O que é Anel?

Exemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ são anéis comutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Mais adiante: os anéis de polinômios $K[X]$ (Capítulo 8), os anéis de matrizes (não comutativos, Capítulo 21) e $\Z/n\Z$ abaixo. Em todo anel, $0 \times a = 0$ (por distributividade: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$) e $(-1)a = -a$.

Exemplo 7.19 (Idempotentes: fenômenos novos em anéis novos)

Em $\Z$, a equação $x^2 = x$, isto é, $x(x - 1) = 0$, só tem as soluções $0$ e $1$. Em $\Z/6\Z$, testando todas as classes: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ e $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — quatro idempotentes. Os dois exóticos vêm dos divisores de zero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, sem que nenhum dos fatores seja nulo. Cálculos assim calibram os instintos: fatos familiares sobre equações sobrevivem em domínios de integridade e corpos, mas um anel geral pode se comportar — e se comporta — de outro modo; veja também os anéis booleanos do Exercício 7.10, em que todo elemento é idempotente.

Exemplo 7.21 (O teorema binomial num anel pouco familiar)

Dois dividendos rápidos da generalidade. Em $\Z/p\Z$ ($p$ primo), os coeficientes binomiais intermediários se anulam (primeiro passo do Teorema 6.23), de modo que o teorema colapsa no sonho do calouro

uma identidade genuína ali, por mais criminosa que pareça sobre $\R$. E, em qualquer anel comutativo que contenha um elemento $\varepsilon$ com $\varepsilon^2 = 0$, o teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, com todos os termos superiores carregando um fator $\varepsilon^2 = 0$. O coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ é a derivada de $x^n$ — o que não é acidente, e é um primeiro indício de que as derivadas são tanto álgebra quanto análise (compare com a derivada formal do Capítulo 8).