الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

5تمثيلات الزمر المنتهية

لفهم زمرة مجرّدة، نجعلها تفعل على فضاء متجهي ثم نستعمل الجبر الخطي — القيم الذاتية والآثار والجداءات السلَّمية — على ذلك الفعل. وهذا البرنامج، أي نظرية التمثيلات، فعّال إلى حدّ مذهل من أجل الزمر المنتهية على $\C$ : فكل تمثيل ينشطر إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال (ماشكه)، وتتحدّد التمثيلات غير القابلة للاختزال بواسطة طوابعها (أي آثارها)، وتحقّق الطوابع علاقات تعامد تجعل الحسابات آلية. ويبني هذا الفصل هذا الحساب وأولى روائعه — جداول طوابع الزمر الصغيرة — وتحصد مسألة نهاية الأسبوع مبرهنةً تتجاوز بكثير ما تبلغه نظرية الزمر المجرّدة: مبرهنة بيرنسايد $p^aq^b$ . وفي كل ما يلي، $G$ زمرة منتهية وجميع الفضاءات المتجهية منتهية البُعد على $\C$ .

5.1 التمثيلات، ماشكه، شور

تعريف 5.1

التمثيل للزمرة $G$ هو تشاكل $\rho \colon G \to GL(V)$ من أجل فضاء متجهي $V$ على $\C$ ؛ ويكون $\dim V$ درجته. ويكون فضاء جزئي $W \subseteq V$ صامدًا إذا كان $\rho(g)W \subseteq W$ من أجل كل $g$ ؛ ويجعل القصرُ الفضاءَ $W$ تمثيلًا جزئيًا. ويكون $\rho$ غير قابل للاختزال إذا كان $V \neq 0$ ولم تكن فضاءاته الجزئية الصامدة سوى $0$ و $V$ . والتشاكل بين $(\rho, V)$ و $(\sigma, W)$ هو تطبيق خطي $f\colon V \to W$ يحقق $f\rho(g) = \sigma(g)f$ من أجل كل $g$ (التكافؤ الفعلي)؛ ويُسمّى $f$ التقابلي تماثلًا.

مثال 5.2

(a) الدرجة $1$ : التشاكلات $G \to \C^\times$ . (b) التمثيل المنتظم: $V = \C^G$ بالأساس $(e_h)_{h \in G}$ ، $\rho(g)e_h = e_{gh}$ ؛ ودرجته $\abs G$ . (c) يعطي فعلٌ تبديلي للزمرة $G$ على مجموعة منتهية $X$ التمثيل التبديلي على $\C^X$ : $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$ . (d) تفعل $S_n$ على $\C^n$ بتبديل الإحداثيات؛ والفضاء الفائق $\{\sum x_i = 0\}$ صامد: وهو التمثيل المعياري، ودرجته $n - 1$ .

مبرهنة 5.3 (ماشكه)

لكل فضاء جزئي صامد $W$ من تمثيل $(V, \rho)$ متمّمٌ صامد. ومن نتائج ذلك أن كل تمثيل مجموعٌ مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال (نصف البساطة).

برهان. ليكن $p \colon V \to V$ أي إسقاط صورته $W$ (بأخذ أي متمّم). نأخذ متوسطه على الزمرة:

\tilde p = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \rho(g)\,p\,\rho(g)^{-1}.

يرسل كل حد $V$ داخل $W$ (لأن $W$ صامد)، ويُثبّت $W$ نقطةً نقطة: فمن أجل $w \in W$ لدينا $\rho(g)^{-1}w \in W$ ، ويُثبّته $p$ ، ويعيده $\rho(g)$ — ومنه فإن $\tilde p$ إسقاط على $W$ من جديد. وهو متكافئ فعليًا: إذ من أجل $h \in G$ ، يعيد $\rho(h)\tilde p\rho(h)^{-1}$ ترقيم المجموع نفسه. ومنه فإن $\ker \tilde p$ متمّم صامد للفضاء $W$ . وبتكرار ذلك على الحدود (لأن البُعد منتهٍ) يتفكّك $V$ إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال. ∎

مبرهنة 5.4 (مبرهنة شور المساعدة)

ليكن $f \colon V \to W$ تشاكلًا بين تمثيلين غير قابلين للاختزال. عندئذٍ يكون $f = 0$ أو يكون $f$ تماثلًا؛ وإذا كان $(V,\rho) = (W,\sigma)$ ، فإن $f = \lambda\,\mathrm{id}$ من أجل $\lambda \in \C$ ما. ومنه فإن $\dim\operatorname{Hom}_G(V, W)$ يساوي $1$ إذا كان $V \cong W$ ، ويساوي $0$ فيما عدا ذلك.

برهان. الفضاءان $\ker f$ و $\operatorname{im} f$ صامدان (بالتكافؤ الفعلي)، ومنه فكلٌّ منهما $0$ أو الفضاء كله: أي إما $f = 0$ ، وإما أن يكون $f$ متباينًا وصورته الفضاء كله. وإذا كان $V = W$ : فللتطبيق $f$ قيمة ذاتية $\lambda$ (لأن $\C$ مغلق جبريًا)؛ ويكون $f - \lambda\,\mathrm{id}$ تشاكلًا غير متباين $V \to V$ ، ومنه فهو $0$ . وأما إحصاء البُعد حين $V \cong W$ : فبتثبيت تماثل واحد $u$ ، يعطي أي تشاكل $f$ التشاكلَ الذاتي $u^{-1}f = \lambda\,\mathrm{id}$ : ومنه $f = \lambda u$ . ∎

5.2 الطوابع والتعامد

تعريف 5.5

طابع التمثيل $(V, \rho)$ هو $\chi_\rho(g) = \operatorname{tr}\rho(g)$ . وهو يحقق $\chi_\rho(e) = \dim V$ ، $\chi_\rho(hgh^{-1}) = \chi_\rho(g)$ (لأن الآثار صامدة بالاقتران): أي إن الطوابع دوال أصناف — وهي عناصر الفضاء $\mathcal{CF}(G)$ المؤلَّف من الدوال الثابتة على أصناف الاقتران، والمزوَّد بالجداء السلَّمي الهرميتي

\langle \varphi, \psi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_{g \in G} \overline{\varphi(g)}\,\psi(g).

قضية 5.6

التطبيق $\rho(g)$ قابل للتقطير وقيمه الذاتية جذور للوحدة؛ ولدينا $\chi_\rho(g^{-1}) = \overline{\chi_\rho(g)}$ ، و $\abs{\chi_\rho(g)} \leq \chi_\rho(e)$ مع التساوي إذا وفقط إذا كان $\rho(g)$ سلَّميًا. وتُجمع الطوابع على المجاميع المباشرة: $\chi_{V \oplus W} = \chi_V + \chi_W$ .

برهان. لدينا $\rho(g)^N = \mathrm{id}$ من أجل $N = \abs G$ (لاغرانج): ومنه يُبيد $\rho(g)$ كثيرَ الحدود $X^N - 1$ ، وهو منشطر بجذور بسيطة، فيكون قابلًا للتقطير بقيم ذاتية $\lambda_i \in \mu_N$ . عندئذٍ $\chi(g^{-1}) = \sum \lambda_i^{-1} = \sum\bar\lambda_i = \overline{\chi(g)}$ ، و $\abs{\chi(g)} = \abs{\sum\lambda_i} \leq \dim V$ ، مع التساوي في متراجحة المثلث إذا وفقط إذا كانت جميع القيم $\lambda_i$ متساوية، أي $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ . وأما الجمعية على المجاميع المباشرة: فبآثار الكتل. ∎

مبرهنة مساعدة 5.7

ليكن $(V, \rho)$ و $(W, \sigma)$ تمثيلين. المؤثر المتوسِّط على $\operatorname{Hom}(W, V)$ ،

c(A) = \frac1{\abs G}\sum_{g}\rho(g)\,A\,\sigma(g)^{-1},

إسقاطٌ على $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ ، ومن أجل التطبيق $\Phi_g \colon A \mapsto \rho(g)A\sigma(g)^{-1}$ لدينا $\operatorname{tr}\Phi_g = \chi_\rho(g)\,\overline{\chi_\sigma(g)}$ .

برهان. التطبيق $c(A)$ متكافئ فعليًا (بإعادة ترقيم المجموع كما في ماشكه)، و $c$ يُثبّت التطبيقات المتكافئة فعليًا (لأن كل حد يساوي $A$ ): ومنه فإن $c$ إسقاط صورته $\operatorname{Hom}_G(W, V)$ . وأما الأثر: ففي أُسس، $\Phi_g(A) = BAC$ مع $B = \rho(g)$ و $C = \sigma(g)^{-1}$ ؛ وعلى أساس المصفوفات $(E_{kl})$ لدينا $BE_{kl}C = \sum_{m,n} b_{mk}c_{ln}E_{mn}$ ، ومنه فإن معامل $E_{kl}$ في $\Phi_g(E_{kl})$ هو $b_{kk}c_{ll}$ : أي $\operatorname{tr}\Phi_g = \sum_{k,l}b_{kk}c_{ll} = \operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(C) = \chi_\rho(g)\chi_\sigma(g^{-1})$ ، و $\chi_\sigma(g^{-1}) = \overline{\chi_\sigma(g)}$ . ∎

مبرهنة 5.8 (علاقات التعامد الأولى)

ليكن $\rho, \sigma$ غير قابلين للاختزال. عندئذٍ

\langle\chi_\sigma, \chi_\rho\rangle = \begin{cases} 1 & \text{إذا كان } \rho \cong \sigma,\\ 0 & \text{فيما عدا ذلك:} \end{cases}

أي إن الطوابع غير القابلة للاختزال تشكّل عائلة متعامدة ممنظّمة في $\mathcal{CF}(G)$ .

برهان. أثر الإسقاط هو بُعد صورته:

\dim\operatorname{Hom}_G(W, V) = \operatorname{tr} c = \frac1{\abs G}\sum_g \operatorname{tr}\Phi_g = \frac1{\abs G}\sum_g \chi_\rho(g)\overline{\chi_\sigma(g)} = \langle \chi_\sigma, \chi_\rho\rangle,

وتُقيّم مبرهنة شور المساعدة الطرفَ الأيسر بالقيمة $\delta_{\rho \cong \sigma}$ . ∎

نتيجة 5.9

لنفكّك $V \cong \bigoplus_i V_i^{\oplus m_i}$ إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال متمايزة ( $V_i \not\cong V_j$ ). عندئذٍ $m_i = \langle \chi_{V_i}, \chi_V\rangle$ : أي إن الأمثال — ومنه التمثيل إلى حدود التماثل — يحدّدها الطابع. وعلاوة على ذلك $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = \sum_i m_i^2$ ؛ وعلى وجه الخصوص يكون $V$ غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان $\langle\chi_V, \chi_V\rangle = 1$ .

برهان. $\chi_V = \sum m_i\chi_{V_i}$ (القضية 5.6)؛ ثم نأخذ الجداءات السلَّمية مع كل $\chi_{V_i}$ ونستعمل التعامد والتنظيم. وللتمثيلين المتساويَي الطابع الأمثالُ نفسها، ومنه فهما متماثلان. ∎

مبرهنة 5.10 (التمثيل المنتظم)

لتكن $\chi_1, \dots, \chi_r$ الطوابعَ المتمايزة غير القابلة للاختزال، ودرجاتها $n_i = \chi_i(e)$ . يتفكّك التمثيل المنتظم بأمثال $m_i = n_i$ ؛ ومن ثَمّ

\sum_{i=1}^{r} n_i^2 = \abs G, \qquad \sum_i n_i\chi_i(g) = 0 \quad (g \neq e).

برهان. الطابع المنتظم: $\chi_{\mathrm{reg}}(g) = \#\{h : gh = h\}$ ، وهو يساوي $\abs G$ من أجل $g = e$ ويساوي $0$ فيما عدا ذلك. ومنه $m_i = \langle \chi_i,\chi_{\mathrm{reg}}\rangle = \frac1{\abs G}\overline{\chi_i(e)}\,\abs G = n_i$ . وبتقييم $\chi_{\mathrm{reg}} = \sum n_i\chi_i$ عند $e$ وعند $g \neq e$ نحصل على المتطابقتين المعروضتين. ∎

مبرهنة 5.11

تشكّل الطوابع غير القابلة للاختزال أساسًا متعامدًا ممنظّمًا للفضاء $\mathcal{CF}(G)$ : أي إن عدد التمثيلات غير القابلة للاختزال يساوي عدد أصناف الاقتران في $G$ .

برهان. لم يبق سوى التمام: لتكن $f \in \mathcal{CF}(G)$ متعامدة مع كل $\chi_i$ ؛ سنبيّن أن $f = 0$ . من أجل تمثيل $(V,\rho)$ ، نضع $T_{f,\rho} = \frac{1}{\abs G} \sum_g \overline{f(g)}\,\rho(g)$ . وهو متكافئ فعليًا: إذ من أجل $h \in G$ ،

\rho(h)T_{f,\rho}\rho(h)^{-1} = \frac1{\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\rho(hgh^{-1}) = \frac1{\abs G}\sum_{g'}\overline{f(h^{-1}g'h)}\rho(g') = T_{f,\rho}

(لأن $f$ دالة أصناف). وإذا كان $\rho$ غير قابل للاختزال ودرجته $n$ ، أعطت مبرهنة شور أن $T_{f,\rho} = \lambda\,\mathrm{id}$ مع

\lambda = \frac{\operatorname{tr}T_{f,\rho}}{n} = \frac{1}{n\abs G}\sum_g \overline{f(g)}\,\chi_\rho(g) = \frac1n\,\langle f, \chi_\rho\rangle = 0 .

إذن $T_{f,\rho} = 0$ على كل تمثيل غير قابل للاختزال، ومنه (على المجاميع المباشرة) على كل تمثيل — وعلى وجه الخصوص على التمثيل المنتظم. ونطبّقه على متجهة الأساس $e_e$ : $0 = T_{f,\mathrm{reg}}e_e = \frac1{\abs G}\sum_g\overline{f(g)}e_g$ ، وهذا يفرض أن يكون كل $\overline{f(g)} = 0$ . ومنه فإن العائلة المتعامدة الممنظّمة $(\chi_i)$ تولّد $\mathcal{CF}(G)$ ، وبُعده عدد أصناف الاقتران. ∎

نتيجة 5.12 (تعامد الأعمدة)

من أجل $g, h \in G$ :

\sum_{i=1}^{r}\overline{\chi_i(g)}\,\chi_i(h) = \begin{cases} \abs{Z_G(g)} & \text{إذا كان } g, h \text{ مقترنين},\\ 0 & \text{فيما عدا ذلك.} \end{cases}

برهان. لتمثّل $g_1, \dots, g_r$ الأصنافَ، وليكن $c_j$ عدد عناصر الصنف. للمصفوفة $U_{ij} = \sqrt{c_j/\abs G}\;\chi_i(g_j)$ من القياس $r \times r$ أسطرٌ متعامدة ممنظّمة (المبرهنة 5.8 مكتوبةً صنفًا صنفًا: $\sum_j \frac{c_j}{\abs G}\chi_i(g_j)\overline{\chi_{i'}(g_j)} = \delta_{ii'}$ )، أي $UU^* = I$ ؛ ولمصفوفة مربعة تحقق $UU^* = I$ يكون أيضًا $U^*U = I$ : أي إن الأعمدة متعامدة ممنظّمة، وهذا يُفكّ إلى المتطابقة المعروضة ( $\abs G/c_j = \abs{Z_G(g_j)}$ ، وهي علاقة المدار والمثبِّت من أجل الاقتران). ∎

قضية 5.13 (الطوابع ذات البُعد الواحد؛ الرفع)

(a) تكون $G$ أبيلية إذا وفقط إذا كانت درجات جميع تمثيلاتها غير القابلة للاختزال $1$ ؛ وعدد الطوابع ذات الدرجة $1$ لأي زمرة $G$ هو $[G : D(G)]$ (وهي طوابع الزمرة الأبيلية المرافقة). (b) إذا كان $N \trianglelefteq G$ ، فإن التمثيلات غير القابلة للاختزال للزمرة $G/N$ تُرفع (بالتركيب مع $G \to G/N$ ) إلى تلك التمثيلات غير القابلة للاختزال للزمرة $G$ التي تحتوي نواتها على $N$ بالضبط.

برهان. (a) إذا كانت $G$ أبيلية، كان كل صنف أحاديًا: أي $r = \abs G$ ، ويفرض $\sum n_i^2 = \abs G$ أن تكون جميع الدرجات $n_i = 1$ ؛ وبالعكس، إذا كانت جميع $n_i = 1$ ، فإن التمثيل المنتظم مجموعُ تمثيلات ذات بُعد واحد، ومنه فإن $\rho_{\mathrm{reg}}(G)$ قابلة للتقطير آنيًا، فتكون تبديلية، ويكون $\rho_{\mathrm{reg}}$ أمينًا: أي إن $G$ أبيلية. والتمثيلات ذات الدرجة $1$ تشاكلات $G \to \C^\times$ مستقرّها أبيلي: ومنه فهي تتحلّل عبر $G^{\mathrm{ab}} = G/D(G)$ (التمرين 1.9)، ويكون عدد الطوابع المتمايزة للزمرة الأبيلية $G^{\mathrm{ab}}$ هو $\abs{G^{\mathrm{ab}}}$ (لأن لها ذلك العدد من الأصناف، وجميع درجاتها $1$ ). (b) يحفظ التركيب مع الإسقاط عدمَ قابلية الاختزال (لأن الفضاءات الجزئية الصامدة تتقابل)، ويتحلّل تمثيلٌ تافه على $N$ عبر زمرة القسمة (المبرهنة 1.3). ∎

5.3 جداول الطوابع

تعريف 5.14

جدول الطوابع للزمرة $G$ هو المصفوفة $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ من القياس $r \times r$ : أسطرها مفهرسة بالطوابع غير القابلة للاختزال، وأعمدتها بأصناف الاقتران (مع إظهار أعداد عناصرها). والأسطر متعامدة ممنظّمة بالنسبة إلى الجداء الموزون، والأعمدة متعامدة (النتيجة 5.12): فالجدول محدَّد بإفراط شديد، وهذا ما يجعله قابلًا للحساب.

مثال 5.15 (جدول $S_3$ )

الأصناف: $e$ (وعدد عناصره 1)، والمبادلات (3)، والدورات الثلاثية (2)؛ ومنه $r = 3$ تمثيلًا غير قابل للاختزال، بدرجات $n_i$ تحقق $\sum n_i^2 = 6$ : أي $1, 1, 2$ . والدرجة $1$ : الطابع التافه $\mathbf 1$ والإشارة $\varepsilon$ . ويأتي السطر الأخير من تعامد الأعمدة (أو من $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

تحقق: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : أي إنه غير قابل للاختزال.

مثال 5.16 (جدول $S_4$ )

الأصناف: $e$ [1]، والمبادلات [6]، والمبادلات المزدوجة [3]، والدورات الثلاثية [8]، والدورات الرباعية [6]: أي خمسة تمثيلات غير قابلة للاختزال، $\sum n_i^2 = 24$ مع طابعين من الدرجة $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ؛ $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): فالدرجات $1, 1, 2, 3, 3$ . ويُرفع الطابع ذو الدرجة $2$ من $S_4/V \cong S_3$ (القضية 5.13(b)، حيث $V$ زمرة كلاين)؛ وأما الدرجة $3$ : فالتمثيل المعياري وفتله بالطابع $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ؛ ويقيّم $\chi_2$ جدولَ $S_3$ على صورة كل صنف بترديد $V$ .) وتنجح جميع فحوص تعامد الأسطر والأعمدة — وتشغيل اثنين منها هو تمرين التمهيد في التمرين 5.3.

طريقة 5.17

لبناء جدول طوابع: (1) اسرد أصناف الاقتران وأعداد عناصرها؛ (2) أحصِ الطوابع ذات الدرجة $1$ بواسطة $G/D(G)$ واكتبها؛ (3) جد الدرجات الباقية من $\sum n_i^2 = \abs G$ (بتوافيق عددية صغيرة)؛ (4) احصل على تمثيلات غير قابلة للاختزال بثمن بخس: ارفع من زمر القسمة، واطرح $\mathbf 1$ من الطوابع التبديلية (وتحقق من $\langle\chi,\chi\rangle = 1$ )، واضرب الطوابع المعروفة في طوابع من الدرجة $1$ ؛ (5) أنهِ الأسطر المجهولة بتعامد الأعمدة — فكل عمود متعامد مع الأعمدة المكتملة أصلًا، ويحمل عمود $e$ الدرجاتِ. وتحقق من كل شيء بمسح تعامد كامل.

التمثيل المنتظم للزمرة S_3، مقطَّرًا بالكتل: ℂ[S_3] ℂ × ℂ × M_2(ℂ)، بأبعاد 1 + 1 + 4 = 6 = |S_3|. وفي العموم ℂ[G] _i M_n_i(ℂ): فالمتطابقة n_i2 = G عبارةٌ عن كتل مصفوفية. — التمثيل المنتظم للزمرة $S_3$ ، مقطَّرًا بالكتل: $\C[S_3] \cong \C \times \C \times M_2(\C)$ ، بأبعاد $1 + 1 + 4 = 6 = \abs{S_3}$ . وفي العموم $\C[G] \cong \prod_i M_{n_i}(\C)$ : فالمتطابقة $\sum n_i^2 = \abs G$ عبارةٌ عن كتل مصفوفية.

5.4 تمارين

تمرين 5.1 ★

(a) برهن على أن الطوابع غير القابلة للاختزال للزمرة $\Z/n\Z$ هي $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ ، $k = 0, \dots, n-1$ ، واكتب جدول طوابع $\Z/4\Z$ . (b) تحقق من علاقتَي التعامد كلتيهما عليه — واعرف المصفوفة: أين رأى هذا الكتاب مثيلتها من قبل؟

حل

حل التمرين 5.1.

(a) الزمرة $\Z/n\Z$ أبيلية: ومنه فإن درجات جميع تمثيلاتها غير القابلة للاختزال $1$ (القضية 5.13)، أي إنها تشاكلات $\chi \colon \Z/n\Z \to \C^\times$ ، تتحدّد بالقيمة $\chi(\bar 1) = \omega$ حيث $\omega^n = 1$ : أي الطوابع $n$ $\chi_k(\bar m) = \eu^{2\iu\pi km/n}$ . ومن أجل $n = 4$ (والأصناف هي العناصر $\bar0,\bar1,\bar2,\bar3$ ):

\begin{array}{c|cccc} & \bar0 & \bar1 & \bar2 & \bar3\\ \hline \chi_0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_1 & 1 & \iu & -1 & -\iu\\ \chi_2 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi_3 & 1 & -\iu & -1 & \iu \end{array}

(b) الأسطر: $\langle\chi_k,\chi_l\rangle = \frac14\sum_m \eu^{2\iu\pi(l-k)m/4} = \delta_{kl}$ (بمجموع هندسي)؛ والأعمدة بالمثل. والمصفوفة $(\eu^{2\iu\pi km/n})_{k,m}$ هي مصفوفة تحويل فورييه المتقطّع — أي مرشّح جذور الوحدة نفسه المستعمل في فصل الدوال المولِّدة من مجلد السنة الجامعية 2؛ فتعامد الطوابع تعميمٌ لصيغة القلب في تحويل فورييه المتقطّع.

تمرين 5.2 ★

لتفعل $G$ على مجموعة منتهية $X$ وليكن $\chi$ طابعَ التمثيل التبديلي $\C^X$ . (a) برهن على $\chi(g) = \abs{\operatorname{Fix}_X(g)}$ و $\langle \mathbf 1, \chi\rangle = \#\{\text{مدارات}\}$ — أي إن مبرهنة بيرنسايد المساعدة في الإحصاء (التمرين 1.5) حسابٌ على الطوابع. (b) لنفترض أن الفعل متعدٍّ، ومنه $\chi = \mathbf 1 + \psi$ . برهن على أن $\psi$ غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان الفعل متعدّيًا مرتين (أي متعدّيًا على الأزواج المرتّبة من نقط متمايزة). (احسب $\langle\chi,\chi\rangle$ بوصفه عدد المدارات على $X \times X$ .) (c) اخلص إلى أن التمثيل المعياري للزمرة $S_n$ (حيث $n \geq 2$ ) غير قابل للاختزال.

حل

حل التمرين 5.2.

(a) مصفوفة $\rho(g)$ في الأساس $(e_x)$ مصفوفة تبديل، وأثرها عدد العناصر $x$ التي تحقق $g\cdot x = x$ . عندئذٍ

\langle\mathbf 1, \chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum_g \abs{\operatorname{Fix}(g)} = \#\{\text{مدارات}\}

بمبرهنة بيرنسايد المساعدة في الإحصاء (التمرين 1.5) — وبصيغة مكافئة، يحسب هذا مثيلَ التمثيل التافه، وفضاؤه المتشابه النمط هو فضاء المتجهات الصامدة تحت $G$ ، وبُعده عدد المدارات (بدالة مميّزة واحدة لكل مدار).

(b) بما أن $\operatorname{Fix}_{X\times X}(g) = \operatorname{Fix}_X(g)^2$ ، يعطي الجزء (a) مطبَّقًا على $X \times X$ أن $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{\abs G}\sum\abs{\operatorname{Fix}(g)}^2 = \#\{\text{مدارات على } X\times X\}$ (لأن $\chi$ حقيقي). وبكتابة $\chi = \mathbf 1 + \psi$ : $\langle\mathbf1,\chi\rangle = 1$ (بالتعدّي)، ومنه $\langle\psi,\psi\rangle = \langle\chi,\chi\rangle - 1$ . وللفعل على $X\times X$ القطرُ مدارًا واحدًا؛ ويوجد مدار آخر واحد بالضبط إذا وفقط إذا كانت $G$ متعدّية على الأزواج المتمايزة: أي $\langle\psi,\psi\rangle = 1$ إذا وفقط إذا كانت متعدّية مرتين (النتيجة 5.9).

(c) الزمرة $S_n$ متعدّية مرتين على $\{1,\dots,n\}$ (لأنها ترسل أي زوج متمايز إلى أي موضع): ومنه فإن $\psi = \chi_{\mathrm{std}}$ غير قابل للاختزال.

تمرين 5.3 ★

أعد بناء جدول $S_3$ من الصفر متّبعًا الطريقة 5.17، ثم تحقق من علاقتَي تعامد للأسطر وعلاقتَي تعامد للأعمدة في جدول $S_4$ الوارد في المثال 5.16. وفكّك الطابع التبديلي للزمرة $S_4$ الفاعلة على $\{1,2,3,4\}$ والطابعَ $\chi_{\mathrm{std}}^2$ (المربّع نقطةً نقطة) إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال.

حل

حل التمرين 5.3.

الزمرة $S_3$ : ثلاثة أصناف، $\sum n_i^2 = 6 = 1 + 1 + 4$ ؛ والطابعان ذوا الدرجة $1$ هما $\mathbf 1, \varepsilon$ ( $[S_3 : A_3] = 2$ )؛ ويأتي السطر الثالث $(2, a, b)$ من تعامد الأعمدة مع عمود $e$ : $1 - 1 + 2a = 0$ و $1 + 1 + 2b = 0$ : أي $a = 0$ و $b = -1$ — وهو جدول المثال 5.15.

فحوص $S_4$ (الأسطر): $\langle\chi_{\mathrm{std}}, \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac1{24}(9 - 6 + 3 + 0 - 6) = 0$ ؛ $\langle\chi_2,\chi_2\rangle = \frac1{24}(4 + 0 + 12 + 8 + 0) = 1$ . والأعمدة: $e$ مقابل $(1\,2)$ : $1 - 1 + 0 + 3 - 3 = 0$ ؛ و $(1\,2)$ مع نفسه: $1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 4 = \abs{Z_{S_4}((1\,2))} = 24/6$ .

الطابع التبديلي على $4$ نقط: $(4, 2, 0, 1, 0) = \mathbf 1 + \chi_{\mathrm{std}}$ (بأعداد النقط الصامدة؛ ثم نطرح السطر العلوي). ومن أجل $\chi_{\mathrm{std}}^2 = (9, 1, 1, 0, 1)$ :

\langle\mathbf1,\cdot\rangle = \tfrac{9 + 6 + 3 + 0 + 6}{24} = 1,\quad \langle\varepsilon,\cdot\rangle = 0,\quad \langle\chi_2,\cdot\rangle = \tfrac{18 + 6}{24} = 1,\quad \langle\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1,\quad \langle\varepsilon\chi_{\mathrm{std}},\cdot\rangle = 1:

$\chi_{\mathrm{std}}^2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_{\mathrm{std}} + \varepsilon\chi_{\mathrm{std}}$ (والأبعاد: $9 = 1 + 2 + 3 + 3$ ).

تمرين 5.4 ★★

احسب جدولَي طوابع $D_4$ و $Q_8$ . واخلص إلى أن زمرتين غير مماثلتين يمكن أن يكون لهما جدولا طوابع متطابقان — فما المعطيات الزمرية التي يلتقطها الجدول مع ذلك في هذا الزوج (رتب المراكز، والزمر الأبيلية المرافقة، وعدد العناصر التقابلية)؟ وأيٌّ منها يخفق في التقاطه؟

حل

حل التمرين 5.4.

لكلتا الزمرتين خمسة أصناف ونمط درجات $(1,1,1,1,2)$ (أربعة طوابع من الدرجة $1$ من الزمرة الأبيلية المرافقة $\cong (\Z/2\Z)^2$ ، ثم $\sum n_i^2 = 8$ ). وبترتيب الأصناف $e$ ، $z$ (العنصر التقابلي المركزي: $r^2$ و $-1$ على الترتيب)، والأصناف الثلاثة ذات العنصرين:

\begin{array}{c|ccccc} & e & z & C_1 & C_2 & C_3\\ \hline \chi^{(1)} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi^{(2)} & 1 & 1 & 1 & -1 & -1\\ \chi^{(3)} & 1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \chi^{(4)} & 1 & 1 & -1 & -1 & 1\\ \chi^{(5)} & 2 & -2 & 0 & 0 & 0 \end{array}

(والسطر الأخير من تعامد الأعمدة). فالجدولان متطابقان من أجل $D_4$ و $Q_8$ ، وهما غير مماثلتين (المسألة 1.1). والجدول يلتقط فعلًا: $\abs G$ ، وأعداد عناصر الأصناف، والمركز ( $\{g : \abs{\chi_i(g)} = n_i\ \forall i\}$ : ورتبته $2$ في كلتيهما)، والزمرة الأبيلية المرافقة، وشبكة الزمر الجزئية الناظمية بأكملها (بالنوى والتقاطعات، التمرين 5.6). لكنه يخفق في التقاط رتب العناصر: ففي $D_4$ خمسة عناصر تقابلية وفي $Q_8$ عنصر واحد — ومنه فإن صنف التماثل أدقّ فعلًا من جدول الطوابع.

تمرين 5.5 ★★

جدول طوابع $A_4$ : الأصناف $e$ [1]، والمبادلات المزدوجة [3]، وصنفان من الدورات الثلاثية [4]، [4]. (a) فسّر انشطار الدورات الثلاثية (قارن المُرَكِّزات في $S_4$ و $A_4$ ، كما في التمرين 1.11). (b) جد الطوابع الثلاثة ذات الدرجة $1$ (بواسطة $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ) والطابعَ ذا الدرجة $3$ (بقصر $\chi_{\mathrm{std}}$ من $S_4$ )، وكوِّن الجدول. (c) اقرأ من الجدول الزمرَ الجزئية الناظمية للزمرة $A_4$ (النوى $\{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ وتقاطعاتها).

حل

حل التمرين 5.5.

(a) في $S_4$ ، رتبة مُرَكِّز $(1\,2\,3)$ هي $24/8 = 3$ : وهو $\langle(1\,2\,3)\rangle \subseteq A_4$ . ومنه فإن رتبة $Z_{A_4}((1\,2\,3))$ تساوي $3$ ويضم صنف $A_4$ عدد $12/3 = 4$ عنصرًا: أي إن الدورات الثلاثية الثماني تنشطر إلى صنفين في $A_4$ (ممثَّلين بالعنصر $(1\,2\,3)$ ومقلوبه).

(b) تعطي $A_4/V \cong \Z/3\Z$ ثلاثة طوابع من الدرجة $1$ ( $\omega = \eu^{2\iu\pi/3}$ ؛ ويُرسَل صنفا الدورات الثلاثية إلى $\bar1, \bar2$ )؛ ويبقى قصر $\chi_{\mathrm{std}}$ غير قابل للاختزال ( $\langle\chi,\chi\rangle = \frac1{12}(9 + 3 \cdot 1 + 0 + 0) = 1$ ):

\begin{array}{c|cccc} A_4 & e\,[1] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[4] & (1\,3\,2)\,[4]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \chi_\omega & 1 & 1 & \omega & \omega^2\\ \chi_{\bar\omega} & 1 & 1 & \omega^2 & \omega\\ \chi_3 & 3 & -1 & 0 & 0 \end{array}

(c) النوى: $\ker\chi_\omega = \ker\chi_{\bar\omega} = V$ ؛ $\ker\chi_3 = \{e\}$ (فلا مدخلة أخرى معيارها $3$ ). والزمر الجزئية الناظمية هي تقاطعات النوى (التمرين 5.6): أي $\{e\}$ و $V$ و $A_4$ — وعلى وجه الخصوص ليس في $A_4$ زمرة جزئية ناظمية رتبتها $2$ ولا دليلها $2$ .

تمرين 5.6 ★★

(a) برهن على أن $\ker\chi = \{g : \chi(g) = \chi(e)\}$ هي نواة التمثيل الأساسي (القضية 5.6، حالة التساوي). (b) برهن على أن كل زمرة جزئية ناظمية من $G$ هي تقاطع نوى طوابع غير قابلة للاختزال. (مثّل $G/N$ تمثيلًا أمينًا: بتمثيلها المنتظم.) (c) استنتج: تكون $G$ بسيطة إذا وفقط إذا كان $\ker\chi_i = \{e\}$ من أجل كل $\chi_i$ غير تافه وغير قابل للاختزال — فالبساطة تُقرأ من جدول الطوابع.

حل

حل التمرين 5.6.

(a) إذا كان $\chi(g) = \chi(e) = n$ : فإن التساوي في $\abs{\chi(g)} \leq n$ يفرض $\rho(g) = \lambda\,\mathrm{id}$ (القضية 5.6) مع $n\lambda = n$ : أي $\rho(g) = \mathrm{id}$ . والعكس واضح.

(b) ليكن $N \trianglelefteq G$ . التمثيل المنتظم للزمرة $G/N$ أمين؛ نفكّكه إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال للزمرة $G/N$ ونرفعها إلى $G$ (القضية 5.13(b)): فنحصل على طوابع غير قابلة للاختزال $\chi_{i_1}, \dots$ للزمرة $G$ تحتوي نواها على $N$ وتكون نواتها المشتركة هي بالضبط سابق $\{e\}$ ، أي $N$ (بالأمانة على زمرة القسمة). ومنه $N = \bigcap_j \ker\chi_{i_j}$ .

(c) إذا كانت $G$ بسيطة: فمن أجل طابع غير تافه وغير قابل للاختزال $\chi$ ، لا يكون $\ker\chi \trianglelefteq G$ مساويًا $G$ (لأن التمثيل غير القابل للاختزال التافه على $G$ كلها هو الطابع التافه)، ومنه $\ker\chi = \{e\}$ . وبالعكس، لنفترض أن جميع النوى غير التافهة تافهة، وليكن $N \trianglelefteq G$ مع $N \neq G$ . وفي تعبير $N$ بوصفه تقاطع نوى في (b)، يكون أحد الطوابع المعنية غير تافه (إذ لو كانت كلها تافهة لكان التقاطع $G$ )، ونواته $\{e\}$ : أي $N = \{e\}$ . إذن لا توجد زمر جزئية ناظمية سوى $\{e\}$ و $G$ .

تمرين 5.7 ★★

درجات الحالة $\abs G = 8$ : برهن على أن نمط درجات زمرة غير أبيلية رتبتها $8$ هو $(1,1,1,1,2)$ ، وأن تمثيلها ذا الدرجة $2$ أمين. وبصورة أعمّ، برهن على أن نمط زمرة غير أبيلية رتبتها $p^3$ هو $(1^{\,p^2}, p, \dots, p)$ ، بعدد $p^2$ من الآحاد و $p - 1$ طابعًا من الدرجة $p$ . (استعمل $[G : D(G)]$ و $\sum n_i^2 = \abs G$ ؛ وهنا $D(G) = Z(G)$ ورتبته $p$ .)

حل

حل التمرين 5.7.

الرتبة $8$ غير أبيلية: عدد الطوابع ذات الدرجة $1$ هو $[G : D(G)]$ ، وهو قاسم فعلي للعدد $8$ (لأن الزمرة غير أبيلية: $D(G) \neq \{e\}$ )، و $\sum n_i^2 = 8$ . ومع $k$ من الآحاد والدرجات الباقية $\geq 2$ : يكون $8 - k \equiv 0$ بمربّعات $\geq 4$ ، و $k \mid 8$ ، و $k < 8$ . ومن أجل $k = 4$ : درجة $2$ واحدة — وهو متسق. ومن أجل $k = 2$ : يبقى $6$ ، وهو ليس مجموع مربّعات $\geq 4$ . ومن أجل $k = 1$ : مستحيل، لأن $k = [G : D(G)] \geq 2$ — إذ إن $G/D(G)$ زمرة $2$ أبيلية غير تافهة، بما أن $G$ زمرة $2$ مع $D(G) \neq G$ بقابلية زمر $p$ للحل (المثال 1.30). إذن النمط هو $(1,1,1,1,2)$ . وأما أمانة $\chi_5$ : فالطوابع الأربعة ذات الدرجة $1$ تحتوي كلها على $D(G)$ في نواها؛ ولو كان $\ker\chi_5 \supseteq N \neq \{e\}$ من أجل زمرة جزئية ناظمية أصغرية $N$ (سواء أكانت $N \subseteq D(G)$ أم لا — خذ $N \subseteq \ker\chi_5$ غير تافهة)، لوقع $N$ في النوى الخمس كلها، وتقاطعها تافه (لأن التمثيل المنتظم أمين): وهو تناقض. والرتبة $p^3$ غير أبيلية: رتبة $Z(G)$ هي $p$ (لأن الرتبة $p^2$ ستجعل $G/Z$ دائرية و $G$ أبيلية)، وتكون $G/Z(G)$ ذات الرتبة $p^2$ أبيلية، ومنه $D(G) \subseteq Z(G)$ ، و $D(G) \ne \{e\}$ : أي $D(G) = Z(G)$ ، فنحصل على $p^2$ طابعًا من الدرجة $1$ . وتحقّق الدرجات الباقية $\sum n_i^2 = p^3 - p^2$ مع كون كل $n_i > 1$ يقسم $\abs G$ (المسألة 5.1، السؤال 8) ومنه $n_i \in \{p\}$ (لأن $n_i = p^2$ سيتجاوز الحد: $p^4 > p^3 - p^2$ ): أي $p - 1$ طابعًا من الدرجة $p$ بالضبط.

تمرين 5.8 ★★★

من أجل زمرتين منتهيتين $G, H$ : برهن على أن دوال الأصناف $\chi(g)\psi(h)$ على $G \times H$ ، من أجل الطوابع $\chi, \psi$ غير القابلة للاختزال للزمرتين $G, H$ ، هي بالضبط الطوابع غير القابلة للاختزال للزمرة $G \times H$ . (فالتعامد والتنظيم حسابٌ مباشر؛ والتمام بإحصاء الأصناف.) واستنتج جدول طوابع $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ واستنبط من جديد القضية 5.13(a) من أجل الزمر الأبيلية المنتهية بواسطة مبرهنة البنية.

حل

حل التمرين 5.8.

نعرّف، من أجل تمثيلين $\rho, \sigma$ للزمرتين $G, H$ في $V, W$ ، التمثيلَ $\rho \boxtimes \sigma$ للزمرة $G \times H$ على $V \otimes W$ — وعمليًا، على المصفوفات: يكون $(\rho\boxtimes \sigma)(g,h)$ هو جداء كرونيكر $\rho(g)\otimes \sigma(h)$ ، وأثره $\operatorname{tr}\rho(g)\operatorname{tr}\sigma(h) = \chi(g)\psi(h)$ (فجداء كرونيكر للمصفوفتين $A \otimes B$ أثرُه $\operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ : لأن قطره $a_{kk}b_{ll}$ ). ومنه فإن $\chi\psi$ طابع، و

\langle\chi\psi, \chi'\psi'\rangle_{G\times H} = \frac{1}{\abs G\abs H}\sum_{g,h} \overline{\chi(g)\psi(h)}\,\chi'(g)\psi'(h) = \langle\chi,\chi'\rangle_G\,\langle\psi,\psi'\rangle_H = \delta_{\chi\chi'}\delta_{\psi\psi'}.

وعلى وجه الخصوص $\langle\chi\psi,\chi\psi\rangle = 1$ : أي إن كل $\chi\psi$ غير قابل للاختزال (النتيجة 5.9). وهذه $r_Gr_H$ طابعًا متمايزًا غير قابل للاختزال؛ وأصناف $G\times H$ هي جداءات الأصناف ( $(g,h) \sim (g',h')$ مركّبةً مركّبةً)، ومنه فعددها $r_Gr_H$ : أي إن القائمة تامة (المبرهنة 5.11). ومن أجل $(\Z/2\Z)^2$ : طوابع الإشارة الأربعة $(\pm1)\otimes(\pm1)$ — وهي الكتلة العليا اليسرى من جدول التمرين 5.4. وكل زمرة أبيلية منتهية جداءٌ لزمر دائرية (النتيجة 3.13)؛ وطوابعها غير القابلة للاختزال جداءات للطوابع الدائرية (التمرين 5.1): وكلها من الدرجة $1$ .

تمرين 5.9 ★★★

جدول طوابع $A_5$ (والأصناف بأعداد عناصر $1, 15, 20, 12, 12$ من التمرين 1.11): (a) برهن على أن الدرجات هي $1, 3, 3, 4, 5$ (وهو الحل الوحيد للمعادلة $\sum n_i^2 = 60$ مع $n_1 = 1$ ، وباستعمال التمرين 5.6(c) مع البساطة، لا يوجد $n_i = 1$ آخر). (b) أنشئ الطابع ذا الدرجة $4$ (بالفعل التبديلي على $5$ نقط) والطابعَ ذا الدرجة $5$ (فالفعل على زمر سيلو الست من النمط $5$ يعطي الدرجة $6 = 1 + 5$ ؛ وتحقق من عدم قابلية الاختزال)، وأكمل سطرَي الدرجة $3$ بتعامد الأعمدة: إذ تظهر مدخلات النسبة الذهبية $\frac{1\pm\sqrt5}2$ على صنفَي الدورات الخماسية. (c) تحقق من الجدول المكتمل أن $A_5$ بسيطة (التمرين 5.6(c)).

حل

حل التمرين 5.9.

(a) لدينا $D(A_5) = A_5$ (لأنها بسيطة وغير أبيلية)، ومنه فإن الطابع الوحيد ذا الدرجة $1$ هو $\mathbf 1$ (القضية 5.13). ونحتاج إلى $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ مع كل $n_i \geq 2$ ؛ وباختبار المربّعات $4, 9, 16, 25, 36, 49$ : تكون المجموعة المتعدّدة الوحيدة الصالحة هي $\{9, 9, 16, 25\}$ : فمع المربّع الأكبر $49$ ، لا يكون الباقي $10$ مجموعَ ثلاثة مربّعات $\geq 4$ ؛ ومع $36$ ، لا يكون الباقي $23$ كذلك أيضًا ( $16 + 4 + 4 = 24$ ، $9 + 9 + 4 = 22$ )؛ ومع الأكبر $25$ ، نتحقق من أن $25 + 16 + 9 + 9 = 59$ تصلح وأن $25 + 25$ و $25 + 16 + 16$ و $25 + 16 + 4$ تخفق؛ ومع الأكبر $16$ : $16\cdot3 = 48 < 59 - 4$ . فالدرجات: $1, 3, 3, 4, 5$ .

(b) التبديل على $5$ نقط: النقط الصامدة $(5, 1, 2, 0, 0)$ ، ومنه $\chi_4 = (4, 0, 1, -1, -1)$ مع $\langle\chi_4,\chi_4\rangle = \frac{16 + 0 + 20 + 12 + 12}{60} = 1$ : أي إنه غير قابل للاختزال. والفعل على زمر سيلو الست من النمط $5$ : يُثبّت عنصر تقابلي عنصرين بالضبط (فالنواظم زمر ثنائية السطوح رتبتها $10$ ، وكلٌّ منها يضم $5$ عناصر تقابلية: أي $30$ حالة تلامس من أجل $15$ عنصرًا تقابليًا)، ويُثبّت عنصر من الرتبة $3$ صفرًا منها (إذ لا توجد رتبة $3$ في $D_5$ )، ويُثبّت عنصر من الرتبة $5$ واحدًا بالضبط (لأنه يقع في زمرة سيلو وحيدة): فالطابع التبديلي $(6, 2, 0, 1, 1)$ ، و $\chi_5 = (5, 1, -1, 0, 0)$ بمعيار $\frac{25 + 15 + 20 + 0 + 0}{60} = 1$ : أي إنه غير قابل للاختزال. ويبقى سطران $(3, a, b, c, d)$ و $(3, a', b', c', d')$ . ونُظُم الأعمدة (النتيجة 5.12): فعلى صنف $(1\,2)(3\,4)$ لدينا $\abs{Z} = 4$ : $1 + 0 + 1 + a^2 + a'^2 = 4$ ؛ والعمود مقابل $e$ : $1\cdot1 + 4\cdot 0 + 5\cdot1 + 3(a + a') = 0$ : أي $a + a' = -2$ و $a^2 + a'^2 = 2$ : ومنه $a = a' = -1$ . وعلى الدورات الثلاثية، $\abs Z = 3$ : $1 + 1 + 1 + b^2 + b'^2 = 3$ : أي $b = b' = 0$ . وعلى كل صنف من صنفَي الدورات الخماسية، $\abs Z = 5$ : ويُقرأ العمود مقابل $e$ على أنه $1\cdot 1 + 4\cdot(-1) + 5\cdot 0 + 3(c + c') = 0$ ، ومنه $c + c' = 1$ ؛ و $c^2 + c'^2 = 3$ : أي $\{c, c'\} = \bigl\{\frac{1+\sqrt5}2, \frac{1-\sqrt5}2\bigr\}$ — وهي النسبة الذهبية ومقترنها؛ ويحمل صنف الدورات الخماسية الثاني القيمتين متبادلتين (لأن السطرين يجب أن يكونا متعامدين).

(c) في الجدول المكتمل، لا تساوي أي مدخلة من سطر غير تافه درجتَه خارج العمود الأول: أي إن كل نواة $\{g : \chi_i(g) = n_i\}$ تافهة. وحسب التمرين 5.6(c)، تكون $A_5$ بسيطة.

تمرين 5.10 ★★

ليكن $\rho$ تمثيلًا غير قابل للاختزال من الدرجة $n$ وليكن $z \in Z(G)$ . برهن على $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ حيث $\lambda \colon Z(G) \to \C^\times$ تشاكل (ويُسمّى الطابع المركزي)، واستنتج $\abs{\chi(z)} = n$ من أجل $z$ مركزي. تطبيق: إذا كان للزمرة $G$ تمثيل أمين غير قابل للاختزال، فإن $Z(G)$ دائرية.

حل

حل التمرين 5.10.

يتبادل $\rho(z)$ مع كل $\rho(g)$ (لأن $z$ مركزي)، أي $\rho(z) \in \operatorname{End}_G(V) = \C\,\mathrm{id}$ (بشور): ومنه $\rho(z) = \lambda_z\,\mathrm{id}$ ، ويكون $z \mapsto \lambda_z$ ضربيًا: أي تشاكلًا $Z(G) \to \C^\times$ . عندئذٍ $\chi(z) = n\lambda_z$ مع $\abs{\lambda_z} = 1$ (جذر للوحدة): أي $\abs{\chi(z)} = n$ . وإذا كان $\rho$ أمينًا، كان $\lambda$ متباينًا على $Z(G)$ ( $\rho(z) = \mathrm{id} \iff \lambda_z = 1$ )، ومنه ينغمر $Z(G)$ في $\C^\times$ ؛ وكل زمرة جزئية منتهية من الزمرة الضربية لحقل هي زمرة دائرية (المبرهنة 4.12).

تمرين 5.11 ★★

(الإسقاطات المتشابهة النمط) ليكن $(V, \rho)$ تمثيلًا للزمرة $G$ وليكن $\chi_i$ طابعًا غير قابل للاختزال من الدرجة $n_i$ . نعرّف

p_i = \frac{n_i}{\abs G}\sum_{g\in G} \overline{\chi_i(g)}\,\rho(g) \;\in\; \mathcal L(V).

(a) برهن على أن $p_i$ متكافئ فعليًا بالنسبة إلى $G$ ، واحسب قصره على تمثيل جزئي غير قابل للاختزال $W \subseteq V$ طابعه $\chi_j$ : فهو $\delta_{ij}\, \mathrm{id}_W$ (بشور؛ ثم خذ الآثار لتعيين السلَّمي). (b) استنتج أن $p_i$ إسقاط على مجموع $V_i$ لجميع التمثيلات الجزئية غير القابلة للاختزال ذات الطابع $\chi_i$ (ويُسمّى المركّبة المتشابهة النمط)، وأن $\sum_ip_i = \mathrm{id}_V$ ، وأن التفكيك $V = \bigoplus_iV_i$ قانوني — بخلاف الشطر الأدقّ لكل $V_i$ إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال. (c) من أجل التمثيل المنتظم للزمرة $S_3$ وطابع الإشارة $\varepsilon$ ، اكتب $p_\varepsilon$ صراحةً بوصفه عنصرًا من جبر الزمرة وتحقق يدويًا من $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ .

حل

حل التمرين 5.11.

(a) التكافؤ الفعلي: يعيد $\rho(h)p_i\rho(h)^{-1}$ ترقيم المجموع ( $g \mapsto hgh^{-1}$ ، و $\chi_i$ دالة أصناف): ومنه يتبادل $p_i$ مع الفعل. وعلى تمثيل غير قابل للاختزال $W$ ذي الطابع $\chi_j$ ، تجعل مبرهنة شور القصرَ سلَّميًا $\lambda\,\mathrm{id}_W$ ؛ وبأخذ الآثار،

\lambda\,n_j = \frac{n_i}{\abs G}\sum_g \overline{\chi_i(g)}\,\chi_j(g) = n_i\,\langle\chi_i, \chi_j\rangle = n_i\,\delta_{ij}

(بالتعامد الأول): أي $\lambda = \delta_{ij}$ .

(b) نفكّك $V$ إلى تمثيلات غير قابلة للاختزال (ماشكه): فيفعل $p_i$ بوصفه التطابق على الحدود ذات الطابع $\chi_i$ وبوصفه $0$ على جميع الحدود الأخرى، ومنه فإن $p_i$ إسقاط على مجموعها $V_i$ على امتداد مجموع الباقي؛ ولا تتعلق الصورة $V_i$ بالتفكيك المختار (لأنها مجموعة المتجهات التي يُثبّتها $p_i$ ، وهي معرَّفة دون اختيارات). ويفعل $\sum_ip_i$ بوصفه التطابق على كل حد غير قابل للاختزال: أي إنه $\mathrm{id}_V$ . أما الشطر الأدقّ للفضاء $V_i \cong W_i^{\oplus m_i}$ فيتضمن اختيار أساس للفضاء $\operatorname{Hom}_G(W_i, V)$ : فهو ليس قانونيًا.

(c) من أجل $\varepsilon$ (وهو من الدرجة $1$ ): $p_\varepsilon = \frac1{6}\sum_{g}\varepsilon(g)\,\rho(g)$ ، أي في جبر الزمرة

p_\varepsilon = \tfrac16\bigl(e - (1\,2) - (1\,3) - (2\,3) + (1\,2\,3) + (1\,3\,2)\bigr) .

وبالتربيع: معامل $g$ في $p_\varepsilon^2$ هو $\frac1{36}\sum_{h}\varepsilon(h)\varepsilon(h^{-1}g) = \frac1{36}\,\varepsilon(g)\sum_h\varepsilon(h)^2 = \frac{6}{36}\varepsilon(g)$ : أي $p_\varepsilon^2 = p_\varepsilon$ . (وصورته في التمثيل المنتظم هي المستقيم المولَّد بالعنصر $\sum_g\varepsilon(g)e_g$ : أي إن تمثيل الإشارة يظهر بمثيل $1$ ، كما تقتضي النظرية العامة.)

تمرين 5.12 ★★

(قراءة جدول) جدول طوابع زمرة ما $G$ رتبتها $24$ معروف جزئيًا: فلها $5$ أصناف بأعداد عناصر $1, 6, 8, 6, 3$ ، ودرجات $1, 1, 2, 3, 3$ . (a) استعد الجدول كاملًا: الطابعان الخطيان (أحدهما تافه؛ والآخر يأخذ القيمة $-1$ على صنفَي العددين $6$ و $6$ بالضبط)، ثم الطابع ذو الدرجة $2$ بتعامد الأعمدة مع عمود المحايد، ثم الطابعان ذوا الدرجة $3$ بالطريقة نفسها (وأحدهما $\chi_2\chi_4$ ). (b) عيّن $G$ (وهي $\cong S_4$ : بمقارنة الأصناف بأنماط الدورات)، واستخرج من الجدول الزمرَ الجزئية الناظمية بواسطة التمرين 5.6: نواتا $\chi_2$ (ودليلها $2$ : أي $A_4$ ) و $\chi_3$ (زمرة كلاين $V_4$ )، ولا شيء غيرهما سوى $\{e\}, G$ . (c) اشرح كيف يُظهر الجدول أن $G/V_4 \cong S_3$ (أي الطوابع تتحلّل عبر زمرة القسمة؟).

حل

حل التمرين 5.12.

(a) نرتّب الأصناف $e$ [1]، والمبادلات [6]، والدورات الثلاثية [8]، والدورات الرباعية [6]، والمبادلات المزدوجة [3]. والطابع الخطي الثاني هو $\chi_2 = \varepsilon$ بقيم $1, -1, 1, -1, 1$ . وأما الطابع ذو الدرجة $2$ المسمّى $\chi_3$ ، فيعطي تعامد كل عمود مع عمود المحايد ( $\sum_in_i\chi_i(g) = 0$ من أجل $g \neq e$ )، على المبادلات: $1 - 1 + 2\chi_3 + 3(\chi_4 + \chi_5) = 0$ ؛ وتجعل حيلة الإشارة $\chi_5 = \varepsilon\chi_4$ (فجداء طابع من الدرجة $3$ في طابع خطي غير قابل للاختزال أيضًا — لأن المعيار نفسه) المقدارَ $\chi_4 + \chi_5$ ينعدم على الأصناف الفردية: أي $\chi_3 = 0$ هناك. وعلى الدورات الثلاثية: $1 + 1 + 2\chi_3(c_3) + 3(\chi_4 + \chi_5)(c_3) = 0$ مع $\chi_5 = \chi_4$ على الأصناف الزوجية؛ ويعطي عمود $c_3$ مع نفسه معطيات $\abs{\chi_3}^2$ ؛ وبحل الجملة الصغيرة (باستعمال تعامد السطر $\chi_3$ مع $\mathbf 1$ و $\varepsilon$ أيضًا): $\chi_3 = (2, 0, -1, 0, 2)$ ، ثم $\chi_4 = (3, 1, 0, -1, -1)$ و $\chi_5 = \varepsilon\chi_4 = (3, -1, 0, 1, -1)$ . والجدول الكامل:

	$e$	$6\,t$	$8\,c_3$	$6\,c_4$	$3\,v$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$1$	$-1$	$1$	$-1$	$1$
$\chi_3$	$2$	$0$	$-1$	$0$	$2$
$\chi_4$	$3$	$1$	$0$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$3$	$-1$	$0$	$1$	$-1$

(معيار كل سطر $1$ ؛ وجميع الأعمدة متعامدة: فالفحوص تنجح.)

(b) معطيات الأصناف $1, 6, 8, 6, 3$ بهذه الدرجات هي معطيات $S_4$ (بأنماط الدورات $e$ و $2$ و $3$ و $4$ و $2{+}2$ ). والنوى: $\ker\chi_2 = \{g : \varepsilon(g) = 1\} = A_4$ (الأصناف $e, c_3, v$ : $1 + 8 + 3 = 12$ ، والدليل $2$ )؛ و $\ker\chi_3 = \{g : \chi_3(g) = 2\}$ = الأصناف $e, v$ : أي زمرة كلاين $V_4$ ، ورتبتها $4$ ، وهي ناظمية. والطابعان $\chi_4, \chi_5$ أمينان ( $\chi_i(g) = n_i$ عند $e$ لا غير). وتقاطعات النوى: $\{e\}$ و $V_4$ و $A_4$ و $G$ — وحسب التمرين 5.6(b) هذه هي جميع الزمر الجزئية الناظمية من $S_4$ .

(c) الطوابع التي تحقق $V_4 \subseteq \ker$ هي $\chi_1, \chi_2, \chi_3$ : فهي تتحلّل عبر $G/V_4$ ، وهي زمرة رتبتها $6$ ولها درجات غير قابلة للاختزال $1, 1, 2$ — أي جدول $S_3$ . وبما أن جدول زمرة القسمة هو صامد تام بين الزمرتين ذواتَي الرتبة $6$ ( $\Z/6\Z$ ستكون لها ستة طوابع خطية)، فإن $G/V_4 \cong S_3$ : أي إن زمرة القسمة مرئية داخل الجدول بوصفها كتلة الأسطر التي تحتوي على $V_4$ في نواها.

5.5 مسألة: مبرهنة بيرنسايد $p^aq^b$

مسألة 5.1

مسألة نهاية الأسبوع — قابلية حل الزمر ذات الرتبة $p^aq^b$

برهن بيرنسايد سنة 1904 على أن كل زمرة رتبتها ذات عاملين أوليين على الأكثر قابلةٌ للحل — وهي عبارة عن زمر مجرّدة لم تُعرَف لها براهين طوال نصف قرن إلا عبر نظرية الطوابع. وتبني هذه المسألة البرهان كاملًا، جامعةً الفصل 1 (القابلية للحل) و الفصل 3 (المقاسات المولَّدة بعدد منتهٍ على $\Z$ ) وهذا الفصل. وفي كل ما يلي، $\chi_1, \dots, \chi_r$ هي الطوابع غير القابلة للاختزال للزمرة $G$ ، مع $n_i = \chi_i(e)$ .

الجزء الأول — الأعداد الصحيحة الجبرية. العدد الصحيح الجبري هو جذر لكثير حدود واحدي من $\Z[X]$ .

برهن على أن $\alpha$ عدد صحيح جبري إذا وفقط إذا كانت الحلقة $\Z[\alpha]$ مقاسًا على $\Z$ مولَّدًا بعدد منتهٍ من العناصر.
استنتج أن الأعداد الصحيحة الجبرية تشكّل حلقة جزئية من $\C$ . (فإذا كان $\Z[\alpha], \Z[\beta]$ مولَّدين بعدد منتهٍ، فكذلك $\Z[\alpha, \beta]$ ، والمقاسات الجزئية من مقاسات على $\Z$ مولَّدة بعدد منتهٍ مولَّدةٌ بعدد منتهٍ، حسب المبرهنة 3.5 وحجّة تقديم — أو مباشرةً: فالمقاس الجزئي من $\Z^n$ حر ورتبته $\leq n$ .)
برهن على أن العدد الصحيح الجبري الناطق عددٌ صحيح. (بمبرهنة الجذر الناطق.)
برهن على أن كل قيمة طابع $\chi(g)$ عددٌ صحيح جبري.

الجزء الثاني — علاقات مجاميع الأصناف. لنثبّت تمثيلًا $(V, \rho)$ غير قابل للاختزال من الدرجة $n$ وطابعه $\chi$ . ومن أجل صنف اقتران $C$ ، ليكن $S_C = \sum_{g \in C}\rho(g) \in \mathcal L(V)$ .

برهن على أن $S_C$ متكافئ فعليًا، ومنه $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ حيث

$\omega_C = \frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} \qquad (g_C \in C \text{ أي ممثل}).$
برهن على $S_CS_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,S_{C''}$ حيث يحصي $a_{CC'C''} \in \N$ ، من أجل $z \in C''$ مثبَّت، الأزواجَ $(x, y) \in C \times C'$ التي تحقق $xy = z$ . واستنتج أن الأعداد $\omega_C$ تحقق $\omega_C\,\omega_{C'} = \sum_{C''} a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .
اخلص إلى أن كل $\omega_C$ عدد صحيح جبري. (فالمقاس على $\Z$ المولَّد بالعنصر $1$ وبالأعداد $\omega_C$ حلقةٌ مولَّدة بعدد منتهٍ؛ طبّق محك السؤال 1 — وبدقة أكبر برهن على أن $M = \Z\text{-المولَّد } (1, (\omega_C)_C)$ يحقق $\omega_{C_0} M \subseteq M$ واستعمل حيلة المحدد/كايلي–هاملتون، أو حجّة الحلقة الجزئية في السؤال 2.)
استنتج قابلية القسمة لفروبينيوس: يقسم $n_i$ العددَ $\abs G$ من أجل كل درجة غير قابلة للاختزال. (احسب $\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n} \langle\chi,\chi\rangle = \sum_C \omega_C\, \overline{\chi(g_C)}$ : فهو عدد صحيح جبري وناطق.)

الجزء الثالث — محك بيرنسايد للبساطة.

ليكن $\chi$ غير قابل للاختزال من الدرجة $n$ وليكن $C$ صنفًا يحقق $\gcd(\abs C, n) = 1$ . باستعمال بيزو والأسئلة من 4 إلى 7، برهن على أن $\frac{\chi(g_C)}{n}$ عدد صحيح جبري.
لنفترض علاوة على ذلك $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ . برهن على استحالة ذلك: فللعدد الصحيح الجبري $\alpha = \chi(g_C)/n$ مقترنات — وهي الأعداد $\alpha_\sigma = \frac1n\sigma(\chi(g_C))$ من أجل $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_{\abs G})/\Q)$ ، وكلٌّ منها متوسط لعدد $n$ من جذور الوحدة — معيار كلٍّ منها $\leq 1$ ، ومنه يكون الجداء $N = \prod_\sigma\alpha_\sigma$ عددًا صحيحًا جبريًا وناطقًا يحقق $0 < \abs N < 1$ — برّر كل عبارة، مستشهدًا بما ورد في المبرهنة 4.23 من أجل زمرة غالوا وبأن $\sigma$ يبدّل جذور الوحدة. واخلص إلى: إما $\chi(g_C) = 0$ وإما $\rho(g_C)$ سلَّمي (القضية 5.6).
(محك بيرنسايد) ليكن $C \neq \{e\}$ صنف اقتران عدد عناصره قوة لعدد أولي $p^k > 1$ ، ولنفترض أن $G$ بسيطة وغير أبيلية. يعطي تعامد الأعمدة بين عمود $C$ وعمود $e$ أن $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\chi_i(g_C) = 0$ . برهن على أن طابعًا غير تافه $\chi_i$ مع $p \nmid n_i$ يحقق $\chi_i(g_C) \neq 0$ (وإلا لكان $\frac1p$ عددًا صحيحًا جبريًا)؛ ومنه، حسب السؤال 10، يكون $\rho_i(g_C)$ سلَّميًا؛ واستنتج تناقضًا مع البساطة (فمجموعة العناصر $g$ التي يكون فيها $\rho_i(g)$ سلَّميًا زمرةٌ جزئية ناظمية؛ واستعمل الأمانة من التمرين 5.6). واخلص إلى: ليس لأي زمرة بسيطة غير أبيلية صنفُ اقتران عدد عناصره قوة لعدد أولي وأكبر من $1$ .

الجزء الرابع — المبرهنة.

ليكن $\abs G = p^aq^b$ مع $a + b \geq 1$ . إذا كانت $G$ بسيطة، فبرهن على أنها أبيلية: اختر $z \neq e$ في مركز زمرة سيلو جزئية من النمط $q$ (المبرهنة 1.12) وانظر في عدد عناصر صنف اقترانه $[G : Z_G(z)]$ ، وهو قوة للعدد $p$ (ولماذا؟)؛ ثم طبّق السؤال 11.
اخلص بالتراجع على $\abs G$ : كل زمرة رتبتها $p^aq^b$ قابلة للحل (بيرنسايد). ولماذا تنهار الحجّة من أجل ثلاثة أعداد أولية — ولماذا يجب أن تنهار، بالنظر إلى $\abs{A_5} = 2^2\cdot3\cdot5$ ؟

الجزء الخامس — جدول طوابع $A_5$ . تستحق أصغرُ زمرة لا تطالها مبرهنة بيرنسايد صورتَها الكاملة؛ وكل ما يلي لا يستعمل سوى هذا الفصل مع التمرين 1.11.

ذكّر من التمرين 1.11 بأصناف الاقتران الخمسة للزمرة $A_5$ : $\{e\}$ ، والمبادلات المزدوجة وعددها $15$ ، والدورات الثلاثية وعددها $20$ ، وصنفان من $12$ دورة خماسية لكلٍّ، ممثَّلان بالعنصرين $c = (1\,2\,3\,4\,5)$ و $c^2$ . وفسّر لماذا تنشطر الدورات الخماسية إلى صنفين في $A_5$ رغم أنها تشكّل صنفًا واحدًا في $S_5$ .
برهن على أن الدرجات غير القابلة للاختزال للزمرة $A_5$ هي بالضبط $1, 3, 3, 4, 5$ : استعمل $\sum_in_i^2 = 60$ مع $r = 5$ أصناف، وكون $A_5$ كاملة الاشتقاق ( $D(A_5) = A_5$ )، ومنه فإن الطابع التافه هو طابعها الخطي الوحيد؛ ثم استبعد كل مجموعة متعدّدة أخرى (اكتب $59$ مجموعَ أربعة مربّعات لأعداد صحيحة $\geq 2$ : وتحقق من أن ذلك يحدث بطريقة واحدة فقط بدرجات معقولة جميعًا).
ليكن $\pi$ الطابع التبديلي للزمرة $A_5$ على $\{1, \dots, 5\}$ : $\pi(g) = \#\operatorname{Fix}(g)$ ، وقيمه $5, 1, 2, 0, 0$ على الأصناف الخمسة. احسب $\langle\pi, \mathbf 1\rangle$ و $\langle\pi, \pi\rangle$ ، واستنتج أن $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ غير قابل للاختزال ودرجته $4$ ، وقيمه $4, 0, 1, -1, -1$ .
اللعبة نفسها على الأزواج غير المرتّبة $\{i, j\}$ وعددها $10$ : فأعداد النقط الصامدة هي $10, 2, 1, 0, 0$ . احسب $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle$ و $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle$ و $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle$ ، واستنتج التفكيك $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi_5$ ، واحصل على الطابع غير القابل للاختزال $\chi_5$ من الدرجة $5$ بالقيم $5, 1, -1, 0, 0$ .
للطابعين الباقيين غير القابلين للاختزال $\chi_2, \chi_3$ الدرجةُ $3$ . ويحدّد تعامد الأعمدة (كل عمود غير عمود المحايد مع عمود المحايد، وكل عمود مع نفسه) قيمهما خارج الدورات الخماسية: برهن على $\chi_2(g) = \chi_3(g) = -1$ على المبادلات المزدوجة وعلى $0$ على الدورات الثلاثية.
على صنفَي الدورات الخماسية، نضع $x = \chi_2(c)$ و $y = \chi_2(c^2)$ ؛ ويسمح التناظر بأخذ $\chi_3(c) = y$ و $\chi_3(c^2) = x$ . ومن عمود $c$ مزدوجًا مع عمود المحايد ومع عمود $c^2$ ، استنتج $x + y = 1$ و $xy = -1$ (وتحقق من القيمة $x^2 + y^2 = 3$ التي يعطيها عمود $c$ مع نفسه)، ومنه

$\{x, y\} = \Bigl\{\frac{1 + \sqrt5}2,\ \frac{1 - \sqrt5}2\Bigr\} :$

أي النسبة الذهبية ومقترنها. وكوِّن جدول طوابع $A_5$ كاملًا.
أجرِ الفحوص: معيار سطر $\chi_2$ يساوي $1$ (استعمل $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = 3$ )، و $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = 0$ ، وقابلية القسمة لفروبينيوس (السؤال 8) من أجل الدرجات الخمس. وأين ترى في الجدول فرقًا مع $S_5$ ، التي جميع قيم طوابعها أعداد صحيحة ناطقة؟
استنتج من الجدول وحده أن $A_5$ بسيطة: فالزمرة الجزئية الناظمية اتحادُ أصناف اقتران يحتوي على $e$ وعدد عناصره يقسم $60$ — تحقق من أن أي مجموع جزئي فعلي للأعداد $1 + 15 + 20 + 12 + 12$ يحتوي على الحد $1$ لا يقسم $60$ . وقابل ذلك بمحك السؤال 11: تحقق من أنه ليس لأي صنف من أصناف $A_5$ عددُ عناصر يساوي قوة لعدد أولي وأكبر من $1$ .
(خاتمة عشرينية الوجوه) الزمرة $A_5$ هي زمرة دورانات المجسّم العشريني الوجوه، والتمثيلان ذوا الدرجة $3$ هما الفعلان الهندسيان على $\R^3$ . تحقق من متطابقة الأثر: فأثر دوران بزاوية $\theta$ هو $1 + 2\cos\theta$ ، و $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . وفسّر دون أي حساب لماذا يجب أن يحمل الطابع الآخر ذو الدرجة $3$ القيمةَ المقترنة: فزمرة غالوا للامتداد $\Q(\sqrt5)/\Q$ تفعل على جدول الطوابع كله (مدخلةً مدخلةً)، مبدّلةً الطوابع غير القابلة للاختزال فيما بينها.

الجزء السادس — تكملات: حدٌّ مركزي والمربّع التنسوري.

(أدقّ من قابلية قسمة) ليكن $\chi$ غير قابل للاختزال من الدرجة $n$ . برهن على $\abs{\chi(z)} = n$ من أجل كل $z \in Z(G)$ (بمبرهنة شور المساعدة: فإن $\rho(z)$ سلَّمي ورتبته منتهية)، واستنتج من $\langle\chi, \chi\rangle = 1$ الحدَّ

$n^2 \leq [G : Z(G)] .$

وبرهن على أن الدرجات غير القابلة للاختزال للزمر غير الأبيلية ذات الرتبة $8$ هي $1, 1, 1, 1, 2$ (خمسة أصناف اقتران؛ اكتب $8$ مجموعَ خمسة مربّعات) وأنها تبلغ التساوي $4 = [G : Z(G)]$ ؛ وتحقق من الحد على $A_5$ ، التي مركزها تافه.
(المربّع التنسوري للطابع $\chi_2$ ) من أجل $g$ ذي رتبة منتهية، يكون $\rho(g)$ قابلًا للتقطير بقيم ذاتية هي جذور للوحدة؛ واستنتج صيغتَي الطابع

$\chi_{\operatorname{Sym}^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 + \chi(g^2)}2, \qquad \chi_{\Lambda^2 V}(g) = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2 .$

وطبّقهما على $\chi_2$ للزمرة $A_5$ (ولاحظ أن $g^2$ يمسح صنف $c^2$ حين يمسح $g$ صنف $c$ ، وبالعكس): برهن على $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ و $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ ، ومنه

$\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5 .$

وفسّر $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ هندسيًا بواسطة الجداء المتجهي على $\R^3$ .
(تدقيق أخير للجدول) تحقق عدديًا من: تعامد الأعمدة بين عمودَي الدورات الخماسية ( $\varphi\bar\varphi = -1$ )، والقيمة $5 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ من أجل عمود $c$ مع نفسه، وانعدام الطابع المنتظم $\sum_i n_i\chi_i(g) = 0$ على كلٍّ من الأعمدة الأربعة غير عمود المحايد في الجدول.

حل

حل المسألة 5.1.

1. إذا كان $\alpha^n + c_{n-1}\alpha^{n-1} + \dots + c_0 = 0$ (حيث $c_i \in \Z$ )، فإن $\alpha^n \in \Z\text{-المولَّد }(1, \dots, \alpha^{n-1})$ ، وبالتتابع تكون كل قوة كذلك: أي إن $\Z[\alpha]$ مولَّد بالعناصر $1, \alpha, \dots, \alpha^{n-1}$ . وبالعكس، ليكن $\Z[\alpha] = \Z g_1 + \dots + \Z g_m$ . نكتب $\alpha g_i = \sum_j m_{ij}g_j$ حيث $M = (m_{ij}) \in M_m(\Z)$ : فتحقق المتجهة $g = (g_i)$ العلاقةَ $(\alpha I - M)g = 0$ ؛ وبالضرب في المصفوفة المرافقة، نجد $\det(\alpha I - M)\,g_i = 0$ من أجل كل $i$ ، وبما أن $1 \in \Z[\alpha]$ تركيبةٌ على $\Z$ للعناصر $g_i$ ، فإن $\det(\alpha I - M) = 0$ : أي إن $\alpha$ جذر لكثير الحدود الواحدي $\det(XI - M) \in \Z[X]$ .

2. إذا كان $\Z[\alpha]$ مولَّدًا بقوى $\alpha$ حتى $n-1$ وكان $\Z[\beta]$ مولَّدًا بقوى $\beta$ حتى $m - 1$ ، فإن $\Z[\alpha,\beta]$ مولَّد بالجداءات $nm$ التالية $\alpha^i\beta^j$ (باختزال أي حد أحادي). والحلقتان الجزئيتان $\Z[\alpha + \beta]$ و $\Z[\alpha\beta]$ مقاسان جزئيان على $\Z$ من المقاس $\Z[\alpha, \beta]$ على $\Z$ المولَّد بعدد منتهٍ، ومنه فهما مولَّدان بعدد منتهٍ (لأن $\Z[\alpha,\beta]$ ، المولَّد بعدد $nm$ من العناصر، صورةٌ للمقاس $\Z^{nm}$ ؛ ويرجع المقاس الجزئي إلى مقاس جزئي من $\Z^{nm}$ ، وهو حر ورتبته $\leq nm$ حسب المبرهنة 3.5، وصورته تولّد). وحسب السؤال 1، يكون $\alpha + \beta$ و $\alpha\beta$ عددين صحيحين جبريين.

3. إذا كان $\frac pq$ (مختزلًا) جذرًا لكثير حدود صحيح واحدي من الدرجة $n$ ، أعطت مبرهنة الجذر الناطق (بتوحيد المقامات: $p^n = -q(\cdots)$ ) أن $q \mid p^n$ ، ومنه $q = \pm1$ .

4. القيمة $\chi(g)$ مجموعُ جذور للوحدة (القضية 5.6)، وكلٌّ منها عدد صحيح جبري (لأنه جذر للمقدار $X^N - 1$ )؛ ونخلص بالسؤال 2.

5. من أجل $h \in G$ : $\rho(h)S_C\rho(h)^{-1} = \sum_{g\in C}\rho(hgh^{-1}) = S_C$ (لأن $C$ صنف). وبشور، $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ ؛ وبأخذ الآثار، $\abs C\,\chi(g_C) = \omega_C\, n$ .

6. $S_CS_{C'} = \sum_{x \in C, y \in C'}\rho(xy) = \sum_{z \in G} a(z)\rho(z)$ حيث $a(z) = \#\{(x,y) \in C\times C' : xy = z\}$ . ويقابل الاقتران بالعنصر $h$ حلولَ $z$ بحلول $hzh^{-1}$ : أي إن $a$ دالة أصناف بقيم في $\N$ ، ومنه $S_CS_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}S_{C''}$ . وبتعويض $S_C = \omega_C\,\mathrm{id}$ في كل موضع ومطابقة السلَّميات: $\omega_C\omega_{C'} = \sum_{C''}a_{CC'C''}\,\omega_{C''}$ .

7. ليكن $M$ المقاس على $\Z$ المولَّد بالعنصر $1$ وبجميع الجداءات $\omega_{C_1}\cdots\omega_{C_k}$ ؛ وحسب السؤال 6 يختزل كل جداء من هذا النوع إلى تركيبة على $\Z$ للعنصر $1$ وللأعداد $\omega_C$ : أي إن $M$ مولَّد بعدد منتهٍ، و $\omega_C M \subseteq M$ من أجل كل $C$ . وعلى وجه الخصوص، يكون $\Z[\omega_C] \subseteq M$ مولَّدًا بعدد منتهٍ (بوصفه مقاسًا جزئيًا، كما في السؤال 2)، ويجعل السؤال 1 العددَ $\omega_C$ عددًا صحيحًا جبريًا.

8. من أجل $\chi$ غير قابل للاختزال من الدرجة $n$ :

\frac{\abs G}{n} = \frac{\abs G}{n}\langle\chi,\chi\rangle = \frac1n \sum_{g}\chi(g)\overline{\chi(g)} = \sum_{C}\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n}\,\overline{\chi(g_C)} = \sum_C \omega_C\,\overline{\chi(g_C)} .

وكل $\overline{\chi(g_C)} = \chi(g_C^{-1})$ عدد صحيح جبري (السؤال 4)، ومنه فإن الطرف الأيمن كذلك (السؤالان 2 و 7)؛ وهو ناطق، ومنه فهو عدد صحيح (السؤال 3): أي $n \mid \abs G$ .

9. بيزو: $u\abs C + vn = 1$ حيث $u, v \in \Z$ . عندئذٍ

\frac{\chi(g_C)}{n} = u\,\frac{\abs C\,\chi(g_C)}{n} + v\,\chi(g_C) = u\,\omega_C + v\,\chi(g_C),

وهو عدد صحيح جبري.

10. لنفترض $0 < \abs{\chi(g_C)} < n$ ولنضع $\alpha = \chi(g_C)/n$ . جميع القيم $\chi(g)$ تقع في $\Q(\zeta_N)$ حيث $N = \abs G$ (لأنها مجاميع لجذور الوحدة من الرتبة $N$ ). ومن أجل $\sigma \in \operatorname{Gal}(\Q(\zeta_N)/\Q)$ : يرسل $\sigma$ جذورَ الوحدة إلى جذور للوحدة ( $\sigma(\zeta^k) = \zeta^{ak}$ ، المبرهنة 4.23)، ومنه يكون $\sigma(\chi(g_C))$ مجموعَ $n$ من جذور الوحدة من جديد: أي $\abs{\sigma(\alpha)} \leq 1$ ؛ كما أن $\sigma(\alpha)$ عدد صحيح جبري (لأن له كثير الحدود الأدنى نفسه الذي للعنصر $\alpha$ ). والجداء $P = \prod_\sigma \sigma(\alpha)$ تُثبّته زمرة غالوا كلها، ومنه فهو ناطق (المبرهنة 4.21(1))، وهو عدد صحيح جبري يحقق

0 < \abs P \leq \abs\alpha < 1

(ولا ينعدم أي عامل: إذ سيفرض $\sigma(\alpha) = 0$ أن $\alpha = 0$ ). وهذا يناقض السؤال 3. ومنه إما $\chi(g_C) = 0$ وإما $\abs{\chi(g_C)} = n$ ، وفي الحالة الأخيرة يكون $\rho(g_C)$ سلَّميًا (القضية 5.6).

11. تعامد الأعمدة (حيث $C \neq \{e\}$ ): $\sum_i \chi_i(e)\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ ، أي $1 + \sum_{i \geq 2} n_i\overline{\chi_i(g_C)} = 0$ . فلو انعدم كل طابع غير تافه $\chi_i$ مع $p \nmid n_i$ عند $g_C$ ، لكان، بتجميع الباقي حسب عاملها $p$ :

-\frac1p = \sum_{i \geq 2,\ p \mid n_i} \frac{n_i}{p}\,\overline{\chi_i(g_C)},

عددًا صحيحًا جبريًا — وهذا يناقض السؤال 3. إذن يوجد طابع غير تافه $\chi_i$ مع $p \nmid n_i$ و $\chi_i(g_C) \neq 0$ ؛ وبما أن $\abs C = p^k$ ، فإن $\gcd(\abs C, n_i) = 1$ ، ويجعل السؤال 10 المقدارَ $\rho_i(g_C)$ سلَّميًا. والآن $G$ بسيطة وغير أبيلية: فإن $\chi_i$ أمين (التمرين 5.6(c))، ويكون $Z_i = \{g : \rho_i(g) \text{ سلَّمي}\}$ زمرة جزئية ناظمية (فهو سابق المصفوفات السلَّمية بواسطة $\rho_i$ ، وهي تشكّل زمرة جزئية ناظمية — بل مركزية — من الصورة) تحتوي على $g_C \neq e$ : أي $Z_i = G$ . وعندئذٍ تكون $\rho_i(G)$ أبيلية وأمينة، فتصير $G$ أبيلية: وهو تناقض. إذن ليس لأي زمرة بسيطة غير أبيلية صنفُ اقتران عدد عناصره قوة لعدد أولي وأكبر من $1$ .

12. لتكن $G$ بسيطة رتبتها $p^aq^b$ . فإذا كان $b = 0$ ( $G$ زمرة $p$ ): فإن $Z(G) \neq \{e\}$ (المبرهنة 1.12) ناظمية، ومنه $Z(G) = G$ : أي إنها أبيلية. وإلا فلنأخذ $Q$ زمرة سيلو جزئية من النمط $q$ ولنأخذ $z \in Z(Q) \setminus\{e\}$ (المبرهنة 1.12 مرة أخرى). عندئذٍ $Q \subseteq Z_G(z)$ ، ومنه فإن عدد عناصر صنف $z$ هو $[G : Z_G(z)]$ ويقسم $[G : Q] = p^a$ : أي إنه قوة للعدد $p$ . فإذا كان العدد $1$ ، فإن $z \in Z(G)$ : ويكون المركز زمرة جزئية ناظمية غير تافهة، ومنه $Z(G) = G$ ، أي إنها أبيلية. وإذا كان العدد $p^k > 1$ : فيمنعه السؤال 11 من أجل $G$ بسيطة غير أبيلية. وفي الحالتين تكون الزمرة البسيطة ذات الرتبة $p^aq^b$ أبيلية ( $\cong \Z/p\Z$ ).

13. بالتراجع على $\abs G$ (وحالة $\abs G = 1$ : قابلة للحل). فإذا كانت $G$ بسيطة، جعلها السؤال 12 أبيلية، ومنه قابلة للحل. وإلا فلنختر $N$ زمرة جزئية ناظمية فعلية غير تافهة: فيكون $\abs N$ و $\abs{G/N}$ من الشكل $p^{a'}q^{b'}$ من جديد وأصغر، ومنه تكون $N$ و $G/N$ قابلتين للحل بالتراجع، وتكون $G$ قابلة للحل (القضية 1.29). — ومع ثلاثة أعداد أولية تخفق الخطوة المفتاحية: إذ لا يبقى دليل زمرة سيلو قوةً لعدد أولي، فلا يلزم أن يكون عدد عناصر صنف عنصر مركزي من زمرة سيلو قوةً لعدد أولي. والإخفاق حتمي: فالزمرة $A_5$ ، ورتبتها $2^2\cdot3\cdot5$ ، بسيطة وغير قابلة للحل.

14. الأصناف وأعداد عناصرها هي التمرين 1.11(a). وعدد عناصر صنف $c$ في $S_5$ هو $24$ ؛ ولو بقي صنفًا واحدًا في $A_5$ ، لأعطى إحصاء المدار والمثبِّت أن $\abs{Z_{A_5}(c)} = 60/24$ ، وهو ليس عددًا صحيحًا — وعمليًا، فإن رتبة $Z_{S_5}(c) = \langle c\rangle$ تساوي $5$ وهي داخل $A_5$ ، ومنه فإن عدد عناصر صنف $c$ في $A_5$ هو $60/5 = 12$ : أي إن صنف $S_5$ ينشطر إلى صنفين (لأن $c$ و $c^2$ مقترنان في $S_5$ بتبديلة فردية لا غير).

15. طابع خطي واحد: فالتمثيل ذو الدرجة $1$ يتحلّل عبر $G/D(G)$ ، ولدينا $D(A_5) = A_5$ (لأن $A_5$ بسيطة وغير أبيلية، و $D(A_5)$ ناظمية وغير تافهة — إذ إن $A_5$ ليست أبيلية). ومنه $n_1 = 1$ و $n_2^2 + n_3^2 + n_4^2 + n_5^2 = 59$ مع كل $n_i \geq 2$ . والمربّعات المتاحة: $4, 9, 16, 25, 36, 49$ . ومجموع أربعة منها يساوي $59$ : يجب أن يكون الأكبر $25$ (إذ تخفق $36 + 4 + 4 + 9 = 53 < 59$ في الضبط: $36 + 16 + 4 + 4 = 60$ ، $36 + 9 + 9 + 4 = 58$ ، $36 + 16 + 9 + 4 = 65$ — فلا تصلح أي تركيبة مع $36$ أو $49$ )، و $59 - 25 = 34 = 16 + 9 + 9$ (وهي الطريقة الوحيدة: $16 + 16 + 4 = 36$ ، $25 + 9 + 4 = 38$ ، $25 + 4 + 4 = 33$ ): فالدرجات $1, 3, 3, 4, 5$ .

16. $\langle\pi, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(5 + 15\cdot1 + 20\cdot2 + 0 + 0) = 1$ (مدار واحد — بإحصاء بيرنسايد)، و $\langle\pi, \pi\rangle = \frac1{60}(25 + 15 + 80 + 0 + 0) = 2$ : أي إن $\pi$ يحتوي على الطابع التافه مرة واحدة، ومركّبه الآخر طابعٌ واحد غير قابل للاختزال. ومنه فإن $\chi_4 = \pi - \mathbf 1$ غير قابل للاختزال، ودرجته $4$ ، وقيمه $4, 0, 1, -1, -1$ .

17. على الأزواج، يُثبّت عنصرٌ الزوجَ $\{i,j\}$ إذا وفقط إذا ثبّت $i, j$ أو بادل بينهما: فالأعداد هي $10$ (من أجل $e$ )، و $2$ (إذ يُثبّت $t = (1\,2)(3\,4)$ الزوجَ $\{1,2\}, \{3,4\}$ )، و $1$ (إذ يُثبّت $(1\,2\,3)$ الزوجَ $\{4,5\}$ )، و $0, 0$ . عندئذٍ $\langle\pi_{10}, \pi_{10}\rangle = \frac1{60}(100 + 15\cdot4 + 20\cdot1) = 3$ : أي ثلاثة مركّبات غير قابلة للاختزال، كلٌّ منها مرة واحدة. و $\langle\pi_{10}, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(10 + 30 + 20) = 1$ ، $\langle\pi_{10}, \chi_4\rangle = \frac1{60}(40 + 0 + 20\cdot1\cdot1 + 0 + 0) = 1$ : ومنه $\pi_{10} = \mathbf 1 + \chi_4 + \chi$ حيث $\chi$ غير قابل للاختزال ودرجته $10 - 1 - 4 = 5$ وقيمه $\chi_5 = \pi_{10} - \mathbf 1 - \chi_4 = (5, 1, -1, 0, 0)$ .

18. نكتب $a, a'$ لقيمتَي $\chi_2, \chi_3$ عند $t$ ، و $b, b'$ عند $s = (1\,2\,3)$ ؛ وكلها حقيقية (لأن $t$ و $s$ مقترنان بمقلوبيهما). عمود $t$ مقابل عمود $e$ : $1 + 3a + 3a' + 4\cdot0 + 5\cdot1 = 0$ ، ومنه $a + a' = -2$ ؛ وعمود $t$ مع نفسه: $1 + a^2 + a'^2 + 0 + 1 = \frac{60}{15} = 4$ ، ومنه $a^2 + a'^2 = 2$ ؛ ومنه يعطي $(a + a')^2 = 4 = 2 + 2aa'$ أن $aa' = 1$ و $a = a' = -1$ . وعمود $s$ مقابل $e$ : يعطي $1 + 3(b + b') + 4 - 5 = 0$ أن $b + b' = 0$ ؛ وعمود $s$ مع نفسه: يعطي $1 + b^2 + b'^2 + 1 + 1 = \frac{60} {20} = 3$ أن $b = b' = 0$ .

19. عمود $c$ مقابل عمود $e$ : $1 + 3(x + y) + 4(-1) + 5\cdot0 = 0$ ، ومنه $x + y = 1$ . وعمود $c$ مقابل عمود $c^2$ (وهما صنفان متمايزان، فهما متعامدان): $1 + xy + yx + 1 + 0 = 0$ ، ومنه $xy = -1$ . ومنه يحل $x, y$ المعادلةَ $T^2 - T - 1 = 0$ : أي $\{x, y\} = \{\varphi, \bar\varphi\}$ مع $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ . والاتساق: $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3 = \frac{60}{12} - 2$ — وهو مطابق لمتطابقة العمود مع نفسه $1 + x^2 + y^2 + 1 + 0 = 5$ . والجدول:

	$e$	$15\,t$	$20\,s$	$12\,c$	$12\,c^2$
$\chi_1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
$\chi_2$	$3$	$-1$	$0$	$\varphi$	$\bar\varphi$
$\chi_3$	$3$	$-1$	$0$	$\bar\varphi$	$\varphi$
$\chi_4$	$4$	$0$	$1$	$-1$	$-1$
$\chi_5$	$5$	$1$	$-1$	$0$	$0$

20. $\norm{\chi_2}^2 = \frac1{60}\bigl(9 + 15\cdot1 + 0 + 12\varphi^2 + 12\bar\varphi^2\bigr) = \frac{9 + 15 + 36}{60} = 1$ ، باستعمال $\varphi^2 + \bar\varphi^2 = (\varphi + \bar\varphi)^2 - 2\varphi\bar\varphi = 1 + 2 = 3$ . وبالمثل $\langle\chi_2, \chi_3\rangle = \frac1{60}(9 + 15 + 0 + 12(2\varphi\bar\varphi)) = \frac{9 + 15 - 24}{60} = 0$ . وأما قابلية القسمة لفروبينيوس: فالأعداد $1, 3, 3, 4, 5$ تقسم $60$ جميعًا. والقيم غير الناطقة $\varphi, \bar\varphi$ هي الفرق المرئي مع $S_5$ : ففي $S_5$ يكون كل عنصر مقترنًا بجميع مولّدات زمرته الدائرية ذات نمط الدورات نفسه — وعلى وجه الخصوص $c \sim c^2$ — وهذا يفرض قيم طوابع ناطقة (بل صحيحة)؛ أما في $A_5$ فيفتح انشطار الدورات الخماسية البابَ أمام $\Q(\sqrt5)$ .

21. الزمرة الجزئية الناظمية $N$ اتحادُ أصناف، وتحتوي على $e$ ، و $\abs N \mid 60$ . والمجاميع المرشّحة: $1{+}15 = 16$ ، $1{+}20 = 21$ ، $1{+}12 = 13$ ، $1{+}24 = 25$ ، $1{+}15{+}20 = 36$ ، $1{+}15{+}12 = 28$ ، $1{+}15{+}24 = 40$ ، $1{+}20{+}12 = 33$ ، $1{+}20{+}24 = 45$ ، $1{+}12{+}12 = 25$ ، $1{+}15{+}20{+}12 = 48$ ، $1{+}15{+}20{+}24 = 60 - 12 = \dots$ ؛ وبسرد جميع المجاميع الجزئية الفعلية التي تحتوي على $1$ : لا يقسم أيٌّ من $13, 16, 21, 25, 28, 33, 36, 40, 45, 48, 13{+}\dots$ العددَ $60$ سوى $1$ نفسه: ومنه $N = \{e\}$ أو $A_5$ . فالبساطة تُقرأ من خمسة أعداد. ومحك السؤال 11 مرئي أيضًا: فأعداد عناصر الأصناف $15 = 3\cdot5$ و $20 = 4\cdot5$ و $12 = 4\cdot3$ كلها مركّبة من عددين أوليين — فلا صنف قوةَ عدد أولي، تمامًا كما يقتضي محك بيرنسايد من زمرة بسيطة.

22. لدوران في $\R^3$ بزاوية $\theta$ قيمٌ ذاتية $1, \eu^{\iu\theta}, \eu^{-\iu\theta}$ : وأثره $1 + 2\cos\theta$ . ومن أجل $\theta = \frac{2\pi}5$ : $2\cos\frac{2\pi}5 = \frac{\sqrt5 - 1}2$ ، ومنه فالأثر $1 + \frac{\sqrt5-1}2 = \frac{1+\sqrt5}2 = \varphi$ . ويرسل العنصر غير التافه $\tau$ من $\operatorname{Gal}(\Q(\sqrt5)/\Q)$ ، مطبَّقًا مدخلةً مدخلةً على جدول طوابع، الطوابعَ إلى طوابع (فهو يتبادل مع الجبر المعرِّف: إذ إن $\tau\circ\chi$ طابع التمثيل الناتج عن نقل المصفوفات عبر $\tau$ على المدخلات، أو تجريديًا: لأن علاقات التعامد ناطقة على $\Q$ ، ومنه يبدّل $\tau$ حلولَها)؛ ويُثبّت $\tau$ الطوابعَ $\chi_1, \chi_4, \chi_5$ (لأن قيمها ناطقة) ولا بد أن يبادل بين $\chi_2$ و $\chi_3$ : فيحمل الطابع الثاني ذو الدرجة $3$ القيمَ المقترنة، دون حساب أي مصفوفة. وهندسيًا، فإن التمثيلين هما الفعل العشريني الوجوه ومركّبه مع تماثل ذاتي خارجي للزمرة $A_5$ (بالاقتران بمبادلة)، وهو يبادل بين صنفَي الدورات الخماسية.

23. من أجل $z \in Z(G)$ ، يتبادل $\rho(z)$ مع كل $\rho(g)$ ، ومنه بمبرهنة شور المساعدة $\rho(z) = \lambda\, \mathrm{id}$ ؛ وبما أن رتبة $z$ منتهية، فإن $\lambda$ جذر للوحدة، و $\abs{\chi(z)} = \abs\lambda\,n = n$ . عندئذٍ

\abs G = \abs G\,\langle\chi, \chi\rangle = \sum_{g \in G}\abs{\chi(g)}^2 \geq \sum_{z \in Z(G)}\abs{\chi(z)}^2 = \abs{Z(G)}\,n^2,

أي $n^2 \leq [G : Z(G)]$ . ولزمرة غير أبيلية رتبتها $8$ ( $D_4$ أو $Q_8$ ) خمسة أصناف اقتران، ومنه خمس درجات غير قابلة للاختزال تحقق $\sum n_i^2 = 8$ ؛ والطريقة الوحيدة لكتابة $8$ مجموعَ خمسة مربّعات $\geq 1$ هي $1 + 1 + 1 + 1 + 4$ : أي الدرجات $1, 1, 1, 1, 2$ . ولكلتا الزمرتين مركزٌ رتبته $2$ ، ويبلغ الطابع ذو الدرجة $2$ التساوي: $2^2 = 4 = [G : Z(G)]$ — فالحد دقيق. وأما من أجل $A_5$ ، فإن $Z = \{e\}$ ويُقرأ الحد $n^2 \leq 60$ : وهو محقَّق من أجل $1, 3, 3, 4, 5$ بفسحة ( $25 \leq 60$ )، كما يجب، لأن التساوي كان سيفرض (بالسلسلة نفسها) انعدام $\chi$ خارج المركز.

24. لدينا $\rho(g)^m = \mathrm{id}$ حيث $m$ رتبة $g$ ، ومنه يُبيد $X^m - 1$ المقدارَ $\rho(g)$ ، وهو منشطر بجذور بسيطة على $\C$ : فيكون قابلًا للتقطير، بقيم ذاتية $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ هي جذور للوحدة، في أساس ذاتي $(e_i)$ . وتشكّل الجداءات $e_ie_j$ (حيث $i \leq j$ ) أساسًا ذاتيًا للفضاء $\operatorname{Sym}^2V$ بقيم ذاتية $\lambda_i\lambda_j$ ، وتشكّل $e_i \wedge e_j$ (حيث $i < j$ ) أساسًا ذاتيًا للفضاء $\Lambda^2V$ ؛ وبما أن

\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = \frac{(\sum_i\lambda_i)^2 - \sum_i\lambda_i^2}2 = \frac{\chi(g)^2 - \chi(g^2)}2,

ويضيف المجموع المتناظر $\sum_i\lambda_i^2$ بدل أن يطرحه، تنتج الصيغتان كلتاهما. ومن أجل $\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi)$ على الأصناف $(e, (2,2)\text{-}, 3\text{-دورات}, c, c^2)$ : يرسل التربيع المبادلاتِ المزدوجة إلى $e$ ، والدوراتِ الثلاثية إلى دورات ثلاثية، وصنفَ $c$ على صنف $c^2$ وبالعكس (لأن $c^{-1} \sim c$ في $A_5$ ، ومنه $c^4 \sim c$ ). ومنه تُقرأ $\chi_2(g^2)$ على أنها $(3, 3, 0, \bar\varphi, \varphi)$ ، وباستعمال $\varphi^2 = \varphi + 1$ نجد $\bar\varphi = 1 - \varphi$ :

\Lambda^2\chi_2 = (3, -1, 0, \varphi, \bar\varphi) = \chi_2, \qquad \operatorname{Sym}^2\chi_2 = (6, 2, 0, 1, 1) .

وبتفكيك الأخير، مع أعداد عناصر الأصناف $1, 15, 20, 12, 12$ : $\langle\cdot, \mathbf 1\rangle = \frac1{60}(6 + 15\cdot2 + 0 + 12 + 12) = 1$ ؛ $\langle\cdot, \chi_5\rangle = \frac1{60}(30 + 30) = 1$ ؛ $\langle\cdot, \chi_4\rangle = \frac1{60}(24 - 12 - 12) = 0$ ؛ $\langle\cdot, \chi_2\rangle = \frac1{60}(18 - 30 + 12(\varphi + \bar\varphi)) = 0$ ، وبالمثل من أجل $\chi_3$ . ومنه $\operatorname{Sym}^2\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_5$ (بأبعاد $6 = 1 + 5$ ) و $\chi_2\otimes\chi_2 = \mathbf 1 + \chi_2 + \chi_5$ (بأبعاد $9 = 1 + 3 + 5$ ). وهندسيًا: التماثل المتكافئ فعليًا $\Lambda^2\R^3 \to \R^3$ ، $u \wedge v \mapsto u \times v$ ، هو بالضبط $\Lambda^2\chi_2 = \chi_2$ من أجل زمرة دورانات؛ والحد $\mathbf 1$ من المربّع المتناظر هو الشكل التربيعي الصامد $x^2 + y^2 + z^2$ ، ويعيش $\chi_5$ على الفضاء ذي البُعد الخمسة المؤلَّف من التنسورات المتناظرة معدومة الأثر (التربيعيات التوافقية).

25. عمود $c$ مقابل عمود $c^2$ :

1\cdot1 + \varphi\bar\varphi + \bar\varphi\varphi + (-1)(-1) + 0 = 1 - 1 - 1 + 1 + 0 = 0,

كما يقتضي التعامد من أجل صنفين متمايزين ( $\varphi \bar\varphi = -1$ ). وعمود $c$ مع نفسه: $1 + \varphi^2 + \bar\varphi^2 + 1 + 0 = 1 + 3 + 1 = 5 = 60/12 = \abs{Z_{A_5}(c)}$ . والطابع المنتظم $\sum_in_i\chi_i$ على الأعمدة الأربعة غير عمود المحايد:

1 - 3 - 3 + 0 + 5 = 0, \qquad 1 + 0 + 0 + 4 - 5 = 0,

على المبادلات المزدوجة والدورات الثلاثية، وعلى صنف $c$ (وصنف $c^2$ مقترنه الغالوايّ):

1 + 3\varphi + 3\bar\varphi - 4 + 0 = 1 + 3 - 4 = 0,

باستعمال $\varphi + \bar\varphi = 1$ . فالجدول ينجح في كل تدقيق: إنه جدول طوابع $A_5$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد