4Extensiones de cuerpos y teoría de Galois

Demostración. Genera: $x \in M$ se escribe $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), y cada $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Es independiente: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ se reescribe $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; las sumas interiores están en $L$, luego se anulan (los $f_j$ son independientes sobre $L$); entonces todos los $\mu_{ij} = 0$ (los $e_i$ son independientes sobre $K$). ∎

Demostración. La evaluación $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, tiene imagen $K[\alpha]$ y núcleo $(\pi_\alpha)$; como $\pi_\alpha$ es irreducible, $K[X]/(\pi_\alpha)$ es un cuerpo (la Proposición 2.4: en el DIP $K[X]$, un irreducible genera un ideal maximal), luego $K[\alpha]$ es un cuerpo que contiene $K$ y $\alpha$: coincide con $K(\alpha)$. Las clases de $1, X, \dots, X^{d-1}$ forman una base del cociente (división euclídea), de donde la base y el grado. Recíprocamente, si $[L:K] = n < \infty$: los $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ son dependientes, lo que da un polinomio anulador; y entonces $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ divide a $n$ por la fórmula de los grados. ∎

Demostración. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ es finita sobre $K(\alpha)$ ($\beta$ es algebraico sobre $K \subseteq K(\alpha)$) y $K(\alpha)/K$ es finita: por la fórmula de los grados, $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, y todo elemento de $K(\alpha, \beta)$ — incluidos los cuatro citados — es algebraico (el Teorema 4.4). Transitividad: si $\beta$ es algebraico sobre $L$ y $L/K$ es algebraica, los coeficientes $c_0, \dots, c_{m-1}$ de $\pi_{\beta/L}$ generan una extensión finita $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ de $K$ (fórmula de los grados reiterada), y $F(\beta)/F$ es finita: $[F(\beta):K] < \infty$, luego $\beta$ es algebraico sobre $K$. ∎

Demostración. Existencia, por inducción sobre $\deg P$: tómese un factor irreducible $Q$ de $P$; el cuerpo $K_1 = K[X]/(Q)$ contiene la raíz $\alpha_1 = \bar X$ de $Q$ y, por tanto, de $P$; escríbase $P = (X - \alpha_1)P_1$ sobre $K_1$ y aplíquese la inducción a $P_1$ sobre $K_1$; los grados multiplican a lo sumo $n(n-1)\cdots = n!$.

La unicidad se sigue del lema de extensión de isomorfismos, más fuerte: sean $\sigma \colon K \to K'$ un isomorfismo, $P \in K[X]$, $P^\sigma$ el polinomio con los coeficientes trasladados y $L, L'$ cuerpos de descomposición de $P, P^\sigma$; entonces $\sigma$ se extiende a un isomorfismo $L \to L'$. Inducción sobre $[L:K]$: si $P$ se descompone en $K$, entonces $L = K$ y $L' = K'$ ($P^\sigma$ se descompone en $K'$, y $L'$ está generado por sus raíces). En caso contrario, elíjase una raíz $\alpha \in L \setminus K$ de un factor irreducible $Q$ de $P$ con $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ es un factor irreducible de $P^\sigma$, con una raíz $\beta \in L'$; entonces

extiende $\sigma$ con $\alpha \mapsto \beta$. Ahora $L$ es un cuerpo de descomposición de $P$ sobre $K(\alpha)$, y $L'$ lo es de $P^\sigma$ sobre $K'(\beta)$, con $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: la inducción extiende aún más hasta $L \to L'$. ∎

Demostración. Existencia (construcción de Artin). Sea $R = K[(X_f)_f]$ el anillo de polinomios con una variable $X_f$ por cada $f \in K[X]$ mónico no constante, y sea $I$ el ideal generado por todos los $f(X_f)$. $I$ es propio: una relación $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ involucra un número finito de polinomios; en un cuerpo de descomposición común $E$ de $f_1\cdots f_r$, tómense raíces $\alpha_i$ de $f_i$ y evalúese $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (las demás variables $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurdo. Sea $\mathfrak m \supseteq I$ maximal (el Teorema 2.8; Zorn) y sea $K_1 = R/\mathfrak m$: una extensión de cuerpos de $K$ en la que todo $f \in K[X]$ no constante tiene una raíz, a saber $\bar X_f$, y que es algebraica sobre $K$ (está generada por los $\bar X_f$, cada uno algebraico). Iterando: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, donde $K_{n+1}$ hace con $K_n$ lo que $K_1$ hizo con $K$, y sea $\Omega = \bigcup_n K_n$, que es un cuerpo. Todo $g \in \Omega[X]$ no constante tiene sus finitos coeficientes en algún $K_n$; un factor irreducible de $g$ sobre $K_n$ tiene una raíz en $K_{n+1} \subseteq \Omega$: $\Omega$ es algebraicamente cerrado y algebraico sobre $K$ (cada $K_n$ lo es, por transitividad, el Corolario 4.5): $\Omega$ es una clausura algebraica.

Unicidad. Sean $\Omega, \Omega'$ dos clausuras algebraicas. Considérese el conjunto de los pares $(E, \tau)$ con $K \subseteq E \subseteq \Omega$ y $\tau\colon E \to \Omega'$ una $K$-inmersión, ordenado por extensión; es no vacío ($(K, \mathrm{id})$) e inductivo (unión de una cadena), de modo que Zorn da un $(E_0, \tau_0)$ maximal. Si $E_0 \neq \Omega$, tómese $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ se transforma en un polinomio sobre $\tau_0(E_0)$ que tiene una raíz $\beta$ en el algebraicamente cerrado $\Omega'$, y $\tau_0$ se extiende a $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), en contra de la maximalidad. Existe, pues, una $K$-inmersión $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; su imagen, isomorfa a $\Omega$, es algebraicamente cerrada, y $\Omega'$ es algebraico sobre ella: para $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se descompone sobre $\tau(\Omega)$, luego $x \in \tau(\Omega)$. Así pues, $\tau$ es sobreyectiva: es un isomorfismo. ∎

Demostración. (1) Un cuerpo finito $E$ tiene característica $p > 0$ y es un $\mathbb F_p$-espacio vectorial de dimensión finita: $\abs E = p^n$. Su grupo multiplicativo tiene orden $q - 1$, luego todo $x \in E$ cumple $x^q = x$: $E$ consta de $q$ raíces de $X^q - X$ y, por tanto, es un cuerpo de descomposición suyo sobre $\mathbb F_p$ — lo que determina $E$ salvo isomorfismo (el Teorema 4.7). Recíprocamente, en un cuerpo de descomposición $L$ de $X^q - X$, el conjunto $E$ de sus raíces es un subcuerpo: $(x + y)^q = x^q + y^q$ iterando el sueño del principiante $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), y $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; y tiene exactamente $q$ elementos porque $X^q - X$ es separable: su derivada es $qX^{q-1} - 1 = -1$ (pues $p \mid q$), coprima con él, de modo que no hay raíces múltiples. Así, $L = E$ tiene $q$ elementos.

(2) $F$ es un morfismo de cuerpos (sueño del principiante), inyectivo (son cuerpos) y, por tanto, biyectivo sobre el conjunto finito $\mathbb F_q$. Se tiene $F^n = \mathrm{id}$ ($x^q = x$) y ninguna potencia menor es la identidad: $F^m = \mathrm{id}$ significaría que los $q$ elementos son raíces de $X^{p^m} - X$, lo que obliga a $p^m \geq q$. Así pues, $\langle F\rangle$ es cíclico de orden $n$; y no hay más automorfismos, por la cota $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ que se demuestra más abajo (la Proposición 4.16 con $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: los automorfismos fijan el cuerpo primo).

(3) Si $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, la fórmula de los grados da $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Recíprocamente, si $m \mid n$, entonces $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (suma geométrica), luego $X^{p^m} - X$ divide a $X^{p^n} - X$ (mismo argumento sobre los exponentes: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ cuando $a \mid b$), y las raíces del primero dentro de $\mathbb F_{p^n}$ forman el subcuerpo pedido, de cardinal $p^m$ (separabilidad como en (1)). ∎

Demostración. Sea $G \leq K^\times$ finito. Por el teorema de estructura (el Corolario 3.13), $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ con $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Todo $x \in G$ cumple entonces $x^{d_s} = 1$; pero $X^{d_s} - 1$ tiene a lo sumo $d_s$ raíces en el cuerpo $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, lo que obliga a $s = 1$: $G$ es cíclico. ∎

Demostración. $\gcd(P, P')$ divide a $P$; si no es $1$, la irreducibilidad obliga a $\gcd = P$ (salvo una constante), luego $P \mid P'$ con $\deg P' < \deg P$: $P' = 0$. Escribiendo $P = \sum a_kX^k$: $ka_k = 0$ para todo $k$, de modo que en característica $0$, $P$ es constante (excluido); y en característica $p$, $a_k = 0$ salvo que $p \mid k$: $P = Q(X^p)$. Sobre un cuerpo finito, todo elemento es una potencia $p$-ésima (el Frobenius es sobreyectivo), luego $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ no es irreducible: allí tampoco puede ocurrir $P' = 0$ para $P$ irreducible. ∎

Demostración. Inducción sobre $[L:K]$ mediante pasos simples. Para $L = K(\alpha)$: una extensión $\tau$ queda determinada por $\tau(\alpha)$, que ha de ser una raíz en $\Omega$ de $\pi_\alpha^\sigma$; y recíprocamente cada una de esas raíces da una extensión ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). El número de extensiones es el número de raíces distintas de $\pi_\alpha^\sigma$ en $\Omega$: a lo sumo $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, con igualdad si y solo si $\pi_\alpha$ es separable (la separabilidad de $\pi^\sigma$ y la de $\pi$ coinciden: $\sigma$ conserva el máximo común divisor con la derivada). En general, factorícese $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: las extensiones de $\sigma$ a $K(\alpha_1)$ son $\leq [K(\alpha_1):K]$, y cada una se extiende de $\leq [L : K(\alpha_1)]$ maneras por inducción; multiplíquese (fórmula de los grados). En el caso separable, ambos recuentos son igualdades: los polinomios mínimos sobre el cuerpo mayor $K(\alpha_1)$ dividen a los de $K$ y, por tanto, siguen siendo separables. ∎

Demostración. Si $K$ es finito, también lo es $L$, y sirve un generador $\gamma$ del grupo cíclico $L^\times$ (el Teorema 4.12). Sea $K$ infinito; por inducción basta tratar $L = K(\alpha, \beta)$. Sea $n = [L:K]$; por la Proposición 4.16 hay $n$ $K$-inmersiones distintas $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ ($\Omega$ una clausura algebraica). El polinomio

no es idénticamente nulo: un factor se anula idénticamente solo si $\sigma_i, \sigma_j$ coinciden tanto en $\alpha$ como en $\beta$ y, por tanto, en $L$ — excluido para $i \neq j$. Como $K$ es infinito, tómese $c \in K$ con $D(c) \ne 0$: entonces los $n$ elementos $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ son distintos dos a dos, luego $\gamma = \alpha + c\beta$ tiene al menos $n$ conjugados distintos en $\Omega$, es decir, $\deg \pi_\gamma \geq n$: $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ obliga a $L = K(\gamma)$. ∎

Demostración. Sea $L$ el cuerpo que descompone el polinomio separable $P$ sobre $K$, y fijemos una clausura algebraica $\Omega \supseteq L$. $L/K$ es separable: está generado por raíces de $P$; la separabilidad de todo elemento se sigue del caso de igualdad de más abajo, pero argumentemos directamente — la Proposición 4.16 aplicada a los generadores (raíces del separable $P$, cuyos polinomios mínimos dividen a $P$) da exactamente $[L:K]$ extensiones de $K \hookrightarrow \Omega$ (en el paso inductivo, el polinomio mínimo de una raíz de $P$ sobre un cuerpo intermedio sigue dividiendo a $P$ y, por tanto, es separable). Cada una de esas inmersiones $\tau \colon L \to \Omega$ permuta las raíces de $P$ ($\tau$ fija los coeficientes), y $L$ está generado por ellas: $\tau(L) = L$. Así pues, inmersiones $=$ automorfismos: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Para $F$ intermedio: $L$ es también el cuerpo de descomposición de $P$ sobre $F$, y $P$ sigue siendo separable: $L/F$ es de Galois; el mismo argumento da la normalidad sobre $F$. ∎

Demostración. Sean $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, y supongamos que $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ son linealmente independientes sobre $K$. El sistema lineal homogéneo de $n$ ecuaciones con $n+1$ incógnitas $(c_j)$ sobre $L$,

tiene una solución no nula; elíjase una con el menor número de entradas no nulas, digamos $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (renumerando), $r \geq 2$ (una sola $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ es imposible), normalizada con $c_r = 1$. No todos los $c_j$ están en $K$: la ecuación correspondiente a $\sigma_i = \mathrm{id}$ contradiría la independencia; digamos $c_1 \notin K$, de modo que $\tau(c_1) \ne c_1$ para algún $\tau \in G$. Apliquemos $\tau$ a todas las ecuaciones: como $\tau\sigma_i$ recorre $G$, el vector $(\tau(c_j))_j$ es otra solución; restando, $(c_j - \tau(c_j))_j$ es una solución con menos entradas no nulas (la entrada $r$-ésima $1 - 1 = 0$ se anula, y la primera no) y no nula: contradicción. Así pues, $n+1$ elementos cualesquiera son dependientes: $[L:K] \leq n$. ∎

Demostración. (1) Claramente $K \subseteq L^G$. Recíprocamente, sea $\alpha \in L \setminus K$; exhibiremos $\sigma \in G$ con $\sigma(\alpha) \ne \alpha$. El polinomio mínimo $\pi_\alpha$ sobre $K$ tiene grado $\geq 2$ y es separable ($L/K$ es separable, la Proposición 4.19), luego tiene otra raíz $\beta \neq \alpha$ en una clausura algebraica $\Omega \supseteq L$. Extiéndase la $K$-inmersión $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, a una inmersión $\tau\colon L \to \Omega$ (la Proposición 4.16); por normalidad (la Proposición 4.19), $\tau(L) = L$, luego $\tau \in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$ y $\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) Para un subgrupo $H$: $L/L^H$ es de Galois (la Proposición 4.19) y $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ trivialmente, luego $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; el lema de Artin da $[L:L^H] \leq \abs H$: hay igualdad, y $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Para un cuerpo intermedio $F$: como $L/F$ es de Galois, (1) aplicado a $L/F$ da $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$. Las dos aplicaciones son mutuamente inversas y es evidente que invierten las inclusiones. Grados: $[L:L^H] = \abs H$ acaba de demostrarse, y $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Para $\sigma \in G$ y $H \leq G$: $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (comprobación directa). Por la biyección, $\sigma(L^H) = L^H$ para todo $\sigma$ si y solo si $H \trianglelefteq G$. Ahora bien, si $H \trianglelefteq G$, póngase $F = L^H$: todo $\sigma \in G$ se restringe a un automorfismo de $F$, lo que da un morfismo $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ de núcleo $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. Así, $G/H$ se sumerge en $\operatorname{Aut}_K(F)$, de donde $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; la desigualdad contraria vale siempre (la Proposición 4.16): $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ y $\rho$ es sobreyectivo. Queda ver que $F/K$ es de Galois: $F$ es separable sobre $K$ (dentro del separable $L/K$) y $F = K(\gamma)$ (el Teorema 4.17); el polinomio $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (producto sobre las imágenes distintas, que están en $F$: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ por la normalidad de $H$) tiene los coeficientes fijados por $G$ y, por tanto, en $K$ por (1): es un polinomio separable de $K[X]$ descompuesto por $F$, y sus raíces generan $F$: $F/K$ es de Galois. Recíprocamente, si $F = L^H$ con $F/K$ de Galois, la normalidad de $F$ (la Proposición 4.19, aplicada a las inmersiones $F \to \Omega$ restringidas de elementos de $G$) da $\sigma(F) = F$ para todo $\sigma \in G$, es decir, $H \trianglelefteq G$. ∎

Demostración. Sea $f = \pi_{\zeta_n}$, de modo que $\Phi_n = fg$ con $f, g \in \Z[X]$ mónicos (lema de Gauss, el Lema 2.23: los contenidos se multiplican y todos los polinomios son mónicos). Afirmación: si $\zeta$ es una raíz de $f$ y $p \nmid n$ es primo, entonces $\zeta^p$ es raíz de $f$. En caso contrario, $\zeta^p$ sería raíz de $g$ (es una raíz $n$-ésima primitiva de la unidad), luego $\zeta$ sería raíz de $g(X^p)$, y $f \mid g(X^p)$ en $\Z[X]$ (polinomio mínimo y de nuevo Gauss). Redúzcase módulo $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (el Frobenius sobre $\mathbb F_p[X]$: coeficiente a coeficiente $a^p = a$, y sueño del principiante), luego $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ y $\bar g$ comparten un factor irreducible y $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ tiene un factor múltiple. Entonces también lo tiene $X^n - \bar 1$; pero su derivada $\bar nX^{n-1}$ es coprima con él ($p \nmid n$, y $0$ no es raíz): contradicción.

Toda raíz primitiva $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) se obtiene de $\zeta_n$ mediante potencias sucesivas de primos que no dividen a $n$ (factorícese $k$): la afirmación se propaga, de modo que toda raíz primitiva es raíz de $f$: $f = \Phi_n$, irreducible. En consecuencia, $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, y $\Q(\zeta_n)$ es el cuerpo de descomposición del separable $X^n - 1$ (todas las raíces son potencias de $\zeta_n$): es de Galois. Un automorfismo $\sigma$ envía $\zeta_n$ a otra raíz primitiva $\zeta_n^{a(\sigma)}$, y $\sigma \mapsto a(\sigma)$ es un morfismo inyectivo en $(\Z/n\Z)^\times$; ambos grupos tienen orden $\varphi(n)$: es un isomorfismo. ∎

Demostración. ($\Rightarrow$) Las coordenadas de la intersección de dos rectas que pasan por puntos con coordenadas en un subcuerpo $F \subseteq \R$ resuelven un sistema lineal sobre $F$: permanecen en $F$. Las intersecciones recta–circunferencia y circunferencia–circunferencia llevan, tras eliminar la parte lineal (restando las dos ecuaciones de las circunferencias se obtiene una recta), a una ecuación de segundo grado sobre $F$: las nuevas coordenadas están en $F$ o en $F(\sqrt d)$ para cierto $d \in F$, $d > 0$. Por inducción, todo punto construido tiene sus coordenadas en una torre de extensiones cuadráticas de $\Q$; y $z = x + \iu y$ está también en una torre cuadrática (adjúntese $\iu$: un paso cuadrático más). La consecuencia sobre el grado: $[\Q(z):\Q]$ divide a $[F_r : \Q] = 2^r$ (fórmula de los grados).

($\Leftarrow$) Los números construibles forman un cuerpo: sumas y diferencias mediante paralelogramos (las paralelas son construibles: trácense dos veces perpendiculares — la perpendicular clásica por un punto usa una circunferencia y dos arcos); productos y cocientes mediante las configuraciones del teorema de Tales (dadas longitudes $a, b$, constrúyanse $ab$ y $a/b$ con triángulos semejantes sobre dos semirrectas). Y el cuerpo es cerrado por raíces cuadradas: para $a > 0$, la circunferencia de diámetro $1 + a$ y la perpendicular en el punto de unión se cortan a altura $\sqrt a$ (teorema de la altura en un triángulo rectángulo); para un $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ complejo, constrúyase $\sqrt\rho$ y bisóquese $\theta$ (la bisección de un ángulo es una construcción con compás). Las partes real e imaginaria de los elementos de una torre cuadrática son, por tanto, construibles por inducción sobre la torre: cada paso adjunta las raíces de una ecuación de segundo grado, expresables mediante operaciones de cuerpo y una raíz cuadrada de un número ya construido (la fórmula cuadrática; en característica $0$). ∎