Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

13Límites y continuidad

El teorema del valor intermedio y el de los valores extremos se usaron en el volumen anterior sobre la base de la evidencia visual. Con las sucesiones (Capítulo 11) y la topología de $\R$ (Capítulo 12) ya en la mano, este capítulo los demuestra — y completa la teoría con el teorema de la biyección monótona (que legitima $\arcsin$ , $\operatorname{arcosh}$ y sus parientes del Capítulo 4) y con el teorema de Heine sobre la continuidad uniforme.

En todo el capítulo, $I$ es un intervalo y $f \colon I \to \R$ ; escribir « $x_0 \in \overline I$ » permite límites en los extremos.

13.1 Límites de funciones

Definición 13.1 (Límite en un punto)

Sean $x_0 \in \overline{I}$ y $\ell \in \R$ . Se dice que $f(x) \to \ell$ cuando $x \to x_0$ si

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Los límites en $\pm\infty$ y los límites infinitos se definen con el mismo patrón ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ se convierte en $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ , en $f(x) \geq M'$ ). Los límites laterales restringen $x$ a $x > x_0$ (se escribe $x \to x_0^+$ ) o a $x < x_0$ . El límite es único cuando existe (misma demostración que en la Proposición 11.4).

Ejemplo 13.2 (Un límite por emparedado)

Calcúlese $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . El encuadre de la parte entera $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ da, multiplicando por $x$ (¡ojo al signo!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

y los dos emparedados laterales se cierran sobre $1$ : el límite es $1$ . Obsérvese lo ocurrido: $\lfloor \frac1x\rfloor$ por sí solo da saltos salvajes cerca de $0$ , pero el factor $x$ domestica cada salto ( $x$ por un salto unidad es pequeño) y solo sobrevive el encuadre. La idea de cierre: los límites de productos de un factor pequeño por un factor de oscilación acotada son problemas de emparedado, nunca problemas del teorema de las operaciones — este último necesita que converjan los dos factores.

Teorema 13.3 (Caracterización secuencial)

$f(x) \to \ell$ cuando $x \to x_0$ si y solo si, para toda sucesión $(u_n)$ de puntos de $I$ con $u_n \to x_0$ , se tiene $f(u_n) \to \ell$ .

Demostración. ( $\Rightarrow$ ) Sean $u_n \to x_0$ y $\varepsilon > 0$ . Tómese $\delta$ de la definición y después $N$ con $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ para $n \geq N$ : más allá de $N$ , $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$ .

( $\Leftarrow$ ) Por contrarrecíproco. Si $f \not\to \ell$ , algún $\varepsilon_0 > 0$ derrota a todo $\delta$ ; eligiendo $\delta = \frac{1}{n+1}$ se obtienen $u_n \in I$ con $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ y $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$ . Entonces $u_n \to x_0$ pero $f(u_n) \not\to \ell$ . ∎

Corolario 13.4 (Operaciones, composición, orden)

Las sumas, los productos y los cocientes (con límite no nulo en el denominador) de límites se comportan como en las sucesiones; si $f \to \ell$ en $x_0$ y $g \to m$ en $\ell$ , y $g$ está definida en torno a $\ell$ con $g(\ell) = m$ , o bien $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ , entonces $g \circ f \to m$ en $x_0$ ; los límites conservan las desigualdades amplias y vale el teorema del emparedado.

Demostración. Cada enunciado se transfiere por la Teorema 13.3 a su análogo para sucesiones (Teoremas 11.5 y 11.7). Para la composición merece la pena escribir el encadenamiento directo una vez: dado $\varepsilon > 0$ , el límite de $g$ en $\ell$ proporciona $\eta > 0$ con

\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq \varepsilon \quad (y \text{ en el dominio de } g),

donde el caso $y = \ell$ queda cubierto porque $g(\ell) = m$ ; después el límite de $f$ en $x_0$ proporciona $\delta > 0$ con $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; y encadenando, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ da $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ . Con la hipótesis alternativa ( $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ ), el valor $y = \ell$ nunca se le pasa a $g$ y lo que valga ahí es irrelevante. ∎

Ejemplo 13.5 (Por qué existe la salvedad de la composición)

Sea $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ y $g(0) = 1$ , y sea $f$ idénticamente $0$ . Entonces $f(x) \to 0$ cuando $x \to 0$ , y $g(y) \to 0$ cuando $y \to 0$ ; y, sin embargo, $g(f(x)) = g(0) = 1$ para todo $x$ , luego $g \circ f \to 1 \neq 0$ . La función interior se sienta exactamente sobre el valor prohibido $\ell = 0$ para siempre, y el límite de $g$ en $0$ ignora lo que $g$ hace en $0$ . La salvedad del Corolario 13.4 —o bien $g(\ell) = m$ (es decir, $g$ continua en $\ell$ ), o bien $f \neq \ell$ cerca de $x_0$ — es justo lo que excluye este caso. La idea de cierre: en la práctica se componen funciones continuas y la salvedad sale gratis; solo muerde cuando los límites se toman a lo largo de entornos perforados, y por eso la definición de $\lim_{x \to x_0}$ usada en este libro incluye el punto cuando está en el dominio.

13.2 Continuidad

Definición 13.6

$f$ es continua en $x_0 \in I$ cuando $f(x) \to f(x_0)$ al tender $x \to x_0$ ; y continua en $I$ cuando lo es en cada punto. Por la Teorema 13.3, $f$ es continua en $x_0$ si y solo si $f(u_n) \to f(x_0)$ para toda sucesión $u_n \to x_0$ de $I$ .

Ejemplo 13.7 (Una taxonomía de las discontinuidades)

Tres maneras de fallar en un punto, en orden creciente de gravedad. Evitable: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ en $\R^*$ tiene límite $1$ en $0$ ; definir $f(0) = 1$ lo repara — la discontinuidad era un agujero, no un rasgo. De salto: $\lfloor x \rfloor$ en un entero tiene límites laterales distintos ( $n - 1$ y $n$ ); ninguna elección de valor puede reconciliarlos, pero los dos semilímites existen. Esencial: $\sin\frac1x$ en $0$ no tiene ningún límite lateral (Ejercicio 13.1) — oscilación sin estabilización. Las funciones monótonas solo pueden producir la variedad intermedia (sus límites laterales existen siempre, por ser supremos e ínfimos), y por eso sus conjuntos de discontinuidad son a lo sumo numerables — un racional por salto. Las derivadas, por el teorema de Darboux (Ejercicio 14.10), solo pueden producir la última variedad: una función con una discontinuidad de salto no es nunca la derivada de nada.

Proposición 13.8

Las sumas, los productos, los cocientes (donde estén definidos) y las composiciones de funciones continuas son continuos. Los polinomios, las fracciones racionales (fuera de sus polos), $\abs{\,\cdot\,}$ , $\exp$ , $\ln$ , las funciones trigonométricas, las funciones hiperbólicas y sus inversas (Capítulo 4) son continuas en sus dominios.

Demostración. Operaciones: Corolario 13.4. Las constantes y la identidad son continuas directamente por la definición ( $\delta = \varepsilon$ sirve para la identidad y cualquier $\delta$ para las constantes); siendo continuos los productos de funciones continuas, cada monomio $a_k x^k$ se sigue por inducción sobre $k$ , y las sumas rematan los polinomios; una fracción racional es un cociente de dos polinomios, continua allí donde el denominador no se anula. $\abs{\,\cdot\,}$ : por la desigualdad triangular inversa, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$ , luego sirve el mismo $\delta$ . Para las funciones clásicas admitimos aquí la continuidad; la derivabilidad (demostrada en el Capítulo 14) es más fuerte. ∎

Ejemplo 13.9 (Máximo y mínimo de funciones continuas)

Si $f, g$ son continuas, también lo son $\max(f, g)$ y $\min(f, g)$ : no hace falta distinguir casos, gracias a las identidades

\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},

y a la continuidad de las sumas y de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposición 13.8). En particular, $f^+ = \max(f, 0)$ y $f^- = \max(-f, 0)$ son continuas con $f = f^+ - f^-$ : la separación por signos que se usa en las series (Capítulo 17) y, a gran escala, en la teoría de la integración del volumen del tercer año no cuesta nada en regularidad.

Teorema 13.10 (Teorema del valor intermedio)

Sea $f$ continua en $\intcc{a}{b}$ con $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ . Entonces $f(c) = 0$ para algún $c \in \intcc{a}{b}$ . En consecuencia, una función continua en un intervalo toma todos los valores comprendidos entre dos cualesquiera de sus valores: $f(I)$ es un intervalo.

Demostración. Por dicotomía. Póngase $a_0 = a$ , $b_0 = b$ . Dado $\intcc{a_n}{b_n}$ con $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , sea $m$ el punto medio: si $f(m) \leq 0$ consérvese $\intcc{m}{b_n}$ , y si no, $\intcc{a_n}{m}$ ; las condiciones de signo se mantienen. Las sucesiones $(a_n), (b_n)$ son adyacentes ( $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$ ), con límite común $c$ (Teorema 11.11). Por continuidad y por el Teorema 11.7: $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ y $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$ , luego $f(c) = 0$ .

Para la consecuencia: dados valores $f(u) < v < f(w)$ , aplíquese lo anterior a $x \mapsto f(x) - v$ en el segmento de extremos $u$ y $w$ ; así $f(I)$ es convexo, es decir, un intervalo (Proposición 10.19). ∎

Una función continua con f(a) < 0 < f(b) tiene que cruzar el eje: la demostración por dicotomía del atrapa un punto de cruce entre sucesiones adyacentes. — Una función continua con $f(a) < 0 < f(b)$ tiene que cruzar el eje: la demostración por dicotomía del Teorema 13.10 atrapa un punto de cruce entre sucesiones adyacentes.

Ejemplo 13.11 (Una ecuación, el protocolo completo)

Resuélvase $\eu^x = 3 - x$ en $\R$ : existencia, unicidad y localización. Póngase $g(x) = \eu^x + x - 3$ , continua. Localización y existencia: $g(0) = -2 < 0$ y $g(1) = \eu - 2 > 0$ , de modo que el teorema del valor intermedio planta una solución en $\intoo{0}{1}$ . Unicidad: $g$ es suma de $\eu^x$ , estrictamente creciente, y de $x - 3$ , luego es estrictamente creciente en $\R$ ; y una función estrictamente monótona toma cada valor a lo sumo una vez, así que la solución es única en todo $\R$ (no solo en el intervalo sondeado). El protocolo —reescribir como $g = 0$ , cambio de signo para la existencia, monotonía para la unicidad— resuelve en tres líneas casi todas las preguntas de tipo «cuántas soluciones», y las tablas de variación del Capítulo 14 lo extienden a $g$ no monótonas cortando $\R$ en ramas monótonas.

Ejemplo 13.12 (La dicotomía como algoritmo)

La demostración del Teorema 13.10 calcula. Tómese $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ , luego hay una raíz en $\intoo{0}{1}$ . Bisecando:

f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,

así que la raíz queda atrapada sucesivamente en $\intoo{0.5}{1}$ , después en $\intoo{0.5}{0.75}$ y después en $\intoo{0.625}{0.75}$ (valor verdadero: $c \approx 0.6823$ ). Tras $n$ pasos, el error es a lo sumo $\frac{b - a}{2^n}$ : diez pasos dan tres decimales, y veinte, seis. La idea de cierre: el teorema del valor intermedio no es solo un enunciado de existencia — su demostración por dicotomía es un algoritmo garantizado, aunque lento, de búsqueda de raíces, frente al cual conviene medir el rápido pero local método de Newton del Capítulo 14.

Teorema 13.13 (Teorema de los valores extremos)

Una función continua en un segmento $\intcc{a}{b}$ está acotada y alcanza sus cotas: existen $c, d \in \intcc{a}{b}$ con

f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f, \qquad f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .

Combinado con el Teorema 13.10: la imagen continua de un segmento es un segmento $\intcc{f(c)}{f(d)}$ .

Demostración. Acotada superiormente: si no, tómense $u_n$ con $f(u_n) \geq n$ . Por la compacidad del segmento (Teorema 12.19), una subsucesión $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; la continuidad da $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ , pero $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$ : contradicción.

El supremo se alcanza: sea $M = \sup f$ y elíjanse $v_n$ con $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ (Proposición 10.4). Extráigase $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$ : entonces $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ por emparedado. El ínfimo se trata con $-f$ . ∎

Ejemplo 13.14 (Mínimo positivo en un segmento)

Sea $f$ continua en $\intcc{0}{1}$ con $f(x) > 0$ para todo $x$ . Entonces $\inf f > 0$ : por el teorema de los valores extremos, el ínfimo es un valor $f(c)$ , y $f(c) > 0$ por hipótesis. Así pues, una función continua y positiva en un segmento se mantiene lejos de $0$ — un argumento de dos líneas que se usará una docena de veces en los capítulos siguientes (denominadores bajo control, encuadres por funciones escalonadas, cotas de error). En un intervalo no compacto esto falla espectacularmente: $f(x) = x$ en $\intoc{0}{1}$ es continua y positiva con $\inf f = 0$ , no alcanzado. La idea de cierre: «positiva» asciende a «uniformemente positiva» exactamente cuando el dominio es compacto; toda hipótesis del teorema de los valores extremos sostiene el edificio.

Observación 13.15 (Errores frecuentes en torno a los tres teoremas)

(i) Imágenes continuas: solo los segmentos son robustos. La imagen continua de un intervalo abierto no tiene por qué ser abierta ( $x \mapsto x^2$ aplica $\intoo{-1}{1}$ sobre $\intco{0}{1}$ ), ni la imagen de un cerrado tiene por qué ser cerrada ( $\arctan$ aplica el cerrado $\R$ sobre el abierto $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ); pero la imagen de un segmento es un segmento (Teorema 13.13). (ii) El teorema del valor intermedio necesita un intervalo: la función $x \mapsto \frac1x$ , continua en $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$ , toma los valores $-1$ y $1$ y, sin embargo, no se anula nunca — su dominio son dos piezas disjuntas y el valor $0$ cae en el hueco; nómbrese siempre el intervalo sobre el que se aplica el teorema. (iii) La continuidad uniforme es una propiedad de la pareja (función, conjunto): $x^2$ es uniformemente continua en todo segmento pero no en $\R$ (Ejemplo 13.20) — las palabras «uniformemente continua» sin un dominio no significan nada. (iv) La continuidad de la inversa no es formal: se cumple en intervalos gracias a la monotonía (Teorema 13.16), pero una biyección continua entre uniones de intervalos puede tener inversa discontinua — la observación que sigue a ese teorema está ahí porque se cita sin la hipótesis de intervalo.

13.3 Funciones monótonas y funciones inversas

Teorema 13.16 (Teorema de la biyección monótona)

Sea $f$ continua y estrictamente monótona en un intervalo $I$ . Entonces:

$f$ es una biyección de $I$ sobre el intervalo $J = f(I)$ ;
la inversa $f^{-1} \colon J \to I$ es estrictamente monótona (en el mismo sentido) y continua.

Demostración. Digamos que $f$ es estrictamente creciente. (1) La inyectividad es inmediata por la monotonía estricta; la sobreyectividad sobre $f(I)$ es trivial, y $f(I)$ es un intervalo por el Teorema 13.10.

(2) $f^{-1}$ es estrictamente creciente: si $y < y'$ en $J$ pero $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , aplicando la creciente $f$ se obtiene $y \geq y'$ , absurdo. Continuidad de $f^{-1}$ en $y_0 = f(x_0) \in J$ : sea $\varepsilon > 0$ . Supóngase primero $x_0$ interior a $I$ , y encójase $\varepsilon$ de modo que $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : sus imágenes cumplen $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$ . Tómese $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ : para $\abs{y - y_0} \leq \delta$ , la monotonía de $f^{-1}$ aprieta $f^{-1}(y)$ entre $x_0 - \varepsilon$ y $x_0 + \varepsilon$ . Si $x_0$ es, digamos, el extremo izquierdo de $I$ , solo se dispone de $x_0 + \varepsilon$ : entonces $y_0 = \min J$ (monotonía), todo $y \in J$ con $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ cumple $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ , y la estimación unilateral es exactamente la continuidad en un extremo; el extremo derecho es simétrico. (Nótese que la continuidad de $f^{-1}$ no se ha deducido de la de $f$ por simetría — lo que hace el trabajo es la monotonía sobre un intervalo.) ∎

Observación 13.17

Este teorema es lo que la Definición 4.9 y la Proposición 4.21 usaron en silencio: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\operatorname{arsinh}$ , … son continuas. Un complemento (Ejercicio 13.10): una función continua e inyectiva en un intervalo es automáticamente estrictamente monótona, de modo que la hipótesis de monotonía no cuesta nada.

Ejemplo 13.18 (Raíces de todos los órdenes)

Para $n \in \N^*$ , la función $f(x) = x^n$ es continua y estrictamente creciente en $\intco{0}{+\infty}$ , con $f(0) = 0$ y $f(x) \to +\infty$ : su imagen es $\intco{0}{+\infty}$ (Teorema 13.10 para la estructura de intervalo). El teorema de la biyección monótona entrega entonces, de un solo golpe, una inversa continua y estrictamente creciente

x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to \intco{0}{+\infty} :

la existencia, la unicidad y la continuidad de las raíces $n$ -ésimas, sin ningún cálculo. Compárese con el Ejercicio 10.12, que construía $\sqrt y$ a mano a partir del supremo: un capítulo de teoría ha comprimido esa página de trabajo en dos líneas, y esas mismas dos líneas legitimaron antes $\arcsin$ , $\arctan$ y $\operatorname{arsinh}$ . La idea de cierre: un buen teorema es trabajo almacenado.

13.4 Continuidad uniforme

Definición 13.19

$f \colon I \to \R$ es uniformemente continua cuando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

La clave: $\delta$ depende solo de $\varepsilon$ , no del lugar de $I$ . La continuidad uniforme implica la continuidad; y una función lipschitziana ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) es uniformemente continua ( $\delta = \varepsilon/k$ ).

Ejemplo 13.20

$x \mapsto x^2$ es continua en $\R$ pero no uniformemente continua: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ aunque los argumentos están a distancia $\frac 1n \to 0$ . En cualquier intervalo acotado es lipschitziana y, por tanto, uniformemente continua — en consonancia con el teorema de Heine de más abajo.

Ejemplo 13.21 (Módulos uniformes, explícitamente)

En un segmento, Heine garantiza un $\delta$ uniforme; y a menudo también se puede calcular. Para $f(x) = x^2$ en $\intcc{0}{10}$ :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

así que $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ sirve uniformemente (un módulo lipschitziano, lineal en $\varepsilon$ ). Para $\sqrt x$ en $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Ejercicio 13.9), luego sirve $\delta = \varepsilon^2$ — uniforme pero no lineal: cerca de $0$ la raíz cuadrada es empinada, y el precio aparece en el exponente de $\varepsilon$ , no en un fallo de la uniformidad. La idea de cierre: la continuidad uniforme es un espectro, no un sí/no — la función $\delta(\varepsilon)$ , llamada módulo, mide lo cara que es la uniformidad, y ser lipschitziana es sencillamente su mejor nota.

Teorema 13.22 (Heine)

Una función continua en un segmento $\intcc{a}{b}$ es uniformemente continua.

Demostración. Por reducción al absurdo: supóngase que algún $\varepsilon_0 > 0$ derrota a todo $\delta$ . Con $\delta = \frac{1}{n+1}$ , tómense $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ con $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ y $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$ . La compacidad (Teorema 12.19) extrae $x_{\varphi(n)} \to c \in \intcc{a}{b}$ ; y entonces $y_{\varphi(n)} \to c$ también (emparedado sobre $\abs{x - y}$ ). La continuidad en $c$ da $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ y $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ , luego $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : contradicción. ∎

Ejemplo 13.23 (Acotada, continua y, aun así, no uniformemente)

La función $f(x) = \sin(x^2)$ es continua y acotada en $\R$ , pero no uniformemente continua. Tómense

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

y, sin embargo, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ para todo $n$ : ningún $\delta$ único puede servir para $\varepsilon = \frac12$ en todas partes. Geométricamente, las oscilaciones de $\sin(x^2)$ se aceleran: la gráfica completa una onda entera en ventanas cada vez más cortas, de modo que la escala horizontal que exige un $\varepsilon$ dado se encoge hasta cero conforme $x$ crece. La idea de cierre: estar acotada no compra uniformidad (este ejemplo), y no estarlo no la impide ( $\sqrt x$ , Ejercicio 13.9); lo que decide es el módulo de oscilación, y el teorema de Heine dice que los dominios compactos lo disciplinan automáticamente.

Ejemplo 13.24 (El experimento de la calculadora, explicado)

Tecléese un número cualquiera en una calculadora y púlsese $\cos$ repetidamente: la pantalla se ancla en $0.7390851\dots$ ¿Por qué? Tras una pulsación el valor está en $\intcc{-1}{1}$ ; tras dos, en $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq \intcc{0.54}{1}$ , un intervalo estable para $\cos$ . En él, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ con $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (la cota de producto a suma del Problema 11.1, o la desigualdad del valor medio del Capítulo 14): la iteración contrae, luego por el paso de control del error del Método 11.23,

\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c} \longrightarrow 0 ,

donde $c$ es el único punto fijo $\cos c = c$ (Ejercicio 13.6). Unas $40$ pulsaciones compran tres decimales ( $0.842^{40} \approx 10^{-3}$ ) — un ritmo geométrico, más suave que el $2^{-n}$ por paso de la dicotomía, pero cada pulsación cuesta una tecla mientras que cada paso de dicotomía cuesta una evaluación completa de signo. La idea de cierre: la imagen del punto fijo del Capítulo 11 y los teoremas de existencia de este capítulo son las dos mitades de una misma historia — el teorema del valor intermedio encuentra $c$ , y la contracción llega hasta él.

Observación 13.25 (Dónde funcionan estos teoremas a continuación)

Cada uno de los tres pilares de este capítulo alimenta un capítulo posterior. El teorema del valor intermedio nutre todo argumento de existencia de soluciones y el teorema de la biyección monótona; el de los valores extremos convierte los problemas de optimización en teoremas (el de Rolle y el del valor medio del Capítulo 14 arrancan justo ahí); y el de Heine es la razón de que las funciones continuas en segmentos se puedan integrar en el Capítulo 15 — el $\delta$ uniforme es lo que hace converger las sumas de Riemann. En el volumen del segundo año, el mismo trío reaparece en los espacios vectoriales normados, con la compacidad haciendo el trabajo que aquí hacen los segmentos.

Observación 13.26 (Perspectivas dentro de este volumen)

La continuidad está a punto de ser superada, pero nunca jubilada. Capítulo 14 la refuerza hasta la derivabilidad y le devuelve el favor (derivable implica continua); el Capítulo 15 descansa dos veces sobre ella, por medio de Heine para la construcción y por medio del teorema fundamental, cuyo objeto central $x \mapsto \int_a^x f$ eleva una $f$ meramente continua a una primitiva de clase $C^1$ . En el Capítulo 25, la continuidad en dos variables esconde una trampa que merece anticiparse: la función $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (extendida por $0$ ) es continua en $x$ para cada $y$ fijo y en $y$ para cada $x$ fijo y, aun así, no es continua en el origen — a lo largo de la diagonal $x = y$ vale constantemente $\frac12$ . La continuidad separada es estrictamente más débil que la continuidad: la caracterización secuencial sobrevive al salto a $\R^2$ , pero hay que permitir que las sucesiones se acerquen desde todas las direcciones, no solo a lo largo de los ejes.

13.5 Ejercicios

Ejercicio 13.1 ★

Usando la caracterización secuencial, demuéstrese que $x \mapsto \sin\frac 1x$ no tiene límite en $0^+$ (exhíbanse dos sucesiones). ¿Lo tiene $x \mapsto x \sin\frac 1x$ ?

Solución

Solución de Ejercicio 13.1.

Tómense $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ y $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ : los dos tienden a $0^+$ y, sin embargo, $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ y $\sin\frac{1}{v_n} = 0$ . Dos sucesiones, dos límites distintos de las imágenes: por el Teorema 13.3, no hay límite en $0^+$ .

$x \sin\frac1x$ : emparedado por $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , luego el límite en $0$ existe y vale $0$ .

Ejercicio 13.2 ★

Estúdiese la continuidad en $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$ , de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ y de $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.2.

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ es continua en $\R \setminus \Z$ (localmente constante) y discontinua en cada $n \in \Z$ : límite por la izquierda $n - 1$ , valor $n$ .

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : los mismos puntos de discontinuidad (la identidad es continua, luego $g$ hereda los saltos de $f$ ); en $n \in \Z$ , el límite por la izquierda es $1 \neq 0 = g(n)$ .

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : en $\intco{n}{n + 1}$ se tiene $h(x) = n + (x - n)^2$ , continua ahí; y en $x = n$ el límite por la izquierda es $(n-1) + 1 = n = h(n)$ : los saltos se cancelan. $h$ es continua en $\R$ (y estrictamente creciente).

Ejercicio 13.3 ★

Demuéstrese que la ecuación $x^5 - 3x + 1 = 0$ tiene al menos tres soluciones reales (evalúese en puntos bien elegidos y aplíquese el Teorema 13.10 en tres segmentos disjuntos).

Solución

Solución de Ejercicio 13.3.

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 > 0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$ . Tres cambios de signo en los segmentos disjuntos $\intcc{-2}{0}$ , $\intcc{0}{1}$ , $\intcc{1}{2}$ : por el Teorema 13.10, al menos tres raíces. (Siendo de grado $5$ , $P$ tiene a lo sumo cinco; un estudio de las variaciones mostraría que son exactamente tres.)

Ejercicio 13.4 ★

Demuéstrese que todo polinomio de grado impar tiene una raíz real.

Solución

Solución de Ejercicio 13.4.

Sea $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ con $a_{2m+1} > 0$ (si no, sustitúyase $P$ por $-P$ ). Sacando factor común el término dominante, $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ cuando $x \to \pm\infty$ : luego $P(x) \to +\infty$ en $+\infty$ y a $-\infty$ en $-\infty$ . Tómense $a$ con $P(a) < 0$ y $b$ con $P(b) > 0$ : el teorema del valor intermedio en $\intcc{a}{b}$ proporciona una raíz.

Ejercicio 13.5 ★★

(Punto fijo) Sea $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ continua. Demuéstrese que $f$ tiene un punto fijo: $f(c) = c$ para algún $c$ . Ilústrese que no se puede prescindir ni de la continuidad ni del segmento.

Solución

Solución de Ejercicio 13.5.

Sea $g(x) = f(x) - x$ , continua en $\intcc{0}{1}$ . Como $f$ aplica dentro de $\intcc{0}{1}$ : $g(0) = f(0) \geq 0$ y $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Por el Teorema 13.10, $g(c) = 0$ para algún $c$ : un punto fijo.

Necesidad de las hipótesis: en $\intcc{0}{1}$ , la aplicación discontinua $f(x) = 1$ para $x \leq \frac12$ y $f(x) = 0$ para $x > \frac12$ no tiene punto fijo; en el intervalo $\intoo{0}{1}$ (que no es un segmento), $f(x) = \frac x2$ es continua con valores en $\intoo{0}{1}$ y sin punto fijo (falta el candidato $0$ ); y en $\R$ , $f(x) = x + 1$ .

Ejercicio 13.6 ★★

Demuéstrese que la ecuación $\cos x = x$ tiene exactamente una solución real y que está en $\intoo{0}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.6.

$g(x) = \cos x - x$ es continua, $g(0) = 1 > 0$ y $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$ : existe una solución en $\intoo{0}{1}$ (Teorema 13.10). Unicidad: $g$ es estrictamente decreciente en $\R$ — para $x \leq 0$ , $g(x) \geq 1 - x > 0$ no tiene ningún cero de todos modos; y $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ con igualdad solo en puntos aislados ( $x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$ ), luego $g$ es estrictamente decreciente (Capítulo 14; alternativamente: en $\intcc{0}{1}$ , $\cos$ es estrictamente decreciente y $-x$ también, luego $g$ lo es). Una función estrictamente monótona se anula a lo sumo una vez.

Ejercicio 13.7 ★★

Sea $f \colon \R \to \R$ continua con $f(x) \to +\infty$ cuando $x \to \pm\infty$ . Demuéstrese que $f$ alcanza un mínimo global en $\R$ . (Redúzcase a un segmento que contenga un conjunto de subnivel.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.7.

Fíjese $M = f(0) + 1$ . Existe $A > 0$ con $f(x) \geq M$ para $\abs x \geq A$ (definición de los dos límites infinitos; tómese el umbral mayor). En el segmento $\intcc{-A}{A}$ , el teorema de los valores extremos (Teorema 13.13) proporciona $c$ con $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$ . Y para $\abs x \geq A$ : $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$ . Luego $f(c)$ es el mínimo global.

Ejercicio 13.8 ★★

Sea $f \colon \R \to \R$ continua y periódica (de período $T > 0$ ). Demuéstrese que $f$ está acotada y alcanza sus cotas, y que existe $c$ con $f(c + \frac T2) = f(c)$ . (Para lo segundo, estúdiese $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ sobre un período.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.8.

En el segmento $\intcc{0}{T}$ , $f$ está acotada y alcanza sus cotas (Teorema 13.13); por periodicidad, esas son las cotas en todo $\R$ , y se siguen alcanzando.

Sea $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ , continua. Entonces

g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr) = \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr) = f(T) - f(0) = 0 :

$g(0)$ y $g(\frac T2)$ tienen signos opuestos (o uno de ellos se anula), luego el teorema del valor intermedio en $\intcc{0}{T/2}$ da $c$ con $g(c) = 0$ , es decir, $f(c + \frac T2) = f(c)$ .

Ejercicio 13.9 ★★

Demuéstrese que $x \mapsto \sqrt x$ es uniformemente continua en $\intco{0}{+\infty}$ , aunque no sea lipschitziana cerca de $0$ . (Demuéstrese y úsese $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 13.9.

Primero la desigualdad: para $0 \leq y \leq x$ ,

\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,

luego $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$ , es decir, $\sqrt x - \sqrt y \leq \sqrt{x - y}$ . Por tanto, $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ para todos $x, y \geq 0$ .

Continuidad uniforme: dado $\varepsilon > 0$ , tómese $\delta = \varepsilon^2$ ; entonces $\abs{x - y} \leq \delta$ implica $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$ .

No lipschitziana cerca de $0$ : $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ cuando $x \to 0^+$ , luego ninguna constante $k$ puede dominar todos los cocientes incrementales.

Ejercicio 13.10 ★★★

Sea $f$ continua e inyectiva en un intervalo $I$ . Demuéstrese que $f$ es estrictamente monótona. Indicación: si no, hay $a < b < c$ con, digamos, $f(b) > f(a)$ y $f(b) > f(c)$ ; aplíquese el teorema del valor intermedio a un valor entre $\max(f(a), f(c))$ y $f(b)$ a ambos lados de $b$ .

Solución

Solución de Ejercicio 13.10.

Supóngase $f$ inyectiva, continua y no estrictamente monótona. Entonces hay $a < b < c$ en $I$ con $f(b)$ no comprendido entre $f(a)$ y $f(c)$ — en efecto, si en todas las ternas el valor central estuviera entre los extremos, $f$ sería monótona (compárense dos parejas cualesquiera; comprobación breve por casos). Digamos que $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (el otro caso es simétrico: sustitúyase $f$ por $-f$ ). Elíjase $v$ con $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$ . Por el teorema del valor intermedio aplicado en $\intcc{a}{b}$ y en $\intcc{b}{c}$ , hay $u_1 \in \intoo{a}{b}$ y $u_2 \in \intoo{b}{c}$ con $f(u_1) = v = f(u_2)$ : dos puntos distintos con imágenes iguales, en contradicción con la inyectividad.

Ejercicio 13.11 ★★★

(Ecuación funcional de Cauchy, caso continuo) Sea $f \colon \R \to \R$ continua con $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y$ . Demuéstrese que $f(x) = f(1)\,x$ para todo $x$ : primero en $\N$ , $\Z$ y $\Q$ (solo con la aditividad), y después en $\R$ por continuidad y densidad (Teorema 10.14).

Solución

Solución de Ejercicio 13.11.

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ da $f(0) = 0$ ; y $f(-x) = -f(x)$ sale de $0 = f(x - x)$ . Póngase $\alpha = f(1)$ . Inducción: $f(n) = n\alpha$ para $n \in \N$ , y después para $n \in \Z$ por imparidad. Para $q \in \N^*$ : $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (súmese $\frac pq$ consigo mismo $q$ veces), luego $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : se tiene $f = \alpha\,\mathrm{id}$ en $\Q$ .

Sea ahora $x \in \R$ y $(r_n)$ una sucesión de racionales con $r_n \to x$ (densidad, Teorema 10.14, aplicada en intervalos encajados; o bien $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ ). Por continuidad: $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$ .

Ejercicio 13.12 ★★★

Sea $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ continua con $f(x) \to \ell \in \R$ cuando $x \to +\infty$ . Demuéstrese que $f$ es uniformemente continua en $\intco{0}{+\infty}$ . (Córtese en un $A$ grande: Heine en $\intcc{0}{A+1}$ y el límite más allá de $A$ ; háganse solapar los dos regímenes.)

Solución

Solución de Ejercicio 13.12.

Sea $\varepsilon > 0$ . Por el límite en $+\infty$ , hay $A$ con $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ para $x \geq A$ ; luego, para $x, y \geq A$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (sin necesidad de proximidad alguna).

En el segmento $\intcc{0}{A + 1}$ , el teorema de Heine (Teorema 13.22) da $\delta_0 > 0$ para este $\varepsilon$ ; tómese $\delta = \min(\delta_0, 1)$ .

Tómense ahora $x, y \geq 0$ cualesquiera con $\abs{x - y} \leq \delta$ , digamos $x \leq y$ . Si $y \leq A + 1$ , los dos están en el segmento y se aplica el $\delta_0$ de Heine. Si no, $y > A + 1$ y entonces $x \geq y - 1 > A$ : los dos están en $\intco{A}{+\infty}$ , donde se aplica el argumento del límite. En ambos casos, $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ : continuidad uniforme.

13.6 Problema: la ecuación funcional de Cauchy y sus hermanas

Problema 13.1

Problema del fin de semana — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : la regularidad fuerza la linealidad, y el retrato de los monstruos

¿Qué funciones cumplen $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos los reales $x, y$ ? Cauchy planteó la pregunta en 1821; la respuesta es un paradigma. Ejercicio 13.11 muestra que una función así, llamada aditiva, es lineal en $\Q$ y que la continuidad plena fuerza $f(x) = cx$ . Este problema afina la hipótesis de forma drástica —la continuidad en un solo punto, o la monotonía, o la mera acotación en un pequeño intervalo, bastan cada una por sí sola—, después pinta el retrato de una hipotética solución no lineal (su gráfica llena el plano), resuelve las ecuaciones hermanas que caracterizan $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ y $cx^2$ , y cierra con la ecuación de Jensen y el teorema convexa en el punto medio $+$ continua $\implies$ convexa. En todo el problema, aditiva significa: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y \in \R$ .

Parte I — $\Q$ -linealidad, y un punto de continuidad.

Sea $f$ aditiva. Por el Ejercicio 13.11, $f(r) = f(1)\,r$ para $r$ racional. Demuéstrese el enunciado más fino que se usará más abajo: para todo $x \in \R$ y todo $r \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ es $\Q$ -lineal).
Supóngase que la $f$ aditiva es continua en un solo punto $x_0$ . Véase que $f$ es continua en todas partes (calcúlese $f(x + h) - f(x)$ en función de $f(x_0 + h) - f(x_0)$ ), luego $f(x) = f(1)\,x$ .
Véase que una función aditiva queda determinada por su restricción a cualquier subgrupo denso: si dos funciones aditivas coinciden en $\Z + \sqrt2\,\Z$ y las dos son continuas, son iguales — mientras que, sin continuidad, prescribir $f(1) = 0$ y $f(\sqrt 2) = 1$ es compatible con la $\Q$ -linealidad sobre el subgrupo. Calcúlese $f(m + n\sqrt2)$ para esta prescripción.
Sea $f$ aditiva y acotada superiormente por $M$ en algún intervalo $\intcc{a}{b}$ con $a < b$ . Véase que $f$ está acotada superiormente en $\intcc{0}{\ell}$ , con $\ell = b - a$ (trasládese por $a$ ).

Parte II — La escalera de regularidad.

Continuando la pregunta 4: usando $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ , véase que $f$ también está acotada inferiormente en $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ allí.
Véase que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ , y dedúzcase que $f$ es continua en $0$ (la imparidad se ocupa del lado izquierdo), y por tanto en todas partes (pregunta 2): una función aditiva acotada en un intervalo es lineal.
Dedúzcase el caso monótono: una función aditiva no decreciente en algún $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) es $f(x) = cx$ con $c \geq 0$ .
Móntese la escalera de regularidad: para una $f$ aditiva, son equivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ continua; (c) $f$ continua en un punto; (d) $f$ monótona en algún intervalo no degenerado; (e) $f$ acotada en algún intervalo no degenerado. Ordénense las implicaciones de modo que cada una sea trivial o ya esté demostrada.
Compruébese que las preguntas 4–6 solo consumieron una cota superior: una función aditiva acotada superiormente en un intervalo no degenerado ya es lineal. Dedúzcase el enunciado espejo para una cota inferior, y regístrese la forma más fuerte del peldaño (e) así obtenida.

Parte III — Retrato de un monstruo. Supóngase ahora $f$ aditiva pero no lineal.

Véase que hay reales no nulos $u, v$ con $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , y que los vectores $(u, f(u))$ y $(v, f(v))$ generan el plano (su determinante $u f(v) - v f(u)$ es no nulo).
Véase que la gráfica de $f$ contiene todos los puntos

$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$

y dedúzcase que la gráfica es densa en $\R^2$ : para todo punto $(x_0, y_0)$ del plano y todo $\varepsilon > 0$ , algún $(x, f(x))$ dista de él menos de $\varepsilon$ (resuélvase el sistema real $2\times2$ y aproxímense después los coeficientes reales por racionales).
Dedúzcase de la pregunta 11 el retrato completo: una función aditiva no lineal no está acotada en ningún intervalo no degenerado, es discontinua en todo punto, no es monótona en ningún intervalo y su imagen de cualquier intervalo es densa en $\R$ . Concíliese con la pregunta 8.
Los monstruos existen — sobre un subgrupo denso, y de forma constructiva: sobre $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ defínase $f(m + n\sqrt2) = n$ . Véase que $f$ está bien definida y es aditiva en $G$ , y que $f$ no está acotada en $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ para ningún $\varepsilon > 0$ (para $N$ fijo, solo finitos $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ cumplen $\abs n \leq N$ ; y, en cambio, $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ es infinito). Explíquese en un párrafo por qué extender una $f$ así a todo $\R$ exige una base de $\R$ como espacio vectorial sobre $\Q$ (una base de Hamel), cuya existencia es un asunto del axioma de elección que queda fuera de este volumen.

Parte IV — Las ecuaciones hermanas. Todas las funciones de esta parte son continuas.

Sea $f \colon \R \to \R$ continua, no idénticamente $0$ , con $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Véase que $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , después que $f > 0$ en todas partes y después que $f(x) = \eu^{cx}$ para algún $c$ : las exponenciales son exactamente los morfismos continuos de $(\R, +)$ en $(\R^*, \times)$ .
Sea $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ continua con $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Véase que $f(x) = c\ln x$ (transpórtese por $\exp$ ).
Sea $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ continua con $f(xy) = f(x)f(y)$ . Véase que $f(x) = x^c$ .
Hállense todas las $f \colon \R \to \R$ continuas con

$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$

(Estúdiese $h = 1 + f$ ; trátese aparte el caso degenerado.)
(Paralelogramo) Hállense todas las $f \colon \R \to \R$ continuas con $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : véase que $f$ es par, que $f(0) = 0$ , que $f(nx) = n^2 f(x)$ por inducción, y después que $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Esta ecuación es la huella dactilar de las formas cuadráticas — la ley del paralelogramo que detecta, en el volumen del segundo año, qué normas provienen de un producto escalar.)

Parte V — Jensen y la convexidad en el punto medio.

(Ecuación de Jensen) Sea $f \colon \R \to \R$ continua con $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Véase que $g = f - f(0)$ cumple $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , dedúzcase que $g$ es aditiva y conclúyase $f(x) = cx + d$ .
Supóngase ahora solo la desigualdad: $f$ continua con

$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$

Demuéstrese por inducción sobre $n$ que, para todos los pesos diádicos $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ :

$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$
Extiéndase por continuidad y por la densidad de los diádicos (Ejercicio 10.8) a todo $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : una función continua y convexa en el punto medio cumple la desigualdad de convexidad completa (la noción que se estudia sistemáticamente en el Capítulo 14).
Véase que no se puede prescindir de la continuidad: una $f$ aditiva no lineal cumple la igualdad en el punto medio de la pregunta 19 y, aun así, ninguna desigualdad de convexidad en ningún intervalo (pregunta 12). Moraleja: la convexidad en el punto medio es una propiedad de etapas numerables (los diádicos) y la convexidad, una del continuo; la continuidad es el puente — exactamente como en las partes I–II.

Parte VI — Últimas variaciones y síntesis.

Hállense todas las $f \colon \R \to \R$ continuas con $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ (réstese la solución particular $\frac{x^2}{2}$ ).
Demuéstrese: si $f \colon \R \to \R$ es continua y aditiva solo sobre un subgrupo denso $G$ (es decir, $f(g + g') = f(g) + f(g')$ para $g, g' \in G$ ), entonces $f$ es aditiva en $\R$ . Más en general, dos funciones continuas que coinciden en un subconjunto denso de $\R$ son iguales.
Síntesis, una frase para cada punto: (i) enúnciese de memoria la escalera de regularidad de la pregunta 8; (ii) explíquese por qué «gráfica densa en el plano» es la imagen mental correcta del fracaso de la regularidad; (iii) enumérense las cinco funciones clásicas caracterizadas en las partes IV y V y el único método que las atrapó a todas; (iv) nómbrense los dos lugares donde la densidad de $\Q$ (o de los diádicos) en $\R$ sostuvo el argumento, y el lugar donde no pudo hacerlo (pregunta 13).

Solución

Solución de Problema 13.1.

1. Para $n \in \N$ : $f(nx) = n f(x)$ por inducción ( $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$ ). Además, $f(0) = 2f(0)$ da $f(0) = 0$ , y $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ da la imparidad, de modo que $f(nx) = nf(x)$ para $n \in \Z$ . Para $r = \frac pq$ : $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$ , luego $f(rx) = r f(x)$ : $f$ es $\Q$ -lineal.

2. La aditividad da, para todos $x$ y $h$ :

f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .

Cuando $h \to 0$ , el miembro derecho tiende a $0$ por la continuidad en $x_0$ ; luego $f(x + h) \to f(x)$ : continuidad en todo $x$ . Y entonces el Ejercicio 13.11 da $f(x) = f(1)\,x$ .

3. Dos funciones aditivas continuas son de la forma $cx$ y $c'x$ (pregunta 2); si coinciden en el subgrupo denso $\Z + \sqrt2\,\Z$ (Ejercicio 10.9), entonces $c\,g = c'g$ para algún $g \neq 0$ de él: $c = c'$ y las funciones son iguales. Sin continuidad: la $\Q$ -linealidad solo liga los valores en las $\Q$ -combinaciones, y $1, \sqrt2$ son $\Q$ -independientes ( $\sqrt2 \notin \Q$ ), de modo que $f(1) = 0$ , $f(\sqrt2) = 1$ es compatible y fuerza, sobre el subgrupo,

f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .

4. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ : $a + t \in \intcc{a}{b}$ , luego $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$ .

5. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ , también $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ , y la aditividad da $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ . Por tanto, $\abs{f} \leq C$ en $\intcc{0}{\ell}$ con $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ .

6. Para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ : $nt \in \intcc{0}{\ell}$ y $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (pregunta 1), luego $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$ . Dado $\varepsilon > 0$ , elíjase $n > \frac C\varepsilon$ : para $0 \leq h \leq \frac\ell n$ se tiene $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$ , y para $h$ negativo úsese $f(h) = -f(-h)$ . Así, $f(h) \to 0 = f(0)$ cuando $h \to 0$ : continuidad en $0$ y, por tanto, en todas partes (pregunta 2), luego $f(x) = f(1)x$ .

7. Si $f$ es no decreciente en $\intcc{a}{b}$ , entonces $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ ahí: está acotada, luego es lineal por la pregunta 6, $f(x) = cx$ ; y $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ obliga a $c \geq 0$ .

8. (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c): trivial. (c) $\Rightarrow$ (a): pregunta 2. (a) $\Rightarrow$ (d): una función lineal es monótona en todas partes. (d) $\Rightarrow$ (e): una función monótona en $\intcc{a}{b}$ está acotada ahí por sus valores en los extremos. (e) $\Rightarrow$ (a): preguntas 4–6. Los cinco enunciados son equivalentes — la escalera de regularidad.

9. La pregunta 4 solo usó la cota superior $M$ ; la pregunta 5 dedujo la cota inferior de la superior mediante la reflexión $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ ; y la pregunta 6 corrió sobre $\abs f \leq C$ . Así pues: aditiva y acotada superiormente en un intervalo no degenerado ya implica lineal. Para una cota inferior, aplíquese esto a $-f$ (aditiva y acotada superiormente). Peldaño (e) más fuerte: basta una cota unilateral en un intervalo.

10. Si $\frac{f(x)}{x}$ fuera una misma constante $c$ para todo $x \neq 0$ , $f$ sería lineal; luego hay $u, v$ no nulos con $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$ , es decir, $u f(v) - v f(u) \neq 0$ : el determinante de los vectores $(u, f(u))$ , $(v, f(v))$ es no nulo, y generan $\R^2$ .

11. Para $r, s \in \Q$ : $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (pregunta 1 dos veces, más la aditividad), luego la gráfica contiene

\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr) = r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .

Dados $(x_0, y_0)$ y $\varepsilon > 0$ : el sistema $2 \times 2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ tiene una (única) solución real $(a, b)$ , pues el determinante es no nulo. Tómense racionales $r_n \to a$ , $s_n \to b$ : entonces $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coordenada a coordenada, y todos esos puntos están en la gráfica: la gráfica es densa en $\R^2$ .

12. Sea $I$ un intervalo no degenerado, $x_0$ su punto medio y $M$ arbitrario: la densidad proporciona un punto de la gráfica a distancia menor que $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M + 1)$ , es decir, un $x \in I$ con $f(x) > M$ : no acotada en $I$ y, por tanto (pregunta 8), discontinua en todo punto y monótona en ningún intervalo; y, para cualquier objetivo $y_0$ , los puntos de la gráfica próximos a $(x_0, y_0)$ dan valores $f(x)$ arbitrariamente cercanos a $y_0$ con $x \in I$ : $f(I)$ es denso en $\R$ . Esto es la pregunta 8 leída al revés: como todos los peldaños son equivalentes, una función aditiva no lineal tiene que fallarlos todos, en todas partes.

13. Está bien definida: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ obliga a $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$ , luego $n = n'$ (si no, $\sqrt2 \in \Q$ ) y $m = m'$ . La aditividad en $G$ es entonces clara coordenada a coordenada. No acotación cerca de $0^+$ : fíjense $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ y $N \in \N$ . Para cada $n$ fijo con $\abs n \leq N$ , la condición $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ encierra $m$ en un intervalo de longitud $1$ : a lo sumo un entero $m$ por cada $n$ , de modo que a lo sumo $2N + 1$ elementos de $G \cap \intoo{0}{1}$ cumplen $\abs{f} \leq N$ . Pero $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ es infinito ( $G$ es denso, Ejercicio 10.9); luego contiene algún $g$ con $\abs{f(g)} > N$ : $f$ no está acotada en ningún entorno por la derecha de $0$ . Extender $f$ a una función aditiva en $\R$ significa elegir valores de forma coherente sobre una familia de reales que sea $\Q$ -linealmente independiente y genere $\R$ sobre $\Q$ — una base de Hamel; producir una exige el axioma de elección, y ninguna fórmula explícita puede hacerlo: constructivamente solo poseemos el monstruo sobre $G$ .

14. $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$ . Si $f(x_0) = 0$ , entonces $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ para todo $x$ : excluido. Luego $f > 0$ y $g = \ln \circ f$ es continua (Proposición 13.8) con $g(x + y) = g(x) + g(y)$ : por el Ejercicio 13.11, $g(x) = cx$ , luego $f(x) = \eu^{cx}$ . Recíprocamente, cada $\eu^{cx}$ sirve: los morfismos continuos $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ son exactamente las exponenciales.

15. $g(u) = f(\eu^u)$ es continua y $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$ , y todo $x > 0$ se escribe $x = \eu^u$ con $u = \ln x$ : $f(x) = c\ln x$ .

16. $h = \ln \circ f$ es continua en $\intoo{0}{+\infty}$ con $h(xy) = h(x) + h(y)$ : por la pregunta 15, $h(x) = c\ln x$ , luego $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$ .

17. $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$ , luego $f(0)(1 + f(0)) = 0$ . Si $f(0) = -1$ : haciendo $y = 0$ , $f(x) = f(x) + f(0) + f(x)f(0) = -1$ para todo $x$ : la constante $f \equiv -1$ (que, en efecto, cumple la ecuación). En caso contrario, $f(0) = 0$ ; $h = 1 + f$ es continua, $h(0) = 1$ , y

h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :

por la pregunta 14, $h(x) = \eu^{cx}$ , es decir, $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (el caso $c = 0$ da $f \equiv 0$ ). Lista completa: $f \equiv -1$ y $f(x) = \eu^{cx} - 1$ , $c \in \R$ .

18. $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$ , luego $f(0) = 0$ . $x = 0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$ , luego $f$ es par. $y = x$ : $f(2x) = 4f(x)$ . Inducción usando $(x, y) \to (nx, x)$ :

f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x) = (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .

Después, $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ da $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ : $f(r) = r^2 f(1)$ en $\Q$ (la paridad se ocupa de los signos). Las dos funciones continuas $f$ y $x \mapsto f(1)x^2$ coinciden en el conjunto denso $\Q$ y, por tanto, en todas partes (pregunta 24): $f(x) = f(1)\,x^2$ ; y todo $cx^2$ cumple la ecuación.

19. $g = f - f(0)$ es continua, $g(0) = 0$ y cumple la ecuación de Jensen (las constantes se cancelan). Haciendo $y = 0$ : $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ . Entonces, para todos $x, y$ :

\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) = \frac{g(x) + g(y)}{2} ,

luego $g$ es aditiva y continua: $g(x) = cx$ (pregunta 2), y $f(x) = cx + d$ con $d = f(0)$ . Todas las funciones afines cumplen la de Jensen: la lista es completa.

20. Inducción sobre $n$ . Para $n = 0$ : $\lambda \in \{0, 1\}$ , trivial. Supóngase la desigualdad para todos los pesos $\frac{k}{2^n}$ . Un peso $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ con $k$ par se reduce al nivel $n$ ; y para $k = 2j + 1$ , $\lambda$ es el punto medio de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ y $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ . Con $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ : $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$ , luego

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) \leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2} \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 - \lambda_2)f(y)}{2} = \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .

21. Fíjense $x, y$ . Las aplicaciones $\lambda \mapsto f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ y $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ son continuas en $\intcc{0}{1}$ (composición y álgebra, Proposición 13.8). La desigualdad se cumple en los pesos diádicos, que son densos en $\intcc{0}{1}$ (Ejercicio 10.8); y para $\lambda$ arbitrario tómense diádicos $\lambda_n \to \lambda$ y pásese al límite (Teorema 13.3 y Teorema 11.7): la desigualdad de convexidad vale para todo $\lambda \in \intcc{0}{1}$ — convexidad en el punto medio más continuidad es igual a convexidad (la noción del Capítulo 14).

22. Una $f$ aditiva no lineal cumple $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ con igualdad (pregunta 1 con $r = \frac12$ , más la aditividad): es convexa en el punto medio, e incluso afín en el punto medio. Si cumpliera la desigualdad de convexidad completa en algún intervalo $\intcc{x}{y}$ , entonces, para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — acotada superiormente en un intervalo no degenerado y, por tanto, lineal por la pregunta 9: contradicción. Así pues, la continuidad de la pregunta 21 no es un lujo: sin ella, la convexidad en el punto medio solo controla el esqueleto diádico numerable, y el continuo que queda en medio se desboca.

23. $p(x) = \frac{x^2}{2}$ cumple $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ . Si $f$ es una solución continua cualquiera, $g = f - p$ es continua y aditiva, luego $g(x) = cx$ :

f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,

y cada una de ellas es solución: la lista es completa.

24. Principio general: si $u, v$ son continuas y coinciden en un $D \subseteq \R$ denso, entonces, para $x \in \R$ , elíjanse $d_n \in D$ con $d_n \to x$ (Proposición 12.11); $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n) = v(x)$ . Sea ahora $f$ continua y aditiva en el subgrupo denso $G$ . Fíjense $x, y \in \R$ y tómense $g_n \to x$ , $g'_n \to y$ con $g_n, g'_n \in G$ ; entonces $g_n + g'_n \to x + y$ y, por continuidad secuencial en $x + y$ , en $x$ y en $y$ :

f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) + f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :

$f$ es aditiva en todo $\R$ (y, por tanto, lineal, por la pregunta 2).

25. (i) Para $f$ aditiva: lineal $\iff$ continua $\iff$ continua en un punto $\iff$ monótona en algún intervalo $\iff$ acotada (incluso por un solo lado) en algún intervalo. (ii) La densidad de la gráfica en el plano muestra que el fallo no es un defecto local, sino una explosión global: sobre cada subintervalo los valores se untan por todo $\R$ , de modo que toda propiedad de regularidad falla en todas partes a la vez. (iii) El botín: $cx$ , $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ , $cx^2$ y $cx + d$ — seis caracterizaciones, un solo método: transportar la ecuación a la de Cauchy, demostrar el esqueleto sobre $\Q$ por inducción y ascender a $\R$ por densidad más continuidad. (iv) La densidad de $\Q$ (o de los diádicos) sostuvo los ascensos del Ejercicio 13.11 y de la pregunta 21; y no sostuvo nada en la pregunta 13, porque sin continuidad los valores no se propagan de un conjunto denso a su clausura — la densidad solo transfiere información a lo largo de la continuidad.

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