ما معنى الحلقة؟

مثال 7.18

المجموعات $\Z, \Q, \R, \C$ حلقات تبديلية؛ و$\Z^\times = \{1, -1\}$ و $\Q^\times = \Q^*$. ولاحقًا: حلقات كثيرات الحدود $K[X]$ (الفصل 8)، وحلقات المصفوفات (وهي غير تبديلية، الفصل 21)، و $\Z/n\Z$ أدناه. وفي كل حلقة، $0 \times a = 0$ (من التوزيعية: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$)، و $(-1)a = -a$.

مثال 7.19 (العناصر الجامدة: ظواهر جديدة في حلقات جديدة)

في $\Z$، ليس للمعادلة $x^2 = x$، أي $x(x - 1) = 0$، إلا الحلان $0$ و $1$. وفي $\Z/6\Z$، بتجريب كل الصفوف: $\overline0^2 = \overline0$ و$\overline1^2 = \overline1$ و $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ و$\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — أي أربعة عناصر جامدة. والعنصران الغريبان يأتيان من قواسم الصفر: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ دون أن ينعدم أيّ من العاملين. وحسابات كهذه تعاير الحدس: فالوقائع المألوفة عن المعادلات تصمد في الحلقات التامة والحقول، لكن الحلقة العامة يمكن أن تسلك سلوكًا مختلفًا وهي تفعل — وانظر كذلك الحلقات البوليانية في التمرين 7.10، حيث يكون كل عنصر جامدًا.

مثال 7.21 (مبرهنة ثنائي الحدّ في حلقة غير مألوفة)

فائدتان سريعتان من هذه العمومية. ففي $\Z/p\Z$ (حيث $p$ أوليّ)، تنعدم المعاملات الثنائية الوسطى (وهي الخطوة الأولى من المبرهنة 6.23)، فتنهار المبرهنة إلى حلم المبتدئ

وهي متطابقة حقيقية هناك، مهما بدت إجرامية فوق $\R$. وفي أيّ حلقة تبديلية تحوي عنصرًا $\varepsilon$ يحقق $\varepsilon^2 = 0$، تُبتر المبرهنة: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$، إذ تحمل كل الحدود الأعلى عاملًا $\varepsilon^2 = 0$. والمعامل $n\,a^{n-1}$ للمقدار $\varepsilon$ هو مشتقة $x^n$ — وليس هذا مصادفة، وهو أول إشارة إلى أن المشتقات جبرٌ بقدر ما هي تحليل (قارن المشتقة الصورية في الفصل 8).