¿Qué es Índice de un camino?

Para un camino cerrado $\gamma$ y $z \notin \operatorname{im}\gamma$, el índice es

Es un entero: poniendo $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, la función $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ tiene derivada nula (a trozos), luego es constante; en $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, de modo que $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Como función de $z$, el índice es continuo en $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergencia dominada), luego constante en cada componente conexa, y $0$ en la componente no acotada (ML: la integral tiende a $0$ cuando $z \to \infty$). Para la circunferencia $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$: $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ para $z \in D(a,r)$ (calcúlese en $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; la constancia hace el resto).

Sea $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ una curva cerrada regular. Su índice alrededor de $a$ es