घूर्णन संख्या क्या है?

किसी संवृत पथ $\gamma$ और $z \notin \operatorname{im}\gamma$ के लिए सूचकांक है

यह एक पूर्णांक है: $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$ रखने पर फलन $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ का अवकलज (खंडशः) शून्य होता है, अतः वह अचर है; और $t = b$ पर $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, इसलिए $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$। $z$ के फलन के रूप में सूचकांक $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ पर संतत है (प्रभावी अभिसरण), अतः प्रत्येक संबद्ध घटक पर अचर, और अपरिबद्ध घटक पर $0$ (ML: $z \to \infty$ पर समाकल $0$ की ओर जाता है)। वृत्त $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$ के लिए: $z \in D(a,r)$ के लिए $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ ($z = a$ पर परिकलित कीजिए: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; शेष अचरता कर देती है)।

मान लीजिए $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ कोई चिकना संवृत वक्र है। $a$ के परितः उसकी घूर्णन संख्या है