ما معنى التطبيق المنقول؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 2.8 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · অধ্যায় 2 — الجبر الخطي

من أجل $u \in \mathcal{L}(E, F)$ ، يكون المنقول $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ هو

u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .

وهو يحقق $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf T}$ ، ومصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي منقول مصفوفة $u$ — وهذا ما يفسّر أخيرًا منقول السنة الأولى.

উদাহরণ

مثال 2.9 (المنقول، عنصرًا عنصرًا)

ليكن للتطبيق $u \colon \R^2 \to \R^3$ المصفوفة $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ في الأسس القانونية. من أجل $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ ، نحسب $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ على أساس الفضاء $\R^2$ :

(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3, \qquad (\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .

ومنه $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ ، وتكون مصفوفة $u^{\mathsf T}$ في الأسس الثنوية هي

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = A^{\mathsf T} :

فالمنقول المجرد هو المصفوفة المقلوبة، ولم يبقَ حساب يُؤخذ على الثقة. ولاحظ الآلية: صار العمود رقم $j$ من $A$ هو السطر رقم $j$ في المصفوفة الجديدة لأن $\psi \circ u$ يقرأ مخرجات $u$ عبر معاملات $\psi$ .

مثال 2.11 (الرتبة مقروءة من الجهتين)

ليكن

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

رتبة الأعمدة: السطر الثالث مجموع الأولين، ومنه $\operatorname{rk} A \leq 2$ ؛ والعمودان $1$ و $2$ حرّان: ومنه $\operatorname{rk} A = 2$ . نواة المنقول: يعطي حلّ $A^{\mathsf T}y = 0$ أن $y \in \R\,(1, 1, -1)$ ، ومنه فبعد $\ker A^{\mathsf T}$ هو $1 = 3 - 2$ : أي بالضبط $(\operatorname{im} A)^\circ$ بمماهاة $(\R^3)^*$ مع متجهات الأسطر، كما تؤكد القضية 2.10 — فالعلاقة الوحيدة “السطر $_3$ = السطر $_1$ + السطر $_2$ ” هي مُبيد فضاء الأعمدة. ورتبة الأسطر ( $2$ سطرًا حرًّا) ورتبة الأعمدة تتفقان لا مصادفةً بل لأن كلتيهما تساوي $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ .

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←