الرياضيات · المسرد

ما معنى الجداء السلّمي؟

يُعرف أيضًا باسم: جداء سلّمي · معيار

تعريف 16.1 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 16 — الجداء السلّمي في المستوي

الجداء السلّمي للمتجهتين u\vec u و v\vec v هو العدد

uv=12(u+v2u2v2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

حيث يرمز u\norm{\vec u} إلى طول (المعيار) المتجهة u\vec u.

أمثلة

مثال 16.3

u(3,1)\vec u\,(3, 1) و v(2,4)\vec v\,(2, -4): uv=64=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. والمعياران هما u=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} و v=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}، إذن cosθ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: فالزاوية أصغر قليلًا من 8282^\circ.

اقرأ في الفصل ←
تعريف 31.6 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 31 — المتجهات والمستقيمات والمستويات في الفضاء

الجداء السلّمي للمتجهتين u\vec u و v\vec v هو

uv=12(u+v2u2v2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

حيث u\norm{\vec u} طول u\vec u. وإذا كانت المتجهتان غير معدومتين، فإن uv=uvcosθ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta حيث θ\theta الزاوية بينهما؛ وفي نظام إحداثيات متعامد ومتجانس،

uv=xx+yy+zz.\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

وتكون متجهتان متعامدتين إذا كان جداؤهما السلّمي 00.

اقرأ في الفصل ←