الفيزياء الجامعية — السنة الثانية · Bachelor Year 2

2تحريك الموائع

قف على جسر وانظر إلى النهر. تمرّ ورقة منجرفة، فتتسارع بين الدعامات، وتتباطأ في الحوض أسفلها، وتدور دورة في دوّامة، ثم تمضي. ولك أن تصف النهر بأن تتبع تلك الورقة — موضعها وسرعتها في كل لحظة — أو بأن تقف ساكنًا فتسجّل، عند كل نقطة من النهر، سرعة مرور الماء. والوصف الثاني هو وصف فيزيائي الموائع: أي مجال السرعات. وهذا الفصل يقيم الوصفين، ويتعلّم حساب تسارع جسيم انطلاقًا من المجال، ويكتب انحفاظ الكتلة قانونًا موضعيًّا، ويصنّف الجريانات بحسب دواميتها — وهي المفردات التي ستحتاج إليها معادلتا أويلر ونافييه.

نهر يمرّ تحت جسر: ماء سريع أملس بين الدعامات، ودوّامات في حماها — مجال سرعات يُقرأ عند نقاط ثابتة، لا مسار واحد يُتَّبع.

2.1 وصف الوسط المتصل

تعريف 2.1 (الجسيم المائع؛ فرضية الوسط المتصل)

الجسيم المائع حجم من المائع صغير كفايةً ليُعامَل نقطةً على مقياس الجريان، وكبير كفايةً في الوقت نفسه ليحوي عددًا هائلًا من الجزيئات، بحيث تكون كثافته $\rho$ وضغطه $P$ ودرجة حرارته $T$ وسرعته المتوسطة $\vect v$ متوسطات معرَّفة تعريفًا حسنًا (أي المقياس المتوسطي، وهو نحو الميكرومتر عادةً). وفرضية الوسط المتصل تفترض وجود مثل هذا المقياس: إذ يجب أن يكون المسار الحرّ الوسطي $\ell$ للجزيئات أصغر بكثير من مقياس الجريان $L$ ، أي $\ell/L \ll 1$ . وفي الهواء عند الضغط الجوي $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ؛ وفي سائل يكون $\ell$ بحجم الجزيء. ويوصف المائع عندئذ بمجموعة مجالات $\rho(M, t)$ و $P(M, t)$ و $\vect v(M, t)$ معرَّفة عند كل نقطة.

تعريف 2.2 (الوصفان اللاغرانجي والأويلري)

يتتبع الوصف اللاغرانجي كل جسيم مائع: موضعه $\vect r(t)$ وسرعته $\dd\vect r/\dd t$ بدلالة الزمن وموضعه الابتدائي. وأما الوصف الأويلري فيعطي، عند كل نقطة ثابتة $M$ ولحظة $t$ ، سرعة $\vect v(M, t)$ الجسيم المارّ من $M$ في تلك اللحظة. وخط المسار هو مسار جسيم؛ وخط التيار في اللحظة $t$ منحنٍ يماسّ في كل نقطة $\vect v(M, t)$ ؛ وأنبوب التيار هو السطح المؤلَّف من خطوط التيار المارّة من منحنٍ مغلق. ويكون الجريان مستقرًّا حين لا تتوقف المجالات الأويلرية على الزمن، $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ؛ وعندئذ تنطبق خطوط التيار وخطوط المسار وتكون ثابتة.

مثال 2.3 (وصفان لجريان واحد)

ماء في خرطوم حديقة مقطعه $S$ وتدفقه $Q$ يمضي بالسرعة $v = Q/S$ في كل مكان: فالمجال الأويلري منتظم، وحركة كل جسيم بالوصف اللاغرانجي منتظمة. وأما في الفوهة المتضيّقة فيبقى المجال الأويلري مستقرًّا لكن $v$ يتزايد على امتداد المحور: فكل جسيم يتسارع وهو يمرّ فيها، مع أن لا شيء يتغير مع الزمن عند أي نقطة ثابتة. وذلك أول ما على الوصف الأويلري أن يتعلّم التعبير عنه.

على اليسار: جريان مستقر متقارب — خطوط التيار ثابتة، وجسيم موسوم يتبع أحدها ويتسارع حين يضيق الأنبوب. وعلى اليمين: يسجّل الوصف الأويلري متجهة السرعة عند نقاط ثابتة؛ ويتبع الوصف اللاغرانجي جسيمًا على امتداد خط مساره.

2.2 المشتق الجسيمي

مبرهنة 2.4 (المشتق الجسيمي (المشتق المادي))

معدّل تغيّر مقدار $G(M, t)$ (سلّمي أو متجهي) بالنسبة إلى الجسيم المائع المارّ من $M$ في اللحظة $t$ هو

\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\,G , \qquad\text{وعلى الخصوص}\qquad \vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,

حيث $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z$ . والحدّ الأول هو معدّل التغيّر الموضعي (عند نقطة ثابتة)، والثاني هو المعدّل الحملي (لأن الجسيم ينتقل إلى حيث يكون $G$ مختلفًا). ومن أجل السرعة، $(\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + (\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$ .

برهان. في $\dd t$ ينتقل الجسيم من $M$ إلى $M + \vect v\,\dd t$ ، ومنه $\dd G = G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ حتى المرتبة الأولى (بقاعدة اشتقاق دالة لأربعة متغيرات). وتُتحقَّق المتطابقة المتجهية على المركّبة $x$ : $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x v_y + v_z\partial_xv_z$ و $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x = v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (ومركّبات $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ معطاة أدناه في التعريف 2.12)؛ ومجموعهما $v_x\partial_xv_x + v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$ . ∎

مثال 2.5 (التسارع في فوهة مستقرة)

جريان مستقر ذو بعد واحد $v(x) = v_0(1 + x/L)$ على امتداد فوهة: ينعدم الحدّ الموضعي، ويكون $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ . وجسيم يدخل بالسرعة $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ويخرج بالسرعة $2v_0$ على طول $L = 5\,\mathrm{cm}$ يحسّ تسارعًا $a = 80$ حتى $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : أي من ثمانية إلى ستة عشر $g$ ، في جريان لا يتوقف فيه شيء على الزمن.

مثال 2.6 (الموضعي مقابل الحملي)

تنخفض درجة الحرارة في محطة أرصاد أثناء الليل ( $\partial T/ \partial t < 0$ : وهذا موضعي)، وتنخفض كذلك لطرد هوائي تحمله الريح نحو الشمال ( $\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$ : وهذا حملي، أو انسياقي). ومقياس حرارة على منطاد ينجرف مع الريح يسجّل المجموع، $\mathrm DT/\mathrm Dt$ ؛ وأما محطة الأرصاد فلا تسجّل إلا الحدّ الأول.

2.3 انحفاظ الكتلة

تعريف 2.7 (التدفق الكتلي والتدفق الحجمي)

التدفق الكتلي عبر سطح موجَّه $S$ هو الكتلة العابرة له في واحدة الزمن، $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — وهو تدفق كثافة تيار الكتلة $\vect j = \rho\vect v$ (ووحدتها $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ )؛ والتدفق الحجمي هو $D_V = \sum\vect v \cdot\vect n\,\dd S$ ( $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ). ومن أجل سرعة منتظمة ناظمية على مقطع مستو مساحته $S$ يكون $D_m = \rho vS$ و $D_V = vS$ .

برهان. في $\dd t$ يكون المائع العابر للعنصر $\dd S$ هو ما تحويه الأسطوانة المائلة ذات القاعدة $\dd S$ والراسم $\vect v\,\dd t$ ، وحجمها $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ وكتلتها $\rho$ مضروبًا في ذلك. ∎

مبرهنة 2.8 (الانحفاظ الموضعي للكتلة)

عند كل نقطة من مائع،

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 , \qquad\text{حيث}\qquad \operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

هو تباعد مجال متجهي: أي التدفق الصافي الخارج للمجال $\vect A$ عبر سطح حجم صغير، في واحدة الحجم. ويكافئ ذلك $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$ .

برهان. لنأخذ الصندوق الثابت $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$ . تتغير كتلته $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ بالمعدل $\partial_t\rho\,\dd x\dd y \dd z$ . وتدخل الكتلة عبر الوجه عند $x$ بالمعدل $j_x(x)\dd y\dd z$ وتخرج عبر الوجه عند $x + \dd x$ بالمعدل $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$ : فالخروج الصافي $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$ ، وكذلك من أجل $y$ و $z$ . وانحفاظ الكتلة — إذ لا تُخلق كتلة — يعطي $\partial_t\rho = - (\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$ . وتنتج الصيغة الثانية من $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho + \rho\operatorname{div}\vect v$ . ∎

ملاحظة 2.9 (التباعد، لقاء أول)

يبيّن الاشتقاق ما يقيسه $\operatorname{div}$ : أي التدفق الخارج من صندوق صغير في واحدة الحجم. وبالجمع على الصناديق التي تبلّط حجمًا منتهيًا $V$ ، تتلاشى الوجوه الداخلية مثنى مثنى ولا يبقى إلا السطح الخارجي: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V \operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — وهي مبرهنة التباعد (أوستروغرادسكي)، وسنصوغها بدقة في الفصل 11 ونستعملها في الكهرمغناطيسية كلها؛ وهي مبرهنة في كتاب الرياضيات للسنة الثالثة. ومكاملًا على حجم ثابت، يُقرأ القانون الموضعي $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{خارج}}$ : أي إن الكتلة في الداخل تتغير بما يعبر الحدّ.

على اليسار: موازنة الكتلة في صندوق ثابت — الخروج الصافي عبر وجوهه الستة، في واحدة الحجم، هو تباعد v. وعلى اليمين: في جريان مستقر يكون التدفق الكتلي واحدًا عبر كل مقطع من أنبوب التيار. — على اليسار: موازنة الكتلة في صندوق ثابت — الخروج الصافي عبر وجوهه الستة، في واحدة الحجم، هو تباعد $\rho\vect v$ . وعلى اليمين: في جريان مستقر يكون التدفق الكتلي واحدًا عبر كل مقطع من أنبوب التيار.

نتيجة 2.10 (الجريان اللاانضغاطي؛ أنابيب التيار)

يكون الجريان لاانضغاطيًّا حين تبقى كثافة كل جسيم ثابتة، $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$ ، وهو ما يكافئ

\operatorname{div}\vect v = 0 .

ويجري السائل المتجانس جريانًا لاانضغاطيًّا؛ وكذلك الغاز عند سرعات أدنى بكثير من سرعة الصوت (انظر الفصل 7). وفي جريان مستقر يكون التدفق الكتلي $\rho vS$ واحدًا عبر كل مقطع من أنبوب التيار؛ فإن كان الجريان لاانضغاطيًّا و $\rho$ منتظمة فوق ذلك، كان $vS$ ثابتًا: أي إن المائع يتسارع حيث يضيق الأنبوب.

برهان. $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$ . وأما الأنبوب، فنطبق الموازنة المكاملة على الحجم المحصور بين مقطعين: فلا تدفق عبر السطح الجانبي (إذ السرعة مماسية)، والحالة مستقرة، ومنه يساوي الداخل الخارج. ∎

مثال 2.11 (الدم)

يحمل الأبهر (ومقطعه $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : أي $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . ويمرّ التدفق نفسه عبر نحو $10^{10}$ شعيرة مقطعها الكلي زهاء $2500\,\mathrm{cm}^{2}$ : أي $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — وهو بطء يكفي للتبادلات عبر الجدران، وتلك غاية التفرّع.

2.4 الدوامية والجريانات اللادورانية

تعريف 2.12 (الدوامية)

دوامية جريان هي المجال المتجهي

\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .

ويكون الجريان لادورانيًّا حيث $\vect\omega = \vect 0$ .

قضية 2.13 (الدوامية تقيس الدوران الموضعي)

يدور عنصر مائع صغير مركزه $M$ ، ككل، بالسرعة الزاوية $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$ . وفي دوران صلب $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ تكون الدوامية منتظمة، $\vect\omega = 2\vect\Omega$ ؛ وفي جريان القصّ المستوي $\vect v = ky\,\vect e_x$ تكون $\vect\omega = -k\vect e_z$ : أي إن عجلة ريشية تُلقى في جريان قصّ تدور مع أن خطوط التيار مستقيمة.

برهان. بجوار $M$ ، $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ حيث $\mathbf G$ مصفوفة $\partial_jv_i$ ؛ ونفصلها إلى جزئها المتناظر (وهو تشوّه صرف يمطّ العنصر دون أن يديره ككل) وجزئها المتخالف التناظر، ومصفوفته $\tfrac12(\partial_jv_i - \partial_iv_j)$ هي مصفوفة $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ (المبرهنة 1.2). وفي الدوران الصلب حول $\vect e_z$ : $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$ ، و $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$ . وفي القصّ: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$ . ∎

تعريف 2.14 (كمون السرعات؛ التكامل الخطي)

في جريان لادوراني تشتقّ السرعة من كمون سرعات: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (وعندئذ لا يتوقف التكامل الخطي للمتجهة $\vect v$ على امتداد مسار إلا على طرفيه، $\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$ ). فإن كان الجريان لاانضغاطيًّا كذلك، كان $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0$ : أي إن الكمون يحقق معادلة لابلاس، تمامًا كما يفعل الكمون الكهرسكوني في منطقة خالية من الشحنة — وهو الجريان الكموني. والتكامل الخطي للسرعة على امتداد منحنٍ مغلق $C$ هو $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$ .

برهان. كون مجال معدوم الدوّار على منطقة بسيطة الترابط تدرجًا، وكون التدرج معدوم الدوّار ( $\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$ )، هما من كتاب الرياضيات للسنة الثانية؛ وتنتج معادلة لابلاس من $\operatorname{div}\vect v = 0$ . ∎

مثال 2.15 (ثلاثة جريانات مستوية)

(1) جريان الركود $\vect v = k(x, -y)$ : فيكون $\operatorname{div}\vect v = 0$ ، و $\vect\omega = \vect 0$ ، و $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ؛ وخطوط التيار $xy = \text{ثابت}$ ، وهي قطوع زائدة — كنفث يصطدم بجدار، بجوار المحور. (2) الدوامة النقطية $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (بالإحداثيات القطبية المستوية): وهي لاانضغاطية ولادورانية في كل مكان إلا عند $r = 0$ ، و $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (متعدد القيم)، ويكون التكامل الخطي على أي دائرة حول المركز $\Gamma$ — أي إن الدوامية مركَّزة على المحور. (3) دوامة رانكين: لبّ $r < a$ في دوران صلب $v_\theta = \Omega r$ (ودواميته $2\Omega$ ) موصول بالدوامة النقطية $v_\theta = \Omega a^2/r$ في الخارج: وهو نموذج الإعصار القمعي، ودوّامة حوض الاستحمام، والدوّامة خلف دعامة الجسر — وتبلغ السرعة ذروتها عند حافة اللبّ.

ثلاثة جريانات مستوية. على اليسار: جريان الركود، وهو لادوراني، وخطوط تياره قطوع زائدة. وفي الوسط: الدوامة النقطية — خطوط تيار دائرية، والدوامية مع ذلك معدومة بعيدًا عن المركز. وعلى اليمين: منحني دوامة رانكين، دوران صلب في اللبّ ودوامة نقطية في الخارج.

ملاحظة 2.16 (لماذا يهمّ التكامل الخطي)

من أجل حلقة مستوية صغيرة مساحتها $\dd S$ وناظمتها $\vect n$ ، يكون التكامل الخطي $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — أي إن الدوامية هي التكامل الخطي في واحدة المساحة، تمامًا كما أن التباعد هو التدفق في واحدة الحجم. (وتحقق من ذلك على الدوران الصلب: $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ .) وبالجمع على سطح نحصل على مبرهنة ستوكس، $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S \operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ ، وستُصاغ في الفصل 11. ويولّد الجناح قوة الرفع بحمله تكاملًا خطيًّا حوله؛ ويدوم خط الدوامة في مائع مثالي (مبرهنة كلفن) — ولهذا تبقى الدوّامة خلف الدعامة زمنًا طويلًا.

طريقة 2.17 (قراءة مجال سرعات)

إذا أُعطي $\vect v(M, t)$ : (1) أهو مستقر؟ ( $\partial_t\vect v = \vect 0$ )؛ (2) أهو لاانضغاطي؟ ( $\operatorname{div}\vect v = 0$ )؛ (3) أهو لادوراني؟ ( $\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$ ؛ فإن كان كذلك أوجد $\varphi$ )؛ (4) أوجد خطوط التيار من $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/ v_z$ عند $t$ ثابتة، وخطوط المسار من $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r, t)$ ؛ (5) احسب التسارع $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v$ . وبالإحداثيات القطبية المستوية $(r, \theta)$ ، $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r \dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ و $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)} {\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (مسلَّم بهما هنا؛ ويُشتقّان في الفصل 11).

2.5 تمارين

تمرين 2.1 ★

المسار الحرّ الوسطي في الهواء $70\,\mathrm{nm}$ عند $1\,\mathrm{bar}$ ويتغير مثل $1/P$ . هل يصلح وصف الوسط المتصل من أجل (أ) الهواء حول سيارة، (ب) الهواء في قناة مجهرية عرضها $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ عند $1\,\mathrm{bar}$ ؛ (ج) الهواء على ارتفاع $100\,\mathrm{km}$ ( $P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$ ) حول ساتل طوله $1\,\mathrm{m}$ ؟ أعطِ $\ell/L$ في كل حالة.

حل

حل التمرين 2.1.

(أ) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$ : وسط متصل. (ب) $0.07$ : على الحدّ — إذ تبدأ قوانين الوسط المتصل بالإخفاق (انزلاق عند الجدران). (ج) $\ell = 70 \times 10^{-9} /3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$ ، و $\ell/L = 0.23$ : فلا وسط متصل؛ بل الغاز مطر من جزيئات مستقلة (نظام الجريان الجزيئي الحرّ).

تمرين 2.2 ★

جريان مستقر ذو بعد واحد $v(x) = v_0(1 + x/L)$ من أجل $0 \le x \le L$ . أوجد تسارع جسيم عند $x$ ؛ والزمن الذي يستغرقه في العبور من $0$ إلى $L$ ؛ وقارنه بالمقدارين $L/v_0$ و $L/2v_0$ .

حل

حل التمرين 2.2.

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (من $v_0^2/L$ إلى $2v_0^2/L$ ). و $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$ : ومنه $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$ ، وهو بين $L/2v_0$ و $L/v_0$ .

تمرين 2.3 ★

في أنبوب نصف قطره $R$ يكون منحني السرعات $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$ على امتداد المحور. أوجد التدفق الحجمي؛ والسرعة الوسطى $\langle v\rangle = D_V/\pi R^2$ ؛ والقيم من أجل $R = 5\,\mathrm{mm}$ و $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

حل

حل التمرين 2.3.

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$ ؛ و $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ و $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ .

تمرين 2.4 ★

من أجل كل مجال، قل أيكون الجريان لاانضغاطيًّا وأيكون لادورانيًّا؛ وأعطِ الدوامية: (أ) $\vect v = (ax, -ay, 0)$ ؛ (ب) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$ ؛ (ج) $\vect v = (ax, ay, 0)$ ؛ (د) $\vect v = (ky, 0, 0)$ ؛ (ه) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — ومن أجل أي $b$ يكون لاانضغاطيًّا؟

حل

حل التمرين 2.4.

(أ) $\operatorname{div} = 0$ ، و $\vect\omega = \vect 0$ : لاانضغاطي ولادوراني. (ب) $\operatorname{div} = 0$ ، و $\omega_z = 2\Omega$ : دوران صلب. (ج) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$ ، ولادوراني (منبع مستو). (د) $\operatorname{div} = 0$ ، و $\omega_z = -k$ : قصّ. (ه) $\operatorname{div} = b$ : لاانضغاطي إذا وفقط إذا كان $b = 0$ ؛ ولادوراني من أجل كل $b$ .

تمرين 2.5 ★★

خرطوم حديقة قطره الداخلي $12\,\mathrm{mm}$ يملأ دلوًا سعته $10\,\mathrm{L}$ في $50\,\mathrm{s}$ . أوجد السرعة في الخرطوم؛ والسرعة في فوهة قطرها $3\,\mathrm{mm}$ ؛ وإذا تضيّقت الفوهة على طول $4\,\mathrm{cm}$ ، قدّر التسارع الوسطي لجسيم يعبرها (بواحدة $g$ )؛ والزمن الذي يمضيه في الفوهة.

حل

حل التمرين 2.5.

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . الخرطوم $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والفوهة $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . والتسارع الوسطي $\Delta(v^2/2)/L = (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$ . والزمن $\approx \int\dd x/v$ : أي بضع ميلي ثانية ( $4\,\mathrm{ms}$ من أجل منحني سرعات خطي).

تمرين 2.6 ★★

جريان مستو غير مستقر $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ حيث $U$ و $V$ و $\omega$ ثوابت. (أ) خطوط التيار في اللحظة $t$ . (ب) خط مسار الجسيم الذي يكون في المبدأ عند $t = 0$ . (ج) ارسم الاثنين من أجل $V = U$ عند $t = 0$ وعند $t = \pi/2\omega$ ؛ ولماذا يختلفان؟ (د) تسارع جسيم.

حل

حل التمرين 2.6.

(أ) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$ : مستقيمات ميلها $(V/U)\cos\omega t$ ، وكلها متوازية، وتميل مع الزمن. (ب) $x = Ut$ و $y = (V/\omega)\sin\omega t$ : أي الجيبية $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$ . (ج) وعند $t = 0$ تكون خطوط التيار عند $45{}^{\circ}$ ويغادر خط المسار المبدأ عند $45{}^{\circ}$ ؛ وعند $t = \pi/2\omega$ تكون خطوط التيار أفقية بينما خط المسار جيبية ثابتة. ويختلفان لأن الجريان غير مستقر: فخط التيار لقطة، وخط المسار تاريخ. (د) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — فالمجال منتظم، ومنه ينعدم الحدّ الحملي.

تمرين 2.7 ★★

نهر عرضه $50\,\mathrm{m}$ وعمقه $2.0\,\mathrm{m}$ يجري بالسرعة $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (أ) التدفق. (ب) ثم يدخل مضيقًا عرضه $15\,\mathrm{m}$ وعمقه $4.0\,\mathrm{m}$ : فما السرعة؟ (ج) ويضيف رافد $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ؛ وفي المصبّ يصير عرض النهر $60\,\mathrm{m}$ وعمقه $2.5\,\mathrm{m}$ : فما السرعة؟ (د) ويجري غاز ساخن جريانًا مستقرًّا في أنبوب ثابت المقطع؛ وبين نقطتين تتضاعف درجة حرارته عند ثبات الضغط: فماذا يحدث لسرعته؟

حل

حل التمرين 2.7.

(أ) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (ب) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (ج) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) ينتصف $\rho \propto 1/T$ عند ثبات $P$ ؛ وينحفظ $\rho vS$ : فتتضاعف السرعة.

تمرين 2.8 ★★

دوامة رانكين. $v_\theta = \Omega r$ من أجل $r < a$ ، و $v_\theta = \Omega a^2/r$ من أجل $r > a$ . (أ) الدوامية في كل منطقة (استعمل الصيغة القطبية). (ب) التكامل الخطي على دائرة نصف قطرها $r$ مركزها على المحور، في المنطقتين؛ وانسبه إلى تدفق الدوامية. (ج) إعصار قمعي: $a = 50\,\mathrm{m}$ ، و $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : أوجد $\Omega$ و $\Gamma$ والسرعة عند $500\,\mathrm{m}$ . (د) أجريان اللبّ لادوراني؟ والخارج؟ وأين يقع «الدوران» فيزيائيًّا؟

حل

حل التمرين 2.8.

(أ) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$ : أي $2\Omega$ في الداخل، و $0$ في الخارج. (ب) في الداخل $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ ، وهو تدفق الدوامية؛ وفي الخارج $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$ ، ثابت، وهو تدفق اللبّ كله. (ج) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ؛ و $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ وعند $500\,\mathrm{m}$ : $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (د) يدور اللبّ كصلب؛ وأما في الخارج فالجريان لادوراني: إذ تدور الجسيمات حول المحور دون أن تدور حول أنفسها. فالدوامية — أي الدوران — تسكن في اللبّ.

تمرين 2.9 ★★

جريان الركود $\vect v = k(x, -y)$ . (أ) أوجد الكمون $\varphi$ وتحقق من $\Delta\varphi = 0$ . (ب) خطوط التيار؛ والدالة $\psi = kxy$ ثابتة عليها — بيّن أن $v_x = \partial\psi/\partial y$ و $v_y = -\partial\psi/ \partial x$ (وهي دالة التيار). (ج) مجال التسارع؛ بيّن أنه $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ وفسّره. (د) خط مسار جسيم ينطلق من $(x_0, y_0)$ : $x = x_0\eu^{kt}$ و $y = y_0\eu^{-kt}$ .

حل

حل التمرين 2.9.

(أ) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ، و $\Delta\varphi = k - k = 0$ . (ب) $\dd x/ kx = \dd y/(-ky)$ : أي $xy = \text{ثابت}$ ؛ و $\partial_y\psi = kx = v_x$ ، و $-\partial_x\psi = -ky = v_y$ . (ج) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) = \operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}} (v^2/2)$ : أي إن التسارع في جريان مستقر لادوراني هو تدرج الطاقة الحركية في واحدة الكتلة؛ وهو يشير مبتعدًا عن نقطة الركود — فيتباطأ الجسيم وهو يقترب من الجدار على امتداد $y$ ويتسارع مبتعدًا على امتداد $x$ . (د) $\dot x = kx$ و $\dot y = -ky$ : ومنه $x = x_0\eu^{kt}$ و $y = y_0\eu^{-kt}$ (و $xy$ ثابت).

تمرين 2.10 ★★★

جريان متمدد. جريان ذو بعد واحد $v(x, t) = x/(t + \tau)$ من أجل $t > 0$ و $\tau > 0$ ثابت. (أ) خطوط المسار: بيّن أن $x(t) = x_0(1 + t/\tau)$ ؛ وأوجد تسارع جسيم، من خط المسار ومن المشتق الجسيمي معًا. (ب) الكثافة منتظمة في كل لحظة، $\rho(t)$ : استعمل انحفاظ الكتلة لإيجاد $\rho(t)$ . (ج) تحقق بمتابعة الكتلة المحصورة بين جسيمين. (د) ولماذا يكون هذا المجال نموذجًا أحادي البعد لكون يتمدد تمددًا منتظمًا؟

حل

حل التمرين 2.10.

(أ) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ يعطي $x = x_0(1 + t/\tau)$ ، و $\ddot x = 0$ ؛ وبالمشتق الجسيمي: $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2 = 0$ . (ب) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$ : ومنه $\rho = \rho_0\tau/(t + \tau)$ . (ج) يتزايد بُعد جسيمين مثل $(1 + t/\tau)$ والكتلة بينهما ثابتة: ومنه $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$ . (د) $v = Hx$ حيث $H = 1/(t + \tau)$ : أي قانون هابل، وتمدد حرّ (بلا تسارع)، وكثافة تهبط كمقلوب عامل السلّم.

تمرين 2.11 ★★★

منبع في تيار. راكِب جريانًا منتظمًا $\vect v = U\vect e_x$ ومنبعًا مستويًا $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ (و $q$ التدفق الحجمي في واحدة الطول على امتداد $z$ ). (أ) الكمون $\varphi = Ux + (q/2\pi)\ln r$ ؛ وتحقق من أن الجريانين لاانضغاطيان ولادورانيان (إلا عند المبدأ). (ب) نقطة الركود. (ج) دالة التيار $\psi = Uy + q\theta/2\pi$ ؛ وخط التيار المارّ من نقطة الركود هو $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ : ارسمه. (د) بيّن أن هذا الخط يقع بعيدًا في المصبّ عند $y = \pm q/2U$ : فالجريان خارجه هو الجريان حول نصف جسم كليل عرضه $q/U$ .

حل

حل التمرين 2.11.

(أ) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$ ؛ وللمنبع $v_r = q/2\pi r$ ، و $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r = 0$ ولا توقف على $\theta$ ، ومنه $\omega_z = 0$ ؛ ومجاميع مثل هذه المجالات لاانضغاطية ولادورانية كذلك. (ب) على المحور $x$ السالب، $U - q/2\pi r = 0$ : أي $x_s = -q/2\pi U$ . (ج) وعند نقطة الركود $\theta = \pi$ و $y = 0$ : فيكون $\psi = q/2$ ؛ وخط التيار $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$ ، أي $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — وهو منحنٍ يغادر $x_s$ وينفتح نحو المصبّ. (د) وعند $\theta \to 0$ : $y \to q/2U$ ؛ وعند $\theta \to 2\pi$ (الفرع السفلي): $y \to -q/2U$ . والمائع داخل ذلك الخط يأتي من المنبع؛ وخارجه يجري التيار المنتظم حول نصف جسم عرضه المقارب $q/U$ .

تمرين 2.12 ★★★

دوامة ومصبّ. جريان مستو $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r + \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ من أجل $r > a$ . (أ) بيّن أنه لاانضغاطي ولادوراني. (ب) خطوط التيار: حلزونات لوغاريتمية $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ . (ج) تسارع جسيم: بيّن أنه قطري صرف، $-v^2/r\,\vect e_r$ . (د) الزمن اللازم لجسيم كي يحلزن من $r_0$ إلى $a$ ؛ وعدد الدورات التي يقطعها. (ه) القيم: $q = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، و $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ، و $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ ، و $a = 2\,\mathrm{cm}$ .

حل

حل التمرين 2.12.

(أ) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$ ؛ و $\omega_z = \frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$ . (ب) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ يعطي $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ . (ج) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r = -(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$ ؛ و $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r = 0$ . (د) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$ : ومنه $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$ ؛ وعدد الدورات $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$ . (ه) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ؛ و $10$ دورات.

2.6 مسألة: من ثقب المغسلة إلى الإعصار

مسألة 2.1

مسألة نهاية الأسبوع — التحريك نفسه على ثلاثة مقاييس: الدوّامة فوق مصرف، والإعصار القمعي، والإعصار المداري من ساتل

الجزء I — حوض الاستحمام. يُفرَّغ حوض عبر ثقب نصف قطره $a = 2\,\mathrm{cm}$ ؛ والماء، وعمقه $h = 20\,\mathrm{cm}$ ، يغادر بالتدفق الحجمي $D_V = 0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . وبعيدًا عن الثقب يُنمذَج الجريان مستويًا (لا يتوقف على العمق): $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$ .

باستعمال انحفاظ الكتلة عبر أسطوانة نصف قطرها $r$ وارتفاعها $h$ ، بيّن أن $v_r = -q/2\pi r$ حيث $q = D_V/h$ ؛ وأعطِ قيمة $q$ .
وقبل نزع السدادة كان الماء قد حُرِّك فصار يدور بالسرعة $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ عند $r = 50\,\mathrm{cm}$ . وبتسليم أن كل حلقة من الماء تحفظ عزمها الحركي وهي تتحرك نحو الداخل ( $rv_\theta$ ثابت)، أوجد $v_\theta(r)$ والتكامل الخطي $\Gamma$ .
تحقق من أن الجريان لاانضغاطي ولادوراني من أجل $r > a$ .
خطوط التيار: بيّن أنها حلزونات لوغاريتمية، وأوجد كم دورة يقطع الجسيم بين $r = 50\,\mathrm{cm}$ و $r = a$ .
الزمن الذي يستغرقه جسيم من $50\,\mathrm{cm}$ حتى الثقب، وسرعته السمتية عند الوصول.
تسارع جسيم عند $r$ ؛ وقارنه بالتسارع $g$ عند $r = a$ . (وينخفض السطح الحرّ حيث يجب أن يوازنه الضغط — أي القمع؛ وذلك في الفصل التالي.)
يمنح دوران الأرض كل مائع ساكن في الحوض دورانًا «خلفيًّا» بالمعدل الشاقولي المحلي $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . قارن السرعة السمتية التي يمنحها عند $50\,\mathrm{cm}$ بسرعة التحريك $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ، وقل أيتحدد اتجاه دوران حوض يُفرَّغ بنصف الكرة الذي هو فيه.

الجزء II — الإعصار القمعي دوامةَ رانكين. نصف قطر اللبّ $a = 60\,\mathrm{m}$ ، والريح العظمى $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، وكثافة الهواء $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

اكتب $v_\theta(r)$ في المنطقتين وأعطِ $\Omega$ و $\Gamma$ .
الدوامية في اللبّ وخارجه؛ وارسم $v_\theta$ و $\omega_z$ بدلالة $r$ .
تسارع جسيم هوائي عند حافة اللبّ؛ وقارنه بالتسارع $g$ .
بيّن أن عجلة ريشية صغيرة توضع خارج اللبّ تنجرف حول الإعصار دون أن تدور حول محورها، بينما تدور الموضوعة في اللبّ دورة واحدة في كل دورة حول المحور.
الطاقة الحركية للبّ في المتر الواحد من الارتفاع.
الطاقة الحركية للجريان الخارجي في المتر الواحد من الارتفاع، بين $a$ و $R = 5\,\mathrm{km}$ ؛ ولماذا لا تتوقف على $R$ إلا لوغاريتميًّا؟
مع ارتفاع $1\,\mathrm{km}$ ، أوجد الطاقة الحركية الكلية؛ وقارنها بالطاقة التي يحرّرها $1\,\mathrm{t}$ من مادة TNT ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
ويجري الهواء أيضًا نحو الداخل ونحو الأعلى في الإعصار القمعي. فإذا غُذّي اللبّ بجريان قطري داخل بالسرعة $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عبر سطحه الجانبي على أول $300\,\mathrm{m}$ من الارتفاع، فما السرعة الشاقولية التي على الهواء أن يبلغها في أعلى تلك الطبقة (منتظمةً على مقطع اللبّ)؟

الجزء III — الإعصار المداري. يُنمذَج الإعصار المداري دوامةَ رانكين نصف قطر لبّها $a = 40\,\mathrm{km}$ و $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . ويُحسّ دوران الأرض عبر الدوامية الكوكبية $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ عند خط العرض $20{}^{\circ}$ : فحلقة هواء ساكنة بالنسبة إلى الأرض تحمل أصلًا، في المرجع العطالي، السرعة السمتية $fr/2$ حول أي محور شاقولي.

دوامية اللبّ والتكامل الخطي $\Gamma$ للإعصار؛ وقارن دوامية اللبّ بالمقدار $f$ .
حلقة هواء نصف قطرها $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ ، ساكنة ابتداءً بالنسبة إلى الأرض، تُجذب نحو المركز بالضغط المنخفض. وبتسليم أن عزمها الحركي في واحدة الكتلة حول المحور، $r(v_\theta + fr/2)$ ، محفوظ، أوجد سرعتها $v_\theta$ بالنسبة إلى الأرض عند $r = 100\,\mathrm{km}$ وعند $r = 40\,\mathrm{km}$ .
في أي جهة يدور الإعصار في نصف الكرة الشمالي، ولماذا؟ ولماذا تكون الجهة محددة في إعصار وغير محددة في حوض؟
ولماذا لا يمكن أن يُجذب الهواء إلى المحور تمامًا بهذه الطريقة — وما الذي يحدّ الريح ويترك عينًا؟
يتقارب الهواء نحو الإعصار بالسرعة $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عبر أسطوانة نصف قطرها $500\,\mathrm{km}$ وارتفاعها $1\,\mathrm{km}$ : أوجد التدفق الكتلي المجذوب ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
ينتقل الإعصار ككل نحو الغرب بالسرعة $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . اكتب مجال السرعات الأويلري كما يُرى من الأرض بدلالة المجال $\vect v_0$ للدوامة في مرجعها؛ وهل الجريان مستقر في المرجع الأرضي؟ وأي جانب من العاصفة أشدّ رياحًا؟

الجزء IV — التدفقات وخلاصة.

يهطل المطر بمعدل $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ على حوض تجميع مساحته $10\,\mathrm{km}^{2}$ ويبلغ كله نهرًا مقطعه $40\,\mathrm{m}^{2}$ : أوجد السرعة الوسطى للنهر في الفيضان.
الدم: يحمل الأبهر ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ؛ وللشعيرات مقطع كلي $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : أوجد السرعة في كل منهما؛ والزمن الذي يستغرقه الدم في عبور شعيرة طولها $1\,\mathrm{mm}$ .
يُفرَّغ خزان مقطعه $S$ عبر ثقب مقطعه $s$ في أسفله؛ وسرعة الخروج $\sqrt{2gh}$ (حيث $h$ مستوى الماء — مسلَّم بها، وتُشتقّ في الفصل التالي). اكتب انحفاظ الكتلة وأوجد $h(t)$ وزمن التفريغ من أجل $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ و $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ و $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
أعطِ الجريانات الثلاثة في الأجزاء الأول والثاني والثالث في جدول واحد: نصف القطر، والسرعة، ودوامية اللبّ، والتكامل الخطي — والمقدار الذي ينحفظ أثناء الجريان الداخل فيجعلها تدور دورانًا متسارعًا.

حل

حل المسألة 2.1.

1. عبر أسطوانة نصف قطرها $r$ : $2\pi rh|v_r| = D_V$ ، ومنه $v_r = -q/2\pi r$ و $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

2. $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : أي $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ مع $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$ ، و $\omega_z = \frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$ .

4. $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ : ومنه $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ ؛ وعدد الدورات $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$ .

5. $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ؛ و $v_\theta(a) = 0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6. $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$ ؛ وعند $r = a$ : $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$ ، و $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$ .

7. $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، أي أقل أربعمئة مرة من التحريك: فلا يقرر نصف الكرة شيئًا في حوض عادي (وإنما يقرر في خزان تُرك ساكنًا يومًا كاملًا).

8. $v_\theta = \Omega r$ (من أجل $r < a$ )، و $\Omega a^2/r$ (من أجل $r > a$ )؛ و $\Omega = 80/60 = 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ، و $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

9. $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ في اللبّ، و $0$ في الخارج؛ وترتفع $v_\theta$ خطيًّا حتى $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ثم تهبط مثل $1/r$ ؛ وأما $\omega_z$ فدرجة سلّمية.

10. $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$ ، نحو الداخل.

11. في الخارج تنعدم الدوامية: فينسحب عنصر صغير على امتداد دائرته دون أن يدور حول نفسه — وتحفظ العجلة الريشية توجّهها. وأما في اللبّ (الدوران الصلب) فتدور مع المائع، دورة واحدة في كل دورة.

12. $E_{\text{اللبّ}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r = \tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ .

13. $E_{\text{الخارج}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r = \pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ؛ إذ المكمول $\rho v^2r \propto 1/r$ ، ومن هنا اللوغاريتم.

14. $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$ : أي نحو $100\,\mathrm{t}$ من مادة TNT.

15. الجريان الداخل $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ عبر $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : ومنه $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

16. $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$ ؛ و $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

17. $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$ : ومنه $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$ ؛ أي $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $100\,\mathrm{km}$ ، و $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ عند $40\,\mathrm{km}$ .

18. يعطي $f > 0$ في نصف الكرة الشمالي $v_\theta > 0$ : أي بعكس عقارب الساعة منظورًا من الأعلى (دوران إعصاري). وعلى $500\,\mathrm{km}$ يكون دوران الكوكب هو الدوران الابتدائي المهيمن؛ وفي حوض يكون التحريك هو المهيمن.

19. ينزع الاحتكاك بالبحر العزم الحركي، ولا يستطيع تدرج الضغط أن يوازن التسارع المركزي لحلقة تزداد سرعةً بلا انتهاء: فيرتفع الهواء قبل بلوغ المحور، في جدار العين، تاركًا عينًا هادئة.

20. $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 = 1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

21. $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$ : أي إن النقش ينساق، والمجال غير مستقر في المرجع الأرضي. ويضاف الانسحاب إلى الدوّامة في الجانب الذي تشير فيه $v_\theta$ غربًا — أي الجانب الشمالي (الأيمن) من المسار المتجه غربًا.

22. $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ؛ و $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

23. $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : الأبهر $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ؛ والشعيرات $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ؛ أي $3\,\mathrm{s}$ لكل ميليمتر.

24. $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : ومنه $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \frac sS\sqrt{g/2}\,t$ ، ويفرغ عند $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 = 4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$ .

25. الحوض: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$ ، و $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ، و $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ والإعصار القمعي: $60\,\mathrm{m}$ ، و $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ؛ والإعصار المداري: $40\,\mathrm{km}$ ، و $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ، و $\omega = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ، و $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . وفي كل منها ينحفظ العزم الحركي في واحدة الكتلة $rv_\theta$ للمائع المتقارب: فالجريان الداخل يسرّع دورانه.

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (393) في المسرد