¿Qué es Ideal?

Ejemplo 1.27 (Un mcd de polinomios, de dos maneras)

Calculemos $\gcd(X^3 - 1,\ X^2 - 1)$ en $\Q[X]$. Por Euclides:

luego el mcd es $X - 1$, y remontando la división se obtiene la relación de Bézout

Por ideales: el ideal $(X^3 - 1)\Q[X] + (X^2 - 1)\Q[X]$ es principal (Teorema 1.26); contiene a $X - 1$ (por la fórmula anterior) y está contenido en $(X - 1)\Q[X]$ (ambos generadores se anulan en $1$, luego son múltiplos de $X - 1$): el generador mónico es $X - 1$. La moraleja: el punto de vista de los ideales identifica el mcd sin dividir —las raíces comunes localizan el ideal y Euclides se limita a certificarlo—.

Ejemplo 1.34 (Un morfismo de evaluación y su núcleo)

Tomemos $A = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ y la evaluación $\varepsilon_A \colon \R[X] \to \mathcal{M}_2(\R)$, $P \mapsto P(A)$. Como $A^2 = 0$,

(solo sobreviven los términos constante y lineal de $P$). Por tanto $\ker\varepsilon_A = \{P : P(0) = P'(0) = 0\} = X^2\,\R[X]$: un ideal principal, exactamente como predice el Teorema 1.26, generado por el polinomio mónico $X^2$ de menor grado del núcleo —el polinomio mínimo de $A$, protagonista del Capítulo 3—. La imagen es el álgebra conmutativa de dimensión dos $\{aI + bA\}$: los morfismos de evaluación comprimen el $\R[X]$ de dimensión infinita sobre álgebras pequeñas y calculables.

Ejemplo 2.20 (Un anillo sin factorización única)

Ninguna de las implicaciones euclídeo $\Rightarrow$ DIP $\Rightarrow$ DFU es una equivalencia, y merece la pena ver una vez, con todo detalle, cómo falla la última. En

la norma es multiplicativa y $N(z) = 1$ si y solo si $z \in A^\times = \{\pm1\}$. Consideremos

Los cuatro factores son irreducibles: sus normas valen $4, 9, 6, 6$, y una factorización propia $z = z_1z_2$ obligaría a $N(z_1) \in \{2, 3\}$ — pero $a^2 + 5b^2$ nunca es igual a $2$ ni a $3$ ($b = 0$ deja los no cuadrados $2, 3$; $\abs b \geq 1$ da $\geq 5$). Sin embargo, $2$ no es asociado de ninguno de los dos $1 \pm \iu\sqrt5$ (normas $4 \neq 6$): dos factorizaciones genuinamente distintas de $6$ en irreducibles. Equivalentemente, aquí irreducible $\neq$ primo: $2$ divide al producto $(1 + \iu\sqrt5)(1 - \iu\sqrt5) = 6$ pero a ninguno de los dos factores (de nuevo por las normas). La reparación del fallo en términos de ideales — factorizar ideales en lugar de elementos — es el nacimiento de la teoría algebraica de números; a nuestro nivel, el ejemplo calibra hasta qué punto son especiales los anillos euclídeos $\Z$, $K[X]$, $\Z[\iu]$ de este capítulo.