ما معنى topology؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 25.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · অধ্যায় 25 — دوال المتغيرين

على $\R^2$ ، استعمل المعيار الإقليدي $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (الفصل 23). وتُعرَّف الكرات المفتوحة والجوارات والمجموعات الجزئية المفتوحة من $\R^2$ تمامًا كما في الفصل 12، بالكرات بدل الفترات. وتكون الدالة $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ مفتوحة) متصلة عند $a \in U$ إذا كان

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

بالتمييز التتالي نفسه كما في متغير واحد. وتحفظ المجاميع والجداءات والقسمة والتراكيب مع الدوال المتصلة في متغير واحد الاتصالَ؛ وتطبيقا الإحداثيتين متصلان، ومنه فكثيرات الحدود في $(x,y)$ كذلك.

উদাহরণ

مثال 25.2 (الحاصر القطبي، الكيفية النظيفة للبرهان على نهاية)

بيّن أن $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (مع $f(0,0) = 0$ ) متصلة عند المبدأ. وبالإحداثيات القطبية $x = \rho\cos\theta$ و $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

أي حاصر مستقل عن $\theta$ : فمهما كان اتجاه الاقتراب، تُحصر القيم إلى $0$ . وذلك الانتظام في $\theta$ هو كل المقصود — فحاصر مثل $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (بلا $\rho$ باقٍ) لا يبرهن على شيء، وفعلًا فإن ذلك المقدار $g$ هو الفخّ القطري المنقطع في المثال التالي.

مثال 25.3 (الفخّ القطري)

لتكن $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ من أجل $(x,y) \neq (0,0)$ و $f(0, 0) = 0$ . فعلى امتداد كل محور، $f = 0 \to 0$ ؛ لكن على امتداد القطر $y = x$ ، $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . ولا نهاية عند المبدأ: فالاقتراب على امتداد كل مستقيم، بل وإيجاد النهاية نفسها على امتداد كلٍّ، لا يكفي (فنهايات المستقيمات هنا لا تتفق؛ وأمثلة أسوأ تتفق على امتداد كل المستقيمات ومع ذلك تفشل على امتداد قطع مكافئ، التمرين 25.3). فالاتصال في كل متغير على حدة لا يستلزم الاتصال.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

تعريف 6.1 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · অধ্যায় 6 — الطوبولوجيا العامة

الطوبولوجيا على مجموعة $X$ هي عائلة $\mathcal T$ من أجزاء $X$ — تُسمّى المجموعات المفتوحة — بحيث: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ؛ وأي اتحاد لمجموعات مفتوحة مفتوح؛ وأي تقاطع منتهٍ لمجموعات مفتوحة مفتوح. ويُسمّى الزوج $(X, \mathcal T)$ فضاءً طوبولوجيًا. ومتممات المجموعات المفتوحة مغلقة. والجوار للنقطة $x$ مجموعةٌ تحتوي على مجموعة مفتوحة تحتوي على $x$ .

উদাহরণ

مثال 6.2

(a) الفضاء المتري، مع «المفتوح» كما في السنة الجامعية 2 (أي اتحادات الكرات المفتوحة): وهي الطوبولوجيا المترية؛ ويمكن لمسافات مختلفة أن تعطي الطوبولوجيا نفسها (المسافات المتكافئة). ويكون الفضاء قابلًا للتمتير إذا نشأت طوبولوجيته عن مسافة ما. (b) الطوبولوجيا المتقطّعة (وفيها جميع الأجزاء مفتوحة) والطوبولوجيا الخشنة $\{\varnothing, X\}$ . (c) طوبولوجيا المتممات المنتهية على مجموعة لامنتهية: المفتوح $=$ الخالي أو ذو المتمم المنتهي. وهي غير قابلة للتمتير، كما سنرى (التمرين 6.3). (d) على $\R$ ، الطوبولوجيا المعتادة؛ وعلى $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ ، طوبولوجيا الترتيب المولَّدة بالأشعة — وهي تجعل « $x_n \to +\infty$ » حالةً من التقارب العادي.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

উদাহরণ

উদাহরণ

সম্পর্কিত পরিভাষা-শব্দ