استقرار (ليابونوف) কী?

مثال 19.9 (المستوي، مصنَّفًا)

من أجل $x' = Ax$ مع $A \in M_2(\R)$ قابلة للقلب، تتحدّد صورة الطور بجوار $0$ بالعددين $\tau = \operatorname{tr}A$ و $\delta = \det A$، عبر القيمتين الذاتيتين $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

• $\delta < 0$: قيمتان ذاتيتان حقيقيتان مختلفتا الإشارة — أي سرج؛ فيدخل مساران ويخرج مساران، وتمرّ البقية مرورًا. وهو غير مستقر دائمًا.
• $\delta > 0$ و $\tau^2 \geq 4\delta$: قيمتان ذاتيتان حقيقيتان بالإشارة نفسها ($= \operatorname{sign}\tau$) — أي عقدة، مستقرة إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$؛ والمسارات مماسّة للاتجاه الذاتي البطيء.
• $\delta > 0$ و $\tau^2 < 4\delta$ و $\tau \neq 0$: قيمتان ذاتيتان عقديتان مرافقتان $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — أي حلزون (بؤرة)، مستقر إذا وفقط إذا كان $\tau < 0$؛ والحلول دورانات $\eu^{\tau t/2}\times$ بالدور $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$ و $\delta > 0$: قيمتان ذاتيتان تخيّليتان محضتان — أي مركز: بمدارات مغلقة (قطوع ناقصة)، واستقرارٌ دون استقرار مقارب، وهو بالضبط الحدّ الفاصل الذي لا تستطيع المبرهنة 19.12 البتّ فيه من أجل الجمل غير الخطية (وهنا يجلس موضع توازن النواس السفلي، المسألة 19.1).

ويحمل القطع المكافئ الحدّي $\tau^2 = 4\delta$ العقدَ المنحلّة (أي كتل جوردان: بمسارات ذات اتجاه مماس واحد). وكل شيء يُقرأ من عددين — ولهذا يكون أول ردّ فعل قبل أي صورة طور مستوية هو حساب $\operatorname{tr}$ و $\det$؛ فمثلًا $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (المذبذب المخمَّد): $\delta = 1 > 0$ و $\tau = -c$: أي حلزون مستقر من أجل $0 < c < 2$، وعقدة مستقرة من أجل $c \geq 2$ — أي التخميد الناقص مقابل التخميد الزائد، في لمحة واحدة.