¿Qué es Continuidad?

Ejemplo 21.17

La ecuación $x^3 + x = 1$ tiene una única solución real. En efecto, $f(x) = x^3 + x$ es continua y estrictamente creciente en $\R$ (suma de funciones estrictamente crecientes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ y $\lim_{+\infty} f = +\infty$, así que el teorema de la biyección se aplica con $k = 1$. Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ y $f(0.7) = 1.043 > 1$, la solución está en $\intoo{0.6}{0.7}$.

Ejemplo 13.7 (Una taxonomía de las discontinuidades)

Tres maneras de fallar en un punto, en orden creciente de gravedad. Evitable: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ en $\R^*$ tiene límite $1$ en $0$; definir $f(0) = 1$ lo repara — la discontinuidad era un agujero, no un rasgo. De salto: $\lfloor x \rfloor$ en un entero tiene límites laterales distintos ($n - 1$ y $n$); ninguna elección de valor puede reconciliarlos, pero los dos semilímites existen. Esencial: $\sin\frac1x$ en $0$ no tiene ningún límite lateral (Ejercicio 13.1) — oscilación sin estabilización. Las funciones monótonas solo pueden producir la variedad intermedia (sus límites laterales existen siempre, por ser supremos e ínfimos), y por eso sus conjuntos de discontinuidad son a lo sumo numerables — un racional por salto. Las derivadas, por el teorema de Darboux (Ejercicio 14.10), solo pueden producir la última variedad: una función con una discontinuidad de salto no es nunca la derivada de nada.

Ejemplo 13.9 (Máximo y mínimo de funciones continuas)

Si $f, g$ son continuas, también lo son $\max(f, g)$ y $\min(f, g)$: no hace falta distinguir casos, gracias a las identidades

y a la continuidad de las sumas y de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposición 13.8). En particular, $f^+ = \max(f, 0)$ y $f^- = \max(-f, 0)$ son continuas con $f = f^+ - f^-$: la separación por signos que se usa en las series (Capítulo 17) y, a gran escala, en la teoría de la integración del volumen del tercer año no cuesta nada en regularidad.

Ejemplo 13.11 (Una ecuación, el protocolo completo)

Resuélvase $\eu^x = 3 - x$ en $\R$: existencia, unicidad y localización. Póngase $g(x) = \eu^x + x - 3$, continua. Localización y existencia: $g(0) = -2 < 0$ y $g(1) = \eu - 2 > 0$, de modo que el teorema del valor intermedio planta una solución en $\intoo{0}{1}$. Unicidad: $g$ es suma de $\eu^x$, estrictamente creciente, y de $x - 3$, luego es estrictamente creciente en $\R$; y una función estrictamente monótona toma cada valor a lo sumo una vez, así que la solución es única en todo $\R$ (no solo en el intervalo sondeado). El protocolo —reescribir como $g = 0$, cambio de signo para la existencia, monotonía para la unicidad— resuelve en tres líneas casi todas las preguntas de tipo «cuántas soluciones», y las tablas de variación del Capítulo 14 lo extienden a $g$ no monótonas cortando $\R$ en ramas monótonas.