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Matemática · Glossário

O que é Produto escalar?

Também chamado de: norma

Definição 16.1 Matemática do ensino médio · Capítulo 16 — O produto escalar no plano

O produto escalar de dois vetores u⃗\vec u e v⃗\vec v é o número

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

onde ∥u⃗∥\norm{\vec u} denota o comprimento (norma) de u⃗\vec u.

Exemplos

Exemplo 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) e v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. As normas são ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} e ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, de modo que cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: o ângulo é um pouco menor que 82∘82^\circ.

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Definição 31.6 Matemática do ensino médio · Capítulo 31 — Vetores, retas e planos no espaço

O produto escalar de u⃗\vec u e v⃗\vec v é

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

em que ∥u⃗∥\norm{\vec u} é o comprimento de u⃗\vec u. Se os dois vetores são não nulos, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta, sendo θ\theta o ângulo entre eles; e, em um sistema de coordenadas ortonormal,

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′.\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar é 00.

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