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Mathématiques · Glossaire

Qu'est-ce que « Produit scalaire » ?

Aussi appelé : norme

Définition 16.1 Mathématiques du lycée · Chapitre 16 — Le produit scalaire dans le plan

Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗\vec u et v⃗\vec v est le nombre

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

où ∥u⃗∥\norm{\vec u} désigne la longueur (norme) de u⃗\vec u.

Exemples

Exemple 16.3

u⃗ (3,1)\vec u\,(3, 1) et v⃗ (2,−4)\vec v\,(2, -4) : u⃗⋅v⃗=6−4=2\vec u \cdot \vec v = 6 - 4 = 2. Les normes sont ∥u⃗∥=10\norm{\vec u} = \sqrt{10} et ∥v⃗∥=20\norm{\vec v} = \sqrt{20}, donc cos⁡θ=21020=2102=210\cos\theta = \frac{2}{\sqrt{10}\sqrt{20}} = \frac{2}{10\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{10} : l’angle est un peu inférieur à 82∘82^\circ.

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Définition 31.6 Mathématiques du lycée · Chapitre 31 — Vecteurs, droites et plans de l’espace

Le produit scalaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v est

u⃗⋅v⃗=12(∥u⃗+v⃗∥2−∥u⃗∥2−∥v⃗∥2),\vec u \cdot \vec v = \tfrac12\left(\norm{\vec u + \vec v}^2 - \norm{\vec u}^2 - \norm{\vec v}^2\right),

où ∥u⃗∥\norm{\vec u} est la longueur de u⃗\vec u. Si les deux vecteurs sont non nuls, u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡θ\vec u \cdot \vec v = \norm{\vec u}\,\norm{\vec v}\cos\theta où θ\theta est l’angle entre eux ; et dans un repère orthonormé,

u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′.\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' .

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire vaut 00.

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