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Matemáticas · Glosario

¿Qué es Producto escalar?

También llamado: norma

Definición 16.1 Matemáticas de secundaria · Capítulo 16 — El producto escalar en el plano

El producto escalar de dos vectores u⃗\vec u y v⃗\vec v es el número

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

donde ∥u⃗∥\norm{\vec u} designa la longitud (o norma) de u⃗\vec u.

Ejemplos

Ejemplo 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) y v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4): u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Las normas son ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} y ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, así que cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10}: el ángulo es algo menor que 82∘82^\circ.

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Definición 31.6 Matemáticas de secundaria · Capítulo 31 — Vectores, rectas y planos en el espacio

El producto escalar de u⃗\vec u y v⃗\vec v es

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

donde ∥u⃗∥\norm{\vec u} es la longitud de u⃗\vec u. Si los dos vectores son no nulos, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta, donde θ\theta es el ángulo que forman; y en un sistema de coordenadas ortonormal,

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′.\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 00.

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