العبارة، الروابط কী?

مثال 1.6 (نفي جمل رياضية مألوفة)

لتكن $f \colon \R \to \R$. تُكتب الجملة «$f$ متزايدة» هكذا

ونفيها، حسب القضية 1.5 وبالقاعدة $\lnot(P \implies Q) \iff P \land \lnot Q$:

فيكفي زوج شاهد واحد. وبالمثل تُكتب «$f$ محدودة» $\exists M \in \R,\ \forall x \in \R,\ \abs{f(x)} \leq M$، ونفيها

مهما يكن الحاصر المقترح فثمّة نقطة تتجاوزه. والفكرة النافذة: لا يحتوي نفي صحيح قط على «ليس» مطبَّقة على كتلة مسوَّرة — بل هو عبارة إيجابية جديدة تتبادل فيها الأدوار: صار على المرء أن ينتج الشواهد التي كان يتلقّاها.

مثال 1.7 (ترتيب المسوِّرات)

ترتيب المسوِّرات المختلفة مهمّ:

في العبارة الأولى يجوز أن يتعلق $y$ بالعنصر $x$؛ وفي الثانية يجب أن يفي $y$ واحد بعينه بالغرض لكل $x$. أمّا المسوِّران المتماثلان فيتبادلان موقعيهما دائمًا.

مثال 1.13 (البرهان على الوجود الوحيد)

العبارة $\exists!\,x,\ P(x)$ عبارتان اثنتان، يُبرهن على كلٍّ منهما على حدة: الوجود (بإبراز أو إنشاء $x_0$ يحقق $P(x_0)$) والوحدانية (نفترض $P(x)$ و $P(x')$ ونستنتج $x = x'$). مثال على ذلك: يوجد عدد حقيقي وحيد $x$ يحقق $x^3 + x = 2$. الوجود: $x_0 = 1$ يفي بالغرض لأن $1 + 1 = 2$. الوحدانية: إذا كان $x^3 + x = x'^3 + x'$ فإن

والعامل الثاني موجب (فهو يساوي $\bigl(x + \tfrac{x'}2\bigr)^2 + \tfrac34 x'^2 + 1 \geq 1$)، ومنه $x = x'$. ولاحظ توزيع العمل: استعمل الوجود تخمينًا موفقًا، واستعملت الوحدانية جبرًا صالحًا لحلول كيفية — فلا تنوب إحدى الحجتين عن الأخرى، ونسيان النصف الثاني إغراء دائم بمجرد العثور على حلّ.