Qu'est-ce que « Nombre de tours » ?

Pour un chemin fermé $\gamma$ et $z \notin \operatorname{im}\gamma$, l’indice est

C’est un entier : en posant $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, la fonction $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ a une dérivée nulle (par morceaux), donc est constante ; en $t = b$, $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, d’où $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Comme fonction de $z$, l’indice est continu sur $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (convergence dominée), donc constant sur chaque composante connexe, et $0$ sur la composante non bornée (ML : l’intégrale tend vers $0$ quand $z \to \infty$). Pour le cercle $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$ : $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ pour $z \in D(a,r)$ (calculer en $z = a$ : $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$ ; la constance fait le reste).

Soit $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ une courbe lisse fermée. Son nombre d’enroulement autour de $a$ est