Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

10Números reales

Todo el análisis se basa en una propiedad que distingue a $\R$ de $\Q$ : cada conjunto no vacío acotado desde arriba tiene un el menos superior atado. Este capítulo lo dice con precisión, deriva su primera consecuencias — el propiedad de Arquímedes, el función de piso, el densidad de los racionales y de los irracionales — y conjuntos hasta el Vocabulario (sup, inf, max, min) utilizado constantemente desde Capítulo 11 en adelante.

10.1 La propiedad del límite superior

Definición 10.1 (Límites, sup e inf)

Sea $A \subseteq \R$ no vacío. Un $M$ real es un superior atado de $A$ cuando $a \leq M$ para todos los $a \in A$ ; $A$ es delimitado arriba cuando tiene un límite superior (de manera similar abajo, con límites inferiores; encerrado significa ambos). un máximo de $A$ es un límite superior que pertenece a $A$ .

El supremo $\sup A$ es el límite superior mínimo de $A$ , cuando exista; el ínfimo $\inf A$ es el mayor límite inferior.

Teorema 10.2 (Axioma de plenitud de $\R$ )

$\R$ es un campo ordenado que contiene $\Q$ en el cual every nonempty subset bounded above has a supremo.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Observación 10.3

Tomamos esto como el axioma definitorio de $\R$ ; construir un modelo (por cortes de Dedekind o por secuencias racionales de Cauchy) y demostrando su La unicidad es honesta pero larga y se deja para un estudio más profundo. Nota que $\Q$ falla la propiedad: $\{x \in \Q : x^2 < 2\}$ está limitado arriba pero no tiene menos límite superior in $\Q$ — su candidato, $\sqrt 2$ , falta (Ejemplo 1.11). Al pasar a opuestos ( $\sup(-A) = -\inf A$ ), cada conjunto no vacío delimitado a continuación tiene un ínfimo.

Proposición 10.4 (La caracterización $\varepsilon$ )

Sea $A \neq \emptyset$ el límite superior y $s \in \R$ . Entonces $s = \sup A$ si y sólo si

$s$ es un límite superior: $\forall a \in A$ , $a \leq s$ ; y
nada más pequeño es: $\forall \varepsilon > 0$ , $\exists a \in A$ , $a > s - \varepsilon$ .

Demostración. Si $s = \sup A$ : (1) se cumple por definición, y para (2), $s - \varepsilon < s$ no es un límite superior, que es exactamente el existencia de $a > s - \varepsilon$ . Por el contrario, (1) dice $s$ es un límite superior; (2) dice que no $t < s$ es un límite superior (tome $\varepsilon = s - t$ ): $s$ es el menos. ∎

Ejemplo 10.5

$\sup \intoo{0}{1} = 1$ , no alcanzado (sin máximo); $\sup \intcc{0}{1} = 1 = \max$ . Para $A = \{1 - \frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\sup A = 1$ , no alcanzado; $\inf A = \min A = 0$ . Un máximo, cuando existe, es el supremo; El objetivo de $\sup$ es tener un sustituto cuando el máximo no existe.

El conjunto A = \1 - 1n : n ∈ ℕ*\ en el número Línea: sus puntos se acumulan hacia 1 sin llegar a ella. cada El número ≥ 1 es un límite superior (el rayo), y nada más pequeño. es, porque un elemento de A ingresa a cada intervalo (1 - , 1): las dos cláusulas de en una imagen. El supremo es el punto final izquierdo del rayo de límites superiores — y la integridad El axioma es precisamente la garantía de que este rayo siempre tiene un lado izquierdo. punto final. — El conjunto $A = \{1 - \frac1n : n \in \N^*\}$ en el número Línea: sus puntos se acumulan hacia $1$ sin llegar a ella. cada El número $\geq 1$ es un límite superior (el rayo), y nada más pequeño. es, porque un elemento de $A$ ingresa a cada intervalo $\intoo{1 - \varepsilon}{1}$ : las dos cláusulas de Proposición 10.4 en una imagen. El supremo es el punto final izquierdo del rayo de límites superiores — y la integridad El axioma es precisamente la garantía de que este rayo siempre tiene un lado izquierdo. punto final.

Ejemplo 10.6 (Suprema informática en la práctica.)

Dos entrenamientos completos de Proposición 10.4.

The conjunto $A = \{x + \frac1x : x > 0\}$ . Por cada $x > 0$ , $x + \frac1x - 2 = \frac{(\,\sqrt x - 1/\sqrt x\,)^2}{1} \geq 0$ , entonces $2$ es un límite inferior; y $2 = 1 + \frac11 \in A$ : por lo tanto $\inf A = \min A = 2$ , obtenido en $x = 1$ . Arriba, $A$ es ilimitado ( $x + \frac1x > x$ puede exceder cualquier $M$ en Teorema 10.10): $\sup A$ no existe en $\R$ (es $+\infty$ en $\overline\R$ ).

The conjunto $B = \bigl\{\frac{m}{m + n} : m, n \in \N^*\bigr\}$ . Cada elemento se encuentra en $\intoo{0}{1}$ , por lo que $0$ y $1$ son límites. Ninguno de los dos se logra: $\frac{m}{m+n} = 1$ sería fuerza $n = 0$ . Para supremo, congele $n = 1$ y deje que $m$ crezca: $\frac{m}{m+1} = 1 - \frac{1}{m+1} > 1 - \varepsilon$ tan pronto como $m + 1 > \frac1\varepsilon$ (Arquímedes): $\sup B = 1$ . Simétricamente ( $m = 1$ , $n$ grande), $\inf B = 0$ . el cierre Información: para anclar un supremo, basta con un un parámetro camino bien elegido dentro del conjunto — aquí la ruta $n = 1$ — y la caracterización $\varepsilon$ no pide nada más.

Ejemplo 10.7 (El espejo íntimo)

El ínfimo tiene su propia caracterización $\varepsilon$ , obtenida desde Proposición 10.4 hasta $\inf A = -\sup(-A)$ : $i = \inf A$ si $i$ limita $A$ a continuación y, para cada $\varepsilon > 0$ , algunos $a \in A$ tienen $a < i + \varepsilon$ . un entrenar con ambos límites a la vez: deja

A = \Bigl\{(-1)^n + \frac1n : n \in \N^*\Bigr\} = \Bigl\{0,\ \tfrac32,\ -\tfrac23,\ \tfrac54,\ -\tfrac45,\ \dots\Bigr\} .

Incluso los índices dan $1 + \frac1n \leq \frac32$ , con igualdad en $n = 2$ : dado que también los valores del índice impar son $\leq 0 < \frac32$ , obtenemos $\sup A = \max A = \frac32$ . Los índices impares dan $-1 + \frac1n > -1$ , decreciente hacia $-1$ : cada elemento de $A$ es $> -1$ , y $-1 + \varepsilon$ es superado por $-1 + \frac1n$ por $n > \frac1\varepsilon$ impar: $\inf A = -1$ , no alcanzado. Un conjunto, los cuatro comportamientos en pantalla: un supremo eso es un máximo, un ínfimo que no es un mínimo.

Observación 10.8 (Errores comunes con sup e inf)

Cuatro errores representan la mayoría de los puntos perdidos. (i) Confusing $\sup$ and $\max$ : $\sup A$ no necesita pertenecer a $A$ ; escribe $\max$ solo después de exhibir un elemento de $A$ que es un límite superior. (ii) Passing strict inequalities to the supremo: si $a < b$ para todos los $a \in A$ , sólo se puede concluir $\sup A \leq b$ — testigo $A = \intoo{0}{1}$ , $b = 1$ . (iii) Writing $\sup A$ before checking legality: el símbolo requiere $A$ no vacío y acotado arriba (Método 10.18); $\sup \emptyset$ y $\sup \N$ no están definidos en $\R$ (las convenciones de $\overline\R$ son un acto separado y explícito). (iv) conjunto operaciones: $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ siempre, pero nada general es válido para $A \cap B$ — puede estar vacío y incluso cuando no lo es, $\sup(A \cap B)$ puede estar muy por debajo $\min(\sup A, \sup B)$ : tome $A = \{0, 2\}$ y $B = \{0, 3\}$ , donde $\sup(A \cap B) = 0$ .

Ejemplo 10.9 (Los conjuntos finitos tienen máximos — una lema usada silenciosamente)

Cada $F \subseteq \R$ finito no vacío tiene un máximo (y un mínimo). Inducción sobre el número de elementos: un singleton $\{a\}$ tiene $\max = a$ ; si el reclamo es válido para $n$ -elemento conjuntos y $F$ tiene elementos $n + 1$ , elija cualquier $a \in F$ : conjunto $F \setminus \{a\}$ tiene un máximo de $m$ y $\max F$ es $m$ si es $a \leq m$ ; en caso contrario, $a$ . No hay integridad involucrada — esto es puro pedido más inducción, válido ya en $\Q$ — aún el lema merece un enunciado honesto porque las próximas pruebas invocan silenciosamente: la construcción piso a continuación (“un conjunto de números enteros atrapado en un rango finito tiene un elemento mayor ”), cada $\max(\abs{u_0}, \dots, \abs{u_{N-1}}, \dots)$ atado Capítulo 11, cada “toma la mayor de los finitos $\delta$ ” en Capítulo 13. Infinito conjuntos son donde maxima die y suprema toman el control: este capítulo existe para caso infinito.

Teorema 10.10 (propiedad de Arquímedes)

Por cada $x \in \R$ hay $n \in \N$ con $n > x$ . Equivalentemente: para todos $\varepsilon > 0$ y $y > 0$ , algunos $n\varepsilon$ múltiples excede $y$ .

Demostración. Supongamos que no: algún $x$ es un límite superior de $\N$ . Entonces $s = \sup \N$ existe (Teorema 10.2). Por Proposición 10.4 (2) con $\varepsilon = 1$ , hay $n \in \N$ con $n > s - 1$ ; pero luego $n + 1 \in \N$ y $n + 1 > s$ , contradiciendo que $s$ es un límite superior. Para la segunda forma, let $\varepsilon > 0$ y $y > 0$ : la primera forma aplicada a $x = \frac{y}{\varepsilon}$ produce $n \in \N$ con $n > \frac{y}{\varepsilon}$ , y multiplicada por $\varepsilon > 0$ (que preserva desigualdades estrictas) da $n\varepsilon > y$ . Por el contrario, el segundo formulario con $\varepsilon = 1$ y $y = x$ recupera el primero para $x > 0$ y $n = 1$ maneja $x \leq 0$ : los dos enunciados son estrictamente equivalentes. ∎

Ejemplo 10.11 (Arquímedes en el trabajo)

Tres usos inmediatos, constantemente necesarios después. (i) No positive real is below every $\frac1n$ : si $0 < \varepsilon$ , elija $n > \frac1\varepsilon$ ; luego $\frac1n < \varepsilon$ . en En otras palabras, $\R$ no contiene infinitesimales — el informal " $\frac1n$ se vuelve arbitrariamente pequeño" es exactamente este teorema. (ii) Umbrales explícitos: ¿qué tamaño debe tener $n$ para $\frac{1}{n^2} \leq 10^{-6}$ ? Basta con que $n \geq 10^3$ — Arquímedes garantiza que tal $n$ existe, y el álgebra los localiza. (iii) Los poderes superan cualquier límite: $2^n \geq n + 1$ (inducción), por lo que por cada $M$ alguna potencia de $2$ excede a $M$ : el crecimiento geométrico utilizado para las diádicas en Ejercicio 10.8. La idea final: Arquímedes propiedad es la licencia detrás de cada frase del tipo “tomar $n$ suficientemente grande” — de ahora en adelante usamos esa frase libremente, y este ejemplo es su justificación única.

Teorema 10.12 (Función piso)

Por cada $x \in \R$ hay exactamente un número entero, el piso $\lfloor x \rfloor$ , con

\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1 .

Demostración. Existencia. El conjunto $E = \{k \in \Z : k \leq x\}$ no está vacío: por Teorema 10.10 hay $m \in \N$ con $m > -x$ , y luego $-m < x$ , entonces $-m \in E$ . Está acotado arriba (por cualquier número entero $n > x$ , que existe por el mismo motivo), por lo que al ser un conjunto de enteros atrapados en el rango finito $\intint{-m}{n}$ , tiene un elemento mayor $k = \max E$ . Luego $k \leq x$ y $k + 1 \notin E$ . significa $x < k + 1$ .

Unicidad. Si $k$ y $k'$ satisfacen las desigualdades, entonces $k \leq x < k' + 1$ da $k \leq k'$ , y simétricamente $k' \leq k$ . ∎

Ejemplo 10.13 (Pisos en la práctica)

$\lfloor 3.7 \rfloor = 3$ , $\lfloor 5 \rfloor = 5$ y $\lfloor -3.7 \rfloor = -4$ : el piso va hacia abajo, no hacia $0$ . Dos consecuencias de unicidad en Teorema 10.12 que Lo usaremos en silencio. Primero, para $n \in \Z$ ,

\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n ,

porque $\lfloor x \rfloor + n$ es un número entero que satisface los dos definiendo desigualdades para $x + n$ — y solo un número entero lo hace. En segundo lugar, $\lfloor \, \cdot \, \rfloor$ no es decreciente: si $x \leq y$ entonces $\lfloor x \rfloor \leq x \leq y < \lfloor y \rfloor + 1$ , y un número entero $< \lfloor y \rfloor + 1$ es $\leq \lfloor y \rfloor$ . Tenga en cuenta, sin embargo, que $\lfloor 2x \rfloor \neq 2\lfloor x \rfloor$ en general: $x = 0.6$ da $\lfloor 1.2 \rfloor = 1 \neq 0 = 2\lfloor 0.6 \rfloor$ .

Lo que is es cierto es una identidad trabajada que vale la pena conservar (la de Hermite, en su caso más simple): para cada $x$ real,

\lfloor x \rfloor + \Bigl\lfloor x + \frac12 \Bigr\rfloor = \lfloor 2x \rfloor .

Escribe $x = \lfloor x\rfloor + u$ con $u \in \intco{0}{1}$ y separar dos casos. Si $u < \frac12$ : el lado izquierdo es $\lfloor x\rfloor + \lfloor x\rfloor = 2\lfloor x\rfloor$ , y $2x = 2\lfloor x\rfloor + 2u$ con $2u \in \intco{0}{1}$ , entonces el derecho El lado también es $2\lfloor x\rfloor$ . Si $u \geq \frac12$ : la izquierda El lado derecho es $\lfloor x\rfloor + (\lfloor x\rfloor + 1)$ y $2u \in \intco{1}{2}$ forma el lado derecho $2\lfloor x\rfloor + 1$ . el Información final: $\lfloor x + \frac12\rfloor$ es el redondeo de $x$ al entero más cercano, por lo que la identidad dice que piso más redondeo es igual a piso del doble — y el caso dividido en la parte fraccionaria $u$ es el estándar técnica detrás de cada identidad piso (Ejercicios 10.2 y 10.3 ejecútelo también).

Teorema 10.14 (Densidad de $\Q$ y de $\R \setminus \Q$ )

Entre dos reales cualesquiera $x < y$ hay un racional y un irracional.

Demostración. Un racional. Por Teorema 10.10, elija $n \in \N^*$ con $n > \frac{1}{y - x}$ , por lo que $ny - nx > 1$ . Sea $m = \lfloor nx \rfloor + 1$ . Por un lado, $nx < \lfloor nx \rfloor + 1 = m$ (Teorema 10.12); por el otro, $m = \lfloor nx \rfloor + 1 \leq nx + 1 < ny$ . Dividiendo por $n$ : $x < \frac mn < y$ .

Un irracional. Aplique el punto anterior al par $x - \sqrt 2 < y - \sqrt 2$ : entre ellos hay algún $q$ racional, y luego $q + \sqrt 2 \in \intoo{x}{y}$ es irracional (si $q + \sqrt 2$ fuera racional, así sería $\sqrt 2$ ). ∎

Ejemplo 10.15 (Ejecutando la prueba de densidad)

La prueba es un algoritmo; Ejecutémoslo en $x = 1.414$ y $y = \sqrt 2$ . Desde $1.4142^2 = 1.99996164 < 2$ , tenemos $\sqrt 2 > 1.4142$ , entonces $y - x > 0.0002$ y $\frac{1}{y - x} < 5000$ : el La elección $n = 5000$ es legítima. Entonces $nx = 7070$ , entonces $m = \lfloor 7070 \rfloor + 1 = 7071$ , y el racional producido es

\frac{m}{n} = \frac{7071}{5000} = 1.4142, \qquad 1.414 < 1.4142 < \sqrt 2 .

La idea final: la prueba necesita $n$ solo un poco más grande que $\frac{1}{y-x}$ y devuelve el primer múltiplo de $\frac 1n$ . más allá de $x$ . La densidad no es un milagro abstracto: es larga. División disfrazada, un tema desarrollado extensamente durante el fin de semana. problema (Problema 10.1).

Observación 10.16 (A continuación se utiliza la integridad)

Teorema 10.2 es el único axioma no algebraico de este libro, y todo teorema de análisis de existencia es ese axioma usar ropa diferente: el teorema de convergencia monótona (Capítulo 11), el teorema de Bolzano-Weierstrass (Capítulo 12), el valor intermedio y el valor extremo teoremas (Capítulo 13), y la definición misma del integral como supremo de sumas inferiores (Capítulo 15). El volumen del año 3 desarrolla la teoría de la medida y los espacios de Hilbert en el mismo axioma único. Cuando una prueba en los próximos capítulos produzca una número real surgido de la nada, busque el supremo oculto.

Observación 10.17 (Entre discreción y densidad)

$\Z$ y $\Q$ se sientan en extremos opuestos dentro de $\R$ : alrededor de cada uno entero hay un espacio de longitud $1$ que no contiene ningún otro (discreción — esto es lo que hace que piso esté bien definido), mientras que entre dos reales cualesquiera hay infinitos racionales (densidad). Sorprendentemente, para additive subgrupos de $\R$ no hay nada intermedio: Ejercicio 10.9 demuestra que tal subgrupo tiene la forma $\alpha\Z$ (discreta) o denso — una dicotomía que potencia la densidad de $\{\sin n\}$ en Capítulo 11 y el monstruo constructivo de Problema 13.1. General conjuntos, por supuesto, mezclar el comportamientos libremente: $\Z \cup \Q\cap\intcc{0}{1}$ es discreto hasta ahora lejos y denso en el medio.

Método 10.18 (Demostración de igualdades con sup e inf)

Para probar $\sup A = s$ : verifique que $s$ limite $A$ arriba, luego produzca, para cada $\varepsilon > 0$ (o para una secuencia $\varepsilon = \frac 1n$ ), un elemento de $A$ encima de $s - \varepsilon$ . Para comparar suprema, uso: $A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B$ ; y para todos $a, b$ : $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ , donde $A + B = \{a + b\}$ (Ejercicio 10.5). Nunca escriba $\sup A$ antes de saber que $A$ es no vacío y acotado arriba.

10.2 Intervalos

Proposición 10.19 (Caracterización de intervalos)

Un subconjunto $I \subseteq \R$ es un intervalo (uno de los tipos familiares $\intoo{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , medias líneas, $\R$ , $\emptyset$ , singletons) si y sólo si es convexo:

\forall x, y \in I,\ \forall z \in \R, \quad x \leq z \leq y \implies z \in I .

Demostración. Cada tipo enumerado es claramente convexo. Por el contrario, sea $I$ convexo y no vacío. Configure $a = \inf I$ si $I$ está limitado a continuación; de lo contrario, $a = -\infty$ ; igualmente $b = \sup I$ o $+\infty$ . Reclamamos $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ (con convenciones obvias en $\pm\infty$ ). La segunda inclusión es la definición de límites. Para el primero, sea $z \in \intoo{a}{b}$ : desde $z > a$ , $z$ no es un límite inferior (o $a = -\infty$ ), por lo que algún $x \in I$ tiene $x < z$ ; de manera similar, algunos $y \in I$ tienen $y > z$ ; la convexidad pone $z \in I$ .

Queda por leer el tipo de la doble inclusión. $\intoo{a}{b} \subseteq I \subseteq \intcc{a}{b}$ : el conjuntos apretado entre un intervalo abierto y su cierre difieren de $\intoo{a}{b}$ sólo por la presencia o ausencia del (finito) puntos finales. Explícitamente: si $a, b \in \R$ , las cuatro posibilidades para $(a \in I,\ b \in I)$ dé $\intoo{a}{b}$ , $\intco{a}{b}$ , $\intoc{a}{b}$ , $\intcc{a}{b}$ (incluidos los casos degenerados $a = b$ : singleton si $a \in I$ ); si $a = -\infty$ y $b \in \R$ , se obtiene $\intoo{-\infty}{b}$ o $\intoc{-\infty}{b}$ ; simétricamente para $a \in \R$ , $b = +\infty$ ; y $a = -\infty$ , $b = +\infty$ da $I = \R$ . Cada caso está en la lista: hecho. ∎

Observación 10.20 (Por qué la convexidad es la prueba correcta)

La proposición convierte una definición geométrico (una lista de diez formas) en una prueba lógica de una línea, y la prueba es lo que uno realmente usa: para demostrar que un conjunto es un intervalo, nunca persigas cuál de las diez formas es — verifica la convexidad y dejemos que la proposición determine el tipo. el intermedio El teorema del valor de Capítulo 13 se expresará exactamente. de esta manera ("la imagen continua de un intervalo es una intervalo”), y su prueba produce la convexidad, no la forma.

Observación 10.21 (Línea real extendida)

Es conveniente unir dos símbolos y trabajar en $\overline\R = \R \cup \{-\infty, +\infty\}$ , con las convenciones $\sup A = +\infty$ cuando $A$ no está limitado arriba y $\sup \emptyset = -\infty$ . entonces El subconjunto cada de $\R$ tiene un supremo en $\overline\R$ — a comodidad de notación utilizada libremente para límites en Capítulo 11.

Ejemplo 10.22 (Computando en $\overline\R$ )

Con los convenios vigentes: $\sup \Z = +\infty$ , $\inf \Z = -\infty$ ; para $A = \{n + (-1)^n n : n \in \N\} = \{0, 4, 0, 8, \dots\} \cup \{0\}$ , $\sup A = +\infty$ (los términos pares $2n$ son ilimitado) y $\inf A = \min A = 0$ ; y $\sup\emptyset = -\infty \leq \inf\emptyset = +\infty$ — el conjunto cuyo supremo es menor que ínfimo, un recordatorio de que el Se eligen convenciones para hacer que $\sup$ aumente y $\inf$ disminuyendo con respecto a la inclusión:

A \subseteq B \implies \sup A \leq \sup B \quad\text{and}\quad \inf A \geq \inf B ,

ahora válido sin advertencia de no vacío. Qué hacen las convenciones no proporciona es aritmética: $+\infty + (-\infty)$ y $0 \times (+\infty)$ permanecen indefinidos, y cada algebraica La manipulación de la suprema debe primero comprobar que nunca los forma. La línea extendida es la contabilidad, no un sistema numérico.

Ejemplo 10.23 (El supremo que escapó $\Q$ )

Regrese al conjunto del comentario inicial, $A = \{x \in \Q : x^2 < 2\}$ , y calcule su supremo in $\R$ . no esta vacio ( $1 \in A$ ) y delimitado arriba por $1.5$ (si $x > 1.5$ entonces $x^2 > 2.25 > 2$ ), por lo que $s = \sup A$ existe. Reclamamos $s = \sqrt 2$ (el número real construido en Ejercicio 10.12). límite superior: cada $a \in A$ satisface $a < \sqrt2$ — para $a \leq 0$ esto es claro, y para $a > 0$ , $a \geq \sqrt2$ daría $a^2 \geq 2$ . Nada más pequeño funciona: dado $t < \sqrt2$ , densidad (Teorema 10.14) proporciona un $q$ racional con $\max(1, t) < q < \sqrt 2$ , y luego $q^2 < 2$ , entonces $q \in A$ excede $t$ . Por Proposición 10.4, $s = \sqrt2 \notin \Q$ . La idea final: el supremo de un conjunto de los racionales no necesitan ser racionales: la integridad es precisamente la promete que $\R$ , a diferencia de $\Q$ , nunca deja escapar un supremo; Este ejemplo es el comentario inicial del capítulo, ahora demostrado. en lugar de señalar.

Observación 10.24 (Perspectivas dentro de este volumen)

Las tres herramientas del capítulo tienen distintas carreras por delante. el supremo ejecuta la mitad del análisis: límites monótonos (Capítulo 11), la definición misma de la integral (Capítulo 15), y, en la geometría de Capítulo 23, la distancia de un punto a un subespacio — un ínfimo que la proyección ortogonal se convierte en un mínimo. el función de piso regresa donde lo discreto se encuentra con lo continuo: expansiones de dígitos (el problema del fin de semana de este capítulo), Aproximación del casillero de Dirichlet (Problema 14.1), comparaciones integrales de sumas (Capítulo 17). Los argumentos de densidad se actualizan a un método. en Capítulo 13: una identidad de funciones continuas necesita verificación solo en $\Q$ — la mitad de la funcionalidad de Cauchy La ecuación (Problema 13.1) es exactamente ese movimiento. cuando en duda sobre dónde obtiene su existencia una prueba en este volumen enunciados, la respuesta casi siempre es: este capítulo.

10.3 Ceremonias

Ejercicio 10.1 ★

Determinar (con pruebas) sup, inf, max, min — cuando existen — de:

A = \Bigl\{\frac{1}{n} : n \in \N^*\Bigr\}, \qquad B = \Bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\Bigr\}, \qquad C = \{x \in \R : x^2 < 3\}.

Solución

Solución de Ejercicio 10.1.

$A$ : cada elemento es $\leq 1$ y $1 \in A$ : $\sup A = \max A = 1$ . Límites inferiores: $0$ límites inferiores; para $\varepsilon > 0$ , Arquímedes proporciona $n$ con $\frac 1n < \varepsilon$ , por lo que no hay un número positivo límites $A$ a continuación: $\inf A = 0$ , no alcanzado (sin mínimo).

$B$ : términos $0, -\frac12, \frac23, -\frac34, \frac45, \dots$ El par los términos $\frac{n}{n+1}$ ( $n$ par) aumentan a $1$ sin llegar a él; los términos impares $-\frac{n}{n+1}$ disminuyen a $-1$ . Entonces $\sup B = 1$ y $\inf B = -1$ , ninguno alcanzado: ni máximo, ni mínimo. (Límites: $\abs{b} < 1$ para todos los $b \in B$ ; y $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1} > 1 - \varepsilon$ para $n$ grandes, de manera similar a continuación).

$C = \intoo{-\sqrt 3}{\sqrt 3}$ : $\sup C = \sqrt 3$ , $\inf C = -\sqrt 3$ , ninguno alcanzado.

Ejercicio 10.2 ★

Demuestre que para todos los $x, y \in \R$ : $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor \leq \lfloor x + y \rfloor \leq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ , y que se alcanzan ambos límites.

Solución

Solución de Ejercicio 10.2.

Escribe $x = \lfloor x \rfloor + u$ , $y = \lfloor y \rfloor + v$ con $u, v \in \intco{0}{1}$ . Luego $x + y = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + (u + v)$ con $u + v \in \intco{0}{2}$ . Si $u + v < 1$ , $\lfloor x + y\rfloor = \lfloor x\rfloor + \lfloor y \rfloor$ ; si $1 \leq u + v < 2$ , $\lfloor x+y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + 1$ . Se dan ambos casos: $(x, y) = (0.2,\, 0.3)$ da la igualdad izquierda, $(0.7,\, 0.8)$ la derecha.

Ejercicio 10.3 ★

Demuestre que para cada $x \in \R$ y $n \in \N^*$ : $\Bigl\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \Bigr\rfloor = \lfloor x \rfloor$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.3.

Sea $k = \lfloor x \rfloor$ , entonces $k \leq x < k + 1$ . Multiplicando por $n$ : $nk \leq nx < nk + n$ , y tomando pisos (un aumento operación del lado de los números enteros): $nk \leq \lfloor nx \rfloor \leq nk + n - 1$ . Dividiendo por $n$ : $k \leq \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} < k + 1$ , entonces el piso externo es $k$ .

Ejercicio 10.4 ★

Sean $A \subseteq B$ subconjuntos no vacíos de $\R$ , $B$ acotados. probar $\inf B \leq \inf A \leq \sup A \leq \sup B$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.4.

Cada elemento de $A$ está en $B$ , por lo que $\sup B$ limita a $A$ arriba: por lo tanto $\sup A \leq \sup B$ ( $\sup A$ es el el menos superior atado). Simétricamente $\inf B \leq \inf A$ . Finalmente $\inf A \leq \sup A$ porque $A$ no está vacío: cualquier $a \in A$ se encuentra entre ellos.

Ejercicio 10.5 ★★

Para $A, B \subseteq \R$ delimitado no vacío, defina $A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}$ y $-A = \{-a : a \in A\}$ . Demostrar:

\sup(A + B) = \sup A + \sup B, \qquad \sup(-A) = -\inf A .

Solución

Solución de Ejercicio 10.5.

Sea $s = \sup A$ , $t = \sup B$ . Cada $a + b \leq s + t$ : superior atado. Para $\varepsilon > 0$ , elija $a > s - \frac\varepsilon2$ y $b > t - \frac\varepsilon2$ (Proposición 10.4): luego $a + b > s + t - \varepsilon$ . Según la caracterización $\varepsilon$ , $\sup(A+B) = s + t$ .

Para $-A$ : $m$ limita $-A$ arriba $\iff$ $-m$ limita $A$ abajo; el mínimo límite superior de $-A$ corresponde por lo tanto al mayor inferior cota de $A$ : $\sup(-A) = -\inf A$ .

Ejercicio 10.6 ★★

Sean $f, g \colon E \to \R$ funciones acotadas. probar

\sup_{x \in E}\, \bigl(f(x) + g(x)\bigr) \leq \sup_{x \in E} f(x) + \sup_{x \in E} g(x),

y dé un ejemplo donde la desigualdad sea estricta. ¿Por qué esto no contradice Ejercicio 10.5?

Solución

Solución de Ejercicio 10.6.

Por cada $x$ : $f(x) + g(x) \leq \sup f + \sup g$ ; tomando la cena de el lado izquierdo da la desigualdad. Ejemplo estricto: $E = \{0, 1\}$ , $f = \mathbf{1}_{\{0\}}$ (valor $1$ en $0$ , en caso contrario $0$ ), $g = \mathbf{1}_{\{1\}}$ : $\sup(f + g) = 1 < 2 = \sup f + \sup g$ .

No hay contradicción con Ejercicio 10.5: allí, $a \in A$ y $b \in B$ varían independientemente; aquí el mismo $x$ alimenta a ambos $f$ y $g$ — el conjunto $\{f(x) + g(x) : x \in E\}$ es más pequeño que el establezca $\{f(x) + g(y) : x, y \in E\}$ .

Ejercicio 10.7 ★★

Demuestre que $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es irracional. (Square it and use the irrationality of $\sqrt 6$ , to be proved via Ejercicio 6.7.)

Solución

Solución de Ejercicio 10.7.

$\sqrt 6$ es irracional: $6 = 2 \times 3$ no es un cuadrado perfecto, y $v_2(6q^2) = 1 + 2v_2(q)$ impar previene $6q^2 = r^2$ (como en Ejercicio 6.7). Ahora supongamos $x = \sqrt 2 + \sqrt 3 \in \Q$ . Entonces $x^2 = 5 + 2\sqrt 6 \in \Q$ , entonces $\sqrt 6 = \frac{x^2 - 5}{2} \in \Q$ : contradicción. Por lo tanto $\sqrt 2 + \sqrt 3 \notin \Q$ .

Ejercicio 10.8 ★★

Demuestre que el conjunto $D = \bigl\{\frac{m}{2^n} : m \in \Z,\ n \in \N\bigr\}$ de racionales diádicos es denso en $\R$ : entre dos cualesquiera En lo real se encuentra un racional diádico.

Solución

Solución de Ejercicio 10.8.

Sea $x < y$ . Elija $n \in \N$ con $2^n > \frac{1}{y - x}$ (Arquímedes: $2^n \geq n + 1$ por una fácil inducción, por lo que parte de la potencia de $2$ excede cualquier real). Entonces, como en la prueba de Teorema 10.14 con $2^n$ en lugar de $n$ : $m = \lfloor 2^n x \rfloor + 1$ satisface $x < \frac{m}{2^n} < y$ . Entonces $D$ es denso.

Ejercicio 10.9 ★★★

Sea $G$ un subgrupo de $(\R, +)$ con $G \neq \{0\}$ . Configure $\alpha = \inf\,(G \cap \intoo{0}{+\infty})$ . Demostrar:

si $\alpha > 0$ , entonces $G = \alpha\Z$ ;
si $\alpha = 0$ , entonces $G$ es denso en $\R$ .

Deduzca que $\Z + \sqrt 2\,\Z$ es denso en $\R$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.9.

Supongamos $\alpha > 0$ . Primero, $\alpha \in G$ . Supongamos que no: por la caracterización $\varepsilon$ del ínfimo con $\varepsilon = \alpha$ , hay $g \in G$ con $\alpha < g < 2\alpha$ (estricto a la izquierda desde $\alpha \notin G$ ); entonces, con $\varepsilon = g - \alpha$ , hay $h \in G$ con $\alpha < h < g$ . Ahora $g - h \in G$ y $0 < g - h < g - \alpha < \alpha$ : un elemento de $G \cap \intoo{0}{+\infty}$ debajo de su ínfimo, absurdo. Entonces $\alpha \in G$ y $\alpha\Z \subseteq G$ ( $G$ es grupo). Por el contrario, para $x \in G$ , sea $k = \lfloor x/\alpha \rfloor$ : luego $x - k\alpha \in G$ y $0 \leq x - k\alpha < \alpha$ y la definición de $\alpha$ fuerzas $x - k\alpha = 0$ . Por lo tanto $G = \alpha\Z$ .
Supongamos $\alpha = 0$ y dejemos que $x < y$ . Hay $g \in G$ con $0 < g < y - x$ . El múltiple $kg$ con $k = \lfloor x/g \rfloor + 1$ satisface $x < kg \leq x + g < y$ y $kg \in G$ : densidad.

$G = \Z + \sqrt 2\,\Z$ es un subgrupo de $(\R, +)$ . no es del formulario $\alpha\Z$ : en caso contrario $1 = p\alpha$ y $\sqrt 2 = q\alpha$ ( $p, q \in \Z$ ) daría $\sqrt 2 = \frac qp \in \Q$ , contradicción. Por dicotomía, $G$ es denso en $\R$ .

Ejercicio 10.10 ★★★

Para $A, B$ conjuntos no vacío de reales positivos, sea $AB = \{ab : a \in A, b \in B\}$ . Demuestre $\sup(AB) = \sup A \cdot \sup B$ (caso acotado), y mostrar con el ejemplo que la positividad es fundamental.

Solución

Solución de Ejercicio 10.10.

Sea $s = \sup A > 0$ , $t = \sup B > 0$ . Para $a \in A$ , $b \in B$ : $ab \leq st$ (multiplicando desigualdades entre números positivo). Para $0 < \varepsilon < \min(s, t)$ : elija $a > s - \varepsilon$ y $b > t - \varepsilon$ ; entonces

ab > (s - \varepsilon)(t - \varepsilon) = st - \varepsilon(s + t) + \varepsilon^2 > st - \varepsilon (s + t),

y $\varepsilon(s+t)$ se pueden hacer arbitrariamente pequeños: por el $\varepsilon$ -caracterización (en la forma: sin número $< st$ límites $AB$ arriba), $\sup AB = st$ .

La positividad es fundamental: $A = B = \{-1, 0\}$ da $AB = \{0, 1\}$ , $\sup AB = 1$ , mientras que $\sup A \cdot \sup B = 0 \times 0 = 0$ .

Ejercicio 10.11 ★★

Para un $A \subseteq \R$ acotado no vacío, defina el diámetro

\operatorname{diam} A = \sup\,\{\abs{a - a'} : a, a' \in A\} .

Demuestre que $\operatorname{diam} A = \sup A - \inf A$ , y que $\intcc{\inf A}{\sup A}$ es el intervalo cerrado más pequeño. que contiene $A$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.11.

Escriba $s = \sup A$ , $i = \inf A$ . Para $a, a' \in A$ : $a \leq s$ y $a' \geq i$ dan $a - a' \leq s - i$ ; por simetría $\abs{a - a'} \leq s - i$ , por lo que $s - i$ limita el conjunto de los espacios anteriores. Para $\varepsilon > 0$ , elija $a > s - \frac\varepsilon2$ y $a' < i + \frac\varepsilon2$ (Proposición 10.4 y su espejo para ínfimo): luego $\abs{a - a'} \geq a - a' > s - i - \varepsilon$ . Según la caracterización $\varepsilon$ , $\operatorname{diam} A = s - i$ .

Cada $a \in A$ satisface $i \leq a \leq s$ , por lo que $A \subseteq \intcc{i}{s}$ , un intervalo cerrado de longitud $\operatorname{diam} A$ . Si un intervalo $\intcc{u}{v}$ cerrado contiene $A$ , entonces $v$ es un límite superior y $u$ un límite inferior de $A$ , por lo que $u \leq i$ y $v \geq s$ : $\intcc{i}{s} \subseteq \intcc{u}{v}$ . Por lo tanto $\intcc{i}{s}$ es el más pequeño.

Ejercicio 10.12 ★★★

Sean $y > 0$ y $E = \{x \geq 0 : x^2 \leq y\}$ . Demuestre que $E$ es no vacío y acotado arriba, y que $s = \sup E$ satisface $s^2 = y$ (rule out $s^2 < y$ and $s^2 > y$ by exhibiting, in each case, a small $h > 0$ contradicting the definition of the supremo). Deduzca que cada $y > 0$ tiene una raíz cuadrada única $\sqrt y > 0$ y que $y \mapsto \sqrt y$ está aumentando en $\intoo{0}{+\infty}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 10.12.

$0 \in E$ , entonces $E \neq \emptyset$ . Si $x > \max(1, y)$ entonces $x^2 > x > y$ , entonces $E$ está limitado arriba por $\max(1, y)$ : $s = \sup E$ existe (Teorema 10.2) y $s \geq \min(1, y) > 0$ porque $\min(1, y) \in E$ : efectivamente si $y \geq 1$ entonces $1^2 = 1 \leq y$ , y si $y < 1$ entonces $y^2 < y$ .

$s^2 < y$ es imposible. Elija $0 < h < 1$ con $h < \frac{y - s^2}{2s + 1}$ . entonces

(s + h)^2 = s^2 + 2sh + h^2 \leq s^2 + (2s + 1)h < y ,

entonces $s + h \in E$ , lo que contradice que $s$ limita a $E$ arriba.

$s^2 > y$ es imposible. Elija $0 < h < s$ con $h < \frac{s^2 - y}{2s}$ . Entonces $(s - h)^2 = s^2 - 2sh + h^2 > s^2 - 2sh > y$ ; cada $x \in E$ satisface $x^2 \leq y < (s - h)^2$ , por lo tanto $x < s - h$ (ambos son $\geq 0$ ): $s - h$ es un límite superior de $E$ más pequeño que $s$ , lo que contradice la mínima.

Por lo tanto $s^2 = y$ . Unicidad: si $0 < s < s'$ entonces $s^2 < s'^2$ , entonces dos raíces positivas distintas no pueden cuadrar ambas con $y$ . Monotonicidad: si $0 < y < y'$ , entonces $\sqrt y \neq \sqrt{y'}$ , y $\sqrt y > \sqrt{y'}$ daría $y > y'$ elevando al cuadrado: entonces $\sqrt y < \sqrt{y'}$ .

10.4 Problema: expansiones de dígitos y el ritmo de los racionales

Problema 10.1

Problema de fin de semana — $b$ -expansiones adic: existencia, unicidad y periodicidad caracterizan a $\Q$

Cada real en $\intco{0}{1}$ tiene una expansión de dígitos en cada base. $b \geq 2$ ; la expansión es única una vez que se arrastran las cuerdas del dígitos $b - 1$ están prohibidos; y eventualmente es periódico exactamente cuando el número es racional. Este problema prueba los tres hechos. solo desde el axioma de completitud — sin secuencias, sin series: sólo el supremo, el propiedad de Arquímedes y el función de piso — y cierra con el argumento diagonal de Cantor en forma de dígitos. En todo momento, $b \geq 2$ es un número entero fijo (el base), un dígito es un elemento de $\intint{0}{b-1}$ y un dígito la cadena $(d_n)_{n \geq 1}$ es adecuado cuando no lo es eventualmente igual a $b - 1$ (es decir: por cada $N$ hay $n > N$ con $d_n \leq b - 2$ ).

Parte I — Digits by hand. División larga de $p$ por $q$ en base $b$ : multiplicar el resto actual por $b$ , dividir por $q$ , registre el cociente como el siguiente dígito, conserve el resto.

En la base $10$ , ejecute el algoritmo en $\frac 18$ y en $\frac 17$ , registrando en cada paso el dígito y el resto. Compruebe que los restos de $\frac 17$ recorrer $1, 3, 2, 6, 4, 5$ y que los dígitos $142857$ luego repite para siempre.
Calcular las expansiones base- $2$ de $\frac 13$ y de $\frac{5}{16}$ y la expansión base- $3$ de $\frac 12$ . Observe: un número termina, los otros dos se repiten — y $\frac 12$ , tan manso en base $10$ , se repite para siempre en base $3$ .
Para $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ en términos más bajos, mostrar que los dígitos producidos por el algoritmo eventualmente sean todos $0$ si y sólo si el resto $b^N p \bmod q$ desaparece para algunos $N$ , si y solo si $q$ divide algunos potencia $b^N$ , si y sólo si cada factor primo de $q$ divide $b$ . Verificar: $\frac{1}{20}$ termina en base $10$ , no en la base $3$ .
Defina truncamiento $s_n = \lfloor b^n x \rfloor / b^n$ . Para $x = \sqrt 2$ y $b = 10$ , calcule $s_0, \dots, s_4$ verificando en cada paso que dos cuadrados consecutivos se extienden a horcajadas sobre $2$ (por ejemplo, $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ ), y verifique $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ cada vez.

Parte II — Existence, from the supremo. Arreglar $x \in \intco{0}{1}$ y configure $A_n = \lfloor b^n x \rfloor$ y $d_n = A_n - b\,A_{n-1}$ para $n \geq 1$ .

Mostrar $A_0 = 0$ y $b\,A_{n-1} \leq A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ ; Concluya que cada $d_n$ es un dígito.
Mostrar que $s_n := A_n b^{-n}$ satisface

$s_n = \sum_{k=1}^{n} d_k\,b^{-k} \qquad\text{and}\qquad s_n \leq x < s_n + b^{-n} .$
Demuestre $b^n \geq n + 1$ por inducción, luego demuestre que $(s_n)$ es no decreciente y que $x = \sup_n s_n$ (use Proposición 10.4 and Teorema 10.10).
Demuestre que la cadena $(d_n)$ es correcta: si $d_k = b - 1$ para todo $k > N$ , calcule $s_n$ para $n > N$ por un número finito suma geométrica y contradice la pregunta 6.
Por el contrario, sea $(e_n)_{n \geq 1}$ cualquier dígito adecuado. cadena y $t_n = \sum_{k=1}^n e_k b^{-k}$ . Demuestre que $y = \sup_n t_n$ existe, se encuentra en $\intco{0}{1}$ y satisface $t_n \leq y < t_n + b^{-n}$ por cada $n$ (for the strict inequality, use a digit $e_m \leq b - 2$ with $m > n$ ). Deduzca $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ , entonces que los dígitos de $y$ , en el sentido de pregunta 5, son exactamente los $e_n$ .

Parte III — Uniqueness, order, shift.

Reúna las preguntas 5 a 9 en $b$ -expansión ádica teorema: aplicaciones $x \mapsto (d_n)$ y $(e_n) \mapsto \sup_n t_n$ son biyecciones mutuamente inversas entre $\intco{0}{1}$ y conjunto de cadenas de dígitos adecuadas. en En particular, no hay dos cadenas propias distintas que tengan el mismo valor.
Ahora permitir cadenas inadecuadas. Muestre que una cadena con $e_n = b - 1$ para todos los $n > M$ (con $M \geq 0$ mínimo) tiene valor $t_M + b^{-M}$ ; concluir que $0.999\dots = 1$ en base $10$ , y que los reales de dos cifras las representaciones son exactamente las fracciones $b$ -ádicas $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ — cada otro real acaba de uno, incluso entre cadenas inadecuadas.
Demuestre que la biyección de la pregunta 10 es preservación del orden del orden lexicográfico: si el las cadenas adecuadas de $x$ y $y$ primero difieren en el índice $m$ , entonces $x < y$ si y sólo si $d_m < e_m$ .
(lema de cambio) Sea $x \in \intco{0}{1}$ tenga dígitos $(d_n)$ . Demuestre que la parte fraccionaria de $bx$ tiene dígitos $(d_{n+1})_{n \geq 1}$ (compute $\lfloor b^n(bx - A_1)\rfloor$ using $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ for integer $K$ ), y deducir por inducción que la parte fraccionaria de $b^m x$ tiene dígitos $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ .

Parte IV — Rationality is periodicity. Sea $x = \frac pq \in \intco{0}{1}$ en términos más bajos y $r_n = b^n p \bmod q$ el resto de la división euclidiana de $b^n p$ por $q$ .

Mostrar $A_n = \dfrac{b^n p - r_n}{q}$ y $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ .
Mostrar $d_n = \Bigl\lfloor \dfrac{b\,r_{n-1}}{q} \Bigr\rfloor$ : cada dígito es función del anterior resto solo. Esta es exactamente la larga división de Parte I.
Aplicar el principio del casillero (Corolario 2.3) a $r_0, \dots, r_q$ y concluimos: la expansión de todo racional es eventualmente periódico, con preperíodo y período como máximo $q$ .
Por el contrario, supongamos que los dígitos de $y \in \intco{0}{1}$ son puramente periódicos: $d_{n+T} = d_n$ para todos los $n \geq 1$ . Usando el lema de desplazamiento y la unicidad de pregunta 10, muestra que la parte fraccionaria de $b^T y$ es igual a $y$ , y deducir $(b^T - 1)\,y \in \N$ : por lo tanto $y$ es racional con denominador dividiendo $b^T - 1$ . Verificar el mecanismo en $0.(142857)$ : $142857 \times 7 = 999999$ .
Trate el caso eventualmente periódico cambiando y establezca el criterio de periodicidad: $x \in \intco{0}{1}$ es racional si y sólo si su expansión $b$ -ádica adecuada es eventualmente periódico — en una base si y solo si en todos.
Para $x = \frac 1q$ con $\gcd(q, b) = 1$ , muestre que el la expansión es puramente periódica y que su período mínimo es lo menos $T \geq 1$ con $b^T \equiv 1 \pmod q$ (el orden multiplicativo de $b$ módulo $q$ ). Compruébalo para $q = 7$ , $b = 10$ las potencias de $10$ módulo $7$ se ejecutan hasta $3, 2, 6, 4, 5, 1$ : pedido $6$ , pregunta coincidente 1.

Part V — Dividends and the diagonal.

Sea $x^*$ el real de $\intco{0}{1}$ cuya base- $10$ los dígitos son $1$ en las posiciones triangulares $\frac{j(j + 1)}{2}$ ( $j \geq 1$ ) y $0$ en otros lugares: $x^* = 0.101001000100001\dots$ Demuestre que su cadena de dígitos es (un periodo $T$ forzaría a unos en brechas como máximo $T$ , pero las brechas crecen) adecuado pero no eventualmente periódico, y concluir que $x^*$ es irracional: un número demostrado irracional por puro ritmo.
Demuestre que para cada base $b$ la conjunto $\{m/b^n : m \in \Z, n \in \N\}$ es densa en $\R$ (generalizando Ejercicio 10.8), y que todo $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ racional tiene una expansión terminando en base $q$ . Moraleja: terminar es propiedad de la pareja (número, base); periodicidad — racionalidad — es intrínseco.
(diagonal de Cantor) Sea $k \mapsto x_k$ cualquier aplicación de $\N^*$ a $\intco{0}{1}$ . Defina la cadena de dígitos $e_k = 1$ si el dígito $k$ de $x_k$ difiere de $1$ , y $e_k = 2$ en caso contrario. Demuestre que $(e_k)$ es correcto, que su valor $y$ está en $\intco{0}{1}$ , y ese $y \neq x_k$ por cada $k$ . Concluir: ningún aplicación $\N^* \to \intco{0}{1}$ es sobreyectivo. (El vocabulario de la contabilidad, y el lugar apropiado de este teorema, es Capítulo 12.)
Demuestre que si las expansiones adecuadas de $x$ y $y$ concuerdan hasta el índice $n$ y luego $\abs{x - y} < b^{-n}$ , y refutar lo contrario con $x = 0.1$ , $y = 0.0999$ en la base $10$ : la cercanía de los números no obliga a la concordancia de los dígitos. ¿Qué reales tienen la culpa?
Ejecute la Parte IV en $x = \frac{1}{10}$ en la base $b = 2$ : calcular restos y dígitos hasta que ciclen, y concluir $\frac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2$ , con preperíodo $1$ y período $4$ . Explique mediante la pregunta 3 por qué ninguna cadena binaria finita será igual a $\frac{1}{10}$ — la razón por la que el punto flotante $0.1 + 0.2$ de una computadora es no exactamente $0.3$ .
Síntesis. En una frase cada uno: ¿dónde se utilizó la prueba? (i) integridad, (ii) el propiedad de Arquímedes, (iii) la cláusula de unicidad del piso, (iv) el casillero principio? Y la moraleja: $\intco{0}{1}$ es fiel codificado por cadenas de dígitos adecuadas, la racionalidad se lee como periodicidad — sin embargo, el análisis prefiere el supremo al dígitos. ¿Por qué? (Piense en agregar cadenas de dos dígitos).

Solución

Solución de Problema 10.1.

1. Para $\frac 18$ : $10 = 8 \cdot 1 + 2$ , $20 = 8 \cdot 2 + 4$ , $40 = 8 \cdot 5 + 0$ ; dígitos $1, 2, 5$ , resto $0$ , luego solo ceros: $\frac 18 = 0.125$ . Para $\frac 17$ : $10 = 7 \cdot 1 + 3$ , $30 = 7 \cdot 4 + 2$ , $20 = 7 \cdot 2 + 6$ , $60 = 7 \cdot 8 + 4$ , $40 = 7 \cdot 5 + 5$ , $50 = 7 \cdot 7 + 1$ : dígitos $1, 4, 2, 8, 5, 7$ , restos $3, 2, 6, 4, 5, 1$ . El resto tiene regresó a $r = 1$ , por lo que los seis pasos se repiten palabra por palabra para siempre: $\frac 17 = 0.(142857)$ , los restos pasan por $1, 3, 2, 6, 4, 5$ .

2. $\frac 13$ en base $2$ ( $r_0 = 1$ ): $2 = 3 \cdot 0 + 2$ , $4 = 3 \cdot 1 + 1$ y $r = 1$ recurrentes: $\frac 13 = (0.\overline{01})_2$ . $\frac{5}{16}$ en base $2$ : $10 = 16 \cdot 0 + 10$ , $20 = 16 \cdot 1 + 4$ , $8 = 16 \cdot 0 + 8$ , $16 = 16 \cdot 1 + 0$ : $\frac{5}{16} = (0.0101)_2$ , terminando. $\frac 12$ en base $3$ : $3 = 2 \cdot 1 + 1$ y $r = 1$ se repite a la vez: $\frac 12 = (0.\overline{1})_3$ .

3. El resto del algoritmo después de los pasos $N$ es $r_N = b^N p \bmod q$ (probado formalmente en la pregunta 14; aquí está el observación de que cada paso multiplica el resto por $b$ y reduce el mod $q$ ). Todos los dígitos posteriores son $0$ si y sólo si algunos $r_N = 0$ , es decir $q \mid b^N p$ ; desde $\gcd(p, q) = 1$ , Gauss lema da $q \mid b^N$ . Si $q \mid b^N$ , cada factor primo de $q$ divide $b^N$ , por lo tanto divide $b$ (primalidad). Por el contrario, si cada primo de $q = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r}$ divide $b$ , entonces con $A = \max_i a_i$ cada $p_i^{a_i}$ divide $b^A$ , y el $p_i^{a_i}$ son coprimo en pares, por lo que $q \mid b^A$ . Para $q = 20 = 2^2 \cdot 5$ : ambos primos dividen $10$ ( $\frac{1}{20} = 0.05$ ), pero $2 \nmid 3$ , entonces $\frac{1}{20}$ se repite para siempre en la base $3$ .

4. $1^2 = 1 < 2 < 4 = 2^2$ da $s_0 = 1$ . Entonces $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ : $\lfloor 10\sqrt 2 \rfloor = 14$ , $s_1 = 1.4$ . Siguiente $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ : $s_2 = 1.41$ ; $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ : $s_3 = 1.414$ ; $1.4142^2 = 1.99996164 < 2 < 2.00024449 = 1.4143^2$ : $s_4 = 1.4142$ . En cada caso, las desigualdades mostradas dicen exactamente $s_n \leq \sqrt 2 < s_n + 10^{-n}$ , que es la definición de el piso de $10^n \sqrt 2$ .

5. $A_0 = \lfloor x \rfloor = 0$ desde $0 \leq x < 1$ . De $A_{n-1} \leq b^{n-1} x < A_{n-1} + 1$ , multiplicar por $b$ :

b\,A_{n-1} \leq b^n x < b\,A_{n-1} + b .

El número entero $b\,A_{n-1}$ es $\leq b^n x$ , por lo que $b\,A_{n-1} \leq A_n$ ; y $b^n x < b\,A_{n-1} + b$ con $b\,A_{n-1} + b$ y fuerzas enteras $A_n \leq b\,A_{n-1} + b - 1$ . Por lo tanto $0 \leq d_n = A_n - b\,A_{n-1} \leq b - 1$ : un dígito.

6. Telescópico: $d_k b^{-k} = A_k b^{-k} - A_{k-1} b^{-(k-1)}$ , entonces

\sum_{k=1}^n d_k b^{-k} = A_n b^{-n} - A_0 = s_n .

Al dividir $A_n \leq b^n x < A_n + 1$ por $b^n$ se obtiene $s_n \leq x < s_n + b^{-n}$ .

7. Inducción: $b^0 = 1 \geq 1$ y $b^{n+1} = b \cdot b^n \geq 2(n + 1) \geq n + 2$ . Monotonicidad: $s_n - s_{n-1} = d_n b^{-n} \geq 0$ . Cada $s_n \leq x$ (pregunta 6): $x$ es un superior atado de $\{s_n\}$ . Para $\varepsilon > 0$ , Arquímedes propiedad proporciona $n$ con $n + 1 > \frac1\varepsilon$ , por lo tanto $b^{-n} < \varepsilon$ , y luego $s_n > x - b^{-n} > x - \varepsilon$ por la pregunta 6. Por Proposición 10.4, $x = \sup_n s_n$ .

8. Supongamos $d_k = b - 1$ para todos los $k > N$ . Para $n > N$ , la suma geométrica finita da

s_n = s_N + (b - 1)\sum_{k=N+1}^{n} b^{-k} = s_N + b^{-N} - b^{-n} .

Entonces $x \geq s_n = s_N + b^{-N} - b^{-n}$ por cada $n$ ; dejando el último término se reduce por debajo de cualquier $\varepsilon$ (pregunta 7), $x \geq s_N + b^{-N}$ . Pero la pregunta 6 en el rango $N$ dice $x < s_N + b^{-N}$ : contradicción. La cadena $(d_n)$ es correcta.

9. Acotado: $t_n \leq (b-1)\sum_{k=1}^n b^{-k} = 1 - b^{-n} < 1$ y $(t_n)$ no es decreciente, por lo que $y = \sup t_n$ existe con $0 \leq y \leq 1$ . Reparar $n$ . Para los dos lados estimación: $t_n \leq y$ está claro. Por propiedad elija $m > n$ con $e_m \leq b - 2$ . Para $p \geq m$ :

t_p - t_n = \sum_{k=n+1}^{p} e_k b^{-k} \leq (b^{-n} - b^{-p}) - b^{-m} < b^{-n} - b^{-m},

la suma intermedia pierde al menos $b^{-m}$ contra todos- $(b-1)$ máximo; también para $p \leq m$ , $t_p \leq t_m \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ (monotonicidad más el caso $p = m$ ). Por lo tanto cada $t_p \leq t_n + b^{-n} - b^{-m}$ , entonces $y \leq t_n + b^{-n} - b^{-m} < t_n + b^{-n}$ . (Con $n = 0$ : $y < 1$ , entonces $y \in \intco{0}{1}$ .) Ahora $b^n t_n = \sum_{k \leq n} e_k b^{n-k}$ es un entero, y $b^n t_n \leq b^n y < b^n t_n + 1$ : entonces $\lfloor b^n y \rfloor = b^n t_n$ . Finalmente los dígitos de $y$ : $d_n(y) = b^n t_n - b \cdot b^{n-1} t_{n-1} = b^n(t_n - t_{n-1}) = e_n$ .

10. La pregunta 9 dice: (valor de la cadena) tiene dígitos (el cadena); las preguntas 5 a 8 dicen: (dígitos de $x$ ) forman una cadena adecuada cuyos truncamientos tienen supremo $x$ (pregunta 7). Entonces los dos aplicaciones componen a la identidad en ambos órdenes: son mutuamente inversos biyecciones entre $\intco{0}{1}$ y las cadenas adecuadas. si dos las cadenas adecuadas tenían el mismo valor, aplicar el dígito aplicación haría ellos iguales: unicidad. Este es el $b$ -expansión ádica teorema.

11. Sea $e_n = b - 1$ para $n > M$ , $M \geq 0$ mínimo. Como en la pregunta 8, $t_n = t_M + b^{-M} - b^{-n}$ para $n \geq M$ , entonces el valor es $\sup t_n = t_M + b^{-M}$ . Si $M = 0$ el valor es $0 + 1 = 1$ : en base $10$ , $0.999\dots = 1$ exactamente — no aproximadamente. Si $M \geq 1$ , la minimalidad da $e_M \leq b - 2$ , y el valor es

t_M + b^{-M} = \frac{b^M t_M + 1}{b^M} \in \intoo{0}{1},

una fracción $b$ -ádica, cuya expansión adecuado es $e_1 \dots e_{M-1}\,(e_M + 1)\,000\dots$ (una cadena terminal es adecuada, y su valor es el mismo número). Por el contrario, un real con dos Las representaciones deben tener una impropia (la propiedad fija la representación, pregunta 10), por lo tanto debe tener esta forma. y cada uno $m/b^N \in \intoo{0}{1}$ , escrito con el último dígito distinto de cero $d_N$ , tiene el gemelo impropio $d_1 \dots d_{N-1}(d_N - 1)(b-1)(b-1)\dots$ : exactamente las fracciones ádicas $b$ llevan dos nombres, todos los demás reales.

12. Digamos que las cadenas coinciden hasta $m - 1$ , con común truncamiento $P = s_{m-1}$ y $d_m < e_m$ . Por la pregunta 9 (estricta estimación superior en el rango $m$ ), $x < P + d_m b^{-m} + b^{-m} = P + (d_m + 1)b^{-m} \leq P + e_m b^{-m} \leq y$ , el último paso porque $P + e_m b^{-m}$ es el truncamiento de $y$ $t_m \leq y$ . entonces $d_m < e_m \implies x < y$ ; intercambiando roles, $e_m < d_m \implies y < x$ ; y dado que las cadenas difieren en $m$ , una de las dos sostiene. Siguen ambas direcciones.

13. Dejemos $z = bx - A_1 \in \intco{0}{1}$ (de hecho $A_1 \leq bx < A_1 + 1$ ). Para $n \geq 0$ : $b^n z = b^{n+1} x - b^n A_1$ con $b^n A_1 \in \Z$ , entonces por $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ ( $K$ entero),

A_n(z) = A_{n+1}(x) - b^n A_1(x) .

Por lo tanto $d_n(z) = A_n(z) - b\,A_{n-1}(z) = A_{n+1} - b^n A_1 - b\,A_n + b^n A_1 = d_{n+1}(x)$ . Entonces la parte fraccionaria de $bx$ lleva los dígitos desplazados; iterando $m$ veces, el fraccionario parte de $b^m x$ tiene dígitos $(d_{n+m})_{n \geq 1}$ .

14. División euclidiana: $b^n p = q\,Q_n + r_n$ con $0 \leq r_n < q$ . Dividir por $q$ : $b^n x = Q_n + \frac{r_n}{q}$ con $0 \leq \frac{r_n}{q} < 1$ , entonces $Q_n = \lfloor b^n x \rfloor = A_n$ , dando $A_n = \frac{b^n p - r_n}{q}$ . Para la recurrencia: $b^n p = b(q\,A_{n-1} + r_{n-1}) = q\,(b\,A_{n-1}) + b\,r_{n-1}$ , por lo que $b^n p$ y $b\,r_{n-1}$ difieren en un múltiplo de $q$ : $r_n = (b\,r_{n-1}) \bmod q$ .

15. Divide $b\,r_{n-1}$ por $q$ : $b\,r_{n-1} = q\,c + r_n$ con $c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ . Sustituyendo en la visualización de la pregunta 14: $b^n p = q(b\,A_{n-1} + c) + r_n$ , y la unicidad de la división euclidiana identifica $A_n = b\,A_{n-1} + c$ , es decir $d_n = c = \lfloor b\,r_{n-1}/q \rfloor$ . dígito $n$ depende sólo de $r_{n-1}$ — el bucle de división largo de la Parte Yo, ahora certificado.

16. Los restos $q + 1$ $r_0, \dots, r_q$ toman valores en el elemento $q$ conjunto $\intint{0}{q-1}$ : junto al casillero principio (Corolario 2.3) dos coinciden, digamos $r_N = r_{N+T}$ con $0 \leq N < N + T \leq q$ . Desde $r_n$ determina $r_{n+1}$ (pregunta 14), la inducción da $r_{n+T} = r_n$ para todos los $n \geq N$ ; ya que $r_{n-1}$ determina $d_n$ (pregunta 15), $d_{n+T} = d_n$ para todos los $n \geq N + 1$ . cada La expansión de racional es eventualmente periódica, con un preperíodo $\leq q$ y un período $\leq q$ .

17. Los dígitos de la parte fraccionaria de $b^T y$ son $(d_{n+T}) = (d_n)$ (lema de desplazamiento, luego periodicidad pura): el misma cadena adecuada que $y$ . Por la pregunta 10 los valores son iguales: $b^T y - \lfloor b^T y \rfloor = y$ , entonces $(b^T - 1)\,y = \lfloor b^T y \rfloor = A_T \in \N$ y

y = \frac{A_T}{b^T - 1} ,

racional con denominador dividiendo $b^T - 1$ ; el numerador $A_T$ es el número entero cuyos dígitos de base $b$ son $d_1 \dots d_T$ . Comprobar: $0.(142857) = \frac{142857}{999999}$ y $142857 \times 7 = 999999$ , por lo que este es $\frac 17$ .

18. Si $d_{n+T} = d_n$ para $n > N$ , la parte fraccionaria $z$ de $b^N x$ tiene dígitos $(d_{N+n})_{n\geq1}$ (lema de desplazamiento), que son puramente periódicas; por la pregunta 17, $z \in \Q$ . Entonces $b^N x = A_N + z$ da $x = (A_N + z)/b^N \in \Q$ . Con la pregunta 16: $x$ expansión racional $\iff$ eventualmente periódica. el lado derecho menciona la base, la izquierda no: la periodicidad en una base es equivalente a racionalidad, por tanto a periodicidad en cada base.

19. Para $x = \frac 1q$ , $r_n = b^n \bmod q$ . si $\gcd(b, q) = 1$ , entonces $r_T = r_0 = 1$ si y sólo si $b^T \equiv 1 \pmod q$ ; tal $T$ existe (el casillero da $b^i \equiv b^j$ , $i < j$ , y $b$ es módulo invertible $q$ , por lo tanto $b^{j-i} \equiv 1$ ), y el menor — el orden multiplicativo — hace que restos, de ahí los dígitos, puramente periódicos del período $T$ . No es posible un período menor: un período $T'$ daría $(b^{T'} - 1)\frac1q \in \N$ (pregunta 17), es decir $q \mid b^{T'} - 1$ . Para $q = 7$ , $b = 10$ : $10 \equiv 3$ , $10^2 \equiv 2$ , $10^3 \equiv 6$ , $10^4 \equiv 4$ , $10^5 \equiv 5$ , $10^6 \equiv 1 \pmod 7$ : ordene $6$ y, de hecho, $\frac 17$ tiene el período seis.

20. La cadena tiene infinitos $0$ (dígitos de $x^*$ son en su mayoría cero), por lo que es correcto y $x^*$ está bien definido (pregunta 9). Supongamos que los dígitos eventualmente son periódicos con punto $T$ más allá de $N$ . Infinitos dígitos equivalen a $1$ (uno por número triangular), por lo que algún $1$ se ubica en una posición $j > N$ ; entonces la periodicidad pone un $1$ en cada posición $j + kT$ : desde $j$ en adelante, las brechas entre $1$ consecutivos son como máximo $T$ . Pero el Los $1$ se sitúan exactamente en los números triangulares, cuyos números consecutivos los espacios $\frac{(j+1)(j+2)}{2} - \frac{j(j+1)}{2} = j + 1$ exceden $T$ finalmente: contradicción. Eventualmente no es periódico, por lo que pregunta 18, $x^* \notin \Q$ — irracionalidad leída en el ritmo de los dígitos únicamente.

21. Dado $x < y$ , la pregunta 7 proporciona $n$ con $b^{-n} < y - x$ ; establezca $m = \lfloor b^n x \rfloor + 1$ . Entonces $b^n x < m \leq b^n x + 1 < b^n y$ , entonces $x < \frac{m}{b^n} < y$ : densidad, para cada base a la vez ( $b = 2$ recupera Ejercicio 10.8). Para $\frac pq \in \intoo{0}{1}$ en base $b = q$ : el primer dígito es $\lfloor q \cdot \frac pq \rfloor = p$ y la parte fraccionaria de $q \cdot \frac pq = p$ es $0$ : todos los dígitos posteriores desaparecen, una expansión final $\frac pq = (0.p)_q$ . La terminación depende de la base; periodicidad — la racionalidad — no (pregunta 18).

22. Cada $e_k \in \{1, 2\}$ es un dígito de base $10$ , y la cadena nunca termina en todos los $9$ : correcto. Su valor $y$ radica en $\intco{0}{1}$ y tiene dígitos exactamente $(e_k)$ (pregunta 9). Arreglar $k$ : el $k$ -ésimo dígito de $y$ es $e_k$ , elegido $\neq$ el $k$ -ésimo dígito de $x_k$ , por lo que las cadenas adecuadas de $y$ y $x_k$ difieren, por lo que $y \neq x_k$ (pregunta 10: la codificación es inyectivo). Por lo tanto $y$ es en ninguna lista: no aplicación $\N^* \to \intco{0}{1}$ es sobreyectivo. el los reales, a diferencia de los racionales, no se pueden enumerar — incontabilidad, cuya teoría desarrolla Capítulo 12.

23. Si las expansiones coinciden hasta $n$ , entonces $x$ y $y$ tienen el mismo truncamiento $s_n$ , y la pregunta 6 pone ambos en $\intco{s_n}{s_n + b^{-n}}$ , un intervalo de longitud $b^{-n}$ : $\abs{x - y} < b^{-n}$ . Conversar: $x = 0.1$ y $y = 0.0999$ (terminativos, por lo tanto correctos) satisfacen $\abs{x - y} = 10^{-4} < 10^{-3}$ , pero sus expansiones difieren en el primer dígito. Los culpables son las fracciones $b$ -adic de la pregunta 11: cerca ellos, un pequeño movimiento invierte cada dígito mostrado ( $0.0999 \to 0.1000$ ), porque son precisamente los reales donde El gemelo inadecuado acecha.

24. $p = 1$ , $q = 10$ , $b = 2$ , $r_0 = 1$ : $2 = 10 \cdot 0 + 2$ , $4 = 10 \cdot 0 + 4$ , $8 = 10 \cdot 0 + 8$ , $16 = 10 \cdot 1 + 6$ , $12 = 10 \cdot 1 + 2$ — y $r_5 = 2 = r_1$ : el los restos ciclo $(2, 4, 8, 6)$ del índice $1$ . Dígitos: $d_1 = 0$ , luego el bloque repetido $d_2 d_3 d_4 d_5 = 0, 0, 1, 1$ :

\tfrac{1}{10} = (0.0\overline{0011})_2 ,

preperíodo $1$ , período $4$ . Por pregunta 3, una base terminal- $2$ la expansión necesitaría cada primo de $10$ para dividir $2$ ; el primo $5$ se niega. Entonces $0.1$ es no representable por cualquier finito cadena binaria — una computadora que almacena un número finito de bits mantiene solo un truncamiento, y los errores de truncamiento acumulados son la razón El punto flotante $0.1 + 0.2$ se diferencia de $0.3$ en los últimos bits.

25. (i) La integridad produjo los valores: $x = \sup s_n$ y $y = \sup t_n$ (preguntas 7 y 9) — solo sobre $\Q$ , el La cadena adecuada de $\sqrt 2$ no nombraría nada. (ii) El propiedad de Arquímedes hizo que $b^{-n}$ eventualmente fuera más pequeño que cualquier otro $\varepsilon$ , obligando a los truncamientos a acercarse a sus supremo (preguntas 7, 21). (iii) La cláusula de unicidad del piso identificó $Q_n = A_n$ en la pregunta 14 y legitimó cada extracción de dígitos $\lfloor u - K \rfloor = \lfloor u \rfloor - K$ (pregunta 13). (iv) El principio del casillero, aplicado a muchos restos, es el único motor de la periodicidad (pregunta 16). Moraleja: las cadenas adecuadas codifican fielmente $\intco{0}{1}$ y giran racionalidad en un ritmo visible; pero además de cadenas de dígitos requiere que se propaguen desde infinitamente extrema derecha, por lo que no La regla de etapa finita calcula incluso el primer dígito de una suma. mientras que la interfaz supremo de Teorema 10.2 maneja todo el análisis con un axioma. Los dígitos son magníficos. imagen de $\R$ ; el supremo es su motor.