ما معنى عدد اللف؟

من أجل مسار مغلق $\gamma$ ومن أجل $z \notin \operatorname{im}\gamma$، يكون الدليل

وهو عدد صحيح: فبوضع $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$، يكون للدالة $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ مشتقة معدومة (بالقطع)، ومنه فهي ثابتة؛ وعند $t = b$ يكون $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$، ومنه $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. وبوصفه دالةً في $z$، يكون الدليل متصلًا على $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (بالتقارب المهيمن)، ومنه ثابتًا على كل مركّبة مترابطة، ومعدومًا على المركّبة غير المحدودة (بمتراجحة $ML$: إذ يؤول التكامل إلى $0$ حين $z \to \infty$). ومن أجل الدائرة $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$، $t \in \intcc0{2\pi}$: أي $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ من أجل $z \in D(a,r)$ (بالحساب عند $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$؛ ويتكفّل الثبات بالباقي).

ليكن $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ منحنيًا مغلقًا ناعمًا. عدد اللف له حول $a$ هو