Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

13Límites y continuidad

El teorema del valor intermedio y el teorema del valor extremo fueron utilizado en el nivel de escuela secundaria sobre la fe visual. Con secuencias (Capítulo 11) y la topología de $\R$ (Capítulo 12) en la mano, este capítulo los prueba — y completa la teoría con el teorema de biyección monótona (que legitima $\arcsin$ , $\operatorname{arcosh}$ y sus parientes de Capítulo 4) y el teorema de Heine en continuidad uniforme.

En todo momento, $I$ es intervalo y $f \colon I \to \R$ ; “ $x_0 \in \overline I$ ” permite límites en los puntos finales.

13.1 Límites de funciones

Definición 13.1 (Límite en un punto)

Sea $x_0 \in \overline{I}$ y $\ell \in \R$ . Entonces $f(x) \to \ell$ como $x \to x_0$ cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Los límites en $\pm\infty$ y los límites infinitos están definidos por el mismo patrón ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ se convierte en $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ se convierte en $f(x) \geq M'$ ). Límites unilaterales restrinja $x$ a $x > x_0$ (escrito $x \to x_0^+$ ) o $x < x_0$ . el El límite es único cuando existe (la misma prueba que Proposición 11.4).

Ejemplo 13.2 (Un límite mediante el presionado)

Calcule $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . El piso entre corchetes $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ da, después de multiplicar por $x$ (¡cuidado con el signo!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

y ambos apretones unilaterales se cierran en $1$ : el límite es $1$ . Nota qué pasó: $\lfloor \frac1x\rfloor$ solo tiene saltos salvajes cerca $0$ , pero el factor $x$ controla cada salto ( $x$ veces un salto unitario es pequeño), y sólo sobrevive el paréntesis. La idea final: límites de productos de un factor pequeño con una oscilación acotada Los factores son problemas de compresión, nunca problemas de teoremas de operación. el teorema de operaciones necesita factores ambos para converger.

Teorema 13.3 (Caracterización secuencial)

$f(x) \to \ell$ como $x \to x_0$ si y sólo si: para cada secuencia $(u_n)$ de puntos de $I$ con $u_n \to x_0$ , se tiene $f(u_n) \to \ell$ .

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sea $u_n \to x_0$ y $\varepsilon > 0$ . tomar $\delta$ de la definición, luego $N$ con $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ para $n \geq N$ : más allá de $N$ , $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$ .

( $\Leftarrow$ ) Contrapositivo. Si $f \not\to \ell$ : algunos $\varepsilon_0 > 0$ derrota a todos los $\delta$ ; elegir $\delta = \frac{1}{n+1}$ produce $u_n \in I$ con $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ y $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$ . Entonces $u_n \to x_0$ pero $f(u_n) \not\to \ell$ . ∎

Corolario 13.4 (Operaciones, composición, orden.)

Se comportan sumas, productos, cocientes (límite distinto de cero en la parte inferior) de límites en cuanto a secuencias; si $f \to \ell$ en $x_0$ y $g \to m$ en $\ell$ , y $g$ se define alrededor de $\ell$ con $g(\ell) = m$ o $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ , luego $g \circ f \to m$ en $x_0$ ; los límites se mantienen amplios desigualdades y se cumple el teorema de la compresión.

Demostración. Cada enunciado se transfiere a través de Teorema 13.3 a su secuencia análoga (Teoremas 11.5 y 11.7). Para la composición, Vale la pena escribir el encadenamiento directo una vez: dado $\varepsilon > 0$ , el límite de $g$ en $\ell$ proporciona a $\eta > 0$

\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq \varepsilon \quad (y \text{ in the domain of } g),

donde se cubre el caso $y = \ell$ porque $g(\ell) = m$ ; entonces el límite de $f$ en $x_0$ proporciona a $\delta > 0$ con $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; encadenamiento, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ da $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ . En la hipótesis alternativa ( $f \neq \ell$ cerca $x_0$ ), el valor $y = \ell$ nunca se envía a $g$ y su valor hay irrelevante. ∎

Ejemplo 13.5 (¿Por qué existe la condición de composición?)

Sea $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ y $g(0) = 1$ , y sea $f$ idénticamente $0$ . Luego $f(x) \to 0$ como $x \to 0$ y $g(y) \to 0$ . como $y \to 0$ ; sin embargo, $g(f(x)) = g(0) = 1$ por cada $x$ , entonces $g \circ f \to 1 \neq 0$ . La función interna se encuentra exactamente en el valor prohibido $\ell = 0$ para siempre y el límite de $g$ en $0$ ignora lo que hace $g$ en $0$ . la condición de Corolario 13.4 — ya sea $g(\ell) = m$ (es decir, $g$ continuo en $\ell$ ), o $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ — es precisamente lo que descarta esto. La idea final: en práctica uno compone funciones continuo y el la condición es gratuita; muerde sólo cuando se llevan límites perforado barrios, por lo que la definición de $\lim_{x \to x_0}$ utilizado en este libro incluye el punto en el que está en el dominio.

13.2 Continuidad

Definición 13.6

$f$ es continuous at $x_0 \in I$ cuando $f(x) \to f(x_0)$ es $x \to x_0$ ; continuo en $I$ cuando es continuo en cada punto. Por Teorema 13.3: $f$ es continuo en $x_0$ si y así $f(u_n) \to f(x_0)$ para cada secuencia $u_n \to x_0$ en $I$ .

Ejemplo 13.7 (Una taxonomía de discontinuidades.)

Tres formas de fallar en un punto, cada vez con mayor gravedad. Desmontable: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ en $\R^*$ tiene límite $1$ en $0$ ; definiendo $f(0) = 1$ lo repara — la discontinuidad Era un agujero, no una característica. Saltar: $\lfloor x \rfloor$ en un número entero tiene límites unilaterales distintos ( $n - 1$ y $n$ ); no La elección del valor puede conciliarlos, pero ambos límites existen. Básico: $\sin\frac1x$ en $0$ no tiene límite unilateral en todos (Ejercicio 13.1) — oscilación sin liquidación. Las funciones monótonas sólo pueden producir el tipo medio. (sus límites unilaterales siempre existen, siendo suprema e ínfima), por eso sus discontinuidades conjuntos son como mucho contables — un racional por salto. Derivadas, según el teorema de Darboux (Ejercicio 14.10), sólo puede producir el último tipo: una función con una discontinuidad de salto nunca es la derivada de cualquier cosa.

Proposición 13.8

Sumas, productos, cocientes (cuando se definan) y composiciones de Las funciones continuo son continuo. Polinomios, fracciones racionales (fuera de su polos), $\abs{\,\cdot\,}$ , $\exp$ , $\ln$ , el trigonométrica y funciones hiperbólicas y sus inversas (Capítulo 4) son continuo en sus dominios.

Demostración. Operaciones: Corolario 13.4. Constantes y la identidad es continuo directamente de la definición ( $\delta = \varepsilon$ sirve la identidad, cualquier $\delta$ la constantes); los productos de las funciones continuo son continuo, cada monomio $a_k x^k$ sigue por inducción en $k$ y suma terminar el polinomios; a fracción racional es un cociente de dos polinomios, continuo donde el denominador no desaparecer. $\abs{\,\cdot\,}$ : desigualdad del triángulo inverso, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$ , por lo que funciona el mismo $\delta$ . Para el clasico funciones que otorgamos aquí a continuidad; diferenciabilidad (probada en Capítulo 14) es más fuerte. ∎

Ejemplo 13.9 (Max y min de funciones continuas)

Si $f, g$ son continuo, también lo son $\max(f, g)$ y $\min(f, g)$ : no es necesario analizar el caso, gracias a las identidades

\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},

y el continuidad de sumas y del $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposición 13.8). En particular $f^+ = \max(f, 0)$ y $f^- = \max(-f, 0)$ son continuo con $f = f^+ - f^-$ : la división de signos utilizada para series (Capítulo 17) y, a escala completa, en la integración teoría del volumen del Año 3, no cuesta nada en regularidad.

Teorema 13.10 (Teorema del valor intermedio)

Sea $f$ continuo en $\intcc{a}{b}$ con $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ . Luego $f(c) = 0$ para algunos $c \in \intcc{a}{b}$ . En consecuencia, una función continuo en un intervalo toma todos los valores entre dos de sus valores: $f(I)$ es un intervalo.

Demostración. Dicotomía. Establezca $a_0 = a$ , $b_0 = b$ . Dado $\intcc{a_n}{b_n}$ con $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , sea $m$ el punto medio: si $f(m) \leq 0$ conserve $\intcc{m}{b_n}$ , en caso contrario conserve $\intcc{a_n}{m}$ ; el signo las condiciones persisten. Las secuencias $(a_n), (b_n)$ son adyacentes ( $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$ ), con límite común $c$ (Teorema 11.11). Por continuidad y Teorema 11.7: $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ y $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$ , entonces $f(c) = 0$ .

Para la consecuencia: valores dados $f(u) < v < f(w)$ , aplique lo anterior a $x \mapsto f(x) - v$ en el segmento con puntos finales $u$ y $w$ ; por lo tanto $f(I)$ es convexo, es decir, un intervalo (Proposición 10.19). ∎

Una función continuo con f(a) < 0 < f(b) debe cruzar la eje: la prueba de dicotomía de atrapa a punto de cruce entre secuencias adyacentes. — Una función continuo con $f(a) < 0 < f(b)$ debe cruzar la eje: la prueba de dicotomía de Teorema 13.10 atrapa a punto de cruce entre secuencias adyacentes.

Ejemplo 13.11 (Una ecuación, el protocolo completo.)

Resuelva $\eu^x = 3 - x$ sobre $\R$ : existencia, unicidad, ubicación. Configure $g(x) = \eu^x + x - 3$ , continuo. Ubicación y existencia: $g(0) = -2 < 0$ y $g(1) = \eu - 2 > 0$ , por lo que el El teorema del valor intermedio plantea una solución en $\intoo{0}{1}$ . Unicidad: $g$ es una suma de lo estrictamente aumentando $\eu^x$ y $x - 3$ , por lo que aumenta estrictamente en $\R$ ; una función estrictamente monótona toma cada valor como máximo una vez, por lo que la solución es única en todo $\R$ (no solo en el intervalo sondeado). El protocolo — reorganizar a $g = 0$ , firmar cambio por existencia, monotonicidad por unicidad — se asienta la mayoría de las preguntas de "cuántas soluciones" en tres líneas, y Tablas de variaciones de Capítulo 14 extiéndalo a $g$ no monótono cortando $\R$ en monótono ramas.

Ejemplo 13.12 (Dicotomía como algoritmo)

Se calcula la prueba de Teorema 13.10. Tome $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ , por lo que una raíz se encuentra en $\intoo{0}{1}$ . Reducir a la mitad:

f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,

entonces la raíz queda atrapada sucesivamente en $\intoo{0.5}{1}$ , luego $\intoo{0.5}{0.75}$ , luego $\intoo{0.625}{0.75}$ (valor verdadero: $c \approx 0.6823$ ). Después de los pasos $n$ el error es como máximo $\frac{b - a}{2^n}$ : diez pasos dan tres decimales, veinte dan seis. La idea final: el teorema del valor intermedio no es sólo una existencia enunciado — su prueba de dicotomía es una algoritmo de búsqueda de raíces garantizado, aunque lento, contra el cual el El método Newton rápido pero local de Capítulo 14 debería ser medido.

Teorema 13.13 (Teorema del valor extremo)

Una función continuo en un segmento $\intcc{a}{b}$ está acotada y alcanza sus límites: hay $c, d \in \intcc{a}{b}$ con

f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f, \qquad f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .

Combinado con Teorema 13.10: the continuo image of a segment is a segment $\intcc{f(c)}{f(d)}$ .

Demostración. Acotado arriba:, de lo contrario, elija $u_n$ con $f(u_n) \geq n$ . Por compacidad del segmento (Teorema 12.19), una subsecuencia $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; continuidad da $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ , pero $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$ : contradicción.

Sup alcanzado: deja $M = \sup f$ y elige $v_n$ con $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ (Proposición 10.4). Extracto $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$ : luego $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ por el apretón. El ínfimo es manejado por $-f$ . ∎

Ejemplo 13.14 (Mínimo positivo en un segmento)

Sea $f$ continuo en $\intcc{0}{1}$ con $f(x) > 0$ para cada $x$ . Entonces $\inf f > 0$ : por el teorema del valor extremo el ínfimo es un valor $f(c)$ y $f(c) > 0$ por hipótesis. Entonces una función positiva continuo en un segmento está acotada de $0$ — un argumento de dos líneas usado una docena de veces en el próximos capítulos (denominadores bajo control, función escalonada encuadres, límites de error). En un intervalo no compacto esto falla espectacularmente: $f(x) = x$ en $\intoc{0}{1}$ es continuo y positivo con $\inf f = 0$ , no alcanzado. La idea final: "positivo" se actualiza a "uniformemente positivo" exactamente cuando el el dominio es compacto; cada hipótesis del teorema del valor extremo es portante.

Observación 13.15 (Errores comunes en torno a los tres teoremas)

(i) Continuo images: sólo segmentos son robustos. La imagen continuo de un abierto intervalo no necesita ser abierto ( $x \mapsto x^2$ aplicaciones $\intoo{-1}{1}$ sobre $\intco{0}{1}$ ), el La imagen de un conjunto cerrado no necesita ser cerrado ( $\arctan$ aplicaciones el cerrado $\R$ hacia abierto $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ); pero la imagen de un segmento es un segmento (Teorema 13.13). (ii) The intermediate value theorem needs an intervalo: la función $x \mapsto \frac1x$ , continuo en $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$ , toma los valores $-1$ y $1$ pero nunca desaparece — su dominio son dos piezas disjuntas, y el valor $0$ cae en el hueco; nombre siempre el intervalo en el que se se aplica el teorema. (iii) Continuidad uniforme is a property of the pair (function, conjunto): $x^2$ es uniformemente continuo en cada segmento aún no en $\R$ (Ejemplo 13.20) — las palabras “uniformemente continuo” sin un dominio no tienen sentido. (v) Continuidad of the inverse is not formal: aguanta intervalos vía monotonicidad (Teorema 13.16), pero una biyección continuo entre uniones de intervalos puede tener una inversa discontinua — la observación después de ese teorema está ahí porque los estudiantes lo citan sin la hipótesis intervalo.

13.3 Funciones monótonas y funciones inversas.

Teorema 13.16 (Teorema de biyección monotona)

Sea $f$ continuo y estrictamente monótono en un intervalo $I$ . entonces

$f$ es una biyección de $I$ sobre intervalo $J = f(I)$ ;
el inverso $f^{-1} \colon J \to I$ es estrictamente monótono (en la misma dirección) y continuo.

Demostración. Digamos que $f$ es estrictamente creciente. (1) La inyectividad es inmediata desde estricta monotonicidad; la sobreyectividad sobre $f(I)$ es trivial y $f(I)$ es un intervalo de Teorema 13.10.

(2) $f^{-1}$ es estrictamente creciente: si $y < y'$ en $J$ pero $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , aplicando el $f$ creciente da $y \geq y'$ , absurdo. Continuidad de $f^{-1}$ en $y_0 = f(x_0) \in J$ : vamos $\varepsilon > 0$ . Supongamos primero $x_0$ interior a $I$ , y encoger $\varepsilon$ para que $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : su las imágenes satisfacen $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$ . tomar $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ : para $\abs{y - y_0} \leq \delta$ , la monotonicidad de $f^{-1}$ aprieta a $f^{-1}(y)$ entre $x_0 - \varepsilon$ y $x_0 + \varepsilon$ . Si $x_0$ es, digamos, la izquierda punto final de $I$ , solo $x_0 + \varepsilon$ está disponible: entonces $y_0 = \min J$ (monotonicidad), cada $y \in J$ con $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ satisface $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ , y la estimación unilateral es exactamente continuidad en un punto final; el punto final derecho es simétrico. (Nota: continuidad de $f^{-1}$ fue no deducido del de $f$ por simetría — es monotonicidad en un intervalo que hace el trabajo.) ∎

Observación 13.17

Este teorema es lo que Definición 4.9 y Proposición 4.21 usado silenciosamente: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\operatorname{arsinh}$ , … son continuo. un complemento (Ejercicio 13.10): a continuo La función inyectivo en un intervalo es automática y estrictamente monótono, por lo que la hipótesis de la monotonicidad no cuesta nada.

Ejemplo 13.18 (Raíces de todos los pedidos)

Para $n \in \N^*$ , la función $f(x) = x^n$ es continuo y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ , con $f(0) = 0$ y $f(x) \to +\infty$ : su imagen es $\intco{0}{+\infty}$ (Teorema 13.10 para la estructura intervalo). el El monótono teorema de biyección entrega, de un solo golpe, una estrictamente creciente continuo inversa

x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to \intco{0}{+\infty} :

existencia, unicidad y continuidad de $n$ -ésimas raíces, sin cálculo. Comparar con Ejercicio 10.12, que construyó $\sqrt y$ a mano del supremo: un capítulo de teoría tiene comprimió esa página de trabajo en dos líneas, y las mismas dos líneas legitimadas $\arcsin$ , $\arctan$ y $\operatorname{arsinh}$ ante ellos. La idea final: una buena El teorema es trabajo almacenado.

13.4 Continuidad uniforme

Definición 13.19

$f \colon I \to \R$ es uniformemente continuo cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

El punto: $\delta$ depende sólo de $\varepsilon$ , no del ubicación en $I$ . Uniforme continuidad implica continuidad; un Función Lipschitz ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) es uniformemente continuo ( $\delta = \varepsilon/k$ ).

Ejemplo 13.20

$x \mapsto x^2$ es continuo en $\R$ pero no uniformemente continuo: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ aunque los argumentos están a distancia $\frac 1n \to 0$ . En cualquier acotado intervalo es Lipschitz, por lo tanto uniformemente continuo — consistente con el teorema de Heine a continuación.

Ejemplo 13.21 (Módulos uniformes, específicamente)

En un segmento, Heine garantiza un $\delta$ uniforme; a menudo uno puede también calcular. Para $f(x) = x^2$ en $\intcc{0}{10}$ :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

entonces $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ funciona uniformemente (a Lipschitz módulo, lineal en $\varepsilon$ ). Para $\sqrt x$ en $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Ejercicio 13.9), entonces $\delta = \varepsilon^2$ funciona — uniforme pero no lineal: cerca de $0$ el cuadrado la raíz es pronunciada y el precio aparece en el exponente de $\varepsilon$ , no por falta de uniformidad. el cierre Insight: continuidad uniforme es un espectro, no un sí/no — la función $\delta(\varepsilon)$ , llamada módulo, mide lo cara que es la uniformidad, y Lipschitz es simplemente su mejor nota.

Teorema 13.22 (Heine)

Una función continuo en un segmento $\intcc{a}{b}$ es uniformemente continuo.

Demostración. Por contradicción: supongamos que algún $\varepsilon_0 > 0$ vence a todos. $\delta$ . Con $\delta = \frac{1}{n+1}$ , elija $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ con $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ y $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$ . Compacidad (Teorema 12.19) extrae $x_{\varphi(n)} \to c \in \intcc{a}{b}$ ; luego $y_{\varphi(n)} \to c$ también (presione $\abs{x - y}$ ). Continuidad en $c$ da $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ y $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ , entonces $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : contradicción. ∎

Ejemplo 13.23 (Acotado, continuo, pero no uniforme.)

La función $f(x) = \sin(x^2)$ es continuo y está limitada por $\R$ , pero no uniformemente continuo. tomar

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

sin embargo, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ por cada $n$ : ningún $\delta$ puede sirva $\varepsilon = \frac12$ en todas partes. Geométricamente, el oscilaciones de $\sin(x^2)$ acelerar: el gráfico completa una onda completa en ventanas cada vez más cortas, por lo que el escala horizontal, un $\varepsilon$ determinado requiere que se reduzca a cero a medida que $x$ crece. La idea final: la limitación no compra uniformidad (este ejemplo), y la ilimitación no impide eso ( $\sqrt x$ , Ejercicio 13.9); lo que decide es el módulo of oscillation, y el teorema de Heine dice compacto los dominios lo disciplinan automáticamente.

Ejemplo 13.24 (El experimento de la calculadora, explicado.)

Escribe cualquier número en una calculadora y presiona $\cos$ repetidamente: la pantalla se bloquea en $0.7390851\dots$ ¿Por qué? Después de presionar el botón El valor se encuentra en $\intcc{-1}{1}$ , después de dos en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq \intcc{0.54}{1}$ , un intervalo estable para $\cos$ . En eso, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ con $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (el límite producto a suma de Problema 11.1, o la desigualdad del valor medio de Capítulo 14): la iteración se contrae, por lo que por paso de control de errores de Método 11.23,

\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c} \longrightarrow 0 ,

donde $c$ es el punto fijo único $\cos c = c$ (Ejercicio 13.6). Acerca de las prensas $40$ , compre tres. decimales ( $0.842^{40} \approx 10^{-3}$ ) — una tasa geométrica, más suave que el $2^{-n}$ de dicotomía por paso, pero cada prensa cuesta una pulsación de tecla mientras que cada paso de dicotomía cuesta un signo completo evaluación. La idea final: la imagen de punto fijo de Capítulo 11 y los teoremas de existencia de este capítulo son dos mitades de un piso — IVT encuentra $c$ , la contracción alcanza eso.

Observación 13.25 (¿Dónde funcionan estos teoremas a continuación?)

Cada uno de los tres pilares de este capítulo alimenta uno posterior. el El teorema del valor intermedio alimenta toda existencia de soluciones. argumento y el teorema de biyección monótona; el valor extremo El teorema convierte los problemas de optimización en teoremas (Rolle y el teorema del valor medio en Capítulo 14 comienza exactamente allí); El teorema de Heine es la razón por la que continuo funciona en Los segmentos se pueden integrar en Capítulo 15 — el $\delta$ uniforme es lo que hace que las sumas de Riemann converjan. en el año 2 volumen el mismo trío reaparece en espacios vectoriales normados, con la compacidad hace el trabajo que los segmentos hacen aquí.

Observación 13.26 (Perspectivas dentro de este volumen)

Continuidad está a punto de ser superado en rango, pero nunca retirado. Capítulo 14 lo fortalece a la diferenciabilidad y devuelve el favor (diferenciable implica continuo); Capítulo 15 descansa sobre él dos veces, a través de Heine para la construcción y a través del teorema fundamental, cuyo objeto central $x \mapsto \int_a^x f$ actualiza un simple continuo $f$ a una primitiva $C^1$ . en Capítulo 25, continuidad en dos variables tiene una trampa Vale la pena ver una vista previa: la función $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (extendida por $0$ ) es continuo en $x$ para cada $y$ fijo y en $y$ para cada uno fijo $x$ , pero no continuo en el origen — a lo largo del diagonal $x = y$ es constantemente $\frac12$ . Separar continuidad es estrictamente más débil que continuidad: el secuencial La caracterización sobrevive al cambio a $\R^2$ , pero las secuencias deben se le permitirá acercarse desde la dirección cada, no solo a lo largo de los ejes.

13.5 Ceremonias

Ejercicio 13.1 ★

Utilizando la caracterización secuencial, demuestre que $x \mapsto \sin\frac 1x$ no tiene límite en $0^+$ (exhibe dos secuencias). ¿ $x \mapsto x \sin\frac 1x$ tiene uno?

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

Tome $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ y $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ : ambos tienden a $0^+$ , pero $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ y $\sin\frac{1}{v_n} = 0$ . Dos secuencias, dos límites diferentes de Imágenes: por Teorema 13.3, sin límite en $0^+$ .

$x \sin\frac1x$ : exprimido por $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , por lo que el límite en $0$ existe y es igual a $0$ .

Ejercicio 13.2 ★

Estudie el continuidad sobre $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$ y de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ , y de $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ es continuo en $\R \setminus \Z$ (localmente constante) y discontinuo en cada $n \in \Z$ : límite izquierdo $n - 1$ , valor $n$ .

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : mismos puntos de discontinuidad (el la identidad es continuo, por lo que $g$ hereda los saltos de $f$ ); en $n \in \Z$ , límite izquierdo $1 \neq 0 = g(n)$ .

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : en $\intco{n}{n + 1}$ , $h(x) = n + (x - n)^2$ , continuo allí; en $x = n$ , la izquierda El límite es $(n-1) + 1 = n = h(n)$ : los saltos se cancelan. $h$ es continuo en $\R$ (y estrictamente creciente).

Ejercicio 13.3 ★

Demuestre que la ecuación $x^5 - 3x + 1 = 0$ tiene al menos tres valores reales. soluciones (evaluate at well-chosen points and apply Teorema 13.10 on three disjoint segments).

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 > 0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$ . Tres cambios de signo en el segmentos disjuntos $\intcc{-2}{0}$ , $\intcc{0}{1}$ , $\intcc{1}{2}$ : por Teorema 13.10, al menos tres raíces. (Siendo de el grado $5$ , $P$ tiene como máximo cinco; un estudio de variación mostraría exactamente tres.)

Ejercicio 13.4 ★

Demuestre que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real.

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

Sea $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ con $a_{2m+1} > 0$ (de lo contrario, reemplace $P$ por $-P$ ). Factorizando el término dominante, $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ como $x \to \pm\infty$ : entonces $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ y $-\infty$ en $-\infty$ . Elija $a$ con $P(a) < 0$ y $b$ con $P(b) > 0$ : el teorema del valor intermedio en $\intcc{a}{b}$ proporciona una raíz.

Ejercicio 13.5 ★★

(Punto fijo) Sea $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continuo. Demuestre que $f$ tiene un punto fijo: $f(c) = c$ para algunos $c$ . Ilustre que ni continuidad ni el segmento pueden ser cayó.

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Sea $g(x) = f(x) - x$ , continuo en $\intcc{0}{1}$ . Desde $f$ aplicaciones en $\intcc{0}{1}$ : $g(0) = f(0) \geq 0$ y $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Por Teorema 13.10, $g(c) = 0$ para algunos $c$ : a punto fijo.

Necesidad de las hipótesis: sobre $\intcc{0}{1}$ , el discontinuo aplicación $f(x) = 1$ para $x \leq \frac12$ , $f(x) = 0$ para $x > \frac12$ no tiene punto fijo; en intervalo $\intoo{0}{1}$ (no es un segmento), $f(x) = \frac x2$ es continuo en $\intoo{0}{1}$ sin punto fijo (falta el candidato $0$ ); en $\R$ , $f(x) = x + 1$ .

Ejercicio 13.6 ★★

Demuestre que la ecuación $\cos x = x$ tiene exactamente una solución real, y que se encuentra en $\intoo{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

$g(x) = \cos x - x$ es continuo, $g(0) = 1 > 0$ , $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$ : existe una solución en $\intoo{0}{1}$ (Teorema 13.10). Unicidad: $g$ es estrictamente disminuyendo en $\R$ — para $x \leq 0$ , $g(x) \geq 1 - x > 0$ no tiene cero de todos modos; y $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ con igualdad solo en puntos aislados ( $x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$ ), por lo que $g$ es estrictamente decreciente (Capítulo 14; alternativamente: en $\intcc{0}{1}$ , $\cos$ es estrictamente decreciente y $-x$ también, por lo que $g$ es). Una función estrictamente monótona desaparece como máximo una vez.

Ejercicio 13.7 ★★

Sea $f \colon \R \to \R$ continuo y $f(x) \to +\infty$ sea $x \to \pm\infty$ . Demuestre que $f$ alcanza un mínimo global en $\R$ . (Reduce to a segment containing a sublevel conjunto.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Reparar $M = f(0) + 1$ . Hay $A > 0$ con $f(x) \geq M$ para $\abs x \geq A$ (definición de los dos límites infinitos; tome el mayor umbral). En el segmento $\intcc{-A}{A}$ , el teorema del valor extremo (Teorema 13.13) proporciona $c$ con $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$ . Para $\abs x \geq A$ : $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$ . Entonces $f(c)$ es el mínimo global.

Ejercicio 13.8 ★★

Sea $f \colon \R \to \R$ continuo y periódico (del período $T > 0$ ). Demuestre que $f$ está acotado y alcanza sus límites, y que no existe $c$ con $f(c + \frac T2) = f(c)$ . (For the second point, study $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ over one period.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

En el segmento $\intcc{0}{T}$ , $f$ está acotado y alcanza sus límites. (Teorema 13.13); por periodicidad, estos son los límites en todo $\R$ , aún alcanzado.

Sea $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ , continuo. entonces

g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr) = \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr) = f(T) - f(0) = 0 :

$g(0)$ y $g(\frac T2)$ tienen signos opuestos (o uno de ellos desaparece), por lo que el teorema del valor intermedio en $\intcc{0}{T/2}$ da $c$ con $g(c) = 0$ , es decir $f(c + \frac T2) = f(c)$ .

Ejercicio 13.9 ★★

Demuestre que $x \mapsto \sqrt x$ es uniformemente continuo en $\intco{0}{+\infty}$ , aunque no es Lipschitz cerca de $0$ . (Prove and use $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Primero la desigualdad: para $0 \leq y \leq x$ ,

\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,

entonces $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$ , es decir $\sqrt x - \sqrt y \leq \sqrt{x - y}$ . Por lo tanto $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ para todos los $x, y \geq 0$ .

Continuidad uniforme: dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \varepsilon^2$ ; entonces $\abs{x - y} \leq \delta$ implica $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$ .

No Lipschitz cerca de $0$ : $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ como $x \to 0^+$ , por lo que no hay $k$ constante puede dominar todos los cocientes de diferencias.

Ejercicio 13.10 ★★★

Sea $f$ continuo y inyectivo en un intervalo $I$ . demostrar que $f$ es estrictamente monótono. Hint: if not, there are $a < b < c$ with, say, $f(b) > f(a)$ and $f(b) > f(c)$ ; apply the intermediate value theorem to a value between $\max(f(a), f(c))$ and $f(b)$ on both sides of $b$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Supongamos que $f$ es inyectivo, continuo y no es estrictamente monótono. Luego están $a < b < c$ en $I$ con $f(b)$ no entre $f(a)$ y $f(c)$ — de hecho, si para todo se triplicara el valor medio entre los externos, $f$ sería monótono (compare dos cualesquiera pares; una breve revisión del caso). Diga $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (el otro caso es simétrico, reemplace $f$ por $-f$ ). Elija $v$ con $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$ . Por el teorema del valor intermedio aplicado en $\intcc{a}{b}$ y en $\intcc{b}{c}$ , están $u_1 \in \intoo{a}{b}$ y $u_2 \in \intoo{b}{c}$ con $f(u_1) = v = f(u_2)$ : dos puntos distintos con imágenes iguales, contradiciendo la inyectividad.

Ejercicio 13.11 ★★★

(Ecuación funcional de Cauchy, caso continuo) Sea $f \colon \R \to \R$ continuo con $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todo $x, y$ . Demuestre que $f(x) = f(1)\,x$ para todos los $x$ : primero en $\N$ , $\Z$ , $\Q$ (solo por aditividad), luego en $\R$ por continuidad y densidad (Teorema 10.14).

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ da $f(0) = 0$ ; $f(-x) = -f(x)$ de $0 = f(x - x)$ . Establezca $\alpha = f(1)$ . Inducción: $f(n) = n\alpha$ para $n \in \N$ , luego para $n \in \Z$ por rareza. Para $q \in \N^*$ : $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (añadir $\frac pq$ a sí mismo $q$ veces), entonces $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : $f = \alpha\, \mathrm{id}$ en $\Q$ .

Seamos ahora $x \in \R$ y $(r_n)$ una secuencia de racionales con $r_n \to x$ (densidad, Teorema 10.14, aplicados en intervalos; o $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ ). Continuidad: $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$ .

Ejercicio 13.12 ★★★

Sea $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ continuo con $f(x) \to \ell \in \R$ como $x \to +\infty$ . Demuestre que $f$ es uniformemente continuo en $\intco{0}{+\infty}$ . (Cut at a large $A$ : Heine on $\intcc{0}{A+1}$ , the limit beyond $A$ ; make the two regimes overlap.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

Sea $\varepsilon > 0$ . Por el límite en $+\infty$ , hay $A$ con $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ para $x \geq A$ ; por lo tanto para $x, y \geq A$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (sin cercanía necesario).

En el segmento $\intcc{0}{A + 1}$ , el teorema de Heine (Teorema 13.22) da $\delta_0 > 0$ por esto $\varepsilon$ ; establezca $\delta = \min(\delta_0, 1)$ .

Ahora tome cualquier $x, y \geq 0$ con $\abs{x - y} \leq \delta$ , digamos $x \leq y$ . Si $y \leq A + 1$ : ambos se encuentran en el segmento y el Heine Se aplica $\delta_0$ . De lo contrario, $y > A + 1$ y luego $x \geq y - 1 > A$ : ambos se encuentran en $\intco{A}{+\infty}$ , donde el argumento límite aplica. En ambos casos $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ : uniforme continuidad.

13.6 Problema: la ecuación funcional de Cauchy y sus hermanas

Problema 13.1

Problema de fin de semana — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : la regularidad la fuerza la linealidad, y el retrato de los monstruos

¿Qué funciones satisfacen $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos los $x, y$ reales? Cauchy planteó la cuestión en 1821; la respuesta es un paradigma. Ejercicio 13.11 muestra que tal aditivo La función es lineal en $\Q$ y ese continuidad completo fuerza a $f(x) = cx$ . Este problema agudiza dramáticamente la hipótesis — continuidad en un punto soltero, o monotonicidad, o mera limitación en un pequeño intervalo, cada uno es suficiente — luego pinta el retrato de una solución hipotética no lineal (su gráfica llena el plano), resuelve las ecuaciones hermanas que caracterizan $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ y $cx^2$ , y cierra con Jensen ecuación y el teorema midpoint-convex $+$ continuo $\implies$ convex. En todo momento, aditivo significa: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos los $x, y \in \R$ .

Parte I — $\Q$ -linearity, and one point of continuidad.

Sea $f$ aditivo. Desde Ejercicio 13.11, $f(r) = f(1)\,r$ para $r$ racional. demostrar lo mejor enunciado se utiliza a continuación: para cada $x \in \R$ y $r \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ es $\Q$ -lineal).
Supongamos que el aditivo $f$ es continuo en un solo punto $x_0$ . Demuestre que $f$ es continuo en todas partes (calcule $f(x + h) - f(x)$ en términos de $f(x_0 + h) -f(x_0)$ ), por lo tanto $f(x) = f(1)\,x$ .
Demuestre que una función aditiva está determinada por su restricción a cualquier denso subgrupo: si dos aditivos Las funciones coinciden en $\Z + \sqrt2\,\Z$ y ambas son continuo, son iguales — mientras que sin continuidad, prescribir $f(1) = 0$ y $f(\sqrt 2) = 1$ es consistente con linealidad $\Q$ en el subgrupo. Calcule $f(m + n\sqrt2)$ para esta prescripción.
Sea $f$ aditivo y acotado arriba por $M$ en algunos intervalo $\intcc{a}{b}$ con $a < b$ . Demuestre que $f$ es delimitado arriba en $\intcc{0}{\ell}$ , $\ell = b - a$ (traducido por $a$ ).

Parte II — The regularity ladder.

Continuando con la pregunta 4: usando $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ , muestre que $f$ también está acotado en abajo $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ ahí.
Muestre que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ y deduzca que $f$ es continuo en $0$ (la rareza maneja el lado izquierdo), por lo tanto en todas partes (pregunta 2): una función aditiva acotada en un intervalo es lineal.
Deducir el caso monótono: una función aditiva no decreciente en algunos $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) es $f(x) = cx$ con $c \geq 0$ .
Montar el escalera de regularidad: para un aditivo $f$ , los siguientes son equivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; b) $f$ continuo; (c) $f$ continuo en un momento; (d) $f$ monótono en algunos intervalo no degenerados; (mi) $f$ acotado a algún intervalo no degenerado. Organizar el implicaciones para que cada una sea trivial o ya demostrado.
Verifique que las preguntas 4 a 6 consumieron solo un salto arriba: una función aditiva acotada arriba en uno intervalo no degenerado ya es lineal. deducir el Refleje enunciado para un límite a continuación y registre el forma más fuerte del peldaño de la escalera (e) así obtenida.

Parte III — Portrait of a monster. Supongamos ahora $f$ es aditivo pero no lineal.

Mostrar que hay reales distintos de cero $u, v$ con $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , y que el los vectores $(u, f(u))$ y $(v, f(v))$ abarcan el plano (sus determinante $u f(v) - v f(u)$ es distinto de cero).
Demuestre que la gráfica de $f$ contiene todos los puntos.

$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$

y deducir que la gráfica es denso in $\R^2$ : para cada punto $(x_0, y_0)$ del avión y cada $\varepsilon > 0$ , algo de $(x, f(x))$ está dentro $\varepsilon$ del mismo (solve the $2\times2$ real system, then approximate the real coefficients by rationals).
Deduce de la pregunta 11 el retrato completo: un análisis no lineal La función aditiva es ilimitada en cada no degenerado. intervalo, discontinuo en todos los puntos, monótono en ningún intervalo, y su imagen de cualquier intervalo es denso en $\R$ . Concilie con la pregunta 8.
Los monstruos existen — en un denso subgrupo, constructivamente: en $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ defina $f(m + n\sqrt2) = n$ . Mostrar $f$ está bien definido y es aditivo en $G$ , y eso $f$ no tiene límites en $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ para cada $\varepsilon > 0$ (for fixed $N$ , only finitely many $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ have $\abs n \leq N$ ; yet $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ is infinite). Explique en un párrafo por qué extender tales un $f$ a todo $\R$ requiere una base de $\R$ como $\Q$ -espacio vectorial (un base de hamel), cuyo La existencia es una cuestión de axioma de elección más allá de esto. volumen.

Parte IV — The sister equations. Todos Las funciones aquí son continuo.

Sea $f \colon \R \to \R$ continuo, no de forma idéntica $0$ , con $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Muestre $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , luego $f > 0$ en todas partes, luego $f(x) = \eu^{cx}$ para algunos $c$ : los exponenciales son exactamente los continuo morfismos de $(\R, +)$ a $(\R^*, \times)$ .
Sea $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ continuo con $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Mostrar $f(x) = c\ln x$ (transport by $\exp$ ).
Vamos $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ ser continuo con $f(xy) = f(x)f(y)$ . Mostrar $f(x) = x^c$ .
Encuentra todos los continuo $f \colon \R \to \R$ con

$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$

(Estudie $h = 1 + f$ ; trate el caso degenerado por separado.)
(Paralelogramo) Buscar todos continuo $f \colon \R \to \R$ con $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : mostrar $f$ es par, $f(0) = 0$ , $f(nx) = n^2 f(x)$ por inducción, entonces $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Esta ecuación es la huella digital de formas cuadráticas — la ley del paralelogramo que detecta, en el volumen del Año 2, cuyas normas provienen de un interior producto.)

Part V — Jensen and midpoint convexity.

(ecuación de Jensen) Sea $f \colon \R \to \R$ continuo con $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Demuestre que $g = f - f(0)$ satisface $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , deduce que $g$ es aditivo y concluye $f(x) = cx + d$ .
Supongamos ahora solo el desigualdad: $f$ continuo con

$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$

Demuestre por inducción en $n$ que para todos los pesos diádicos $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ :

$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$
Ampliar por continuidad y densidad de las diádicas (Ejercicio 10.8) a cada $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : una función convexa de punto medio continuo satisface la desigualdad de convexidad total (la noción estudiado sistemáticamente en Capítulo 14).
Mostrar continuidad no se puede eliminar: un aditivo no lineal $f$ satisface el igualdad del punto medio de la pregunta 19 aún no hay desigualdad de convexidad en ningún intervalo (pregunta 12). Moraleja: la convexidad del punto medio es una etapa contable propiedad (diádica), la convexidad es continua; continuidad es el puente — exactamente como en las Partes I–II.

Part VI — Last variations and synthesis.

Encuentra todos los continuo $f \colon \R \to \R$ con $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ (subtract the particular solution $\frac{x^2}{2}$ ).
Demuestre: si $f \colon \R \to \R$ es continuo y aditivo simplemente en un denso subgrupo $G$ (es decir, $f(g + g') = f(g) + f(g')$ para $g, g' \in G$ ), luego $f$ es aditivo en $\R$ . En términos más generales, dos continuo Las funciones que coinciden en un subconjunto denso de $\R$ son igual.
Síntesis, una frase cada una: (i) indicar la regularidad escalera de la pregunta 8 de memoria; (ii) explique por qué “gráfico denso en el plano” es la imagen mental correcta por falta de regularidad; (iii) enumere los cinco funciones clásicas caracterizadas en la Parte IV–V y la método único que los atrapó a todos; (iv) nombrar los dos lugares donde densidad de $\Q$ (o de las diádicas) en $\R$ llevó el argumento, y el lugar donde no pudo (pregunta 13).

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. Para $n \in \N$ : $f(nx) = n f(x)$ por inducción ( $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$ ). Además, $f(0) = 2f(0)$ da $f(0) = 0$ y $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ da rareza, por lo que $f(nx) = nf(x)$ es $n \in \Z$ . Para $r = \frac pq$ : $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$ , entonces $f(rx) = r f(x)$ : $f$ es $\Q$ -lineal.

2. La aditividad proporciona, para todos los $x$ y $h$ :

f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .

Como $h \to 0$ , el lado derecho tiende a $0$ por continuidad en $x_0$ ; por lo tanto $f(x + h) \to f(x)$ : continuidad en cada $x$ . entonces Ejercicio 13.11 produce $f(x) = f(1)\,x$ .

3. Dos funciones aditivas continuo tienen la forma $cx$ y $c'x$ (pregunta 2); si están de acuerdo en el denso subgrupo $\Z + \sqrt2\,\Z$ (Ejercicio 10.9), luego $c\,g = c'g$ para algo de $g \neq 0$ en él: $c = c'$ , las funciones son iguales. sin continuidad: $\Q$ -linealidad solo vincula valores en Las combinaciones $\Q$ y $1, \sqrt2$ son independientes de $\Q$ ( $\sqrt2 \notin \Q$ ), por lo que $f(1) = 0$ , $f(\sqrt2) = 1$ son consistentes y fuerzas, en el subgrupo,

f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .

4. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ : $a + t \in \intcc{a}{b}$ , entonces $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$ .

5. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ , también $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ , y la aditividad da $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ . Por lo tanto $\abs{f} \leq C$ en $\intcc{0}{\ell}$ con $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ .

6. Para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ : $nt \in \intcc{0}{\ell}$ y $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (pregunta 1), entonces $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elija $n > \frac C\varepsilon$ : para $0 \leq h \leq \frac\ell n$ , $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$ , y para $h$ negativo utilice $f(h) = -f(-h)$ . Entonces $f(h) \to 0 = f(0)$ como $h \to 0$ : continuidad en $0$ , de ahí en todas partes (pregunta 2), de ahí $f(x) = f(1)x$ .

7. Si $f$ no es decreciente en $\intcc{a}{b}$ , entonces $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ allí: acotado, tan lineal por pregunta 6, $f(x) = cx$ ; y $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ fuerza a $c \geq 0$ .

8. (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c): trivial. (c) $\Rightarrow$ (a): pregunta 2. (a) $\Rightarrow$ (d): una pregunta lineal La función es monótona en todas partes. (d) $\Rightarrow$ (e): un tono monótono La función en $\intcc{a}{b}$ está limitada allí por su punto final. valores. (e) $\Rightarrow$ (a): preguntas 4–6. los cinco enunciados son equivalentes — la escalera de regularidad.

9. La pregunta 4 utilizó solo límite superior $M$ ; pregunta 5 derivado el límite inferior desde el superior a través del reflexión $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ ; la pregunta 6 continuó $\abs f \leq C$ . Entonces: aditivo y acotado arriba en uno intervalo no degenerado ya implica lineal. por un tiempo a continuación, aplique esto a $-f$ (aditivo, delimitado arriba). mas fuerte peldaño (e): basta con un límite unilateral en un intervalo.

10. Si $\frac{f(x)}{x}$ fuera una constante $c$ para todos $x \neq 0$ , $f$ serían lineales; entonces hay $u, v$ distintos de cero con $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$ , es decir $u f(v) - v f(u) \neq 0$ : el determinante de los vectores $(u, f(u))$ , $(v, f(v))$ es distinto de cero y abarcan $\R^2$ .

11. Para $r, s \in \Q$ : $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (pregunta 1 dos veces más aditividad), por lo que la gráfica contiene

\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr) = r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .

Dados $(x_0, y_0)$ y $\varepsilon > 0$ : el $2 \times 2$ El sistema $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ tiene un (único) solución real $(a, b)$ ya que el determinante es distinto de cero. elegir racionales $r_n \to a$ , $s_n \to b$ : luego $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ por coordenadas, y cada uno de estos Los puntos se encuentran en el gráfico: el gráfico es denso en $\R^2$ .

12. Sea $I$ un intervalo no degenerado, $x_0$ es punto medio, $M$ arbitrario: densidad proporciona un punto gráfico dentro $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M + 1)$ , es decir $x \in I$ con $f(x) > M$ : ilimitado en $I$ , por lo tanto (pregunta 8) discontinuo en todos los puntos y monótono en ningún intervalo; y para cualquier objetivo $y_0$ , los puntos del gráfico cerca de $(x_0, y_0)$ dan $f(x)$ arbitrariamente cerca de $y_0$ con $x \in I$ : $f(I)$ es denso en $\R$ . Esta es la pregunta 8 leída al revés: dado que todos los peldaños están equivalente, una función aditiva no lineal debe fallar todo de ellos, en todas partes.

13. Bien definido: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ fuerzas $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$ , entonces $n = n'$ (si no, $\sqrt2 \in \Q$ ) y $m = m'$ . La aditividad en $G$ se aclara mediante coordenadas coordinar. Ilimitación cerca de $0^+$ : corrige $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ y $N \in \N$ . Para cada $n$ fijo con $\abs n \leq N$ , la condición $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ pines $m$ dentro de un intervalo de longitud $1$ : como máximo un entero $m$ por $n$ , por lo que como máximo los elementos $2N + 1$ de $G \cap \intoo{0}{1}$ tienen $\abs{f} \leq N$ . Pero $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ es infinito ( $G$ es denso, Ejercicio 10.9); por lo tanto contiene algo de $g$ con $\abs{f(g)} > N$ : $f$ no está limitado en todos los derechos entorno de $0$ . Extendiendo $f$ a un aditivo función en $\R$ significa elegir valores coherentemente en una familia de reales que son $\Q$ linealmente independientes y abarcan $\R$ sobre $\Q$ — una base de Hamel; producir uno requiere el axioma de elección, y ninguna fórmula explícita puede hacerlo: constructivamente somos dueños del monstruo solo en $G$ .

14. $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$ . Si $f(x_0) = 0$ , entonces $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ para todos $x$ : excluido. Entonces $f > 0$ y $g = \ln \circ f$ es continuo (Proposición 13.8) con $g(x + y) = g(x) + g(y)$ : por Ejercicio 13.11, $g(x) = cx$ , entonces $f(x) = \eu^{cx}$ . Por el contrario, cada $\eu^{cx}$ funciona: el continuo morfismos $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ son exactamente los exponenciales.

15. $g(u) = f(\eu^u)$ es continuo y $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$ , y cada $x > 0$ escribe $x = \eu^u$ con $u = \ln x$ : $f(x) = c\ln x$ .

16. $h = \ln \circ f$ está continuo en $\intoo{0}{+\infty}$ con $h(xy) = h(x) + h(y)$ : por la pregunta 15, $h(x) = c\ln x$ , entonces $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$ .

17. $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$ , entonces $f(0)(1 + f(0)) = 0$ . Si $f(0) = -1$ : configuración $y = 0$ , $f(x) = f(x) + f(0) + f(x)f(0) = -1$ para todos $x$ : la constante $f \equiv -1$ (que de hecho satisface la ecuación). De lo contrario $f(0) = 0$ ; $h = 1 + f$ es continuo, $h(0) = 1$ y

h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :

por la pregunta 14, $h(x) = \eu^{cx}$ , es decir $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (el caso $c = 0$ da $f \equiv 0$ ). Lista completa: $f \equiv -1$ y $f(x) = \eu^{cx} - 1$ , $c \in \R$ .

18. $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$ , entonces $f(0) = 0$ . $x = 0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$ , por lo que $f$ es par. $y = x$ : $f(2x) = 4f(x)$ . Inducción usando $(x, y) \to (nx, x)$ :

f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x) = (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .

Entonces $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ da $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ : $f(r) = r^2 f(1)$ en $\Q$ (la uniformidad maneja los signos). los dos Funciones continuo $f$ y $x \mapsto f(1)x^2$ coinciden en el denso conjunto $\Q$ , por lo tanto en todas partes (pregunta 24): $f(x) = f(1)\,x^2$ ; cada $cx^2$ satisface la ecuación.

19. $g = f - f(0)$ es continuo, $g(0) = 0$ y satisface la ecuación de Jensen (las constantes se cancelan). Tomando $y = 0$ : $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ . Luego para todos los $x, y$ :

\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) = \frac{g(x) + g(y)}{2} ,

entonces $g$ es aditivo y continuo: $g(x) = cx$ (pregunta 2), y $f(x) = cx + d$ con $d = f(0)$ . Todas las funciones afines satisfacen Jensen: la lista está completa.

20. Inducción en $n$ . Para $n = 0$ : $\lambda \in \{0, 1\}$ , trivial. Supongamos la desigualdad para todos los pesos. $\frac{k}{2^n}$ . Un peso $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ con $k$ incluso se reduce al nivel $n$ ; para $k = 2j + 1$ , $\lambda$ es el punto medio de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ y $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ . Con $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ : $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$ , entonces

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) \leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2} \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 - \lambda_2)f(y)}{2} = \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .

21. Reparar $x, y$ . El aplicaciones $\lambda \mapsto f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ y $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ son continuo en $\intcc{0}{1}$ (composición y álgebra, Proposición 13.8). La desigualdad mantiene los pesos diádicos, que son denso en $\intcc{0}{1}$ (Ejercicio 10.8); para $\lambda$ arbitrario tomar diádicas $\lambda_n \to \lambda$ y pasa al límite (Teorema 13.3 y Teorema 11.7): la desigualdad de convexidad se cumple para cada $\lambda \in \intcc{0}{1}$ — la convexidad del punto medio más continuidad es igual convexidad (la noción de Capítulo 14).

22. Un aditivo no lineal $f$ satisface $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ exactamente (pregunta 1 con $r = \frac12$ , luego aditividad): es punto medio-convexo, incluso punto medio-afín. Si satisfizo el pleno desigualdad de convexidad en algunos intervalo $\intcc{x}{y}$ , entonces para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — acotado arriba en un intervalo no degenerado, por lo tanto lineal por la pregunta 9: contradicción. Entonces continuidad en La pregunta 21 no es un lujo: sin ella, la convexidad del punto medio controla sólo el esqueleto diádico contable, y el continuo en el medio se vuelve loco.

23. $p(x) = \frac{x^2}{2}$ satisface $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ . Si $f$ es cualquier solución continuo, $g = f - p$ es continuo y aditivo, entonces $g(x) = cx$ :

f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,

y cada una de ellas es una solución: la lista está completa.

24. Principio general: si $u, v$ son continuo y acuerde un denso $D \subseteq \R$ , luego para $x \in \R$ elija $d_n \in D$ con $d_n \to x$ (Proposición 12.11); $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n) = v(x)$ . Ahora dejemos que $f$ sea continuo y aditivo. el denso subgrupo $G$ . Repare $x, y \in \R$ y tome $g_n \to x$ , $g'_n \to y$ con $g_n, g'_n \in G$ ; entonces $g_n + g'_n \to x + y$ y, por continuidad secuencial en $x + y$ , $x$ y $y$ :

f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) + f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :

$f$ es aditivo en todo $\R$ (por lo tanto, lineal, según la pregunta 2).

25. (i) Para aditivo $f$ : lineal $\iff$ continuo $\iff$ continuo en un momento $\iff$ monótono en algunos intervalo $\iff$ acotado (incluso unilateralmente) en algún intervalo. (ii) Densidad del gráfico en el plano muestra que la falla no es local defecto sino una explosión global: por encima de cada subintervalo el Los valores se manchan en todo $\R$ , por lo que cada propiedad de regularidad falla en todas partes a la vez. (iii) La captura: $cx$ , $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ , $cx^2$ y $cx + d$ — seis caracterizaciones, un método: transportar la ecuación a la de Cauchy, probar la $\Q$ -esqueleto por inducción, actualización a $\R$ por densidad plus continuidad. (iv) Densidad de $\Q$ (o las diádicas) llevaban el actualizaciones en Ejercicio 13.11 y en la pregunta 21; eso no llevaba nada en la pregunta 13, porque sin continuidad los valores no se propagan desde un denso conjunto a su cierre — densidad transfiere información solo a lo largo de continuidad.