Qu'est-ce que « Anneau » ?

Exemple 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ sont des anneaux commutatifs ; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Plus tard : les anneaux de polynômes $K[X]$ (Chapitre 8), les anneaux de matrices (non commutatifs, Chapitre 21), et $\Z/n\Z$ ci-dessous. Dans tout anneau, $0 \times a = 0$ (par distributivité : $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), et $(-1)a = -a$.

Exemple 7.19 (Idempotents : des phénomènes nouveaux dans des anneaux nouveaux)

Dans $\Z$, l’équation $x^2 = x$, c’est-à-dire $x(x - 1) = 0$, n’a que les solutions $0$ et $1$. Dans $\Z/6\Z$, en testant toutes les classes : $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ et $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — quatre idempotents. Les deux exotiques proviennent de diviseurs de zéro : $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, sans qu’aucun des deux facteurs ne soit nul. De tels calculs recalibrent l’intuition : les faits familiers sur les équations survivent dans les anneaux intègres et dans les corps, mais un anneau quelconque peut se comporter — et se comporte — tout autrement ; voir aussi les anneaux de Boole de l’Exercice 7.10, où tout élément est idempotent.

Exemple 7.21 (La formule du binôme dans un anneau inhabituel)

Deux bénéfices immédiats de cette généralité. Dans $\Z/p\Z$ ($p$ premier), les coefficients binomiaux intermédiaires sont nuls (c’est la première étape du Théorème 6.23), de sorte que la formule s’effondre en le rêve du débutant

une véritable identité dans cet anneau, si criminelle qu’elle paraisse sur $\R$. Et dans tout anneau commutatif contenant un élément $\varepsilon$ tel que $\varepsilon^2 = 0$, la formule se tronque : $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, tous les termes suivants portant un facteur $\varepsilon^2 = 0$. Le coefficient $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ est la dérivée de $x^n$ — ce n’est pas un hasard, et c’est un premier indice que les dérivées relèvent autant de l’algèbre que de l’analyse (comparer avec la dérivée formelle du Chapitre 8).