Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

10Números reales

Todo el análisis descansa sobre una propiedad que distingue $\R$ de $\Q$ : todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene una mínima cota superior. Este capítulo la enuncia con precisión, deduce sus primeras consecuencias — la propiedad arquimediana, la parte entera, la densidad de los racionales y de los irracionales — y monta el vocabulario (sup, inf, máx, mín) que se usará constantemente a partir del Capítulo 11.

10.1 La propiedad del supremo

Definición 10.1 (Cotas, supremo e ínfimo)

Sea $A \subseteq \R$ no vacío. Un real $M$ es una cota superior de $A$ cuando $a \leq M$ para todo $a \in A$ ; $A$ está acotado superiormente cuando tiene una cota superior (análogamente por abajo, con cotas inferiores; acotado significa las dos cosas). Un máximo de $A$ es una cota superior que pertenece a $A$ .

El supremo $\sup A$ es la mínima cota superior de $A$ , cuando existe; el ínfimo $\inf A$ es la máxima cota inferior.

Teorema 10.2 (Axioma de completitud de $\R$ )

$\R$ es un cuerpo ordenado que contiene a $\Q$ y en el que todo subconjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 10.3

Lo tomamos como axioma que define $\R$ ; construir un modelo (con cortaduras de Dedekind o con sucesiones de Cauchy de racionales) y demostrar su unicidad es honesto pero largo, y queda para estudios posteriores. Obsérvese que $\Q$ no cumple la propiedad: $\{x \in \Q : x^2 < 2\}$ está acotado superiormente pero no tiene mínima cota superior en $\Q$ — su candidato, $\sqrt 2$ , falta (Ejemplo 1.11). Pasando a los opuestos ( $\sup(-A) = -\inf A$ ), todo conjunto no vacío y acotado inferiormente tiene ínfimo.

Proposición 10.4 (La caracterización con $\varepsilon$ )

Sean $A \neq \emptyset$ acotado superiormente y $s \in \R$ . Entonces $s = \sup A$ si y solo si

$s$ es cota superior: $\forall a \in A$ , $a \leq s$ ; y
nada menor lo es: $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists a \in A$ , $a > s - \varepsilon$ .

Demostración. Si $s = \sup A$ : (1) se cumple por definición y, para (2), $s - \varepsilon < s$ no es cota superior, que es exactamente la existencia de $a > s - \varepsilon$ . Recíprocamente, (1) dice que $s$ es cota superior; (2) dice que ningún $t < s$ es cota superior (tómese $\varepsilon = s - t$ ): $s$ es la mínima. ∎

Ejemplo 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , no alcanzado (no hay máximo); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Para $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , no alcanzado; $\inf A = \min A = 0$ . Un máximo, cuando existe, es el supremo; el sentido del $\sup$ es tener un sustituto cuando el máximo no existe.

El conjunto A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ sobre la recta numérica: sus puntos se acumulan hacia 1 sin alcanzarlo. Todo número ≥ 1 es cota superior (la semirrecta) y nada menor lo es, porque un elemento de A entra en cada intervalo (1 - , 1): las dos cláusulas de la en una sola imagen. El supremo es el extremo izquierdo de la semirrecta de cotas superiores — y el axioma de completitud es precisamente la garantía de que esa semirrecta tiene siempre extremo izquierdo. — El conjunto $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ sobre la recta numérica: sus puntos se acumulan hacia $1$ sin alcanzarlo. Todo número $\geq 1$ es cota superior (la semirrecta) y nada menor lo es, porque un elemento de $A$ entra en cada intervalo $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : las dos cláusulas de la Proposición 10.4 en una sola imagen. El supremo es el extremo izquierdo de la semirrecta de cotas superiores — y el axioma de completitud es precisamente la garantía de que esa semirrecta tiene siempre extremo izquierdo.

Ejemplo 10.6 (Calcular supremos en la práctica)

Dos ejercicios completos con la Proposición 10.4.

El conjunto $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Para todo $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , luego $2$ es cota inferior; y $2 = 1 + \frac11 \in A$ : por tanto $\inf A = \min A = 2$ , alcanzado en $x = 1$ . Por arriba, $A$ no está acotado ( $x + \frac1x > x$ puede superar cualquier $M$ , por el Teorema 10.10): $\sup A$ no existe en $\R$ (vale $+\infty$ en $\overline\R$ ).

El conjunto $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Todo elemento está en $\intoo{0}{1}$ , luego $0$ y $1$ son cotas. Ninguna se alcanza: $\frac{m}{m+n} = 1$ obligaría a $n = 0$ . Para el supremo, fíjese $n = 1$ y hágase crecer $m$ : $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ en cuanto $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Arquímedes): $\sup B = 1$ . Simétricamente ( $m = 1$ , $n$ grande), $\inf B = 0$ . La idea de cierre: para fijar un supremo basta un camino de un parámetro bien elegido dentro del conjunto — aquí el camino $n = 1$ — y la caracterización con $\varepsilon$ no pide más.

Ejemplo 10.7 (El espejo del ínfimo)

El ínfimo tiene su propia caracterización con $\varepsilon$ , obtenida de la Proposición 10.4 mediante $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ si y solo si $i$ acota $A$ inferiormente y, para todo $\varepsilon > 0$ , algún $a \in A$ cumple $a < i + \varepsilon$ . Un ejercicio con las dos cotas a la vez: sea

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Los índices pares dan $1 + \frac1n \leq \frac32$ , con igualdad en $n = 2$ : como además los valores de índice impar son $\leq 0 < \frac32$ , resulta $\sup A = \max A = \frac32$ . Los índices impares dan $-1 + \frac1n > -1$ , decreciendo hacia $-1$ : todo elemento de $A$ es $> -1$ , y a $-1 + \varepsilon$ lo supera $-1 + \frac1n$ para impares $n > \frac1\varepsilon$ : $\inf A = -1$ , no alcanzado. Un solo conjunto y los cuatro comportamientos a la vista: un supremo que es máximo y un ínfimo que no es mínimo.

Observación 10.8 (Errores frecuentes con sup e inf)

Cuatro errores explican casi todos los puntos perdidos. (i) Confundir $\sup$ y $\max$ : $\sup A$ no tiene por qué pertenecer a $A$ ; escríbase $\max$ solo tras exhibir un elemento de $A$ que sea cota superior. (ii) Pasar desigualdades estrictas al supremo: si $a < b$ para todo $a \in A$ , solo se puede concluir $\sup A \leq b$ — testigo $A = \intoo{0}{1}$ , $b = 1$ . (iii) Escribir $\sup A$ antes de comprobar que es lícito: el símbolo exige $A$ no vacío y acotado superiormente (Método 10.18); $\sup \emptyset$ y $\sup \N$ no están definidos en $\R$ (los convenios de $\overline\R$ son un acto aparte y explícito). (iv) Operaciones con conjuntos: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ siempre, pero para $A \cap B$ no hay nada general — puede ser vacío y, aun no siéndolo, $\sup(A \cap B)$ puede quedar muy por debajo de $\min(\sup A, \sup B)$ : tómense $A = \{0, 2\}$ y $B = \{0, 3\}$ , donde $\sup(A \cap B) = 0$ .

Ejemplo 10.9 (Los conjuntos finitos tienen máximo — un lema usado en silencio)

Todo $F \subseteq \R$ finito y no vacío tiene máximo (y mínimo). Inducción sobre el número de elementos: un conjunto unitario $\{a\}$ tiene $\max = a$ ; si la afirmación vale para conjuntos de $n$ elementos y $F$ tiene $n + 1$ , tómese cualquier $a \in F$ : el conjunto $F \setminus \{a\}$ tiene un máximo $m$ , y $\max F$ es $m$ si $a \leq m$ , y $a$ en caso contrario. No interviene la completitud —esto es puro orden más inducción, válido ya en $\Q$ —, y sin embargo el lema merece un enunciado honesto, porque las demostraciones que vienen lo invocan en silencio: la construcción de la parte entera de más abajo («un conjunto de enteros atrapado en un rango finito tiene un elemento máximo»), toda cota $\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \dots)$ del Capítulo 11, todo «tómese el mayor de los finitos $\delta$ » del Capítulo 13. Los conjuntos infinitos son donde mueren los máximos y toman el relevo los supremos: este capítulo existe por el caso infinito.

Teorema 10.10 (Propiedad arquimediana)

Para todo $x \in \R$ existe $n \in \N$ con $n > x$ . Equivalentemente: para todos $\varepsilon > 0$ e $y > 0$ , algún múltiplo $n\varepsilon$ supera a $y$ .

Demostración. Supóngase que no: algún $x$ es cota superior de $\N$ . Entonces existe $s = \sup \N$ (Teorema 10.2). Por la Proposición 10.4 (2) con $\varepsilon = 1$ , hay $n \in \N$ con $n > s - 1$ ; pero entonces $n + 1 \in \N$ y $n + 1 > s$ , en contra de que $s$ sea cota superior. Para la segunda forma, sean $\varepsilon > 0$ e $y > 0$ : la primera forma aplicada a $x = \frac{y}{\varepsilon}$ produce $n \in \N$ con $n > \frac{y}{\varepsilon}$ y, multiplicando por $\varepsilon > 0$ (que conserva las desigualdades estrictas), $n\varepsilon > y$ . Recíprocamente, la segunda forma con $\varepsilon = 1$ e $y = x$ recupera la primera para $x > 0$ , y $n = 1$ resuelve $x \leq 0$ : los dos enunciados son estrictamente equivalentes. ∎

Ejemplo 10.11 (Arquímedes en acción)

Tres usos inmediatos, necesarios constantemente más adelante. (i) Ningún real positivo queda por debajo de todos los $\frac1n$ : si $0 < \varepsilon$ , tómese $n > \frac1\varepsilon$ ; entonces $\frac1n < \varepsilon$ . Dicho de otro modo, $\R$ no contiene infinitesimales — el informal « $\frac1n$ se hace arbitrariamente pequeño» es exactamente este teorema. (ii) Umbrales explícitos: ¿cuán grande debe ser $n$ para que $\frac{1}{n^2} \leq 10^{-6}$ ? Basta $n \geq 10^3$ — Arquímedes garantiza que tales $n$ existen, y el álgebra los localiza. (iii) Las potencias superan cualquier cota: $2^n \geq n + 1$ (inducción), luego, para todo $M$ , alguna potencia de $2$ supera a $M$ : el crecimiento geométrico usado para los diádicos del Ejercicio 10.8. La idea de cierre: la propiedad arquimediana es la licencia que hay detrás de toda frase del tipo «tómese $n$ suficientemente grande» — de aquí en adelante usaremos esa frase con libertad, y este ejemplo es su justificación de una vez por todas.

Teorema 10.12 (Parte entera)

Para todo $x \in \R$ existe exactamente un entero, la parte entera $\lfloor x \rfloor$ , con

\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 .

Demostración. Existencia. El conjunto $E = \{k \in \Z : k \leq x\}$ no es vacío: por el Teorema 10.10 hay $m \in \N$ con $m > -x$ , y entonces $-m < x$ , luego $-m \in E$ . Está acotado superiormente (por cualquier entero $n > x$ , que existe por la misma razón), de modo que, siendo un conjunto de enteros atrapado en el rango finito $\intint{-m}{n}$ , tiene un elemento máximo $k = \max E$ . Entonces $k \leq x$ , y $k + 1 \notin E$ significa $x < k + 1$ .

Unicidad. Si $k$ y $k'$ cumplen los dos las desigualdades, entonces $k \leq x < k' + 1$ da $k \leq k'$ , y simétricamente $k' \leq k$ . ∎

Ejemplo 10.13 (Partes enteras en la práctica)

$\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ , $\lfloor 5 \rfloor = 5$ y $\lfloor -3.7 \rfloor = -4$ : la parte entera va hacia abajo, no hacia $0$ . Dos consecuencias de la unicidad del Teorema 10.12 que usaremos en silencio. Primera, para $n \in \Z$ ,

\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n ,

porque $\lfloor x \rfloor + n$ es un entero que cumple las dos desigualdades que definen la de $x + n$ — y solo un entero lo hace. Segunda, $\lfloor \, \cdot \, \rfloor$ es no decreciente: si $x \leq y$ , entonces $\lfloor x \rfloor \leq x \leq y < \lfloor y \rfloor + 1$ , y un entero $< \lfloor y \rfloor + 1$ es $\leq \lfloor y \rfloor$ . Cuidado, en cambio: $\lfloor 2x \rfloor \neq 2\lfloor x \rfloor$ en general; $x = 0.6$ da $\lfloor 1.2 \rfloor = 1 \neq 0 = 2\lfloor 0.6 \rfloor$ .

Lo que sí es cierto es una identidad que conviene guardar (la de Hermite, en su caso más simple): para todo real $x$ ,

\lfloor x \rfloor + \Bigl\lfloor x + \frac12 \Bigr\rfloor = \lfloor 2x \rfloor .

Escríbase $x = \lfloor x\rfloor + u$ con $u \in \intco{0}{1}$ y sepárense dos casos. Si $u < \frac12$ : el miembro izquierdo es $\lfloor x\rfloor + \lfloor x\rfloor = 2\lfloor x\rfloor$ , y $2x = 2\lfloor x\rfloor + 2u$ con $2u \in \intco{0}{1}$ , luego el derecho vale también $2\lfloor x\rfloor$ . Si $u \geq \frac12$ : el izquierdo es $\lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor + 1)$ , y $2u \in \intco{1}{2}$ hace que el derecho valga $2\lfloor x\rfloor + 1$ . La idea de cierre: $\lfloor x + \frac12\rfloor$ es el redondeo de $x$ al entero más próximo, de modo que la identidad dice que parte entera más redondeo es igual a la parte entera del doble — y la separación de casos según la parte fraccionaria $u$ es la técnica estándar detrás de toda identidad con partes enteras (los Ejercicios 10.2 y 10.3 también funcionan así).

Teorema 10.14 (Densidad de $\Q$ y de $\R \setminus \Q$ )

Entre dos reales cualesquiera $x < y$ hay un racional y un irracional.

Demostración. Un racional. Por el Teorema 10.10, tómese $n \in \N^*$ con $n > \frac{1}{y - x}$ , de modo que $ny - nx > 1$ . Sea $m = \lfloor nx \rfloor + 1$ . Por un lado, $nx < \lfloor nx \rfloor + 1 = m$ (Teorema 10.12); por otro, $m = \lfloor nx \rfloor + 1 \leq nx + 1 < ny$ . Dividiendo entre $n$ : $x < \frac mn < y$ .

Un irracional. Aplíquese el punto anterior al par $x - \sqrt 2 < y - \sqrt 2$ : algún racional $q$ queda entre ellos, y entonces $q + \sqrt 2 \in \intoo{x}{y}$ es irracional (si $q + \sqrt 2$ fuese racional, también lo sería $\sqrt 2$ ). ∎

Ejemplo 10.15 (Ejecutar la demostración de la densidad)

La demostración es un algoritmo; ejecutémoslo con $x = 1.414$ e $y = \sqrt 2$ . Como $1.4142^2 = 1.99996164 < 2$ , se tiene $\sqrt 2 > 1.4142$ , luego $y - x > 0.0002$ y $\frac{1}{y - x} < 5000$ : la elección $n = 5000$ es lícita. Entonces $nx = 7070$ , luego $m = \lfloor 7070 \rfloor + 1 = 7071$ , y el racional producido es

\frac{m}{n} = \frac{7071}{5000} = 1.4142, \qquad 1.414 < 1.4142 < \sqrt 2 .

La idea de cierre: la demostración solo necesita un $n$ ligeramente mayor que $\frac{1}{y-x}$ , y devuelve el primer múltiplo de $\frac 1n$ más allá de $x$ . La densidad no es un milagro abstracto — es la división larga disfrazada, tema desarrollado con amplitud en el problema del fin de semana (Problema 10.1).

Observación 10.16 (Dónde se usa la completitud a continuación)

Teorema 10.2 es el único axioma no algebraico de este libro, y todo teorema de existencia del análisis es ese axioma con otro traje: el teorema de convergencia monótona (Capítulo 11), el teorema de Bolzano–Weierstrass (Capítulo 12), los teoremas del valor intermedio y de los valores extremos (Capítulo 13) y la definición misma de la integral como supremo de sumas inferiores (Capítulo 15). El volumen del tercer año construye la teoría de la medida y los espacios de Hilbert sobre ese mismo único axioma. Cuando una demostración de los capítulos que vienen saque un número real de la nada, búsquese el supremo escondido.

Observación 10.17 (Entre lo discreto y lo denso)

$\Z$ y $\Q$ ocupan extremos opuestos dentro de $\R$ : alrededor de cada entero hay un hueco de longitud $1$ sin ningún otro (lo discreto — que es lo que hace que la parte entera esté bien definida), mientras que entre dos reales cualesquiera hay infinitos racionales (la densidad). Sorprendentemente, para los subgrupos aditivos de $\R$ no hay nada intermedio: el Ejercicio 10.9 demuestra que un subgrupo así es, o bien de la forma $\alpha\Z$ (discreto), o bien denso — dicotomía que sostiene la densidad de $\{\sin n\}$ en el Capítulo 11 y el monstruo constructivo del Problema 13.1. Los conjuntos generales, claro, mezclan libremente los dos comportamientos: $\Z \cup \Q\cap\intcc{0}{1}$ es discreto a lo lejos y denso en el medio.

Método 10.18 (Demostrar igualdades con sup e inf)

Para demostrar $\sup A = s$ : compruébese que $s$ acota $A$ superiormente y prodúzcase después, para cada $\varepsilon > 0$ (o para una sucesión $\varepsilon = \frac 1n$ ), un elemento de $A$ mayor que $s - \varepsilon$ . Para comparar supremos, úsense: $A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B$ ; y, para todos $a, b$ : $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ , donde $A + B = \{a + b\}$ (Ejercicio 10.5). No se escriba nunca $\sup A$ antes de saber que $A$ es no vacío y acotado superiormente.

10.2 Intervalos

Proposición 10.19 (Caracterización de los intervalos)

Un subconjunto $I \subseteq \R$ es un intervalo (de los tipos familiares $\intoo{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , semirrectas, $\R$ , $\emptyset$ , conjuntos unitarios) si y solo si es convexo:

\forall x, y \in I,\ \forall z \in \R, \quad x \leq z \leq y \implies z \in I .

Demostración. Todos los tipos enumerados son claramente convexos. Recíprocamente, sea $I$ convexo y no vacío. Póngase $a = \inf I$ si $I$ está acotado inferiormente, y $a = -\infty$ en caso contrario; análogamente $b = \sup I$ o $+\infty$ . Afirmamos que $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ (con los convenios obvios en $\pm\infty$ ). La segunda inclusión es la definición de cota. Para la primera, sea $z \in \intoo{a}{b}$ : como $z > a$ , $z$ no es cota inferior (o bien $a = -\infty$ ), luego algún $x \in I$ cumple $x < z$ ; análogamente, algún $y \in I$ cumple $y > z$ ; la convexidad pone $z \in I$ .

Queda leer el tipo a partir de la doble inclusión $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ : los conjuntos encajados entre un intervalo abierto y su cierre difieren de $\intoo{a}{b}$ solo por la presencia o ausencia de los extremos (finitos). Explícitamente: si $a, b \in \R$ , las cuatro posibilidades para $(a \in I,\ b \in I)$ dan $\intoo{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ (incluidos los casos degenerados $a = b$ : conjunto unitario si $a \in I$ ); si $a = -\infty$ y $b \in \R$ , se obtiene $\intoo{-\infty}{b}$ o $\intoc{-\infty}{b}$ ; simétricamente para $a \in \R$ , $b = +\infty$ ; y $a = -\infty$ , $b = +\infty$ da $I = \R$ . Todos los casos están en la lista: hecho. ∎

Observación 10.20 (Por qué la convexidad es el test adecuado)

La proposición convierte una definición geométrica (una lista de diez formas) en un test lógico de una línea, y el test es lo que realmente se usa: para demostrar que un conjunto es un intervalo, no se persiga cuál de las diez formas es — verifíquese la convexidad y déjese que la proposición decida el tipo. El teorema del valor intermedio del Capítulo 13 se enunciará exactamente así («la imagen continua de un intervalo es un intervalo»), y su demostración produce la convexidad, no la forma.

Observación 10.21 (Recta real ampliada)

Resulta cómodo añadir dos símbolos y trabajar en $\overline\R = \R \cup \{-\infty, +\infty\}$ , con los convenios $\sup A = +\infty$ cuando $A$ no está acotado superiormente y $\sup \emptyset = -\infty$ . Entonces todo subconjunto de $\R$ tiene supremo en $\overline\R$ — una comodidad de notación usada con libertad para los límites del Capítulo 11.

Ejemplo 10.22 (Calcular en $\overline\R$ )

Con los convenios en vigor: $\sup \Z = +\infty$ , $\inf \Z = -\infty$ ; para $A = \{n + (-1)^n n : n \in \N\} = \{0, 4, 0, 8, \dots\} \cup \{0\}$ , $\sup A = +\infty$ (los términos pares $2n$ no están acotados) e $\inf A = \min A = 0$ ; y $\sup\emptyset = -\infty \leq \inf\emptyset = +\infty$ — el único conjunto cuyo supremo es menor que su ínfimo, recordatorio de que los convenios se eligen para que $\sup$ sea creciente e $\inf$ decreciente respecto de la inclusión:

A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B \quad\text{and}\quad \inf A \geq \inf B ,

ahora válidas sin la salvedad de la no vacuidad. Lo que los convenios no proporcionan es aritmética: $+\infty + (-\infty)$ y $0 \times (+\infty)$ quedan sin definir, y toda manipulación algebraica de supremos debe comprobar antes que no forma ninguna de ellas. La recta ampliada es contabilidad, no un sistema numérico.

Ejemplo 10.23 (El supremo que se escapó de $\Q$ )

Volvamos al conjunto de la observación inicial, $A = \{x \in \Q : x^2 < 2\}$ , y calculemos su supremo en $\R$ . Es no vacío ( $1 \in A$ ) y está acotado superiormente por $1.5$ (si $x > 1.5$ , entonces $x^2 > 2.25 > 2$ ), luego existe $s = \sup A$ . Afirmamos que $s = \sqrt 2$ (el número real construido en el Ejercicio 10.12). Cota superior: todo $a \in A$ cumple $a < \sqrt2$ — para $a \leq 0$ es evidente y, para $a > 0$ , $a \geq \sqrt2$ daría $a^2 \geq 2$ . Nada menor sirve: dado $t < \sqrt2$ , la densidad (Teorema 10.14) proporciona un racional $q$ con $\max(1, t) < q < \sqrt 2$ , y entonces $q^2 < 2$ , luego $q \in A$ supera a $t$ . Por la Proposición 10.4, $s = \sqrt2 \notin \Q$ . La idea de cierre: el supremo de un conjunto de racionales no tiene por qué ser racional — la completitud es precisamente la promesa de que $\R$ , a diferencia de $\Q$ , no deja escapar nunca un supremo; este ejemplo es la observación inicial del capítulo, ahora demostrada en lugar de solo señalada.

Observación 10.24 (Perspectivas dentro de este volumen)

Las tres herramientas del capítulo tienen carreras distintas por delante. El supremo dirige la mitad analítica: los límites monótonos (Capítulo 11), la definición misma de la integral (Capítulo 15) y, en la geometría del Capítulo 23, la distancia de un punto a un subespacio — un ínfimo que la proyección ortogonal convierte en mínimo. La parte entera vuelve allí donde lo discreto se encuentra con lo continuo: desarrollos en cifras (el problema del fin de semana de este capítulo), la aproximación de Dirichlet por el palomar (Problema 14.1), las comparaciones integrales de sumas (Capítulo 17). Los argumentos de densidad ascienden a método en el Capítulo 13: una identidad entre funciones continuas solo hay que comprobarla en $\Q$ — la mitad de la ecuación funcional de Cauchy (Problema 13.1) es exactamente ese movimiento. En caso de duda sobre de dónde saca una demostración de este volumen sus enunciados de existencia, la respuesta es casi siempre: de este capítulo.

10.3 Ejercicios

Ejercicio 10.1 ★

Determínense (con demostración) sup, inf, máx y mín — cuando existan — de:

A = \Bigl\{\frac{1}{n} : n \in \N^*\Bigr\}, \qquad B = \Bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\Bigr\}, \qquad C = \{x \in \R : x^2 < 3\}.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$A$ : todo elemento es $\leq 1$ y $1 \in A$ : $\sup A = \max A = 1$ . Cotas inferiores: $0$ acota por abajo; para $\varepsilon > 0$ , Arquímedes proporciona $n$ con $\frac 1n < \varepsilon$ , luego ningún número positivo acota $A$ inferiormente: $\inf A = 0$ , no alcanzado (no hay mínimo).

$B$ : términos $0, -\frac12, \frac23, -\frac34, \frac45, \dots$ Los términos de índice par $\frac{n}{n+1}$ ( $n$ par) crecen hacia $1$ sin alcanzarlo; los de índice impar $-\frac{n}{n+1}$ decrecen hacia $-1$ . Así pues, $\sup B = 1$ e $\inf B = -1$ , ninguno alcanzado: no hay máximo ni mínimo. (Cotas: $\abs{b} < 1$ para todo $b \in B$ ; y $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon$ para $n$ grande, y análogamente por abajo.)

$C = \intoo{-\sqrt 3}{\sqrt 3}$ : $\sup C = \sqrt 3$ , $\inf C = -\sqrt 3$ , ninguno alcanzado.

Ejercicio 10.2 ★

Demuéstrese que, para todos $x, y \in \R$ , $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ , y que las dos cotas se alcanzan.

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

Escríbanse $x = \lfloor x \rfloor + u$ , $y = \lfloor y \rfloor + v$ con $u, v \in \intco{0}{1}$ . Entonces $x + y = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + (u + v)$ con $u + v \in \intco{0}{2}$ . Si $u + v < 1$ , $\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x\rfloor + \lfloor y \rfloor$ ; si $1 \leq u + v < 2$ , $\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ . Los dos casos se dan: $(x, y) = (0.2,\, 0.3)$ da la igualdad de la izquierda, y $(0.7,\, 0.8)$ , la de la derecha.

Ejercicio 10.3 ★

Demuéstrese que, para todo $x \in \R$ y todo $n \in \N^*$ , $\Bigl\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

Sea $k = \lfloor x \rfloor$ , de modo que $k \leq x < k + 1$ . Multiplicando por $n$ : $nk \leq nx < nk + n$ y, tomando partes enteras (operación creciente): $nk \leq \lfloor nx \rfloor \leq nk + n - 1$ . Dividiendo entre $n$ : $k \leq \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$ , luego la parte entera exterior vale $k$ .

Ejercicio 10.4 ★

Sean $A \subseteq B$ subconjuntos no vacíos de $\R$ , con $B$ acotado. Demuéstrese que $\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

Todo elemento de $A$ está en $B$ , luego $\sup B$ acota $A$ superiormente: por tanto $\sup A \leq \sup B$ ( $\sup A$ es la mínima cota superior). Simétricamente, $\inf B \leq \inf A$ . Por último, $\inf A \leq \sup A$ porque $A$ es no vacío: cualquier $a \in A$ queda entre ellos.

Ejercicio 10.5 ★★

Para $A, B \subseteq \R$ no vacíos y acotados, defínanse $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$ y $-A = \{-a : a \in A\}$ . Demuéstrese:

\sup(A + B) = \sup A + \sup B, \qquad \sup(-A) = -\inf A .

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

Sean $s = \sup A$ , $t = \sup B$ . Todo $a + b \leq s + t$ : cota superior. Para $\varepsilon > 0$ , elíjanse $a > s - \frac\varepsilon2$ y $b > t - \frac\varepsilon2$ (Proposición 10.4): entonces $a + b > s + t - \varepsilon$ . Por la caracterización con $\varepsilon$ , $\sup(A+B) = s + t$ .

Para $-A$ : $m$ acota $-A$ superiormente $\iff$ $-m$ acota $A$ inferiormente; la mínima cota superior de $-A$ corresponde, pues, a la máxima cota inferior de $A$ : $\sup(-A) = -\inf A$ .

Ejercicio 10.6 ★★

Sean $f, g \colon E \to \R$ funciones acotadas. Demuéstrese que

\sup_{x \in E}\, \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \leq \sup_{x \in E} f(x) + \sup_{x \in E} g(x),

y dese un ejemplo en el que la desigualdad sea estricta. ¿Por qué esto no contradice el Ejercicio 10.5?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

Para todo $x$ : $f(x) + g(x) \leq \sup f + \sup g$ ; tomando el supremo del miembro izquierdo se obtiene la desigualdad. Ejemplo estricto: $E = \{0, 1\}$ , $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ (que vale $1$ en $0$ y $0$ en el resto), $g = \mathbf{1}_{\{1\}}$ : $\sup(f + g) = 1 < 2 = \sup f + \sup g$ .

No hay contradicción con el Ejercicio 10.5: allí, $a \in A$ y $b \in B$ varían independientemente; aquí, el mismo $x$ alimenta a $f$ y a $g$ — el conjunto $\{f(x) + g(x) : x \in E\}$ es menor que el conjunto $\{f(x) + g(y) : x, y \in E\}$ .

Ejercicio 10.7 ★★

Demuéstrese que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional. (Elévese al cuadrado y úsese la irracionalidad de $\sqrt 6$ , que se demuestra con el Ejercicio 6.7.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

$\sqrt 6$ es irracional: $6 = 2 \times 3$ no es un cuadrado perfecto, y que $v_2(6q^2) = 1 + 2v_2(q)$ sea impar impide $6q^2 = r^2$ (como en el Ejercicio 6.7). Supóngase ahora $x = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \Q$ . Entonces $x^2 = 5 + 2\sqrt 6 \in \Q$ , luego $\sqrt 6 = \frac{x^2 - 5}{2} \in \Q$ : contradicción. Por tanto, $\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \Q$ .

Ejercicio 10.8 ★★

Demuéstrese que el conjunto $D = \bigl\{\frac{m}{2^n} : m \in \Z,\ n \in \N\bigr\}$ de los racionales diádicos es denso en $\R$ : entre dos reales cualesquiera hay un racional diádico.

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

Sea $x < y$ . Tómese $n \in \N$ con $2^n > \frac{1}{y - x}$ (Arquímedes: $2^n \geq n + 1$ por una inducción fácil, luego alguna potencia de $2$ supera a cualquier real). Entonces, como en la demostración del Teorema 10.14 con $2^n$ en lugar de $n$ : $m = \lfloor 2^n x \rfloor + 1$ cumple $x < \frac{m}{2^n} < y$ . Así pues, $D$ es denso.

Ejercicio 10.9 ★★★

Sea $G$ un subgrupo de $(\R, +)$ con $G \neq \{0\}$ . Póngase $\alpha = \inf\,(G \cap \intoo{0}{+\infty})$ . Demuéstrese:

si $\alpha > 0$ , entonces $G = \alpha\Z$ ;
si $\alpha = 0$ , entonces $G$ es denso en $\R$ .

Dedúzcase que $\Z + \sqrt 2\,\Z$ es denso en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

Supóngase $\alpha > 0$ . Primero, $\alpha \in G$ . Supóngase que no: por la caracterización con $\varepsilon$ del ínfimo con $\varepsilon = \alpha$ , hay $g \in G$ con $\alpha < g < 2\alpha$ (estricta por la izquierda, pues $\alpha \notin G$ ); después, con $\varepsilon = g - \alpha$ , hay $h \in G$ con $\alpha < h < g$ . Ahora $g - h \in G$ y $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$ : un elemento de $G \cap \intoo{0}{+\infty}$ por debajo de su ínfimo, absurdo. Luego $\alpha \in G$ , y $\alpha\Z \subseteq G$ ( $G$ es un grupo). Recíprocamente, para $x \in G$ , sea $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$ : entonces $x - k\alpha \in G$ y $0 \leq x - k\alpha < \alpha$ , y la definición de $\alpha$ obliga a $x - k\alpha = 0$ . Por tanto, $G = \alpha\Z$ .
Supóngase $\alpha = 0$ y sea $x < y$ . Hay $g \in G$ con $0 < g < y - x$ . El múltiplo $kg$ con $k = \lfloor x/g \rfloor + 1$ cumple $x < kg \leq x + g < y$ , y $kg \in G$ : densidad.

$G = \Z + \sqrt 2\,\Z$ es un subgrupo de $(\R, +)$ . No es de la forma $\alpha\Z$ : si lo fuese, $1 = p\alpha$ y $\sqrt 2 = q\alpha$ ( $p, q \in \Z$ ) darían $\sqrt 2 = \frac qp \in \Q$ , contradicción. Por la dicotomía, $G$ es denso en $\R$ .

Ejercicio 10.10 ★★★

Para $A, B$ conjuntos no vacíos de reales positivos, sea $AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$ . Demuéstrese que $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ (caso acotado), y véase con un ejemplo que la positividad es esencial.

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Sean $s = \sup A > 0$ , $t = \sup B > 0$ . Para $a \in A$ , $b \in B$ : $ab \leq st$ (multiplicando desigualdades entre números positivos). Para $0 < \varepsilon < \min(s, t)$ : elíjanse $a > s - \varepsilon$ y $b > t - \varepsilon$ ; entonces

ab > (s - \varepsilon)(t - \varepsilon) = st - \varepsilon(s + t) + \varepsilon^2 > st - \varepsilon (s + t),

y $\varepsilon(s+t)$ se puede hacer arbitrariamente pequeño: por la caracterización con $\varepsilon$ (en la forma: ningún número $< st$ acota $AB$ superiormente), $\sup AB = st$ .

La positividad es esencial: $A = B = \{-1, 0\}$ da $AB = \{0, 1\}$ , $\sup AB = 1$ , mientras que $\sup A \cdot \sup B = 0 \times 0 = 0$ .

Ejercicio 10.11 ★★

Para $A \subseteq \R$ no vacío y acotado, defínase el diámetro

\operatorname{diam} A = \sup\,\{\abs{a - a'} : a, a' \in A\} .

Demuéstrese que $\operatorname{diam} A = \sup A - \inf A$ y que $\intcc{\inf A}{\sup A}$ es el menor intervalo cerrado que contiene a $A$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

Escríbanse $s = \sup A$ , $i = \inf A$ . Para $a, a' \in A$ : $a \leq s$ y $a' \geq i$ dan $a - a' \leq s - i$ ; por simetría, $\abs{a - a'} \leq s - i$ , luego $s - i$ acota superiormente el conjunto de las separaciones. Para $\varepsilon > 0$ , elíjanse $a > s - \frac\varepsilon2$ y $a' < i + \frac\varepsilon2$ (Proposición 10.4 y su espejo para el ínfimo): entonces $\abs{a - a'} \geq a - a' > s - i - \varepsilon$ . Por la caracterización con $\varepsilon$ , $\operatorname{diam} A = s - i$ .

Todo $a \in A$ cumple $i \leq a \leq s$ , luego $A \subseteq \intcc{i}{s}$ , un intervalo cerrado de longitud $\operatorname{diam} A$ . Si un intervalo cerrado $\intcc{u}{v}$ contiene a $A$ , entonces $v$ es cota superior y $u$ cota inferior de $A$ , luego $u \leq i$ y $v \geq s$ : $\intcc{i}{s} \subseteq \intcc{u}{v}$ . Por tanto, $\intcc{i}{s}$ es el menor.

Ejercicio 10.12 ★★★

Sean $y > 0$ y $E = \{x \geq 0 : x^2 \leq y\}$ . Demuéstrese que $E$ es no vacío y acotado superiormente, y que $s = \sup E$ cumple $s^2 = y$ (descártense $s^2 < y$ y $s^2 > y$ exhibiendo, en cada caso, un $h > 0$ pequeño que contradiga la definición del supremo). Dedúzcase que todo $y > 0$ tiene una única raíz cuadrada $\sqrt y > 0$ y que $y \mapsto \sqrt y$ es creciente en $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

$0 \in E$ , luego $E \neq \emptyset$ . Si $x > \max(1, y)$ , entonces $x^2 > x > y$ , así que $E$ está acotado superiormente por $\max(1, y)$ : existe $s = \sup E$ (Teorema 10.2) y $s \geq \min(1, y) > 0$ , porque $\min(1, y) \in E$ : en efecto, si $y \geq 1$ , entonces $1^2 = 1 \leq y$ , y si $y < 1$ , entonces $y^2 < y$ .

$s^2 < y$ es imposible. Elíjase $0 < h < 1$ con $h < \frac{y - s^2}{2s + 1}$ . Entonces

(s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 \leq s^2 + (2s + 1)h < y ,

luego $s + h \in E$ , en contra de que $s$ acote $E$ superiormente.

$s^2 > y$ es imposible. Elíjase $0 < h < s$ con $h < \frac{s^2 - y}{2s}$ . Entonces $(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh > y$ ; todo $x \in E$ cumple $x^2 \leq y < (s - h)^2$ , luego $x < s - h$ (los dos son $\geq 0$ ): $s - h$ es una cota superior de $E$ menor que $s$ , en contra de la minimalidad.

Por tanto, $s^2 = y$ . Unicidad: si $0 < s < s'$ , entonces $s^2 < s'^2$ , así que dos raíces positivas distintas no pueden dar el mismo cuadrado $y$ . Monotonía: si $0 < y < y'$ , entonces $\sqrt y \neq \sqrt{y'}$ , y $\sqrt y > \sqrt{y'}$ daría $y > y'$ al elevar al cuadrado: luego $\sqrt y < \sqrt{y'}$ .

10.4 Problema: desarrollos en cifras y el ritmo de los racionales

Problema 10.1

Problema del fin de semana — desarrollos $b$ -ádicos: existencia, unicidad y la periodicidad que caracteriza $\Q$

Todo real de $\intco{0}{1}$ tiene un desarrollo en cifras en toda base $b \geq 2$ ; el desarrollo es único una vez prohibidas las colas formadas por la cifra $b - 1$ ; y es finalmente periódico exactamente cuando el número es racional. Este problema demuestra los tres hechos solo con el axioma de completitud — sin sucesiones, sin series: solo el supremo, la propiedad arquimediana y la parte entera — y cierra con el argumento diagonal de Cantor en forma de cifras. En todo el problema, $b \geq 2$ es un entero fijo (la base), una cifra es un elemento de $\intint{0}{b-1}$ , y una cadena de cifras $(d_n)_{n \geq 1}$ es propia cuando no es finalmente igual a $b - 1$ (es decir: para todo $N$ existe $n > N$ con $d_n \leq b - 2$ ).

Parte I — Cifras a mano. División larga de $p$ entre $q$ en base $b$ : multiplíquese el resto actual por $b$ , divídase entre $q$ , anótese el cociente como cifra siguiente y guárdese el resto.

En base $10$ , ejecútese el algoritmo con $\frac 18$ y con $\frac 17$ , anotando en cada paso la cifra y el resto. Compruébese que los restos de $\frac 17$ recorren el ciclo $1, 3, 2, 6, 4, 5$ y que las cifras $142857$ se repiten después para siempre.
Calcúlense los desarrollos en base $2$ de $\frac 13$ y de $\frac{5}{16}$ , y el desarrollo en base $3$ de $\frac 12$ . Obsérvese: un número termina y los otros dos se repiten — y $\frac 12$ , tan dócil en base $10$ , se repite para siempre en base $3$ .
Para $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ irreducible, véase que las cifras que produce el algoritmo son finalmente todas $0$ si y solo si el resto $b^N p \bmod q$ se anula para algún $N$ , si y solo si $q$ divide a alguna potencia $b^N$ , si y solo si todo factor primo de $q$ divide a $b$ . Compruébese: $\frac{1}{20}$ termina en base $10$ , pero no en base $3$ .
Defínase el truncamiento $s_n = \lfloor b^n x \rfloor / b^n$ . Para $x = \sqrt 2$ y $b = 10$ , calcúlense $s_0, \dots, s_4$ verificando en cada paso que dos cuadrados consecutivos encierran a $2$ (por ejemplo, $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ ), y compruébese cada vez $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ .

Parte II — Existencia, a partir del supremo. Fíjese $x \in \intco{0}{1}$ y póngase $A_n = \lfloor b^n x \rfloor$ y $d_n = A_n - b\,A_{n-1}$ para $n \geq 1$ .

Véase que $A_0 = 0$ y $b\,A_{n-1} \leq A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ ; conclúyase que cada $d_n$ es una cifra.
Véase que $s_n := A_n b^{-n}$ cumple

$s_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\,b^{-k} \qquad\text{and}\qquad s_n \leq x < s_n + b^{-n} .$
Demuéstrese $b^n \geq n + 1$ por inducción y véase después que $(s_n)$ es no decreciente y que $x = \sup_n s_n$ (úsense la Proposición 10.4 y el Teorema 10.10).
Véase que la cadena $(d_n)$ es propia: si $d_k = b - 1$ para todo $k > N$ , calcúlese $s_n$ para $n > N$ con una suma geométrica finita y contradígase la pregunta 6.
Recíprocamente, sea $(e_n)_{n \geq 1}$ una cadena propia de cifras cualquiera y $t_n = \sum_{k=1}^n e_k b^{-k}$ . Véase que $y = \sup_n t_n$ existe, está en $\intco{0}{1}$ y cumple $t_n \leq y < t_n + b^{-n}$ para todo $n$ (para la desigualdad estricta, úsese una cifra $e_m \leq b - 2$ con $m > n$ ). Dedúzcase que $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ y, después, que las cifras de $y$ , en el sentido de la pregunta 5, son exactamente los $e_n$ .

Parte III — Unicidad, orden, desplazamiento.

Reúnanse las preguntas 5–9 en el teorema del desarrollo $b$ -ádico: las aplicaciones $x \mapsto (d_n)$ y $(e_n) \mapsto \sup_n t_n$ son biyecciones mutuamente inversas entre $\intco{0}{1}$ y el conjunto de las cadenas propias de cifras. En particular, dos cadenas propias distintas no tienen nunca el mismo valor.
Permítanse ahora las cadenas impropias. Véase que una cadena con $e_n = b - 1$ para todo $n > M$ (con $M \geq 0$ mínimo) tiene valor $t_M + b^{-M}$ ; conclúyase que $0.999\dots = 1$ en base $10$ y que los reales con dos representaciones en cifras son exactamente las fracciones $b$ -ádicas $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ — cualquier otro real tiene una sola, incluso entre las cadenas impropias.
Demuéstrese que la biyección de la pregunta 10 conserva el orden lexicográfico: si las cadenas propias de $x$ y de $y$ difieren por primera vez en el índice $m$ , entonces $x < y$ si y solo si $d_m < e_m$ .
(Lema del desplazamiento) Sea $x \in \intco{0}{1}$ de cifras $(d_n)$ . Véase que la parte fraccionaria de $bx$ tiene cifras $(d_{n+1})_{n \geq 1}$ (calcúlese $\lfloor b^n(bx - A_1)\rfloor$ usando $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ para $K$ entero), y dedúzcase por inducción que la parte fraccionaria de $b^m x$ tiene cifras $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ .

Parte IV — La racionalidad es periodicidad. Sea $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ irreducible y $r_n = b^n p \bmod q$ el resto de la división euclídea de $b^n p$ entre $q$ .

Véase que $A_n = \dfrac{b^n p - r_n}{q}$ y que $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ .
Véase que $d_n = \Bigl\lfloor \dfrac{b\,r_{n-1}}{q} \Bigr\rfloor$ : cada cifra es función solo del resto anterior. Esta es exactamente la división larga de la parte I.
Aplíquese el principio del palomar (Corolario 2.3) a $r_0, \dots, r_q$ y conclúyase: el desarrollo de todo racional es finalmente periódico, con anteperíodo y período a lo sumo $q$ .
Recíprocamente, supóngase que las cifras de $y \in \intco{0}{1}$ son puramente periódicas: $d_{n+T} = d_n$ para todo $n \geq 1$ . Usando el lema del desplazamiento y la unicidad de la pregunta 10, véase que la parte fraccionaria de $b^T y$ es igual a $y$ y dedúzcase que $(b^T - 1)\,y \in \N$ : así pues, $y$ es racional con denominador que divide a $b^T - 1$ . Verifíquese el mecanismo en $0.(142857)$ : $142857 \times 7 = 999999$ .
Trátese el caso finalmente periódico desplazando, y enúnciese el criterio de periodicidad: $x \in \intco{0}{1}$ es racional si y solo si su desarrollo $b$ -ádico propio es finalmente periódico — en una base si y solo si en todas.
Para $x = \frac 1q$ con $\gcd(q, b) = 1$ , véase que el desarrollo es puramente periódico y que su período mínimo es el menor $T \geq 1$ con $b^T \equiv 1 \pmod q$ (el orden multiplicativo de $b$ módulo $q$ ). Compruébese que, para $q = 7$ , $b = 10$ , las potencias de $10$ módulo $7$ recorren $3, 2, 6, 4, 5, 1$ : orden $6$ , de acuerdo con la pregunta 1.

Parte V — Dividendos y la diagonal.

Sea $x^*$ el real de $\intco{0}{1}$ cuyas cifras en base $10$ valen $1$ en las posiciones triangulares $\frac{j(j + 1)}{2}$ ( $j \geq 1$ ) y $0$ en las demás: $x^* = 0.101001000100001\dots$ Véase que su cadena de cifras es propia pero no finalmente periódica (un período $T$ obligaría a unos separados por huecos de a lo sumo $T$ , pero los huecos crecen), y conclúyase que $x^*$ es irracional: un número demostrado irracional por puro ritmo.
Véase que, para toda base $b$ , el conjunto $\{m/b^n : m \in \Z, n \in \N\}$ es denso en $\R$ (generalizando el Ejercicio 10.8), y que todo racional $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ tiene un desarrollo finito en base $q$ . Moraleja: ser finito es una propiedad del par (número, base); la periodicidad — la racionalidad — es intrínseca.
(Diagonal de Cantor) Sea $k \mapsto x_k$ una aplicación cualquiera de $\N^*$ en $\intco{0}{1}$ . Defínase la cadena de cifras $e_k = 1$ si la $k$ -ésima cifra de $x_k$ es distinta de $1$ , y $e_k = 2$ en caso contrario. Véase que $(e_k)$ es propia, que su valor $y$ está en $\intco{0}{1}$ y que $y \neq x_k$ para todo $k$ . Conclúyase: ninguna aplicación $\N^* \to \intco{0}{1}$ es sobreyectiva. (El vocabulario de la numerabilidad, y el hogar propio de este teorema, es el Capítulo 12.)
Véase que si los desarrollos propios de $x$ y de $y$ coinciden hasta el índice $n$ , entonces $\abs{x - y} < b^{-n}$ , y refútese el recíproco con $x = 0.1$ , $y = 0.0999$ en base $10$ : la proximidad de los números no obliga a que coincidan las cifras. ¿Qué reales tienen la culpa?
Ejecútese la parte IV con $x = \frac{1}{10}$ en base $b = 2$ : calcúlense restos y cifras hasta que se repitan, y conclúyase $\frac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2$ , con anteperíodo $1$ y período $4$ . Explíquese, con la pregunta 3, por qué ninguna cadena binaria finita será jamás igual a $\frac{1}{10}$ — la razón por la que el $0.1 + 0.2$ en coma flotante de un ordenador no vale exactamente $0.3$ .
Síntesis. En una frase cada uno: ¿dónde ha usado la demostración (i) la completitud, (ii) la propiedad arquimediana, (iii) la cláusula de unicidad de la parte entera, (iv) el principio del palomar? Y la moraleja: $\intco{0}{1}$ queda fielmente codificado por las cadenas propias de cifras y la racionalidad se lee como periodicidad — y, sin embargo, el análisis prefiere el supremo a las cifras. ¿Por qué? (Piénsese en sumar dos cadenas de cifras.)

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. Para $\frac 18$ : $10 = 8 \cdot 1 + 2$ , $20 = 8 \cdot 2 + 4$ , $40 = 8 \cdot 5 + 0$ ; cifras $1, 2, 5$ , resto $0$ y después solo ceros: $\frac 18 = 0.125$ . Para $\frac 17$ : $10 = 7 \cdot 1 + 3$ , $30 = 7 \cdot 4 + 2$ , $20 = 7 \cdot 2 + 6$ , $60 = 7 \cdot 8 + 4$ , $40 = 7 \cdot 5 + 5$ , $50 = 7 \cdot 7 + 1$ : cifras $1, 4, 2, 8, 5, 7$ y restos $3, 2, 6, 4, 5, 1$ . El resto ha vuelto a $r = 1$ , así que los seis pasos se repiten literalmente para siempre: $\frac 17 = 0.(142857)$ , con los restos recorriendo el ciclo $1, 3, 2, 6, 4, 5$ .

2. $\frac 13$ en base $2$ ( $r_0 = 1$ ): $2 = 3 \cdot 0 + 2$ , $4 = 3 \cdot 1 + 1$ , y $r = 1$ reaparece: $\frac 13 = (0.\overline{01})_2$ . $\frac{5}{16}$ en base $2$ : $10 = 16 \cdot 0 + 10$ , $20 = 16 \cdot 1 + 4$ , $8 = 16 \cdot 0 + 8$ , $16 = 16 \cdot 1 + 0$ : $\frac{5}{16} = (0.0101)_2$ , finito. $\frac 12$ en base $3$ : $3 = 2 \cdot 1 + 1$ , y $r = 1$ reaparece de inmediato: $\frac 12 = (0.\overline{1})_3$ .

3. El resto del algoritmo tras $N$ pasos es $r_N = b^N p \bmod q$ (demostrado formalmente en la pregunta 14; aquí basta observar que cada paso multiplica el resto por $b$ y reduce módulo $q$ ). Todas las cifras posteriores son $0$ si y solo si algún $r_N = 0$ , es decir, $q \mid b^N p$ ; y, como $\gcd(p, q) = 1$ , el lema de Gauss da $q \mid b^N$ . Si $q \mid b^N$ , todo factor primo de $q$ divide a $b^N$ y, por tanto, divide a $b$ (primalidad). Recíprocamente, si todo primo de $q = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ divide a $b$ , entonces, con $A = \max_i a_i$ , cada $p_i^{a_i}$ divide a $b^A$ y, siendo los $p_i^{a_i}$ coprimos dos a dos, $q \mid b^A$ . Para $q = 20 = 2^2 \cdot 5$ : los dos primos dividen a $10$ ( $\frac{1}{20} = 0.05$ ), pero $2 \nmid 3$ , así que $\frac{1}{20}$ se repite para siempre en base $3$ .

4. $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ da $s_0 = 1$ . Después, $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ : $\lfloor 10\sqrt 2 \rfloor = 14$ , $s_1 = 1.4$ . Luego $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ : $s_2 = 1.41$ ; $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ : $s_3 = 1.414$ ; $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ : $s_4 = 1.4142$ . En cada caso, las desigualdades mostradas dicen exactamente $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ , que es la definición de la parte entera de $10^n \sqrt 2$ .

5. $A_0 = \lfloor x \rfloor = 0$ , pues $0 \leq x < 1$ . De $A_{n-1} \leq b^{n-1} x < A_{n-1} + 1$ , multiplíquese por $b$ :

b\,A_{n-1} \leq b^n x < b\,A_{n-1} + b .

El entero $b\,A_{n-1}$ es $\leq b^n x$ , luego $b\,A_{n-1} \leq A_n$ ; y $b^n x < b\,A_{n-1} + b$ , siendo $b\,A_{n-1} + b$ entero, obliga a $A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ . Por tanto, $0 \leq d_n = A_n - b\,A_{n-1} \leq b - 1$ : una cifra.

6. Telescopio: $d_k b^{-k} = A_k b^{-k} - A_{k-1} b^{-(k-1)}$ , luego

\sum_{k=1}^n d_k b^{-k} = A_n b^{-n} - A_0 = s_n .

Dividiendo $A_n \leq b^n x < A_n + 1$ entre $b^n$ se obtiene $s_n \leq x < s_n + b^{-n}$ .

7. Inducción: $b^0 = 1 \geq 1$ y $b^{n+1} = b \cdot b^n \geq 2(n + 1) \geq n + 2$ . Monotonía: $s_n - s_{n-1} = d_n b^{-n} \geq 0$ . Cada $s_n \leq x$ (pregunta 6): $x$ es cota superior de $\{s_n\}$ . Para $\varepsilon > 0$ , la propiedad arquimediana proporciona $n$ con $n + 1 > \frac1\varepsilon$ , luego $b^{-n} < \varepsilon$ , y entonces $s_n > x - b^{-n} > x - \varepsilon$ por la pregunta 6. Por la Proposición 10.4, $x = \sup_n s_n$ .

8. Supóngase $d_k = b - 1$ para todo $k > N$ . Para $n > N$ , la suma geométrica finita da

s_n = s_N + (b - 1)\sum_{k=N+1}^{n} b^{-k} = s_N + b^{-N} - b^{-n} .

Así pues, $x \geq s_n = s_N + b^{-N} - b^{-n}$ para todo $n$ ; haciendo el último término menor que cualquier $\varepsilon$ (pregunta 7), $x \geq s_N + b^{-N}$ . Pero la pregunta 6 en el rango $N$ dice $x < s_N + b^{-N}$ : contradicción. La cadena $(d_n)$ es propia.

9. Acotación: $t_n \leq (b-1)\sum_{k=1}^n b^{-k} = 1 - b^{-n} < 1$ , y $(t_n)$ es no decreciente, luego existe $y = \sup t_n$ con $0 \leq y \leq 1$ . Fíjese $n$ . Para la estimación por los dos lados: $t_n \leq y$ es claro. Por ser propia, tómese $m > n$ con $e_m \leq b - 2$ . Para $p \geq m$ :

t_p - t_n = \sum_{k=n+1}^{p} e_k b^{-k} \leq (b^{-n} - b^{-p}) - b^{-m} < b^{-n} - b^{-m},

perdiendo la suma intermedia al menos $b^{-m}$ frente al máximo con todas las cifras $(b-1)$ ; y para $p \leq m$ también $t_p \leq t_m \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ (monotonía más el caso $p = m$ ). Por tanto, todo $t_p \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ , luego $y \leq t_n + b^{-n} - b^{-m} < t_n + b^{-n}$ . (Con $n = 0$ : $y < 1$ , luego $y \in \intco{0}{1}$ .) Ahora bien, $b^n t_n = \sum_{k \leq n} e_k b^{n-k}$ es un entero y $b^n t_n \leq b^n y < b^n t_n + 1$ : luego $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ . Por último, las cifras de $y$ : $d_n(y) = b^n t_n - b \cdot b^{n-1} t_{n-1} = b^n(t_n - t_{n-1}) = e_n$ .

10. La pregunta 9 dice: (el valor de una cadena) tiene por cifras (la cadena); las preguntas 5–8 dicen: (las cifras de $x$ ) forman una cadena propia cuyos truncamientos tienen supremo $x$ (pregunta 7). Así pues, las dos aplicaciones se componen dando la identidad en los dos órdenes: son biyecciones mutuamente inversas entre $\intco{0}{1}$ y las cadenas propias. Si dos cadenas propias tuviesen el mismo valor, aplicar la aplicación de las cifras las haría iguales: unicidad. Este es el teorema del desarrollo $b$ -ádico.

11. Sea $e_n = b - 1$ para $n > M$ , con $M \geq 0$ mínimo. Como en la pregunta 8, $t_n = t_M + b^{-M} - b^{-n}$ para $n \geq M$ , luego el valor es $\sup t_n = t_M + b^{-M}$ . Si $M = 0$ , el valor es $0 + 1 = 1$ : en base $10$ , $0.999\dots = 1$ exactamente — no aproximadamente. Si $M \geq 1$ , la minimalidad da $e_M \leq b - 2$ , y el valor es

t_M + b^{-M} = \frac{b^M t_M + 1}{b^M} \in \intoo{0}{1},

una fracción $b$ -ádica, cuyo desarrollo propio es $e_1 \dots e_{M-1}\,(e_M + 1)\,000\dots$ (una cadena finita es propia, y su valor es el mismo número). Recíprocamente, un real con dos representaciones tiene que tener una impropia (ser propia fija la representación, pregunta 10) y, por tanto, ser de esta forma. Y cada $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ , escrito con última cifra no nula $d_N$ , sí tiene el gemelo impropio $d_1 \dots d_{N-1}(d_N - 1)(b-1)(b-1)\dots$ : exactamente las fracciones $b$ -ádicas llevan dos nombres, y todos los demás reales, uno.

12. Digamos que las cadenas coinciden hasta $m - 1$ , con truncamiento común $P = s_{m-1}$ , y $d_m < e_m$ . Por la pregunta 9 (cota superior estricta en el rango $m$ ), $x < P + d_m b^{-m} + b^{-m} = P + (d_m + 1)b^{-m} \leq P + e_m b^{-m} \leq y$ , el último paso porque $P + e_m b^{-m}$ es el truncamiento de $y$ , $t_m \leq y$ . Así pues, $d_m < e_m \implies x < y$ ; intercambiando los papeles, $e_m < d_m \implies y < x$ ; y, como las cadenas difieren en $m$ , se da uno de los dos. Se siguen las dos implicaciones.

13. Sea $z = bx - A_1 \in \intco{0}{1}$ (en efecto, $A_1 \leq bx < A_1 + 1$ ). Para $n \geq 0$ : $b^n z = b^{n+1} x - b^n A_1$ con $b^n A_1 \in \Z$ , luego, por $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ ( $K$ entero),

A_n(z) = A_{n+1}(x) - b^n A_1(x) .

Por tanto, $d_n(z) = A_n(z) - b\,A_{n-1}(z) = A_{n+1} - b^n A_1 - b\,A_n + b^n A_1 = d_{n+1}(x)$ . Así pues, la parte fraccionaria de $bx$ lleva las cifras desplazadas; iterando $m$ veces, la parte fraccionaria de $b^m x$ tiene cifras $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ .

14. División euclídea: $b^n p = q\,Q_n + r_n$ con $0 \leq r_n < q$ . Divídase entre $q$ : $b^n x = Q_n + \frac{r_n}{q}$ con $0 \leq \frac{r_n}{q} < 1$ , luego $Q_n = \lfloor b^n x \rfloor = A_n$ , lo que da $A_n = \frac{b^n p - r_n}{q}$ . Para la recurrencia: $b^n p = b(q\,A_{n-1} + r_{n-1}) = q\,(b\,A_{n-1}) + b\,r_{n-1}$ , de modo que $b^n p$ y $b\,r_{n-1}$ difieren en un múltiplo de $q$ : $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ .

15. Divídase $b\,r_{n-1}$ entre $q$ : $b\,r_{n-1} = q\,c + r_n$ con $c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ . Sustituyendo en la fórmula de la pregunta 14: $b^n p = q(b\,A_{n-1} + c) + r_n$ , y la unicidad de la división euclídea identifica $A_n = b\,A_{n-1} + c$ , es decir, $d_n = c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ . La cifra $n$ solo depende de $r_{n-1}$ — el bucle de la división larga de la parte I, ahora certificado.

16. Los $q + 1$ restos $r_0, \dots, r_q$ toman valores en el conjunto de $q$ elementos $\intint{0}{q-1}$ : por el principio del palomar (Corolario 2.3) dos coinciden, digamos $r_N = r_{N+T}$ con $0 \leq N < N + T \leq q$ . Como $r_n$ determina $r_{n+1}$ (pregunta 14), la inducción da $r_{n+T} = r_n$ para todo $n \geq N$ ; y como $r_{n-1}$ determina $d_n$ (pregunta 15), $d_{n+T} = d_n$ para todo $n \geq N + 1$ . El desarrollo de todo racional es finalmente periódico, con anteperíodo $\leq q$ y período $\leq q$ .

17. Las cifras de la parte fraccionaria de $b^T y$ son $(d_{n+T}) = (d_n)$ (lema del desplazamiento y periodicidad pura): la misma cadena propia que la de $y$ . Por la pregunta 10, los valores son iguales: $b^T y - \lfloor b^T y \rfloor = y$ , luego $(b^T - 1)\,y = \lfloor b^T y \rfloor = A_T \in \N$ y

y = \frac{A_T}{b^T - 1} ,

racional con denominador que divide a $b^T - 1$ ; el numerador $A_T$ es el entero cuyas cifras en base $b$ son $d_1 \dots d_T$ . Comprobación: $0.(142857) = \frac{142857}{999999}$ , y $142857 \times 7 = 999999$ , así que esto es $\frac 17$ .

18. Si $d_{n+T} = d_n$ para $n > N$ , la parte fraccionaria $z$ de $b^N x$ tiene cifras $(d_{N+n})_{n\geq1}$ (lema del desplazamiento), que son puramente periódicas; por la pregunta 17, $z \in \Q$ . Entonces $b^N x = A_N + z$ da $x = (A_N + z)/b^N \in \Q$ . Con la pregunta 16: $x$ racional $\iff$ desarrollo finalmente periódico. El miembro derecho menciona la base y el izquierdo no: la periodicidad en una base equivale a la racionalidad y, por tanto, a la periodicidad en todas.

19. Para $x = \frac 1q$ , $r_n = b^n \bmod q$ . Si $\gcd(b, q) = 1$ , entonces $r_T = r_0 = 1$ si y solo si $b^T \equiv 1 \pmod q$ ; tal $T$ existe (el palomar da $b^i \equiv b^j$ con $i < j$ , y $b$ es invertible módulo $q$ , luego $b^{j-i} \equiv 1$ ), y el menor —el orden multiplicativo— hace que los restos, y por tanto las cifras, sean puramente periódicos de período $T$ . Ningún período menor es posible: un período $T'$ daría $(b^{T'} - 1)\frac1q \in \N$ (pregunta 17), es decir, $q \mid b^{T'} - 1$ . Para $q = 7$ , $b = 10$ : $10 \equiv 3$ , $10^2 \equiv 2$ , $10^3 \equiv 6$ , $10^4 \equiv 4$ , $10^5 \equiv 5$ , $10^6 \equiv 1 \pmod 7$ : orden $6$ , y en efecto $\frac 17$ tiene período seis.

20. La cadena tiene infinitos $0$ (las cifras de $x^*$ son casi todas nulas), así que es propia y $x^*$ está bien definido (pregunta 9). Supóngase que las cifras fuesen finalmente periódicas de período $T$ más allá de $N$ . Hay infinitas cifras iguales a $1$ (una por número triangular), luego algún $1$ está en una posición $j > N$ ; entonces la periodicidad pone un $1$ en toda posición $j + kT$ : de $j$ en adelante, los huecos entre dos $1$ consecutivos son a lo sumo $T$ . Pero los $1$ están exactamente en los números triangulares, cuyos huecos consecutivos $\frac{(j+1)(j+2)}{2} - \frac{j(j+1)}{2} = j + 1$ acaban superando a $T$ : contradicción. No es finalmente periódica, luego, por la pregunta 18, $x^* \notin \Q$ — irracionalidad leída solo en el ritmo de las cifras.

21. Dados $x < y$ , la pregunta 7 proporciona $n$ con $b^{-n} < y - x$ ; póngase $m = \lfloor b^n x \rfloor + 1$ . Entonces $b^n x < m \leq b^n x + 1 < b^n y$ , luego $x < \frac{m}{b^n} < y$ : densidad, y para todas las bases a la vez ( $b = 2$ recupera el Ejercicio 10.8). Para $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ en base $b = q$ : la primera cifra es $\lfloor q \cdot \frac pq \rfloor = p$ y la parte fraccionaria de $q \cdot \frac pq = p$ es $0$ : todas las cifras posteriores se anulan, un desarrollo finito $\frac pq = (0.p)_q$ . Ser finito depende de la base; la periodicidad —la racionalidad— no (pregunta 18).

22. Cada $e_k \in \{1, 2\}$ es una cifra de la base $10$ , y la cadena nunca acaba en todo $9$ : es propia. Su valor $y$ está en $\intco{0}{1}$ y tiene por cifras exactamente $(e_k)$ (pregunta 9). Fíjese $k$ : la $k$ -ésima cifra de $y$ es $e_k$ , elegida $\neq$ de la $k$ -ésima cifra de $x_k$ , luego las cadenas propias de $y$ y de $x_k$ difieren, luego $y \neq x_k$ (pregunta 10: la codificación es inyectiva). Así pues, $y$ no está en ninguna lista: ninguna aplicación $\N^* \to \intco{0}{1}$ es sobreyectiva. Los reales, a diferencia de los racionales, no se pueden enumerar — la no numerabilidad, cuya teoría desarrolla el Capítulo 12.

23. Si los desarrollos coinciden hasta $n$ , entonces $x$ e $y$ tienen el mismo truncamiento $s_n$ , y la pregunta 6 pone a los dos en $\intco{s_n}{s_n + b^{-n}}$ , un intervalo de longitud $b^{-n}$ : $\abs{x - y} < b^{-n}$ . Recíproco: $x = 0.1$ e $y = 0.0999$ (finitos y, por tanto, propios) cumplen $\abs{x - y} = 10^{-4} < 10^{-3}$ y, sin embargo, sus desarrollos difieren ya en la primera cifra. Los culpables son las fracciones $b$ -ádicas de la pregunta 11: cerca de ellas, un movimiento mínimo cambia todas las cifras que se ven ( $0.0999 \to 0.1000$ ), porque son precisamente los reales donde acecha el gemelo impropio.

24. $p = 1$ , $q = 10$ , $b = 2$ , $r_0 = 1$ : $2 = 10 \cdot 0 + 2$ , $4 = 10 \cdot 0 + 4$ , $8 = 10 \cdot 0 + 8$ , $16 = 10 \cdot 1 + 6$ , $12 = 10 \cdot 1 + 2$ — y $r_5 = 2 = r_1$ : los restos recorren el ciclo $(2, 4, 8, 6)$ desde el índice $1$ . Cifras: $d_1 = 0$ y después el bloque que se repite $d_2 d_3 d_4 d_5 = 0, 0, 1, 1$ :

\tfrac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2 ,

anteperíodo $1$ , período $4$ . Por la pregunta 3, un desarrollo finito en base $2$ exigiría que todo primo de $10$ dividiese a $2$ ; el primo $5$ se niega. Así pues, $0.1$ no es representable por ninguna cadena binaria finita — un ordenador que guarda finitos bits solo conserva un truncamiento, y los errores de truncamiento acumulados son la razón por la que el $0.1 + 0.2$ en coma flotante difiere de $0.3$ en los últimos bits.

25. (i) La completitud produjo los valores: $x = \sup s_n$ e $y = \sup t_n$ (preguntas 7 y 9) — solo con $\Q$ , la cadena propia de $\sqrt 2$ no nombraría nada. (ii) La propiedad arquimediana hizo que $b^{-n}$ acabase siendo menor que cualquier $\varepsilon$ , obligando a los truncamientos a cerrarse sobre su supremo (preguntas 7 y 21). (iii) La cláusula de unicidad de la parte entera identificó $Q_n = A_n$ en la pregunta 14 y legitimó toda extracción de cifras $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ (pregunta 13). (iv) El principio del palomar, aplicado a finitos restos, es el único motor de la periodicidad (pregunta 16). Moraleja: las cadenas propias codifican fielmente $\intco{0}{1}$ y convierten la racionalidad en un ritmo visible; pero sumar cadenas de cifras exige acarreos que se propagan desde infinitamente lejos por la derecha, de modo que ninguna regla de etapas finitas calcula ni siquiera la primera cifra de una suma — mientras que la interfaz del supremo del Teorema 10.2 se encarga de todo el análisis con un solo axioma. Las cifras son una magnífica imagen de $\R$ ; el supremo es su motor.

Términos definidos en este capítulo

Cotas, supremo e ínfimo

Ver los 395 términos del glosario