¿Qué es Anillo?

Ejemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ son anillos conmutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Más adelante: anillos de polinomios $K[X]$ (Capítulo 8), anillos de matrices (no conmutativos, Capítulo 21) y $\Z/n\Z$ más abajo. En todo anillo, $0 \times a = 0$ (por distributividad: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$), y $(-1)a = -a$.

Ejemplo 7.19 (Idempotentes: fenómenos nuevos en anillos nuevos)

En $\Z$, la ecuación $x^2 = x$, es decir, $x(x - 1) = 0$, solo tiene las soluciones $0$ y $1$. En $\Z/6\Z$, probando todas las clases: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ y $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — cuatro idempotentes. Los dos exóticos vienen de los divisores de cero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$ sin que ninguno de los factores sea cero. Cálculos así calibran la intuición: los hechos familiares sobre ecuaciones sobreviven en los dominios de integridad y en los cuerpos, pero un anillo general puede comportarse de otro modo, y lo hace — véanse también los anillos booleanos del Ejercicio 7.10, donde todo elemento es idempotente.

Ejemplo 7.21 (El teorema del binomio en un anillo poco familiar)

Dos réditos rápidos de la generalidad. En $\Z/p\Z$ ($p$ primo), los coeficientes binomiales intermedios se anulan (primer paso del Teorema 6.23), de modo que el teorema se reduce al sueño del novato

identidad genuina allí, por criminal que parezca sobre $\R$. Y en cualquier anillo conmutativo que contenga un elemento $\varepsilon$ con $\varepsilon^2 = 0$, el teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, pues todos los términos superiores llevan un factor $\varepsilon^2 = 0$. El coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ es la derivada de $x^n$ — no es casualidad, y es un primer indicio de que las derivadas son álgebra tanto como análisis (compárese con la derivada formal de Capítulo 8).