الرياضيات الجامعية — السنة 1 · السنة الجامعية 1

21المصفوفات

المصفوفة تطبيقٌ خطي مكتوبٌ بالإحداثيات. ويهيّئ هذا الفصل القاموس — فيصير التركيب جداءَ مصفوفات، وتصير التقابلية قابليةً للقلب، ويصير تغيير الأساس اقترانًا — و الجانب الخوارزمي: العمليات على السطور، وحساب الرتب و المعكوسات. وقد لُقيت المصفوفات أول مرة في مجلّد الثانوي، وهي الآن مؤسَّسة على نظرية الفصول 18، 19 و20.

21.1 المصفوفات والتطبيقات الخطية

تعريف 21.1

$\mathcal{M}_{n,p}(K)$ هو الفضاء المتجهي للجداول $n \times p$ $A = (a_{ij})$ من السلالم ( $i$ : السطر، $j$ : العمود)، وبُعده $np$ (بالأساس: المصفوفات $E_{ij}$ ذات $1$ واحد). ومن أجل أساسين $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_p)$ للمقدار $E$ و $\mathcal{C}$ للمقدار $F$ ( $\dim F = n$ )، تكون مصفوفة $u \in \mathcal{L}(E, F)$ هي الجدول الذي يسرد عموده $j$ إحداثيات $u(e_j)$ في $\mathcal{C}$ :

\operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u) = (a_{ij}), \qquad u(e_j) = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}\, f_i .

والتطبيق $u \mapsto \operatorname{Mat}_{\mathcal{B},\mathcal{C}}(u)$ تشاكل تقابلي من $\mathcal{L}(E, F)$ على $\mathcal{M}_{n,p}(K)$ (القضية 20.2: فالتطبيق الخطي هو بالضبط اختيار صور المقادير $e_j$ ).

مثال 21.2 (المشتقة، مصفوفةً)

لتكن $D(P) = P'$ على $\R_3[X]$ . وفي الأساس الوحيد الحدّ $(1, X, X^2, X^3)$ : $D(1) = 0$ و $D(X) = 1$ و $D(X^2) = 2X$ و $D(X^3) = 3X^2$ ، ومنه

\operatorname{Mat}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

وفي الأساس المقسوم $\bigl(1,\ X,\ \frac{X^2}2,\ \frac{X^3}6\bigr)$ ، يُرسل كل متجهة أساس إلى السابقة ( $D\bigl(\frac{X^k}{k!}\bigr) = \frac{X^{k-1}}{(k-1)!}$ )، و تصير المصفوفة إزاحةً محضة: آحادٌ على القطر الفوقي، وأصفار فيما عداه. ودرسان: المصفوفة تنتمي إلى الزوج (التطبيق، الأساس)، لا إلى التطبيق وحده؛ والأساس الجيد يجعل البنية مرئية بنظرة — فصورة الإزاحة تبيّن فورًا أن $D^4 = 0$ على $\R_3[X]$ ، إذ تدفع كل قوة للمصفوفة قطرَ آحادها خطوةً أبعد.

تعريف 21.3 (الجداء)

من أجل $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ و $B \in \mathcal{M}_{p,q}$ :

(AB)_{ik} = \sum_{j=1}^{p} a_{ij}\, b_{jk} \qquad (1 \leq i \leq n,\ 1 \leq k \leq q).

وهذا بالضبط مصفوفة التركيب: $\operatorname{Mat}(v \circ u) = \operatorname{Mat}(v)\, \operatorname{Mat}(u)$ (بتطابق الأسس في الوسط). وكذلك، إذا كان $X$ عمود إحداثيات $x$ ، فإن عمود $u(x)$ هو $AX$ .

برهان صيغة التركيب.

v(u(e_k)) = v\Bigl(\sum_j b_{jk} f_j\Bigr) = \sum_j b_{jk}\, v(f_j) = \sum_j b_{jk} \sum_i a_{ij}\, g_i = \sum_i \Bigl(\sum_j a_{ij} b_{jk}\Bigr) g_i . \qedhere

∎

قضية 21.4 (الجبر $\mathcal{M}_n(K)$ )

تكوّن المصفوفات المربعة $\mathcal{M}_n(K)$ حلقةً (غير تبديلية من أجل $n \geq 2$ ) بالعنصر المحايد $I_n$ ؛ وزمرة عناصرها القابلة للقلب هي الزمرة الخطية العامة $GL_n(K)$ ، وهي تقابل التشاكلات الذاتية التقابلية. ومن أجل $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

AB = I_n \implies A \in GL_n(K) \text{ و } B = A^{-1}

(والمعكوسات من جهة واحدة ثنائية الجهة، حسب النتيجة 20.9).

برهان. تنتقل بديهيات الحلقة من $\mathcal{L}(E)$ عبر التشاكل التقابلي في التعريف 21.1: فهو يحوّل التركيب إلى جداء والمجموع إلى مجموع، ومنه تُورَّث التجميعية والتوزيعية ودور $I_n$ من الوقائع المقابلة عن التطبيقات، دون أيّ تحقق مركّبةً مركّبة. وعدم التبديلية: $E_{12}E_{21} = E_{11} \neq E_{22} = E_{21}E_{12}$ . وإذا كان $AB = I_n$ : فإن التشاكل الذاتي $a$ للمقدار $A$ يحقق $a \circ b = \mathrm{id}$ ، ومنه فالتطبيق $a$ شامل (لأن $x = a(b(x))$ يظهر صورة عكسية لكل $x$ )، ومنه تقابلي في البُعد المنتهي (النتيجة 20.9)؛ وبتركيب $a \circ b = \mathrm{id}$ مع $a^{-1}$ من اليسار نجد $b = a^{-1}$ ، وعندئذ $b\circ a = \mathrm{id}$ كذلك: أي إن المعكوس من جهة واحدة كان ثنائي الجهة طوال الوقت — وهي منّة منتهية البُعد قطعًا. ∎

تعريف 21.5 (المنقولة؛ الأثر)

منقولة $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}$ هي $A^{\mathsf T} = (a_{ji}) \in \mathcal{M}_{p,n}$ ؛ وهي تحقق $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T} A^{\mathsf T}$ و $(A^{\mathsf T})^{\mathsf T} = A$ . و أثر مصفوفة مربعة هو $\operatorname{tr} A = \sum_i a_{ii}$ ؛ وهو خطي، و

\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) \qquad (A \in \mathcal{M}_{n,p},\ B \in \mathcal{M}_{p,n}).

برهان متطابقة الأثر. $\operatorname{tr}(AB) = \sum_i \sum_j a_{ij} b_{ji}$ و $\operatorname{tr}(BA) = \sum_j \sum_i b_{ji} a_{ij}$ : أي المجموع المزدوج نفسه. ∎

مثال 21.6 (الأثر في العمل)

للإسقاط من الفصل 20 على $\operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $\operatorname{Vect}(0,1)$ ، $p(x, y) = (x, x)$ ، المصفوفةُ $A = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني: فعلًا $A^2 = A$ ، و

\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A ,

موضّحًا التمرين 21.8: فمن أجل الجوامد يعدّ الأثر بُعد الصورة، مهما كان الأساس المائل الذي كُتبت فيه المصفوفة. وآلية الحفظ هي المتطابقة $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ :

\operatorname{tr}\bigl(P^{-1}(AP)\bigr) = \operatorname{tr}\bigl((AP)P^{-1}\bigr) = \operatorname{tr} A ,

ومنه فكل المصفوفات المشابهة للمقدار $A$ تتقاسم أثره — وهو أول قرينة عددية لتشاكل ذاتي، وسينضم إليها المحدد في الفصل 22 (والزوج $(s, p)$ في مسألة نهاية الأسبوع أدناه).

مثال 21.7 (متماثلة زائد متخالفة التماثل)

سمِّ $A$ متماثلة إذا كان $A^{\mathsf T} = A$ ، و متخالفة التماثل إذا كان $A^{\mathsf T} = -A$ . وكل مصفوفة مربعة تنقسم انقسامًا وحيدًا إلى واحدة زائد الأخرى:

A = \underbrace{\frac{A + A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متماثلة}} + \underbrace{\frac{A - A^{\mathsf T}}{2}}_{\text{متخالفة التماثل}},

والمصفوفة التي هي الاثنتان معًا معدومة (لأن $A = -A$ ): ومنه فالمجموعتان فضاءان جزئيان متتامّان من $\mathcal{M}_n(K)$ — وهو النظير المضبوط لانقسام الدوال إلى زوجية وفردية (المثال 18.11)، مع النقل يلعب دور $x \mapsto -x$ . والأبعاد: فالمصفوفة المتماثلة حرة على القطر وفوقه، والمتخالفة التماثل فوقه قطعًا (بقطر معدوم):

\frac{n(n+1)}{2} + \frac{n(n-1)}{2} = n^2 ,

وتوازن العدّ هو تأكيد غراسمان للانفصال. ومن أجل $n = 2$ : $\begin{pmatrix} 1 & 5\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix}$ . وتعود المصفوفات المتماثلة معطياتِ المشتقات الثانية في الفصل 25 (ثلاثي مونج $r, s, t$ )، وتُصنَّف المتماثلة المتعامدة في التمرين 23.12.

21.2 تغيير الأساس

تعريف 21.8

ليكن $\mathcal{B}, \mathcal{B}'$ أساسين للمقدار $E$ . مصفوفة تغيير الأساس $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ أعمدتها إحداثيات متجهات الأساس الجديد في الأساس القديم. وهي قابلة للقلب، و $P^{-1} = P_{\mathcal{B}'\to\mathcal{B}}$ ، و تتحول الإحداثيات بالمقدار $X = PX'$ (قديم $=$ $P\,\cdot$ جديد).

مثال 21.9 (قراءة مصفوفة تغيير الأساس)

في $\R^2$ ، من القانوني $\mathcal B$ إلى $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = P_{\mathcal B\to\mathcal B'} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(بكتابة المتجهات الجديدة بالإحداثيات القديمة، عمودًا عمودًا). و لمتجهة الإحداثيات القديمة $X = (3, 1)^{\mathsf T}$ إحداثياتٌ جديدة $X' = P^{-1}X = \frac12(3 + 1,\ 3 - 1)^{\mathsf T} = (2, 1)^{\mathsf T}$ : فعلًا $2(1,1) + 1(1,-1) = (3,1)$ . وانتبه للاتجاه — فالمصفوفة $P$ مبنية من الأساس الجديد لكنها تحوّل من الجديد إلى القديم ( $X = PX'$ )؛ وأمّا الانتقال من القديم إلى الجديد فيكلّف المعكوس. وكتابة تحقق السلامة $2(1,1) + (1,-1) = (3,1)$ بعد كل تحويل تمسك خطأ قلب $P$ ، وهو أشيع أخطاء الفصل.

مبرهنة 21.10 (تغيير الأساس من أجل تطبيق)

ليكن $u \in \mathcal{L}(E)$ بمصفوفة $A$ في $\mathcal{B}$ و $A'$ في $\mathcal{B}'$ ، ولتكن $P = P_{\mathcal{B}\to\mathcal{B}'}$ . عندئذ

A' = P^{-1} A\, P .

والمصفوفتان المرتبطتان هكذا متشابهتان. (ومن أجل $u \colon E \to F$ بزوجَي أسس، تكون الصيغة $A' = Q^{-1} A P$ — وهما مصفوفتان متكافئتان.)

برهان. من أجل أيّ $x$ : $X = PX'$ وتحقق الصورة $Y = AX$ و $Y = PY'$ . ومنه $PY' = APX'$ ، أي $Y' = (P^{-1}AP)X'$ من أجل كل $X'$ : ومنه فمصفوفة $u$ في الأساس الجديد هي $P^{-1}AP$ (بأخذ الأعمدة القانونية من أجل $X'$ ). ∎

مثال 21.11 (أساس جيد يجعل التطبيق شفافًا)

لتكن $u(x, y) = (y, x)$ (وهي مبادلة)، بمصفوفة $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ في الأساس القانوني. وفي الأساس $\mathcal B' = \bigl((1,1), (1,-1)\bigr)$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} A P = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.

ولم يُحتَج فعلًا إلى أيّ جداء مصفوفات: فالتطبيق $u$ يثبّت $(1,1)$ و يعكس $(1,-1)$ ، ومنه يجب أن تكون مصفوفته في $\mathcal B'$ $\operatorname{diag}(1, -1)$ — فالمبادلة هي الانعكاس عبر المستقيم $y = x$ . وإيجاد أساس، من أجل تشاكل ذاتي معطى، تصير فيه مصفوفته قطرية هو المسألة المركزية في مجلّد السنة الثانية (نظرية التقطير)؛ وتبيّن مسألة نهاية الأسبوع أدناه إلى أيّ مدى تذهب المتطابقات الكثيرةالحدود وحدها أصلًا.

مثال 21.12 (تغيير الأساس، مشغَّلًا بالمقلوب)

للإسقاط على $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ على امتداد $G = \operatorname{Vect}(1,-1)$ ، في الأساس المكيَّف $\mathcal B' = \bigl((1,1),(1,-1)\bigr)$ ، المصفوفةُ الشفافة $A' = \operatorname{diag}(1, 0)$ . وللحصول على مصفوفته في الأساس القانوني، شغّل المبرهنة 21.10 بالمقلوب، $A = P A' P^{-1}$ :

P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}, \quad A = P\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}P^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}.

وللتحقق: $A^2 = A$ (فهي جامدة)، و $\operatorname{tr} A = 1 = \operatorname{rk} A$ ، و $A\binom{1}{1} = \binom11$ و $A\binom{1}{-1} = 0$ ، كما فُرض. وهذا الاتجاه العكسي — صمّم المصفوفة في الأساس الجيد، ثم اقترن رجوعًا — هو كيف تُنتج فعلًا مصفوفات الدوران والانعكاس والإسقاط في الممارسة.

مبرهنة 21.13 (الصورة الناظمية للرتبة)

رتبة مصفوفة (وهي رتبة أعمدتها، وبكيفية مكافئة رتبة التطبيق الخطي المرتبط بها) هي القرينة الوحيدة للتكافؤ: فكل $A \in \mathcal{M}_{n,p}$ رتبتها $r$ تكافئ

J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},

و $\operatorname{rk}(A^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(A)$ : أي إن رتبة السطور تساوي رتبة الأعمدة.

برهان. ليكن $u \colon E \to F$ ذا رتبة $r$ . اختر متتامًّا $S$ للمقدار $\ker u$ ( $\dim S = r$ ، المبرهنة 20.7) بأساس $(e_1, \dots, e_r)$ ، متمَّمًا بأساس للمقدار $\ker u$ ليعطي أساسًا للمقدار $E$ ؛ فتكوّن الصور $f_i = u(e_i)$ مع $i \leq r$ أساسًا للمقدار $\operatorname{im} u$ (لأن القصر تشاكل تقابلي)، متمَّمًا ليعطي أساسًا للمقدار $F$ . وفي هذين الأساسين تكون مصفوفة $u$ هي بالضبط $J_r$ . ومنه $A = Q J_r P^{-1}$ من أجل $P, Q$ قابلتين للقلب.

وبالنقل: $A^{\mathsf T} = (P^{-1})^{\mathsf T} J_r^{\mathsf T} Q^{\mathsf T}$ مع $J_r^{\mathsf T}$ من الشكل نفسه (بالرتبة $r$ ) والعاملان الخارجيان قابلان للقلب (لأن منقولة القابلة للقلب قابلة للقلب، من $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ مطبَّقًا على $AA^{-1} = I$ ): $\operatorname{rk} A^{\mathsf T} = r$ . ∎

21.3 العمليات على السطور

طريقة 21.14 (إزاحة غاوس على المصفوفات)

العمليات الأولية على السطور الثلاث — مبادلة سطرين، وضرب سطر في $\lambda \neq 0$ ، وإضافة مضاعف لسطر إلى آخر — لا تغيّر الرتبة (لأن كلًّا منها ضربٌ من اليسار في مصفوفة قابلة للقلب). والخوارزمية: أنشئ محورًا (وهو أقصى مركّبة غير معدومة إلى اليسار)، ونظّف عموده تحته، وانتقل إلى السطر والعمود التاليين؛ ويكون عدد محاور الصورة الدرجية الناتجة هو الرتبة.

وحساب المعكوس: شغّل الخوارزمية على الكتلة $(A \mid I_n)$ حتى تصير الكتلة اليسرى $I_n$ (وهذا ممكن إذا وفقط إذا كانت $A$ قابلة للقلب)؛ فتكون الكتلة اليمنى عندئذ $A^{-1}$ — إذ إن جداء المصفوفات الأولية المستعملة يساوي $A^{-1}$ .

مثال 21.15

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ : قلّص $(A \mid I_2)$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \tfrac32 & -\tfrac12 \end{pmatrix},

(والعمليات: $L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1$ ؛ ثم $L_1 \leftarrow L_1 + L_2$ و $L_2 \leftarrow -\frac12 L_2$ ). ومنه $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac32 & -\tfrac12\end{pmatrix}$ . وللتحقق: $AA^{-1} = I_2$ .

مثال 21.16 (رتبة بوسيط، بالسطور وحدها)

من أجل $m \in \R$ ، رتبة $M_m = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{pmatrix}$ . قلّص: يعطي $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - mL_1$ السطرين

(1,\ 1,\ m), \qquad (0,\ m - 1,\ 1 - m), \qquad (0,\ 1 - m,\ 1 - m^2).

الحالة $m = 1$ : ينعدم السطران الأخيران — فمحور واحد و $\operatorname{rk} M_1 = 1$ (لأن السطور الأصلية الثلاثة كانت متساوية). والحالة $m \neq 1$ : اضرب $L_2$ في $\frac1{m-1}$ و $L_3$ في $\frac1{1-m}$ لتحصل على $(0, 1, -1)$ و $(0, 1, 1 + m)$ ، ثم $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = (0, 0, m + 2)$ . وإذا كان $m = -2$ : فمحوران، والرتبة $2$ ؛ وإلا فثلاثة محاور، والرتبة $3$ . وتلخيصًا:

\operatorname{rk} M_m = \begin{cases} 1 & m = 1,\\ 2 & m = -2,\\ 3 & \text{فيما عدا ذلك}. \end{cases}

وسوف تسقط العتبات نفسها من حساب محدد واحد في الفصل 22 (وهو كثير الحدود $-(m+2)(m-1)^2$ في التمرين 22.7) — لكن لاحظ ما تعطيه الإزاحة ولا يعطيه المحدد: أي قيمة الرتبة في الحالات المنحلّة، لا مجرد كونها هبطت.

مثال 21.17 (حساب القوى)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I + N$ مع $N = E_{12}$ و $N^2 = 0$ . ولأن $I$ و $N$ يتبادلان، تُقطع مبرهنة ثنائي الحدّ (القضية 7.20):

A^k = I + kN = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad (k \in \N, \text{ و } k \in \Z \text{ باستعمال } A^{-1} = I - N).

طريقة 21.18 (حساب $A^n$ : الطرق الثلاثة)

الطريق الثنائي: إذا كان $A = \lambda I + N$ مع $N$ معدومة القوى، تُقطع مبرهنة ثنائي الحدّ (المثال 21.17 و التمرين 21.5)؛ وهو ينطبق لأن $\lambda I$ يتبادل مع كل شيء.
الطريق الكثيرالحدود: جد متطابقة كثيرةالحدود يحققها $A$ (وفي البُعد $2$ ، دائمًا $A^2 = sA - pI$ ) وردّ $X^n$ بترديدها؛ وتبني مسألة نهاية الأسبوع أدناه هذا الطريق كاملًا.
طريق التشابه: جد $P$ قابلة للقلب تحقق $P^{-1}AP = D$ بسيطة (قطرية أو إزاحة)، واحسب $D^n$ ، وافكك: $A^n = P D^n P^{-1}$ (المبرهنة 21.10 و المثال 21.11)؛ والبحث المنهجي عن مثل هذه $P$ هو نظرية التقطير في السنة الثانية.

ومهما كان الطريق، تحقق من النتيجة عند $n = 0, 1, 2$ : أي ثلاثة اختبارات رخيصة تمسك كل زلّة تقريبًا.

ملاحظة 21.19 (مزالق شائعة: ثمن عدم التبديلية)

كل متطابقة في الجبر السلّمي يعيد برهانها ترتيب العوامل تموت في $\mathcal{M}_n(K)$ من أجل $n \geq 2$ . المربعات: $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ ، ولا ينهار الوسط إلى $2AB$ إلا إذا كان $AB = BA$ (التمرين 21.1). قوى الجداءات: $(AB)^k$ هو $ABAB\cdots$ ، لا $A^kB^k$ . قواسم الصفر: $E_{12}E_{12} = 0$ مع $E_{12} \neq 0$ ؛ ومنه لا اختصار: فالمقدار $AB = AC$ يستلزم $B = C$ فقط عندما تكون $A$ قابلة للقلب (بالضرب في $A^{-1}$ — من الجهة الصحيحة). الآثار: $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ دائمًا، لكن $\operatorname{tr}(AB) \neq \operatorname{tr}A\operatorname{tr}B$ عمومًا (خذ $A = B = I_2$ : $2 \neq 4$ )، و $\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$ (دوريًا) بينما قد يختلف $\operatorname{tr}(ACB)$ . المنقولات تعكس: $(AB)^{\mathsf T} = B^{\mathsf T}A^{\mathsf T}$ — ونسيان العكس أشيع خطأ في حسابات التعامد (الفصل 23). وعند الشكّ، اختبر أيّ متطابقة مدَّعاة على $E_{12}$ و $E_{21}$ : فأصغر زوج غير متبادل ينقض أكثر الصيغ الخاطئة في سطر واحد.

ملاحظة 21.20 (إلى أين يذهب القاموس)

يُستعمل قاموس المصفوفات في كل صفحة باقية من هذا المجلّد: فالفصل الفصل 22 يلحق بكل مصفوفة مربعة عددًا واحدًا يفصل في القابلية للقلب، ويحلّ $AX = B$ منهجيًا؛ و الفصل 23 يفرز المصفوفات التي تحفظ الأطوال (المصفوفات المتعامدة)؛ وفي الفصل 25، يكون السلوك من الرتبة الثانية لدالة في متغيرين مصفوفةً متماثلة $2 \times 2$ . وأمّا الأثر، المقدَّم أعلاه عرضًا تقريبًا، فيصير قرينة قوية: التمارين 21.6 و21.8 يعطيان مذاقًا أولًا، ويبني مجلّد السنة الثانية نظرية القيم الذاتية عليه. وتطوّر مسألة نهاية الأسبوع حصانَ العمل الآخر: المتطابقات الكثيرةالحدود التي تحققها مصفوفة، والتي تحوّل حساب $A^n$ إلى علاقة تراجعية خطية ذات حدين.

ملاحظة 21.21 (منظورات داخل الكتاب 3)

لثلاث عائلات مصفوفات مقدَّمة هنا مواعيد لاحقة في هذا المجلّد. إن المصفوفات المتماثلة (المثال 21.7) تحمل معطيات الرتبة الثانية لدوال المتغيرين: فاختبار مونج في الفصل 25 عبارةٌ عن سلوك إشارة مصفوفة متماثلة $2\times2$ ، ويُحسب محددها $rt - s^2$ بآلة الفصل 22. والمصفوفات المتعامدة ( $A^{\mathsf T}A = I$ ) هي تقايسات الفصل 23، حيث تكتسب المنقولة أخيرًا معناها الهندسي: فهي الظلّ الجبري للجداء السلّمي. والمصفوفات القابلة للقلب تلقى اختبارها العملي في الفصل 22 — عدد واحد، $\det A \neq 0$ — فيُغلق البحث الذي بدأه هذا الفصل بتقليص السطور. ثم يسافر الأثر و المحدد زوجَ القرائن $(s, p)$ في مسألة نهاية الأسبوع، حتى نظرية القيم الذاتية في السنة الثانية.

21.4 تمارين

تمرين 21.1 ★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ و $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . احسب $AB$ و $BA$ و $A^2 - B^2$ و $(A+B)(A-B)$ ؛ وفسّر لماذا يختلف الأخيران.

حل

حل التمرين 21.1.

AB = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}, \quad A^2 - B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 0 & 1\end{pmatrix} - I = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix},

(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 0 & 0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 & 0\\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 4\\ 0 & 2\end{pmatrix}.

وهما يختلفان بالمقدار $BA - AB \neq 0$ : فالمتطابقة $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ تقتضي التبديلية، وهي تفشل هنا.

تمرين 21.2 ★

احسب رتبة

M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.

حل

حل التمرين 21.2.

$M$ : يقتل $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ السطرَ الثاني؛ ويعطي $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ المقدارَ $(0, -1, -2)$ . فمحوران: $\operatorname{rk} M = 2$ .

$N$ : يعطي $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ المقدارَ $(0,1,1,1) = L_2$ ؛ ثم $L_3 \leftarrow L_3 - L_2 = 0$ . فمحوران: $\operatorname{rk} N = 2$ .

تمرين 21.3 ★

اقلب، بتقليص السطور، $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ ، وتحقق على جداء واحد.

حل

حل التمرين 21.3.

بتقليص $(A \mid I_3)$ : $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ و $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{L_3 \leftarrow L_3 - L_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix},

ثم $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ و $L_2 \leftarrow L_2 + L_3$ :

A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\\ -1 & 0 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

وللتحقق: السطر الأول من $A$ مضروبًا في العمود الأول من $A^{-1}$ : $1 \cdot 0 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 1 = 1$ ؛ ومضروبًا في العمود الثاني: $1 - 0 - 1 = 0$ ؛ وفي الثالث: $-1 + 0 + 1 = 0$ .

تمرين 21.4 ★

اكتب مصفوفة التشاكل الذاتي $u(P) = P(X + 1)$ ، في الأساس القانوني للمقدار $\R_2[X]$ . وفسّر، دون حساب، لماذا هي قابلة للقلب، وأعطِ مصفوفة $u^{-1}$ .

حل

حل التمرين 21.4.

$u(1) = 1$ و $u(X) = X + 1$ و $u(X^2) = X^2 + 2X + 1$ : فتعطي أعمدة الإحداثيات في $(1, X, X^2)$

M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

والتطبيق $u$ قابل للقلب لأن له المعكوس البديهي $P \mapsto P(X - 1)$ (بتركيب التعويضات). وتُحصَّل مصفوفته بالكيفية نفسها من $u^{-1}(X^k) = (X-1)^k$ :

M^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

تمرين 21.5 ★★

لتكن $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . اكتب $A = 2I + N$ ، واحسب $N^2$ ، واستنتج $A^k$ من أجل كل $k \in \N$ بمبرهنة ثنائي الحدّ.

حل

حل التمرين 21.5.

$N = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ و $N^2 = 0$ . ولأن $2I$ و $N$ يتبادلان، يُقطع نشر ثنائي الحدّ بعد حدين:

A^k = (2I + N)^k = 2^k I + k\,2^{k-1} N = \begin{pmatrix} 2^k & k\,2^{k-1}\\ 0 & 2^k\end{pmatrix}.

(وللتحقق عند $k = 2$ : $A^2 = \begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ ، وهو صحيح بالجداء المباشر.)

تمرين 21.6 ★★

برهن على أنه لا توجد مصفوفتان $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ (مع $K = \R$ أو $\C$ ) تحققان $AB - BA = I_n$ . (خذ الآثار.)

حل

حل التمرين 21.6.

الآثار: $\operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0$ (التعريف 21.5)، بينما $\operatorname{tr}(I_n) = n \neq 0$ في $\R$ أو $\C$ . فلا حلّ. (وعلى الفضاءات غير المنتهية البُعد تكون المتطابقة قابلة للتحقيق — إذ يحققها الاشتقاق والضرب في $x$ — وذلك بالضبط لأن لا أثر هناك.)

تمرين 21.7 ★★

تكون المصفوفة $A$ معدومة القوى إذا كان $A^m = 0$ من أجل $m$ ما. برهن على أن $I - A$ عندئذ قابلة للقلب، مع

(I - A)^{-1} = I + A + A^2 + \dots + A^{m-1} .

وتطبيقًا: اقلب $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

حل

حل التمرين 21.7.

جداء تلسكوبي، وكل قوى $A$ تتبادل:

(I - A)(I + A + \dots + A^{m-1}) = I - A^m = I ,

ويرقّي القضية 21.4 المعكوسَ من جهة واحدة. وأمّا التطبيق: فالمصفوفة المعطاة هي $I + N$ مع

N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0&0&0 \end{pmatrix}, \quad N^2 = \begin{pmatrix} 0&0&4\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \quad N^3 = 0 ,

ومنه، باستبدال $-N$ بالمقدار $A$ في الصيغة:

(I + N)^{-1} = I - N + N^2 = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

تمرين 21.8 ★★

لتحقق $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ الشرط $A^2 = A$ (فهي جامدة). برهن على أن $\operatorname{tr} A = \operatorname{rk} A$ . (فسّر $A$ إسقاطًا واختر أساسًا مكيَّفًا؛ ويقول المبرهنة 21.10 إن الأثر لا يتعلق بالأساس لأن $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr} M$ .)

حل

حل التمرين 21.8.

$A^2 = A$ : فالتشاكل الذاتي $a$ إسقاط (المبرهنة 20.15)، و $E = \operatorname{im} a \oplus \ker a$ مع $\dim\operatorname{im} a = r = \operatorname{rk} A$ . وفي أساس مكيَّف مع هذا التفكيك ( $r$ متجهة من الصورة، ثم أساس للنواة)، تكون مصفوفة $a$ هي $\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ ، وأثرها $r$ . و الأثر محفوظ بتغيير الأساس: $\operatorname{tr}(P^{-1}MP) = \operatorname{tr}(MPP^{-1}) = \operatorname{tr} M$ بالمتطابقة الدورية. ومنه $\operatorname{tr} A = r = \operatorname{rk} A$ .

تمرين 21.9 ★★★

لتكن $J \in \mathcal{M}_n(\R)$ مصفوفة كل مركّباتها آحاد. احسب $J^2$ ، واستنتج، من أجل $a, b \in \R$ ، شرط قابلية قلب $M = aI + bJ$ مع $M^{-1}$ (ابحث عن معكوس من الشكل نفسه $\alpha I + \beta J$ ).

حل

حل التمرين 21.9.

$J^2 = nJ$ (لأن كل مركّبة من $J^2$ تجمع $n$ آحادًا). ابحث عن $M^{-1} = \alpha I + \beta J$ :

(aI + bJ)(\alpha I + \beta J) = a\alpha\, I + (a\beta + b\alpha + nb\beta)\, J .

وهذا يساوي $I$ إذا وفقط إذا كان $a\alpha = 1$ و $a\beta + b\alpha + nb\beta = 0$ ، أي $\alpha = \frac1a$ و $\beta(a + nb) = -\frac ba$ . وإذا كان $a \neq 0$ و $a + nb \neq 0$ :

M^{-1} = \frac 1a I - \frac{b}{a(a + nb)}\, J .

وبالعكس، إذا كان $a = 0$ : فإن $M = bJ$ رتبتها $\leq 1 < n$ (من أجل $n \geq 2$ ): فهي غير قابلة للقلب (وحالة $n = 1$ هي الحالة السلّمية). وإذا كان $a + nb = 0$ : فإن المتجهة $v = (1, \dots, 1)^{\mathsf T}$ تحقق $Mv = (a + nb)v = 0$ مع $v \neq 0$ : فهي غير قابلة للقلب. ومنه $M \in GL_n \iff a \neq 0$ و $a + nb \neq 0$ .

تمرين 21.10 ★★★

(متراجحات الرتبة) من أجل $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ ، برهن على

\operatorname{rk}(A + B) \leq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B, \qquad \operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n .

(ومن أجل الثانية — وهي متراجحة سيلفستر — طبّق مبرهنة الرتبة على قصر تطبيق $A$ على $\operatorname{im} B$ .)

حل

حل التمرين 21.10.

المجموع: $\operatorname{im}(A + B) \subseteq \operatorname{im} A + \operatorname{im} B$ (لأن كل $(A+B)x = Ax + Bx$ )، ويحدّ غراسمان بُعد مجموع بمجموع الأبعاد.

وسيلفستر: ليكن $a$ تطبيق $A$ مقصورًا على $V = \operatorname{im} B$ (وبُعده $\operatorname{rk} B$ ). فصورته هي $\operatorname{im}(AB)$ (لأن $a(Bx) = ABx$ )، ومبرهنة الرتبة في $V$ :

\operatorname{rk} B = \dim\ker(a_{|V}) + \operatorname{rk}(AB) .

والآن $\ker(a_{|V}) \subseteq \ker A$ ، وبُعده $n - \operatorname{rk} A$ : ومنه

\operatorname{rk}(AB) \geq \operatorname{rk} B - (n - \operatorname{rk} A) = \operatorname{rk} A + \operatorname{rk} B - n . \qedhere

تمرين 21.11 ★★

لتكن $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ مع المقادير $d_i$ متمايزة مثنى مثنى.

برهن على أن المصفوفة $A$ تتبادل مع $D$ إذا وفقط إذا كانت $A$ قطرية. (قارن مركّبتَي $(i,j)$ في $AD$ و $DA$ .)
استنتج مركز $\mathcal{M}_n(K)$ : فالمصفوفات المتبادلة مع كل مصفوفة هي بالضبط المصفوفات السلّمية $\lambda I_n$ . (اختبر إزاء $D$ ، ثم إزاء المصفوفات $E_{ij}$ .)

حل

حل التمرين 21.11.

مركّبةً مركّبة، $(AD)_{ij} = a_{ij}\,d_j$ و $(DA)_{ij} = d_i\,a_{ij}$ . ومنه $AD = DA$ إذا وفقط إذا كان $a_{ij}(d_j - d_i) = 0$ من أجل كل $i, j$ ؛ وحين $i \neq j$ يكون العامل $d_j - d_i$ غير معدوم، فيُفرض $a_{ij} = 0$ : أي إن $A$ قطرية. وبالعكس تتبادل المصفوفات القطرية فيما بينها.
إذا تبادلت $A$ مع كل مصفوفة، فهي تتبادل مع $\operatorname{diag}(1, 2, \dots, n)$ ، ومنه $A = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ حسب (1). وعندئذ $A E_{ij} = \lambda_i E_{ij}$ (لأن السطر $i$ فقط من $E_{ij}$ ينجو) بينما $E_{ij} A = \lambda_j E_{ij}$ : ومنه يفرض التبادل مع $E_{ij}$ أن $\lambda_i = \lambda_j$ . ومنه $A = \lambda I_n$ ؛ والمصفوفات السلّمية تتبادل مع كل شيء فعلًا. ومركز $\mathcal{M}_n(K)$ هو $K\,I_n$ .

تمرين 21.12 ★★★

(مصفوفات الرتبة واحد) لتكن $A \in \mathcal{M}_n(K)$ مع $A \neq 0$ .

برهن على أن $\operatorname{rk} A = 1$ إذا وفقط إذا كان $A = CL$ من أجل عمود غير معدوم $C \in \mathcal{M}_{n,1}$ وسطر غير معدوم $L \in \mathcal{M}_{1,n}$ .
ومن أجل مثل هذه $A$ ، برهن على $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ؛ واستنتج أن مصفوفة الرتبة واحد تكون معدومة القوى إذا وفقط إذا كان أثرها معدومًا.
إذا كان $\operatorname{tr} A \neq -1$ ، فبرهن على أن $I_n + A$ قابلة للقلب مع

$(I_n + A)^{-1} = I_n - \frac{1}{1 + \operatorname{tr} A}\,A ,$

وعلى أن $I_n + A$ ليست قابلة للقلب عندما $\operatorname{tr} A = -1$ . (جد متجهة يقتلها $I_n + A$ .)

حل

حل التمرين 21.12.

إذا كان $\operatorname{rk} A = 1$ : فصورة $A$ مستقيمٌ $\operatorname{Vect}(C)$ مع $C \neq 0$ ، ومنه فالعمود $j$ من $A$ هو $\ell_j\,C$ من أجل سلالم $\ell_j$ (ليست كلها معدومة)، أي $A = C L$ مع $L = (\ell_1, \dots, \ell_n) \neq 0$ . وبالعكس إذا كان $A = CL \neq 0$ ، فكل الأعمدة مضاعفات للمقدار $C$ : أي الرتبة $1$ .
$A^2 = C\,(L C)\,L$ ، والمقدار $LC$ هو السلّم $\sum_i \ell_i c_i = \operatorname{tr}(CL) = \operatorname{tr} A$ . ومنه $A^2 = (\operatorname{tr} A)\,A$ ، ومنه بالاستقراء $A^m = (\operatorname{tr} A)^{m-1} A$ . وإذا كان $\operatorname{tr} A \neq 0$ ، فلا قوة تنعدم؛ وإذا كان $\operatorname{tr} A = 0$ ، فإن $A^2 = 0$ : أي إن مصفوفة الرتبة واحد معدومة القوى إذا وفقط إذا كان أثرها معدومًا.
مع $t = \operatorname{tr} A \neq -1$ :

$(I_n + A)\Bigl(I_n - \frac{A}{1 + t}\Bigr) = I_n + A - \frac{A + A^2}{1 + t} = I_n + A - \frac{(1 + t)A}{1 + t} = I_n ,$

باستعمال $A^2 = tA$ . وإذا كان $t = -1$ : فإن $(I_n + A)A = A + A^2 = A - A = 0$ مع $A \neq 0$ ، ومنه يقتل $I_n + A$ كل عمود (غير معدوم) من $A$ : فهو غير متباين وغير قابل للقلب.

21.5 مسألة: قوى مصفوفة بالقسمة الكثيرةالحدود

مسألة 21.1

حساب $A^{100}$ مركّبةً مركّبة ميؤوس منه؛ وحسابه عبر متطابقة كثيرةالحدود يحققها $A$ ثلاثة أسطر. وتبني هذه المسألة الطريقة من الصفر: القسمة الإقليدية للمقدار $X^n$ ، والمتطابقة $A^2 - sA + pI = 0$ التي تحققها كل مصفوفة $2 \times 2$ (وهي مبرهنة كايلي–هاملتون في البُعد $2$ )، والقاموس بين قوى المصفوفات والعلاقات التراجعية الخطية — مع أعداد فيبوناتشي مثالًا جاريًا.

الجزء 1 — حساب البواقي. ثبّت $s, p \in K$ و $D = X^2 - sX + p$ .

سوّغ أنه من أجل كل $n \in \N$ يوجد $Q_n \in K[X]$ و $(a_n, b_n) \in K^2$ وحيدة تحقق

$X^n = Q_n\,D + a_n X + b_n ,$

واحسب $(a_0, b_0)$ و $(a_1, b_1)$ .
بالضرب في $X$ والقسمة مرة أخرى، أثبت العلاقتين التراجعيتين

$a_{n+1} = s\,a_n + b_n, \qquad b_{n+1} = -p\,a_n ,$

واستنتج $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : أي إن متتالية المعاملات تخضع للعلاقة التراجعية الخطية المرتبطة بالمقدار $D$ .
افترض أن للمقدار $D$ جذرين متمايزين $\lambda \neq \mu$ . وبتقويم متطابقة القسمة، برهن على

$a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .$
افترض $D = (X - \lambda)^2$ . وباستعمال مشتقة متطابقة القسمة، برهن على $a_n = n\lambda^{n-1}$ و $b_n = (1 - n)\lambda^{n}$ .
بيّن أن تعويض مصفوفة مثبَّتة $M \in \mathcal{M}_k(K)$ في كثيرات الحدود يحترم المجاميع و الجداءات: $(PQ)(M) = P(M)\,Q(M)$ . واستنتج أنه إذا كان $D(M) = 0$ ، فإن

$M^n = a_n\,M + b_n\,I \qquad (n \in \N).$

الجزء 2 — البُعد 2: الأثر وعدد المحدد وكايلي–هاملتون. من أجل $A = \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}$ ضع $s = a + d = \operatorname{tr} A$ و $p = ad - bc$ (وهو العدد الذي سيسمّيه الفصل 22 المحدد).

تحقق بحساب مباشر من متطابقة كايلي–هاملتون في البُعد $2$ :

$A^2 - s\,A + p\,I_2 = 0 .$
برهن بالنشر المباشر على أن $p$ ضربي: بالترميز البديهي، $p(AB) = p(A)\,p(B)$ . ثم بيّن: أن $A$ قابلة للقلب إذا وفقط إذا كان $p \neq 0$ ، وعندئذ

$A^{-1} = \frac1p\,\bigl(s\,I_2 - A\bigr).$
لتكن $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ . احسب $s$ و $p$ وجذور $D$ ، واستنتج صيغةً مغلقة من أجل $A^n$ ؛ وتحقق منها إزاء حساب مباشر للمقدار $A^2$ .
لتكن $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ . بيّن أن للمقدار $D$ جذرًا مضاعفًا واحسب $A^n$ ؛ وتحقق عند $n = 2$ .
لتكن $F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ و عرّف أعداد فيبوناتشي بالمقدار $F_0 = 0$ و $F_1 = 1$ و $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ . برهن على

$F^n = \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n\\ F_n & F_{n-1}\end{pmatrix} \quad (n \geq 1),$

واستنتج صيغة بيني $F_n = \dfrac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}$ حيث $\varphi = \frac{1 + \sqrt5}2$ و $\psi = \frac{1 - \sqrt5}2$ ، واستنتج، باستعمال السؤال 7، متطابقة كاسيني $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$ .

الجزء 3 — العلاقات التراجعية الخطية، بنيويًا. ثبّت $s, p \in K$ مع $p \neq 0$ ، ولتكن $E_D$ مجموعة المتتاليات التي تحقق $u_{n+2} = s\,u_{n+1} - p\,u_n$ من أجل كل $n$ .

بيّن أن $E_D$ فضاء متجهي بُعده $2$ (كيّف التمرين 19.10).
بيّن أن المتتالية $(a_n)$ في الجزء 1 هي عنصر $E_D$ ذو القيمتين الابتدائيتين $0, 1$ ، وأن كل $u \in E_D$ يحقق

$u_n = u_1\,a_n + u_0\,b_n \qquad (n \in \N),$

مع $(b_n)$ كما في الجزء 1: أي إن بواقي القسمة تحلّ كل العلاقات التراجعية دفعة واحدة.
إذا كان $\lambda \neq \mu$ جذرَي $D$ ، فبيّن أن $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ أساس للمقدار $E_D$ ؛ وإذا كان $D = (X-\lambda)^2$ مع $\lambda \neq 0$ ، فبيّن أن $\bigl((\lambda^n), (n\lambda^n)\bigr)$ أساس.
حُلَّ حلًا كاملًا: $u_{n+2} = u_{n+1} + 6u_n$ مع $u_0 = 1$ و $u_1 = 8$ ؛ وتحقق من الجواب على $u_2$ و $u_3$ .
لتكن $C = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -p & s\end{pmatrix}$ (وهي المصفوفة المرافقة للمقدار $D$ ). بيّن أن

$\begin{pmatrix} u_{n}\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = C^n \begin{pmatrix} u_0\\ u_1\end{pmatrix} \quad (u \in E_D),$

وأن $\operatorname{tr} C = s$ و $p(C) = p$ : أي إن العلاقة التراجعية والمصفوفة تحملان كثير الحدود $D$ نفسه.

الجزء 4 — الدرجة الثالثة. لتكن $D_3 = X^3 - \alpha X^2 - \beta X - \gamma$ و

C_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \gamma & \beta & \alpha \end{pmatrix}.

بيّن أن $D_3(C_3) = 0$ . (احسب صور متجهات الأساس القانوني تحت قوى $C_3$ : فيرسل تطبيق $C_3$ المقدارَ $e_1 \mapsto \dots \mapsto$ تركيبةً يفرضها السطر الأخير.)
بيّن أنه إذا كان للمقدار $D_3$ ثلاثة جذور متمايزة $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ، فإن باقي $R_n$ الناتج عن قسمة $X^n$ على $D_3$ هو مقايِس لاغرانج للقيم $\lambda_i^n$ عند العقد $\lambda_i$ (المبرهنة 8.23)؛ واستنتج أن كل مركّبة من $C_3^{\,n}$ تركيبةٌ خطية مثبَّتة من $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .
حُلَّ: $u_{n+3} = 2u_{n+2} + u_{n+1} - 2u_n$ مع $u_0 = 0$ و $u_1 = 1$ و $u_2 = 1$ . (عمّل $D_3 = (X - 1)(X + 1)(X - 2)$ .) وتحقق على $u_3$ .
احسب باقي $X^n$ بترديد $(X - \lambda)^3$ (بنشر تايلور للمقدار $X^n$ عند $\lambda$ )، واستنتج صيغةً من أجل $(\lambda I + N)^n$ عندما يكون $N^3 = 0$ ويتبادل $N$ مع كل ما في الأفق؛ وتحقق منها إزاء مبرهنة ثنائي الحدّ.
بيّن أنه من أجل $D_3$ ذي الجذور المتمايزة، يكون الحلّ العام للعلاقة التراجعية من الرتبة $3$ هو $u_n = c_1 \lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ : وبرهن على أن المتتاليات الهندسية الثلاث تكوّن أساسًا لفضاء الحلول. (ومن أجل الحرية، قوّم تركيبةً معدومة عند $n = 0, 1, 2$ وتعرّف على جملة مقايسة عند العقد المتمايزة $\lambda_i$ .)

الجزء 5 — أرباح فيبوناتشي، وتوليفة.

برهن على $F_1 + F_2 + \dots + F_n = F_{n+2} - 1$ .
من $F^{m+n} = F^m F^n$ ، استخرج صيغة الجمع

$F_{m+n} = F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1},$

واستنتج $F_{2n} = F_n(F_{n+1} + F_{n-1})$ .
برهن على أن $F_n$ هو أقرب عدد صحيح إلى $\varphi^n/\sqrt5$ من أجل كل $n \geq 0$ .
لتكن $t_n = \operatorname{tr}(F^n) = F_{n+1} + F_{n-1}$ (وهي أعداد لوكاس $L_n$ ). بيّن $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ و $t_1 = 1$ و $t_2 = 3$ ، وأن $L_n = \varphi^n + \psi^n$ ، واستعد $F_{2n} = F_n L_n$ .
توليفة، في أربع جمل: لماذا تعيش قوى مصفوفة $2 \times 2$ في المستوي $\operatorname{Vect}(I, A)$ من $\mathcal{M}_2(K)$ (وأيّ حجة بُعد تضمن متطابقة من الدرجة الثانية، و أيّ متطابقة صريحة أنتجها الجزء 2)؛ وكيف تحوّل القسمة الإقليدية الأسّ إلى علاقة تراجعية ذات حدين؛ وأيّ عبارة في هذه المسألة هي الحالة $n = 2$ من مبرهنة صحيحة في كل الأبعاد (سمِّها، وقل أين يُبرهن عليها في هذه السلسلة)؛ وماذا يضيف بناء المصفوفة المرافقة إلى الصورة.

حل

حل المسألة 21.1.

1. القسمة الإقليدية للمقدار $X^n$ على $D$ الواحديّ من الدرجة $2$ (المبرهنة 8.3): فالحاصل والباقي موجودان ووحيدان، ودرجة الباقي $\leq 1$ : أي $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ . ومن أجل $n = 0$ : $Q_0 = 0$ و $(a_0, b_0) = (0, 1)$ ؛ ومن أجل $n = 1$ : $(a_1, b_1) = (1, 0)$ .

2. اضرب في $X$ وردّ $X^2 = D + sX - p$ :

X^{n+1} = X Q_n D + a_n X^2 + b_n X = (X Q_n + a_n)\,D + (s\,a_n + b_n)\,X - p\,a_n .

وللمقدار الأخير شكلُ باقٍ (بدرجة $\leq 1$ )، ومنه بالوحدانية $a_{n+1} = s a_n + b_n$ و $b_{n+1} = -p a_n$ . وبتعويض $b_{n+1} = -pa_n$ في $a_{n+2} = s a_{n+1} + b_{n+1}$ نجد $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ .

3. قوّم $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ عند الجذرين: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ و $\mu^n = a_n\mu + b_n$ . وبالطرح والقسمة على $\lambda - \mu \neq 0$ :

a_n = \frac{\lambda^n - \mu^n}{\lambda - \mu}, \qquad b_n = \lambda^n - a_n\lambda = \frac{\lambda\mu^n - \mu\lambda^n}{\lambda - \mu} .

4. عند الجذر المضاعف: $\lambda^n = a_n\lambda + b_n$ . وباشتقاق المتطابقة، $nX^{n-1} = Q_n'\,(X - \lambda)^2 + 2Q_n\,(X - \lambda) + a_n$ ، وبالتقويم عند $\lambda$ : $a_n = n\lambda^{n-1}$ ؛ ثم $b_n = \lambda^n - n\lambda^{n} = (1 - n)\lambda^{n}$ .

5. من أجل $P = \sum_i p_i X^i$ و $Q = \sum_j q_j X^j$ ،

P(M)\,Q(M) = \sum_{i,j} p_i q_j M^{i+j} = (PQ)(M),

لأن قوى المصفوفة الواحدة $M$ تتبادل فيما بينها (والمجاميع جلية بالخطية). وإذا كان $D(M) = 0$ ، فإن تعويض $M$ في $X^n = Q_n D + a_n X + b_n$ يعطي $M^n = Q_n(M)\,D(M) + a_n M + b_n I = a_n M + b_n I$ .

6. بالجداءات المباشرة:

A^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & b(a + d)\\ c(a + d) & d^2 + bc \end{pmatrix}, \qquad s A = \begin{pmatrix} a(a+d) & b(a+d)\\ c(a+d) & d(a+d) \end{pmatrix},

ومنه فللمقدار $A^2 - sA$ مركّبات خارج القطر معدومة ومركّبات قطرية $a^2 + bc - a^2 - ad = bc - ad = -p$ : أي $A^2 - sA + pI_2 = 0$ .

7. مع $A' = \begin{pmatrix} a' & b'\\ c' & d'\end{pmatrix}$ ، بنشر $p(AA') = (aa' + bc')(cb' + dd') - (ab' + bd')(ca' + dc')$ : يتلاشى الحدّان $aa'cb'$ و $ab'ca'$ ، ويتلاشى الحدّان $bc'dd'$ و $bd'dc'$ ، ويبقى

aa'dd' - bca'd' + bcb'c' - adb'c' = (ad - bc)(a'd' - b'c') = p(A)\,p(A').

وإذا كان $p \neq 0$ ، فإن كايلي–هاملتون يعطي $A\,\bigl(\tfrac1p(sI_2 - A)\bigr) = \tfrac1p(sA - A^2) = I_2$ ، ومنه المعكوس (ويجعله القضية 21.4 ثنائي الجهة). وإذا كان $p = 0$ و كانت $A$ قابلة للقلب، لأعطت الضربية أن $1 = p(I_2) = p(A)\,p(A^{-1}) = 0$ : وهذا محال. ومنه $A \in GL_2 \iff p \neq 0$ .

8. $s = 3$ و $p = 2$ و $D = X^2 - 3X + 2 = (X - 1)(X - 2)$ : $\lambda = 2$ و $\mu = 1$ ، ومنه $a_n = 2^n - 1$ و $b_n = 2 - 2^n$ (السؤال 3). ومنه

A^n = (2^n - 1)A + (2 - 2^n)I = \begin{pmatrix} 1 & 2^n - 1\\ 0 & 2^n \end{pmatrix}.

وللتحقق: $A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 0 & 4\end{pmatrix}$ بالصيغة وبالتربيع المباشر معًا.

9. $s = 4$ و $p = 3\cdot1 - 1\cdot(-1) = 4$ : $D = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ ، والجذر المضاعف $\lambda = 2$ . والسؤال 4: $a_n = n\,2^{n-1}$ و $b_n = (1 - n)2^n$ ، ومنه

A^n = n\,2^{n-1}A + (1 - n)2^n I = 2^{n-1}\begin{pmatrix} n + 2 & n\\ -n & 2 - n \end{pmatrix}.

وعند $n = 2$ : $2\begin{pmatrix} 4 & 2\\ -2 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4\\ -4 & 0 \end{pmatrix}$ ، وهو $A^2$ محسوبًا مباشرة.

10. بالاستقراء: $F^1 = \begin{pmatrix} F_2 & F_1\\ F_1 & F_0\end{pmatrix}$ ، و

F^{n+1} = F^n F = \begin{pmatrix} F_{n+1} + F_n & F_{n+1}\\ F_n + F_{n-1} & F_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2} & F_{n+1}\\ F_{n+1} & F_n \end{pmatrix}.

وهنا $s = 1$ و $p = -1$ و $D = X^2 - X - 1$ بجذرين $\varphi, \psi$ ( $\varphi - \psi = \sqrt5$ و $\varphi\psi = -1$ ). و للمتتالية $(F_n)$ لدينا $F_0 = 0 = a_0$ و $F_1 = 1 = a_1$ وهي تخضع للعلاقة التراجعية نفسها كالمتتالية $(a_n)$ : ومنه $F_n = a_n = (\varphi^n - \psi^n)/\sqrt5$ ، وهي صيغة بيني. وكاسيني: بتطبيق ضربية السؤال 7 على $F^n$ ،

F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = p(F^n) = p(F)^n = (-1)^n .

11. الشرط خطي ويحتوي المتتالية المعدومة: أي فضاء جزئي. وبالاستقراء يحدّد $u_0, u_1$ المتتالية $u$ تحديدًا خطيًا، ويتحقق كل زوج من القيم الابتدائية بحلٍّ واحد بالضبط: وكما في التمرين 19.10، يكون $E_D$ معلَّمًا تعليمًا تقابليًا وخطيًا بالمقدار $(u_0, u_1) \in K^2$ : ومنه $\dim E_D = 2$ .

12. تخضع $(a_n)$ للعلاقة التراجعية (السؤال 2) مع $a_0 = 0$ و $a_1 = 1$ . وكذلك $(b_n)$ : $b_{n+2} = -p\,a_{n+1} = -p(s a_n + b_n) = s\,b_{n+1} - p\,b_n$ (باستعمال $b_{n+1} = -pa_n$ مرتين)، مع $b_0 = 1$ و $b_1 = 0$ . والتركيبة $v_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ عندئذ حلٌّ بالقيمتين $v_0 = u_0$ و $v_1 = u_1$ ؛ ويتطابق حلّان بالقيمتين الابتدائيتين نفسيهما (بالاستقراء)، ومنه $u_n = u_1 a_n + u_0 b_n$ من أجل كل $n$ .

13. تكون $(\lambda^n)$ حلًا إذا وفقط إذا كان $\lambda^{n+2} = s\lambda^{n+1} - p\lambda^n$ من أجل كل $n$ ، أي $D(\lambda) = 0$ (بعد القسمة على $\lambda^n \neq 0$ ؛ ولاحظ $\lambda, \mu \neq 0$ لأن $p = \lambda\mu \neq 0$ ). وحرية $\bigl((\lambda^n), (\mu^n)\bigr)$ : تعطي علاقة عند $n = 0, 1$ أن $c + c' = 0$ و $c\lambda + c'\mu = 0$ ، ومنه $c(\lambda - \mu) = 0$ : أي $c = c' = 0$ . ومتجهتان حرتان في البُعد $2$ : أي أساس. والجذر المضاعف: المتتالية $\bigl((n\lambda^n)\bigr)$ حلٌّ لأنه، مع $s = 2\lambda$ و $p = \lambda^2$ :

s(n+1)\lambda^{n+1} - p\,n\lambda^n = \lambda^{n+2}\bigl(2(n+1) - n\bigr) = (n+2)\lambda^{n+2} ;

والحرية عند $n = 0, 1$ : $c = 0$ ، ثم $c'\lambda = 0$ مع $\lambda \neq 0$ .

14. $D = X^2 - X - 6 = (X - 3)(X + 2)$ . والحلّ العام $u_n = A\,3^n + B(-2)^n$ ؛ وتعطي الشروط الابتدائية $A + B = 1$ و $3A - 2B = 8$ ، ومنه $A = 2$ و $B = -1$ :

u_n = 2\cdot 3^n - (-2)^n .

وللتحقق: $u_2 = 18 - 4 = 14 = u_1 + 6u_0$ ؛ و $u_3 = 54 + 8 = 62 = u_2 + 6u_1 = 14 + 48$ .

15. $C\begin{pmatrix} u_n\\ u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ -p\,u_n + s\,u_{n+1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_{n+1}\\ u_{n+2}\end{pmatrix}$ ، ويعطي الاستقراء الصيغة مع $C^n$ . وفوق ذلك $\operatorname{tr} C = 0 + s = s$ و $p(C) = 0\cdot s - 1\cdot(-p) = p$ : أي إن المصفوفة المرافقة لها بالضبط $D$ كثيرَ حدود كايلي–هاملتون لها.

16. من أجل أيّ حلّ $u$ للعلاقة $u_{n+3} = \alpha u_{n+2} + \beta u_{n+1} + \gamma u_n$ ، تحقق متجهات الحالة $v_n = (u_n, u_{n+1}, u_{n+2})^{\mathsf T}$ الشرط $C_3 v_n = v_{n+1}$ (إذ يزيح السطران الأولان، ويطبّق السطر الأخير العلاقة التراجعية). ومنه

D_3(C_3)\,v_0 = v_3 - \alpha v_2 - \beta v_1 - \gamma v_0 ,

ومركّباته الثلاث هي $u_{k+3} - \alpha u_{k+2} - \beta u_{k+1} - \gamma u_k = 0$ ( $k = 0, 1, 2$ ). ولأن الحالة الابتدائية $v_0 = (u_0, u_1, u_2)^{\mathsf T}$ تجري على كل $K^3$ (لأن القيم الابتدائية حرة)، تقتل المصفوفة $D_3(C_3)$ كلَّ متجهة: ومنه $D_3(C_3) = 0$ .

17. اكتب $X^n = Q\,D_3 + R_n$ مع $\deg R_n \leq 2$ وقوّم عند كل جذر: $\lambda_i^n = R_n(\lambda_i)$ . ومنه فالمقدار $R_n$ كثيرُ حدود من درجة $\leq 2$ يقايس القيم الثلاث $\lambda_i^n$ عند العقد الثلاث المتمايزة $\lambda_i$ : ومنه، بالوحدانية في المبرهنة 8.23، $R_n = \sum_i \lambda_i^n L_i$ مع $(L_i)$ أساس لاغرانج للعقد. وبتعويض $C_3$ (السؤالان 5 و 16):

C_3^{\,n} = R_n(C_3) = \sum_{i=1}^{3} \lambda_i^n\,L_i(C_3),

والمصفوفات الثلاث $L_i(C_3)$ مستقلة عن $n$ : ومنه فكل مركّبة من $C_3^{\,n}$ تركيبةٌ مثبَّتة من $\lambda_1^n, \lambda_2^n, \lambda_3^n$ .

18. $D_3 = X^3 - 2X^2 - X + 2 = (X-1)(X+1)(X-2)$ . والحلّ العام $u_n = A + B(-1)^n + C\,2^n$ . والشروط الابتدائية: $A + B + C = 0$ و $A - B + 2C = 1$ و $A + B + 4C = 1$ . وبطرح الأولى من الثالثة: $3C = 1$ ومنه $C = \frac13$ ؛ ثم $A + B = -\frac13$ و $A - B = \frac13$ : ومنه $A = 0$ و $B = -\frac13$ . ومنه

u_n = \frac{2^n - (-1)^n}{3}

(وهي أعداد ياكوبشتال). وللتحقق: $u_3 = \frac{8 + 1}{3} = 3 = 2u_2 + u_1 - 2u_0 = 2 + 1 - 0$ .

19. نشر تايلور لكثير الحدود $X^n$ عند $\lambda$ :

X^n = \sum_{k=0}^{n} \binom nk \lambda^{n-k}(X - \lambda)^k ,

وكل الحدود ذات $k \geq 3$ تقبل القسمة على $(X - \lambda)^3$ : ومنه فالباقي هو

R_n = \lambda^n + n\lambda^{n-1}(X - \lambda) + \binom n2\lambda^{n-2}(X - \lambda)^2 .

ومن أجل $M = \lambda I + N$ مع $N^3 = 0$ : $(M - \lambda I)^3 = N^3 = 0$ ، ومنه يعطي السؤال 5

M^n = \lambda^n I + n\lambda^{n-1} N + \binom n2 \lambda^{n-2} N^2 ,

وهو بالضبط نشر ثنائي الحدّ للمقدار $(\lambda I + N)^n$ مقطوعًا عند $N^2$ — فالطريقتان تتفقان.

20. فضاء الحلول بُعده $3$ (بالتعليم نفسه بالمقدار $(u_0, u_1, u_2)$ كما في السؤال 11)، و كلٌّ من $(\lambda_i^n)$ حلٌّ. والحرية: افترض $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n = 0$ من أجل $n = 0, 1, 2$ . ثبّت $i$ وليكن $L_i = \sum_{k \leq 2} p_k X^k$ كثير حدود لاغرانج للعقد مع $L_i(\lambda_j) = \delta_{ij}$ . عندئذ

0 = \sum_{k=0}^{2} p_k\Bigl(\sum_j c_j\lambda_j^k\Bigr) = \sum_j c_j\,L_i(\lambda_j) = c_i .

ومنه كل $c_i = 0$ : أي ثلاثة حلول حرة في البُعد $3$ ، ومنه أساس؛ والحلّ العام هو $c_1\lambda_1^n + c_2\lambda_2^n + c_3\lambda_3^n$ .

21. من $F_k = F_{k+2} - F_{k+1}$ ، يتلسكب المجموع:

\sum_{k=1}^{n} F_k = \sum_{k=1}^{n}\bigl(F_{k+2} - F_{k+1}\bigr) = F_{n+2} - F_2 = F_{n+2} - 1 .

22. خذ المركّبة $(1,2)$ من $F^{m+n} = F^m F^n$ : فالطرف الأيسر هو $F_{m+n}$ ؛ والطرف الأيمن هو (السطر $1$ من $F^m$ ) مضروبًا في (العمود $2$ من $F^n$ )، أي $F_{m+1}F_n + F_m F_{n-1}$ . ومع $m = n$ :

F_{2n} = F_{n+1}F_n + F_nF_{n-1} = F_n\,(F_{n+1} + F_{n-1}).

23. حسب بيني، $F_n - \dfrac{\varphi^n}{\sqrt5} = -\dfrac{\psi^n}{\sqrt5}$ ، و $\abs\psi = \frac{\sqrt5 - 1}2 < 1$ ، ومنه

\Bigl|F_n - \frac{\varphi^n}{\sqrt5}\Bigr| \leq \frac{1}{\sqrt5} < \frac12 \qquad (n \geq 0):

فيكون $F_n$ أقرب عدد صحيح إلى $\varphi^n/\sqrt5$ .

24. $t_n = F_{n+1} + F_{n-1}$ تركيبةٌ من متتاليات فيبوناتشي المزاحة، ومنه تحقق العلاقة التراجعية نفسها: $t_{n+2} = t_{n+1} + t_n$ ؛ و $t_1 = F_2 + F_0 = 1$ و $t_2 = F_3 + F_1 = 3$ : وهذه هي أعداد لوكاس $L_n$ . والمتتالية $\varphi^n + \psi^n$ حلٌّ بالقيمتين الأوليين نفسيهما ( $\varphi + \psi = 1$ و $\varphi^2 + \psi^2 = ( \varphi + \psi)^2 - 2\varphi\psi = 3$ )، ومنه $L_n = \varphi^n + \psi^n$ . وأخيرًا

F_n L_n = \frac{(\varphi^n - \psi^n)(\varphi^n + \psi^n)}{\sqrt5} = \frac{\varphi^{2n} - \psi^{2n}}{\sqrt5} = F_{2n},

فيُستعاد السؤال 22.

25. (أ) المصفوفات الخمس $I, A, A^2, A^3, A^4$ تعيش في $\mathcal{M}_2(K)$ ذي البُعد $4$ ، ومنه فإن كثير حدود غير معدوم ما من درجة $\leq 4$ يقتل $A$ ؛ وحدّد الجزء 2 هذا إلى المتطابقة الصريحة من الدرجة الثانية $A^2 = sA - pI$ ، التي تحبس كل القوى في المستوي $\operatorname{Vect}(I, A)$ . (ب) و تردّ القسمة الإقليدية $X^n$ بترديد تلك الدرجة الثانية، و يخضع معاملا الباقي للعلاقة التراجعية ذات الحدين $a_{n+2} = s\,a_{n+1} - p\,a_n$ : فقد صار الأسّ تكرارًا. (ج) والسؤال 6 هو حالة $n = 2$ من مبرهنة كايلي–هاملتون، الصحيحة في كل بُعد و المبرهن عليها في مجلّد السنة الثانية. (د) وتغلق المصفوفة المرافقة الحلقة: فكل علاقة تراجعية خطية هي قوةُ مصفوفة، بظهور كثير الحدود $D$ نفسه معطياتِ أثر ومحدد، ومنه يحلّ حساب البواقي العلاقات التراجعية ويحسب القوى دفعة واحدة.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد