رياضيات المرحلة الثانوية · Grades 10–12

31المتجهات والمستقيمات والمستويات في الفضاء

تصير الهندسة الفضائية حسابية متى توافرت المتجهات و الإحداثيات: فتنال المستقيمات تمثيلات وسيطية، وتنال المستويات معادلات ديكارتية، ويقيس الجداء السلّمي الزوايا والمسافات. ويبني هذا الفصل هذه العدّة ويستعملها لحل مسائل التقاطع والمسافة الكلاسيكية.

31.1 المتجهات في الفضاء

تطيع المتجهات في الفضاء القواعد نفسها التي تطيعها في المستوي: فهي تُجمع وتُضرب في أعداد، ويكون $\vect{AB} = \vect{CD}$ بالضبط عندما يكون $ABDC$ متوازي أضلاع. وفي نظام إحداثيات $(O; \vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ ، يكون لكل متجهة إحداثيات $(x, y, z)$ .

تعريف 31.1 (الاستقامية والتوافق في مستو)

تكون متجهتان مستقيميتين إذا كانت إحداهما مضاعفًا للأخرى. وتكون ثلاث متجهات $\vec u, \vec v, \vec w$ متوافقة في مستوٍ إذا أمكن كتابة إحداها تركيبًا من الأخريين، وليكن مثلًا $\vec w = a\vec u + b\vec v$ .

قضية 31.2

إذا لم تكن $\vec u, \vec v, \vec w$ متوافقة في مستوٍ، فإن كل متجهة في الفضاء تتفكك على نحو وحيد على الصورة $x\vec u + y\vec v + z\vec w$ .

فكرة البرهان. عبر طرف المتجهة المراد تفكيكها، ارسم المستقيم الموازي للمتجهة $\vec w$ ؛ فهو يلقى مستوي $\vec u, \vec v$ في نقطة واحدة، تقسم المتجهة إلى مركّبة في ذلك المستوي (وهي وحيدة $x\vec u + y\vec v$ ، بهندسة المستوي) ومركّبة على طول $\vec w$ . وأما الوحدانية: فإن فرق تفكيكين سيعبّر عن إحدى المتجهات بدلالة الأخريين، وهذا يناقض عدم التوافق في مستو. ∎

31.2 المستقيمات والمستويات

تعريف 31.3 (التمثيل الوسيطي لمستقيم)

المستقيم المار بالنقطة $A(x_A, y_A, z_A)$ وذو متجهة التوجيه $\vec u (a, b, c) \neq \vec 0$ هو مجموعة النقط

M(x_A + ta,\; y_A + tb,\; z_A + tc), \qquad t \in \R .

تعريف 31.4 (المستوي)

المستوي المار بالنقطة $A$ والموجَّه بمتجهتين غير مستقيميتين $\vec u, \vec v$ هو مجموعة النقط $M$ التي تحقق $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$ حيث $(s, t) \in \R^2$ .

على اليسار: المستقيم المار بالنقطة A وتوجيهه u، مدرَّجًا بالوسيط t. وعلى اليمين: المستوي المار بالنقطة A والموجَّه بالمتجهتين u و v؛ وتُبلَغ كل نقطة M من المستوي على الصورة AM = s u + t v. — على اليسار: المستقيم المار بالنقطة $A$ وتوجيهه $\vec u$ ، مدرَّجًا بالوسيط $t$ . وعلى اليمين: المستوي المار بالنقطة $A$ والموجَّه بالمتجهتين $\vec u$ و $\vec v$ ؛ وتُبلَغ كل نقطة $M$ من المستوي على الصورة $\vect{AM} = s\vec u + t\vec v$ .

قضية 31.5 (الأوضاع النسبية)

مستويان متمايزان إما متوازيان وإما يتقاطعان في مستقيم. والمستقيم مع المستوي إما متوازيان (وقد يكون المستقيم محتوى فيه) وإما يتقاطعان في نقطة واحدة. وأما مستقيمان في الفضاء فقد يكونان متقاطعين، أو متوازيين تمامًا، أو منطبقين، أو متخالفين (أي غير متوافقين في مستوٍ).

مخطط. هذه عبارات عن الوقوع؛ وتؤول دراسة كل حالة، بالإحداثيات، إلى حل جملة خطية وعدّ حلولها — انظر الطريقة 31.10. ∎

31.3 الجداء السلّمي

تعريف 31.6 (الجداء السلّمي)

الجداء السلّمي للمتجهتين $\vec u$ و $\vec v$ هو

\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

حيث $\norm{\vec u}$ طول $\vec u$ . وإذا كانت المتجهتان غير معدومتين، فإن $\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta$ حيث $\theta$ الزاوية بينهما؛ وفي نظام إحداثيات متعامد ومتجانس،

\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

وتكون متجهتان متعامدتين إذا كان جداؤهما السلّمي $0$ .

قضية 31.7 (الخواص)

الجداء السلّمي متناظر ( $\vec u\cdot\vec v = \vec v\cdot\vec u$ )، وخطي ثنائيًا ( $(a\vec u + b\vec v)\cdot \vec w = a\,\vec u\cdot\vec w + b\,\vec v\cdot \vec w$ )، و $\vec u \cdot \vec u = \norm{\vec u}^2 \geq 0$ .

برهان. في نظام متعامد ومتجانس، تكون الخواص الثلاث كلها مباشرة على الصيغة $xx' + yy' + zz'$ ، التي تنتج هي نفسها من الصيغة المعرِّفة ومن حساب الأطوال بفيثاغورس: $\norm{\vec u}^2 = x^2 + y^2 + z^2$ . ∎

تعريف 31.8 (المتجهة الناظمة)

المتجهة الناظمة لمستوٍ $\mathcal P$ هي متجهة غير معدومة متعامدة مع كل متجهة تقع في $\mathcal P$ (ويكفي أن تكون متعامدة مع اتجاهين غير مستقيميين من $\mathcal P$ ).

المتجهة الناظمة n للمستوي P متعامدة مع كل اتجاه من P. والنقطة H، وهي مسقط العمود من M_0، تحقق المسافة من M_0 إلى المستوي. — المتجهة الناظمة $\vec n$ للمستوي $\mathcal P$ متعامدة مع كل اتجاه من $\mathcal P$ . والنقطة $H$ ، وهي مسقط العمود من $M_0$ ، تحقق المسافة من $M_0$ إلى المستوي.

مبرهنة 31.9 (المعادلة الديكارتية لمستو)

في نظام إحداثيات متعامد ومتجانس، للمستوي المار بالنقطة $A$ وذي المتجهة الناظمة $\vec n(a, b, c)$ المعادلة

a x + b y + c z + d = 0,

حيث $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$ . وبالعكس، تعرّف كل معادلة كهذه مع $(a,b,c) \neq (0,0,0)$ مستويًا متجهته الناظمة $(a, b, c)$ .

برهان. $M \in \mathcal P \iff \vect{AM} \perp \vec n \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0$ ، وهذا ينشر إلى المعادلة. وبالعكس، خذ أي نقطة حل $A$ للمعادلة؛ فالحساب نفسه بالمقلوب يبيّن أن مجموعة الحلول هي $\{M : \vect{AM}\cdot\vec n = 0\}$ ، أي المستوي المار بالنقطة $A$ والناظم إلى $\vec n$ . ∎

طريقة 31.10 (التقاطعات عمليًا)

مستقيم $\cap$ مستو: عوّض الإحداثيات الوسيطية للمستقيم في معادلة المستوي؛ وحل بالنسبة إلى $t$ (حل واحد: نقطة واحدة؛ ومساواة مستحيلة $0 = c$ مع $c \neq 0$ : توازٍ؛ و $0 = 0$ : المستقيم محتوى).
مستو $\cap$ مستو: حل جملة المعادلتين، بالتوسيط بإحداثي حر واحد؛ فالحل مستقيم (أو يكون المستويان متوازيين عندما تكون المتجهتان الناظمتان مستقيميتين).
التحقق من التعامد: يكون مستقيم $\perp$ مستو إذا وفقط إذا كان توجيهه مستقيميًا مع الناظمة؛ ويكون مستويان متعامدين إذا وفقط إذا كانت ناظمتاهما متعامدتين.

قضية 31.11 (المسافة من نقطة إلى مستو)

في نظام متعامد ومتجانس، تكون المسافة من $M_0(x_0, y_0, z_0)$ إلى المستوي $\mathcal P : ax + by + cz + d = 0$ هي

\operatorname{dist}(M_0, \mathcal P) = \frac{\abs{ax_0 + by_0 + cz_0 + d}}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

برهان. ليكن $H$ المسقط العمودي للنقطة $M_0$ على $\mathcal P$ : أي مسقط العمود، فتكون $\vect{HM_0}$ مستقيمية مع الناظمة الواحدية $\frac{\vec n}{\norm{\vec n}}$ ، وتكون المسافة $\abs{\vect{HM_0}\cdot \frac{\vec n}{\norm{\vec n}}}$ . ومن أجل أي $H \in \mathcal P$ ، $\vect{HM_0}\cdot\vec n = ax_0 + by_0 + cz_0 - (ax_H + by_H + cz_H) = ax_0 + by_0 + cz_0 + d$ (باستعمال المعادلة عند $H$ )، ومنه الصيغة بعد القسمة على $\norm{\vec n} = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$ . ∎

مثال 31.12

المسافة من المبدأ إلى المستوي $x + 2y + 2z - 6 = 0$ : $\frac{\abs{-6}}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac63 = 2$ .

31.4 تمارين

في كل التمارين يكون نظام الإحداثيات متعامدًا ومتجانسًا.

تمرين 31.1 ★

لتكن $A(1, 0, 2)$ و $B(3, 1, 1)$ و $C(2, -1, 3)$ . فهل النقط $A$ و $B$ و $C$ على استقامة واحدة؟ أعطِ تمثيلًا وسيطيًا للمستقيم $(AB)$ .

حل

حل التمرين 31.1.

$\vect{AB}(2, 1, -1)$ و $\vect{AC}(1, -1, 1)$ ليستا متناسبتين ( $\frac21 \neq \frac{1}{-1}$ )، إذن النقط ليست على استقامة واحدة. والمستقيم $(AB)$ :

(x, y, z) = (1 + 2t,\; t,\; 2 - t), \qquad t \in \R .

تمرين 31.2 ★

حدّد معادلة ديكارتية للمستوي المار بالنقطة $A(1, 1, 0)$ وذي المتجهة الناظمة $\vec n(2, -1, 3)$ . فهل تنتمي النقطة $B(0, 2, 1)$ إليه؟

حل

حل التمرين 31.2.

$2(x - 1) - (y - 1) + 3(z - 0) = 0$ ، أي

2x - y + 3z - 1 = 0 .

ومن أجل $B(0,2,1)$ : $0 - 2 + 3 - 1 = 0$ : نعم، تقع $B$ على المستوي.

تمرين 31.3 ★

احسب الزاوية عند $A$ (مقرَّبةً إلى أقرب درجة) في المثلث ذي الرؤوس $A(0,0,0)$ و $B(1, 1, 0)$ و $C(1, 0, 1)$ .

حل

حل التمرين 31.3.

$\vect{AB}(1,1,0)$ و $\vect{AC}(1,0,1)$ :

\cos\widehat{A} = \frac{\vect{AB}\cdot\vect{AC}}{\norm{\vect{AB}}\,\norm{\vect{AC}}} = \frac{1}{\sqrt2\,\sqrt2} = \frac12,

إذن $\widehat A = 60^\circ$ .

تمرين 31.4 ★★

اعتبر المستقيم $\mathcal D$ المار بالنقطة $A(1, 2, 0)$ وذا التوجيه $\vec u(1, -1, 2)$ ، والمستوي $\mathcal P : 2x + y - z + 1 = 0$ . حدّد $\mathcal D \cap \mathcal P$ .

حل

حل التمرين 31.4.

نقط $\mathcal D$ : $(1 + t,\, 2 - t,\, 2t)$ . وبالتعويض في معادلة $\mathcal P$ :

2(1+t) + (2 - t) - 2t + 1 = 5 - t = 0 \iff t = 5 .

فنقطة التقاطع الوحيدة: $(6, -3, 10)$ .

تمرين 31.5 ★★

ليكن $\mathcal P : x - y + 2z = 1$ و $\mathcal Q : 2x + y + z = 4$ . بيّن أن $\mathcal P$ و $\mathcal Q$ يتقاطعان في مستقيم وأعطِ تمثيلًا وسيطيًا له.

حل

حل التمرين 31.5.

المتجهتان الناظمتان $(1, -1, 2)$ و $(2, 1, 1)$ ليستا مستقيميتين، إذن يتقاطع المستويان في مستقيم. وبجمع المعادلتين: $3x + 3z = 5$ ، إذن $x = \frac53 - z$ ؛ ثم تعطي المعادلة الأولى $y = x + 2z - 1 = \frac23 + z$ . ومع $z = t$ :

(x, y, z) = \left(\frac53 - t,\; \frac23 + t,\; t\right), \qquad t \in \R,

وهو مستقيم متجهة توجيهه $(-1, 1, 1)$ . (والمعادلتان تتحققان تطابقيًا.)

تمرين 31.6 ★★

بيّن أن المستقيمين

\mathcal D_1 : (x, y, z) = (1 + t,\; 2t,\; 3 - t), \qquad \mathcal D_2 : (x, y, z) = (2 + s,\; 1 + s,\; 1 + 2s)

متخالفان (أي غير متوافقين في مستوٍ).

حل

حل التمرين 31.6.

التوجيهان $\vec u_1(1, 2, -1)$ و $\vec u_2(1, 1, 2)$ ليسا مستقيميين، إذن المستقيمان ليسا متوازيين. وأما التقاطع فيقتضي

1 + t = 2 + s, \qquad 2t = 1 + s, \qquad 3 - t = 1 + 2s .

فتعطي المعادلتان الأوليان $t = 1 + s$ و $2(1+s) = 1 + s$ ، إذن $s = -1$ و $t = 0$ ؛ لكن الثالثة تصير عندئذٍ $3 = -1$ ، وهذا سخيف. فلا نقطة مشتركة ولا توازٍ: إذن المستقيمان متخالفان.

تمرين 31.7 ★★

ليكن $\mathcal P : 2x - y + 2z - 3 = 0$ .

احسب المسافة من $M_0(3, 1, 1)$ إلى $\mathcal P$ .
حدّد إحداثيات المسقط العمودي $H$ للنقطة $M_0$ على $\mathcal P$ ، وتحقق من المسافة $M_0H$ .

حل

حل التمرين 31.7.

1. $\operatorname{dist} = \dfrac{\abs{2\cdot3 - 1 + 2\cdot1 - 3}} {\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac{4}{3}$ .

2. $H = M_0 + t\,\vec n$ مع $\vec n(2, -1, 2)$ ، باختيار $t$ بحيث $H \in \mathcal P$ :

2(3 + 2t) - (1 - t) + 2(1 + 2t) - 3 = 4 + 9t = 0 \iff t = -\frac49 .

ومنه $H\left(\frac{19}{9}, \frac{13}{9}, \frac19\right)$ ، و

M_0H = \norm{t\,\vec n} = \frac49 \times 3 = \frac43,

وهذا يوافق صيغة المسافة.

تمرين 31.8 ★★★

المكعب $ABCDEFGH$ طول ضلعه $1$ ؛ ضع الإحداثيات بحيث $A(0,0,0)$ و $B(1,0,0)$ و $D(0,1,0)$ و $E(0,0,1)$ (مع $C = B + D$ و $F = B + E$ و $G = B + D + E$ و $H = D + E$ بوصفها متجهات انطلاقًا من $A$ ).

بيّن أن القطر $(AG)$ عمودي على المستوي $(BDE)$ .
احسب المسافة من $A$ إلى المستوي $(BDE)$ ، والنقطة التي يخترقه عندها $(AG)$ .

حل

حل التمرين 31.8.

الإحداثيات: $G(1,1,1)$ ، والمستوي $(BDE)$ يمر بالنقط $B(1,0,0)$ و $D(0,1,0)$ و $E(0,0,1)$ .

1. للمستوي $(BDE)$ المعادلة $x + y + z = 1$ (وتحققها النقط الثلاث، وهي ليست على استقامة واحدة)، إذن $\vec n(1,1,1)$ ناظمة له. وبما أن $\vect{AG} = (1,1,1) = \vec n$ ، فإن القطر $(AG)$ عمودي على المستوي $(BDE)$ .

2. المسافة من $A(0,0,0)$ : $\frac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{3}$ . والمستقيم $(AG)$ هو $(t, t, t)$ ؛ وهو يلقى المستوي عندما يكون $3t = 1$ : عند النقطة $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$ ، وهي مركز ثقل المثلث $BDE$ .

تمرين 31.9 ★★★

(حجم رباعي وجوه.) لتكن $A(1,1,1)$ و $B(2,1,0)$ و $C(0,2,1)$ و $D(2,2,2)$ .

تحقق من أن $\vect{AB}$ و $\vect{AC}$ و $\vect{AD}$ غير متوافقة في مستوٍ (فالنقط تكوّن رباعي وجوه حقيقيًا).
أوجد متجهة $\vec n$ متعامدة مع $\vect{BC}$ ومع $\vect{BD}$ معًا، واستنتج معادلة ديكارتية للمستوي $(BCD)$ .
احسب المسافة من $A$ إلى المستوي $(BCD)$ ومساحة المثلث $BCD$ ، باستعمال الصيغة $\text{المساحة} = \frac12\sqrt{\norm{\vec u}^2\norm{\vec v}^2 - (\vec u \cdot \vec v)^2}$ من أجل المثلث الذي تولّده $\vec u, \vec v$ .
استنتج حجم رباعي الوجوه ( $V = \frac13 \times \text{مساحة القاعدة} \times \text{الارتفاع}$ ).

حل

حل التمرين 31.9.

1. $\vect{AB}(1, 0, -1)$ و $\vect{AC}(-1, 1, 0)$ و $\vect{AD}(1, 1, 1)$ . فإذا كان $\vect{AD} = a\vect{AB} + b\vect{AC}$ ، أعطت الإحداثيات $a - b = 1$ و $b = 1$ و $-a = 1$ : فالأوليان تفرضان $a = 2$ ، وهذا يناقض $a = -1$ . إذن ليست متوافقة في مستوٍ.

2. $\vect{BC}(-2, 1, 1)$ و $\vect{BD}(0, 1, 2)$ . وبحل $\vec n \cdot \vect{BC} = \vec n \cdot \vect{BD} = 0$ : من $b + 2c = 0$ نجد $b = -2c$ ؛ ثم يعطي $-2a - 2c + c = 0$ أن $c = -2a$ . ومع $a = 1$ : $\vec n(1, 4, -2)$ . والمستوي المار بالنقطة $B(2,1,0)$ :

x + 4y - 2z - 6 = 0 .

3. المسافة من $A(1,1,1)$ : $\dfrac{\abs{1 + 4 - 2 - 6}}{\sqrt{21}} = \dfrac{3}{\sqrt{21}}$ . ومساحة $BCD$ : $\norm{\vect{BC}}^2 = 6$ و $\norm{\vect{BD}}^2 = 5$ و $\vect{BC}\cdot\vect{BD} = 3$ ، إذن

\text{المساحة} = \frac12\sqrt{6 \times 5 - 9} = \frac{\sqrt{21}}{2}.

V = \frac13 \times \frac{\sqrt{21}}{2} \times \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac12 .

31.5 مسألة: تشريح المكعب

مسألة 31.1

مسألة نهاية الأسبوع — مستوٍ يقطع مكعبًا إلى مسدَّس منتظم، ورباعي وجوه منتظم مختبئ في الزوايا، و زاوية القطر تشكّل كل ألماسة

اقطع مكعبًا وأنت تتوقع مربعات ومستطيلات — ومع ذلك فإن قطعًا شهيرًا واحدًا ينتج مسدَّسًا منتظمًا، وأربعة قطوع بارعة في الزوايا تترك وراءها رباعي وجوه منتظمًا. وكلتا المفاجأتين، والزاوية $109.5^\circ$ التي تعبدها ذرات الكربون، تسقطان أمام عدّة هذا الفصل: المستقيمات الوسيطية، ومعادلات المستويات، والجداء السلّمي (المبرهنة 31.9 و القضية 31.11). واستعمل في كل ما يلي مكعب التمرين 31.8: طول ضلعه $1$ ، و $A(0,0,0)$ و $B(1,0,0)$ و $D(0,1,0)$ و $E(0,0,1)$ و $C(1,1,0)$ و $F(1,0,1)$ و $H(0,1,1)$ و $G(1,1,1)$ .

الجزء الأول — التمكّن.

اكتب معادلة المستوي المار بالنقطة $B(1,0,0)$ وذي المتجهة الناظمة $(1,1,1)$ ، وتمثيلًا وسيطيًا للمستقيم المار بالنقطة $A$ والموجَّه بالمتجهة $(1,1,1)$ ، ثم نقطة تقاطعهما.
احسب المسافة من $A$ إلى ذلك المستوي (القضية 31.11).
هل المتجهتان $(1,-1,0)$ و $(1,1,-2)$ متعامدتان؟
ما وضع المستويين $x + y + z = 1$ و $2x + 2y + 2z = 5$ ؟ وما وضع المستقيم المار بالنقطة $A$ والموجَّه بالمتجهة $(1,1,0)$ بالنسبة إلى المستوي الأول؟
اسرد منتصفات الحواف الست $[BC], [CD], [DH], [HE], [EF], [FB]$ للمكعب، و تحقق من أن الستة كلها تحقق المعادلة $x + y + z = \frac32$ .

الجزء الثاني — المقطع المسدَّس. ليكن $P$ المستوي $x + y + z = \frac32$ .

بيّن أن $P$ عمودي على القطر الكبير $(AG)$ ويمر بمركز المكعب.
احسب المسافات بين منتصفات السؤال 5 المتعاقبة حول المقطع: فماذا تجد؟
احسب زاوية مضلع المقطع عند أحد رؤوسه (بمتجهتي حافتين متعاقبتين وجداء سلّمي). واختم: المقطع مسدَّس منتظم.
احسب محيط المسدَّس ومساحته، وقارن المساحة بمساحة وجه من المكعب. (وللسجل: أكبر مقطع مستوٍ لمكعب الوحدة هو المستطيل القطري $1 \times \sqrt2$ الذي مساحته $\sqrt2$ — فينال المسدَّس المنتظم الفضة.)
أين يخترق القطر $(AG)$ المستوي $P$ ؟ وتحقق من أن نقطة الاختراق هي منتصف $[AG]$ .
حرّك القطع: صِف المقاطع $x + y + z = c$ لما ينمو $c$ من $0$ إلى $3$ — واحسب المقطع من أجل $c = \frac12$ (أي مضلع، وأي حجم؟)، واحكِ التحول الذي يمر بمسدَّسك عند $c = \frac32$ .
لماذا لا يستطيع أي مستوٍ أن يقطع مكعبًا في مضلع ذي سبعة أضلاع؟ (أين يجب أن يقع كل ضلع من المقطع؟)

الجزء الثالث — رباعي الوجوه المختبئ.

احسب حجم رباعي وجوه الزاوية $ABDE$ (بالقاعدة والارتفاع وصيغة الثلث التي قبلها الكتاب السابق — والتمرين 31.9 يحسب مثل هذه الأحجام عمومًا).
الرؤوس الأربعة $B$ و $D$ و $E$ و $G$ : احسب المسافات الست بين كل زوجين واختم بأن $BDEG$ رباعي وجوه منتظم. ثم احصل على حجمه بطرح رباعيات وجوه الزوايا من المكعب.
احسب المسافة من مركز المكعب إلى المستوي $(BDE)$ .
زاوية الألماس: احسب الزاوية بين القطرين $\vect{AG}$ و $\vect{BH}$ في المكعب. ومتممتها، ونحوها $109.5^\circ$ ، هي الزاوية بين الروابط في الألماس والميثان — فلماذا تختار أربعة أزواج إلكترونية حول ذرة كربون زوايا رباعي وجوه السؤال 14؟

الجزء الرابع — ثلاثي الأبعاد حقًا.

أوجد أين يخترق المستقيم المار بالنقطة $B(1,0,0)$ والموجَّه بالمتجهة $(0,1,1)$ مستوي المسدَّس $P$ .
بيّن أن المستقيمين $(AB)$ و $(EG)$ لا يلتقيان ولا يتوازيان: فهما مستقيمان متخالفان، وهي ظاهرة لا يمكن أن تحدث في مستوٍ.
احسب المسقط العمودي للنقطة $B$ على $P$ (بالسير من $B$ على طول الناظمة حتى المستوي)، ثم تحقق من أن نقطتك تحقق معادلة $P$ .
الخاتمة — عدّة مساح الفضاء: المستقيمات الوسيطية للاختراق، والمتجهات الناظمة للزوايا والمسافات، ومعادلات المستويات لنحت المقاطع؛ والمكعب ملعبًا أنتجت فيه مسدَّسًا، ورباعي وجوه منتظمًا، وزاوية الألماس، وزوجًا من المستقيمات المتخالفة. جملة واحدة لكل بند.

حل

حل المسألة 31.1.

1. المستوي: $x + y + z = 1$ . والمستقيم: $(t, t, t)$ . والتقاطع: $3t = 1$ : $\left(\frac13, \frac13, \frac13\right)$ .

2. $\dfrac{\abs{0 + 0 + 0 - 1}}{\sqrt3} = \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{3}$ .

3. $1 - 1 + 0 = 0$ : إذن متعامدتان.

4. الناظمة نفسها $(1,1,1)$ ، لكن $\frac52 \neq 1$ : إذن مستويان متوازيان تمامًا. وأما المستقيم: فتوجيهه $(1,1,0) \cdot (1,1,1) = 2 \neq 0$ : وهو غير موازٍ للمستوي، فيخترقه في نقطة واحدة.

5. المنتصفات: $\left(1, \frac12, 0\right)$ و $\left(\frac12, 1, 0\right)$ و $\left(0, 1, \frac12\right)$ و $\left(0, \frac12, 1\right)$ و $\left(\frac12, 0, 1\right)$ و $\left(1, 0, \frac12\right)$ : ومجموع إحداثيات كل منها $\frac32$ .

6. ناظمة $P$ هي $(1,1,1)$ ، وهي توجيه $(AG)$ : إذن متعامدان. والمركز $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$ مجموع إحداثياته $\frac32$ : فهو على $P$ .

7. تختلف المنتصفات المتعاقبة بمتجهات مثل $\left(-\frac12, \frac12, 0\right)$ : وطولها $\frac{\sqrt2}{2}$ في كل مرة — أي ستة أضلاع متساوية.

8. عند $\left(\frac12, 1, 0\right)$ : متجهتا الحافتين $\left(\frac12, -\frac12, 0\right)$ و $\left(-\frac12, 0, \frac12\right)$ : وجداؤهما السلّمي $-\frac14$ ، ومعياراهما $\frac{\sqrt2}{2}$ : $\cos = -\frac12$ : فالزاوية $120^\circ$ . وأضلاع متساوية وزوايا $120^\circ$ متساوية: أي مسدَّس منتظم.

9. المحيط $6 \times \frac{\sqrt2}{2} = 3\sqrt2 \approx 4.24$ . والمساحة $6 \times \frac{\sqrt3}{4} \times \frac12 = \frac{3\sqrt3}{4} \approx 1.30$ : أي أكبر من وجه (مساحته $1$ ) — شريحة أكبر من أي جانب من الصندوق؛ ولا يتغلب عليها إلا المستطيل القطري ( $\sqrt2 \approx 1.41$ ).

10. يلقى $(t,t,t)$ المستوي $P$ عند $t = \frac12$ : أي المركز — وهو منتصف $[AG]$ ( $A$ عند $t = 0$ و $G$ عند $t = 1$ ).

11. من أجل $c = \frac12$ : يقطع المستوي الحواف الثلاث عند زاوية $A$ ، عند $\left(\frac12,0,0\right)$ و $\left(0,\frac12,0\right)$ و $\left(0,0,\frac12\right)$ : أي مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه $\frac{\sqrt2}{2}$ . ولما ينمو $c$ ، ينمو المثلث، وتُشذَّب زواياه فتصير مسدَّسًا (منتظمًا بالضبط عند $c = \frac32$ )، ثم تنكمش الصورة بتناظر عائدةً إلى مثلث عند زاوية $G$ : وهو تحول القطع البلوري.

12. كل ضلع من المقطع هو تقاطع مستوي القطع مع وجه واحد من المكعب، والمستوي يلقى وجهًا (وهو مضلع مستوٍ) في قطعة واحدة على الأكثر: أي $6$ أضلاع على الأكثر. فالسبعة مستحيلة؛ وأما من ثلاثة إلى ستة فكلها تحدث (والسؤالان 8 و 11 يبيّنان اثنين منها).

13. القاعدة $ABD$ : مثلث قائم مساحته $\frac12$ ؛ والارتفاع $AE = 1$ : فالحجم $\frac13 \times \frac12 \times 1 = \frac16$ .

14. كل زوج من بين $B, D, E, G$ يختلف بالضبط في إحداثيين بمقدار $1$ : فالمسافات الست كلها تساوي $\sqrt2$ — أي منتظم. وينقسم المكعب إلى $BDEG$ زائد أربعة رباعيات وجوه في الزوايا مطابقة للرباعي $ABDE$ : فالحجم $1 - 4 \times \frac16 = \frac13$ .

15. المستوي $(BDE)$ : $x + y + z = 1$ ؛ والمركز $\left(\frac12,\frac12,\frac12\right)$ : فالمسافة $\frac{\abs{\frac32 - 1}}{\sqrt3} = \frac{1}{2\sqrt3} = \frac{\sqrt3}{6}$ .

16. $\vect{AG} = (1,1,1)$ و $\vect{BH} = (-1,1,1)$ : $\cos\theta = \frac{-1 + 1 + 1}{3} = \frac13$ : $\theta \approx 70.5^\circ$ ، ومتممتها $\approx 109.5^\circ$ . وأربعة أزواج إلكترونية يتنافر بعضها مع بعض وتتباعد قدر الإمكان حول الكربون: فالأمثل هو زوايا رباعي الوجوه المنتظم، الذي تلتقي اتجاهاته من المركز إلى الرؤوس عند هذه الزاوية بالضبط — فالألماس هو السؤال 14 متبلورًا.

17. $(1, t, t)$ على $P$ : $1 + 2t = \frac32$ : أي $t = \frac14$ : فالنقطة $\left(1, \frac14, \frac14\right)$ .

18. $(AB)$ : نقطه $(t, 0, 0)$ ؛ و $(EG)$ : نقطه $(s, s, 1)$ . واللقاء سيقتضي $0 = 1$ في الإحداثي الثالث: وهذا لا يكون أبدًا. والتوازي سيقتضي أن تكون $(1,0,0)$ و $(1,1,0)$ مستقيميتين: وهذا غير حاصل. فلا لقاء ولا توازٍ: إذن متخالفان — ممرّان في طابقين مختلفين.

19. $B + t(1,1,1) = (1 + t, t, t)$ على $P$ : $1 + 3t = \frac32$ : أي $t = \frac16$ : فالمسقط $\left(\frac76, \frac16, \frac16\right)$ ، ومجموع إحداثياته $\frac32$ : فهو على $P$ ، كما هو مطلوب.

20. المستقيمات الوسيطية تخترق (السؤالان 1 و 10 و 17)؛ والمتجهات الناظمة تقيس الزوايا والمسافات (الأسئلة 2 و 8 و 15 و 16)؛ ومعادلات المستويات تنحت المقاطع (تحوّل المثلث إلى مسدَّس). وقد ردّ الملعب زيارتنا: فمسدَّس منتظم في صندوق من المربعات، ورباعي وجوه منتظم في الزوايا، وزاوية الألماس، ومستقيمان يتجاهل أحدهما الآخر — وهي هندسة لا يقدمها إلا الفضاء.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد