ما معنى رتبة رتبة تطبيق خطي؟

مثال 20.8 (بناء تطبيق حسب المواصفات)

ابنِ $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ يحقق $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ و $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. وتحقق من السلامة أولًا: تقتضي مبرهنة الرتبة $1 + 2 = 3$ — وهذا متسق، ومنه قد يوجد حلّ. اختر أساسًا مكيَّفًا مع النواة، وليكن $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (المثال 19.7)، وافرض الصور (القضية 20.2):

عندئذ $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ و $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$؛ وتفرض مبرهنة الرتبة $\dim\ker u = 1$، ومنه فالنواة هي المستقيم المفروض بالضبط. وصراحةً، بتفكيك $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

وتتعمّم الوصفة: فالتطبيق الخطي ذو النواة المفروضة $N$ والصورة المفروضة $I$ موجود بالضبط عندما يكون $\dim N + \dim I = \dim E$ — واللزوم هو مبرهنة الرتبة، والكفاية هي هذا البناء.

مثال 20.10 (المقايسة، بنيويًا)

ثبّت $x_0, \dots, x_n$ متمايزة ولتكن $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ و $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: وهو خطي. ونواته هي $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ جذرًا}\} = \{0\}$ (النتيجة 8.8). والبُعدان متساويان $n + 1$: ومنه فالتطبيق $u$ تشاكل تقابلي — أي وجود مقايِس لاغرانج ووحدانيته (المبرهنة 8.23) في سطر واحد.

والنمط ذو السطر الواحد نفسه يعالج معطيات تخلط القيم و المشتقات: فالتطبيق $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ و $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ خطي، وتتألف نواته من كثيرات حدود من الدرجة $\leq 3$ لها جذور مضاعفة عند $0$ و $1$، أي تقبل القسمة على $X^2(X-1)^2$ من الدرجة $4$: ومنه لا يبقى إلا $P = 0$. والبُعدان متساويان مرة أخرى: ومنه فكل رباعية معطيات $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ يحققها كثيرُ حدود تكعيبي واحد بالضبط — أي مقايسة إرميت، ممنوحةً بحساب نواة قبل كتابة أيّ صيغة (وتلقى مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 22 محدّدَها).

مثال 20.11 (مبرهنة الرتبة في العمل: مؤثر الفرق)

لتكن $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ و $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: وهو خطي. والنواة: إذا كان $\Delta P = 0$، فإن $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$، ومنه فللمقدار $P - P(0)$ جذور لا تُحصى وهو ينعدم (النتيجة 8.8): ومنه فالنواة $\ker\Delta$ هي مستقيم الثوابت. ومبرهنة الرتبة: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. ولأن $\deg \Delta P < \deg P$ من أجل $P$ غير ثابت (لأن الحدود العليا تتلاشى)، $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$، وبُعده $n$ بالضبط: ومنه فالاحتواء مساواة. والنتيجة، دون أيّ حساب للصور العكسية: كل كثير حدود $Q$ من الدرجة $\leq n - 1$ هو فرق $Q = P(X+1) - P(X)$ — أي إن الدالة الأصلية المتقطّعة موجودة. (وقارن مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 18، حيث قُلب $\Delta$ صراحةً في الأساس الثنائي.)