $b_j = b_i$ : ومنه فمصفوفة كوشي قابلة للقلب إذا وفقط إذا كانت العائلتان متمايزتين مثنى مثنى. وهيلبرت: $a_i = i$ و $b_j = j - 1$ . ومن أجل $n = 2$ : البسط $(2-1)(1-0) = 1$ ، والمقام $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : ومنه $\det H_2 = \frac1{12}$ . ومن أجل $n = 3$ : البسط $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ ، والمقام $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : ومنه $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . والمعكوس من أجل $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

وكلها أعداد صحيحة (وهي ظاهرة صحيحة من أجل كل $n$ ).

14. مصفوفة الجملة هي مصفوفة كوشي، وهي قابلة للقلب حسب السؤال 13 عندما تكون المقادير $b_j$ (و $a_i$ ) متمايزة مثنى مثنى: فالحلّ وحيد. والتفسير: الدالة الناطقة $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ ذات الأقطاب البسيطة تتحدد بالمقدار $n$ من قيمها $R(a_1), \dots, R(a_n)$ ، و بالعكس تتحقق أيّ ورقة معطيات كهذه مرة واحدة بالضبط — وهو نظير المعاينة لمبرهنة وجود التفكيك إلى عناصر بسيطة ووحدانيته (المبرهنة 9.5).

15. فييت من أجل $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ و $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ ، ومنه $p_1 = 0$ و $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . وكل جذر يحقق $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ؛ وبالجمع: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . وبالضرب في $\lambda$ والجمع: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. حسب السؤال 5 (فالمتطابقة $S = W^{\mathsf T}W$ و $\det S = V^2$ صحيحتان على $\C$ )،

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

بالنشر على امتداد السطر الأول.

17. الجذر المضاعف يعني تساوي مقدارين $\lambda_i$ ، أي $V = 0$ ، أي $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . ومن أجل $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ ، مطابقًا الجذرَ المضاعف $1$ للمقدار $(X-1)^2(X+2)$ .

18. تأتي الجذور غير الحقيقية لتكعيبي حقيقي في أزواج مرافقة، ومنه تقع حالتان بالضبط عندما $\operatorname{disc} \neq 0$ . فثلاثة جذور حقيقية متمايزة: يكون $V$ حقيقيًا وغير معدوم، ومنه $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . وجذر حقيقي واحد $\lambda_1$ مع $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : عندئذ

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

ومنه فالمقدار $V$ عدد تخيّلي محض غير معدوم و $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . والإشارتان تميّزان الحالتين.

19. خذ $b_i = a_i$ في المتناوب المزدوج: فيكون البسط $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ والمقام $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (وكل المركّبات موجبة): ومنه فالمحدد موجب. (وبلغة لاحقة: النواة $\frac1{x+y}$ معيَّنة موجبة.)

20. حسب السؤالين 2–3، يساوي المحدد $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . ومباشرةً، تكون المصفوفة

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. افترض $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ متتاليةً. وبقراءة $k = 0, 1, \dots, n-1$ نجد $W^{\mathsf T}c = 0$ مع $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ قابلة للقلب ( $\det = V \neq 0$ ، بالمقادير $\lambda_i$ المتمايزة): ومنه $c = 0$ . فالمتتاليات الهندسية حرة.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : البسط $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ؛ والمقام $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . ومنه $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. إذا كان $x_i = x_j$ ، فإن مبادلة المتغيرين تثبّت النقطة لكن يجب أن تغيّر إشارة $F$ : أي $F = -F$ ، ومنه $F = 0$ هناك. والقابلية للقسمة: انظر إلى $F$ كثيرَ حدود في المتغير الوحيد $x_n$ بمعاملات في بقية المتغيرات؛ فهو ينعدم عند «القيم» $n - 1$ $x_1, \dots, x_{n-1}$ ، ومنه يعطي التعميل المكرَّر (المبرهنة 8.7) أن $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ مع $G$ كثير حدود. و العامل السابق محفوظ بمبادلات دليلين $i, j < n$ ، ومنه فالمقدار $G$ متناوب في $x_1, \dots, x_{n-1}$ ، ويُتمّ الاستقراء: ومنه يقسم $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ المقدارَ $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ كثيرُ حدود في المقادير $x_i$ ؛ ومبادلة متغيرين تبادل سطرين، ومنه فالمقدار $D$ متناوب، وحسب السؤال 23، $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ من أجل كثير حدود $c$ ما. والدرجات الكلية: درجة $D$ هي $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ ، ودرجة الجداء $\binom n2$ بالضبط: ومنه فالمقدار $c$ ثابت. ولوحيد الحدّ $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ معاملٌ $1$ في $D$ (بجداء القطر) و $1$ في الجداء (باختيار المتغير ذي الدليل الأكبر في كل عامل): ومنه $c = 1$ ، وتسقط صيغة فاندرموند دون أيّ استقراء.

25. (أ) التناوب — وهو البديهية «العمودان المتساويان يقتلان المحدد» — هو المحرّك: فقد أنتج كل عامل $(x_j - x_i)$ و $(a_j - a_i)$ و $(b_j - b_i)$ في المسألة. (ب) وتستبدل المتطابقة $\det S = V^2$ بالجذور العقدية غير القابلة للبلوغ فرادى مجاميعَ قواها، وهي كثيرات حدود حقيقية في المعاملات، ومنه يصير التمايز إشارةَ عدد حقيقي قابل للحساب. (ج) ويحكم محدد فاندرموند مقايسةَ كثيرات الحدود، ويحكم محدد كوشي العناصرَ البسيطة والدوال الناطقة المعايَنة (ومصفوفة هيلبرت أشهر حالاته الخاصة). (د) وكل كثير حدود متناوب يقبل القسمة على $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ، ثم يثبّت عدُّ درجة مثلَ هذا كثير الحدود بغضّ النظر عن ثابت — ولهذا يستمر ظهور هذا الجداء حيثما ينعدم محدد عند التطابقات. ومبرهنة الجزء 3 هي المتناوب المزدوج لكوشي.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

system

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد