Wat is Windingsgetal?

Voor een gesloten weg $\gamma$ en $z \notin \operatorname{im}\gamma$ is de index

Het is een geheel getal: stel $\varphi(t) = \int_a^t\frac{\gamma'(s)}{\gamma(s) - z}\dd s$, dan heeft de functie $(\gamma(t) - z)\eu^{-\varphi(t)}$ (stuksgewijs) afgeleide nul en is ze dus constant; in $t = b$ is $\eu^{\varphi(b)} = \frac{\gamma(b) - z}{\gamma(a) - z} = 1$, dus $\varphi(b) \in 2\iu\pi\Z$. Als functie van $z$ is de index continu op $\C\setminus\operatorname{im}\gamma$ (gedomineerde convergentie), dus constant op elke samenhangscomponent, en $0$ op de onbegrensde component (ML: de integraal gaat naar $0$ als $z \to \infty$). Voor de cirkel $\gamma(t) = a + r\eu^{\iu t}$, $t \in \intcc0{2\pi}$, is $\operatorname{Ind}_\gamma(z) = 1$ voor $z \in D(a,r)$ (bereken in $z = a$: $\frac1{2\iu\pi} \int_0^{2\pi}\frac{r\iu\eu^{\iu t}}{r\eu^{\iu t}}\dd t = 1$; de constantheid doet de rest).

Zij $\gamma\colon\intcc01\to\R^2\setminus\{a\}$ een gladde gesloten kromme. Haar windingsgetal rond $a$ is