ما معنى بُعد منته؟

مثال 19.5

$\dim K^n = n$ (بالأساس القانوني)؛ و $\dim K_n[X] = n + 1$ (بالوحيدات الحدّ)؛ و $\dim_\R \C = 2$؛ ولفضاء حلول $y'' + ay' + by = 0$ بُعدٌ $2$ (المبرهنة 5.10: فالحلول معلَّمة تعليمًا تقابليًا وخطيًا بالمقدار $(\lambda, \mu) \in K^2$).

مثال 19.6 (المجموعة نفسها ببُعدين)

المجموعة $\C^2$ من أزواج الأعداد العقدية فضاء متجهي على $\C$ بُعده $2$ (بالأساس القانوني $e_1, e_2$) — وفضاء متجهي على $\R$ بُعده $4$، بالأساس

فلكل $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ إحداثيات حقيقية $(a, b, c, d)$، وحيدة. فالبُعد ليس خاصية لمجموعة المتجهات وحدها: بل يعدّ درجات الحرية بالنسبة إلى السلالم المسموح بها، وتنصيفُ مخزون السلالم من $\C$ إلى $\R$ يضاعف العدّ. (وتستغلّ مسألة نهاية الأسبوع الحالة القصوى من هذه الحساسية، بسلالم مقلَّصة إلى $\Q$.)

مثال 19.9 (اثنان من ثلاثة، بتوفير نصف العمل)

هل $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ أساس للمقدار $\R^3$؟ عُدّ: ثلاث متجهات وبُعد ثلاثة — ومنه تفصل الحرية وحدها. وتعطي تركيبة معدومة $a + c = 0$ و $a + b = 0$ و $b + c = 0$؛ وبجمع الثلاث، $2(a + b + c) = 0$، وبطرح كل معادلة أصلية من $a + b + c = 0$ يبقى $b = c = a = 0$: فهي حرة، ومنه أساس، والنصف التوليدي من التحقق تعطيه المبرهنة بالمجّان. وقارن المثال 18.18، حيث كان يجب إجراء التحقق المزدوج نفسه باليد — فيتحوّل فصل واحد من النظرية إلى ذلك التوفير بالضبط، في كل تحقق من أساس في بقية الكتاب.