Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

4Funciones usuales

El análisis vale lo que valga el repertorio de funciones que uno domine. A la colección heredada de la enseñanza anterior — potencias, exponencial, logaritmo, funciones trigonométricas — este capítulo añade sus funciones inversas ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ ) y la familia hiperbólica. Las derivadas se usan con libertad al nivel del volumen anterior; la teoría que hay detrás de las funciones inversas se completa en los Capítulos 13 y 14.

4.1 Exponencial, logaritmo, potencias

Proposición 4.1 (Repaso y caracterización)

$\exp \colon \R \to \intoo{0}{+\infty}$ y $\ln \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ son biyecciones recíprocas, estrictamente crecientes, con

\exp(x + y) = \exp x \exp y, \qquad \ln(xy) = \ln x + \ln y, \qquad \exp' = \exp, \qquad \ln'(x) = \frac 1x .

Además, $\exp$ es la única función derivable $f \colon \R \to \R$ con $f' = f$ y $f(0) = 1$ .

Demostración. El repaso es materia del volumen anterior. Para la unicidad, sea $f' = f$ , $f(0) = 1$ , y póngase $g(x) = f(x)\,\eu^{-x}$ . Entonces $g' = f'\eu^{-x} - f\eu^{-x} = 0$ , luego $g$ es constante igual a $g(0) = 1$ : $f = \exp$ . ∎

Definición 4.2 (Potencias de exponente real)

Para $x > 0$ y $\alpha \in \R$ : $\;x^\alpha = \eu^{\alpha \ln x}$ . Para $a > 0$ , $a \neq 1$ , el logaritmo en base $a$ es $\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$ , la inversa de $x \mapsto a^x$ .

Ejemplo 4.3 (Resolver ecuaciones exponenciales)

Resuélvase $2^x = 5^{\,x-1}$ en $\R$ . Los dos miembros son positivos, así que se toman logaritmos — un paso reversible:

x\ln2 = (x - 1)\ln5 \iff x(\ln2 - \ln5) = -\ln5 \iff x = \frac{\ln5}{\ln5 - \ln2} = \frac{\ln 5}{\ln\frac52} \approx 1.756 .

A continuación, resuélvase $x^{\sqrt2} = 3$ para $x > 0$ : elévese a la potencia $\frac1{\sqrt2}$ (es decir, aplíquese la biyección recíproca): $x = 3^{1/\sqrt2} = \eu^{(\ln 3)/\sqrt2} \approx 2.175$ . La idea clave: toda ecuación que mezcle potencias se desenreda con $\ln$ y $\exp$ , porque la definición $x^\alpha = \eu^{\alpha\ln x}$ reduce toda manipulación de potencias a la aritmética de los exponentes — pero solo en el dominio $x > 0$ donde esa definición vive.

Ejemplo 4.4 (Tiempos de duplicación)

Una magnitud crece un $3\,\%$ en cada paso: tras $n$ pasos queda multiplicada por $(1.03)^n$ . ¿Cuándo se duplica? Resuélvase $(1.03)^n \geq 2$ :

n\ln(1.03) \geq \ln2 \iff n \geq \frac{\ln 2}{\ln 1.03} = \frac{0.6931}{0.02956} \approx 23.4 ,

de modo que la primera duplicación ocurre en el paso $24$ . (La «regla del $72$ » de los financieros, que estima el tiempo de duplicación como $72$ dividido por la tasa en tanto por ciento, es este mismo cálculo con la aproximación $\ln(1 + x) \approx x$ , cuantificada en el Capítulo 16.) Los procesos exponenciales se razonan mejor a través de sus logaritmos: en esa escala el crecimiento es lineal y las preguntas se vuelven divisiones.

Ejemplo 4.5 (¿Cuánto ocupa $2^{2026}$ ?)

El número de cifras decimales de un entero $N \geq 1$ es $\floor{\log_{10} N} + 1$ (en efecto, $N$ tiene $d$ cifras exactamente cuando $10^{d-1} \leq N < 10^d$ , es decir, $d - 1 \leq \log_{10}N < d$ ). Para $N = 2^{2026}$ :

\log_{10} 2^{2026} = 2026\,\log_{10}2 = 2026 \times 0.301030 = 609.887 ,

luego $2^{2026}$ tiene $610$ cifras. La parte fraccionaria trae una prima: $10^{0.887} \approx 7.7$ , así que el número empieza por $7$ . Una multiplicación ha respondido a una pregunta sobre un número que nadie escribirá nunca — los logaritmos comprimen el tamaño multiplicativo en tamaño aditivo, que es su razón de ser histórica (el Ejemplo 7.12 hace precisa esa frase).

Proposición 4.6 (Reglas de las potencias y comparación de crecimientos)

Para $x, y > 0$ y $\alpha, \beta \in \R$ :

x^{\alpha+\beta} = x^\alpha x^\beta, \quad (x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}, \quad (xy)^\alpha = x^\alpha y^\alpha, \quad (x^\alpha)' = \alpha\, x^{\alpha - 1}.

Escala de crecimiento cuando $x \to +\infty$ , para todos $\alpha > 0$ y $\beta > 0$ :

\frac{(\ln x)^\beta}{x^\alpha} \longrightarrow 0, \qquad \frac{x^\alpha}{\eu^{\beta x}} \longrightarrow 0 .

Demostración. Las identidades transcriben las de $\exp$ y $\ln$ a través de la definición. Con detalle, la segunda (la menos evidente): $x^\alpha > 0$ y $\ln(x^\alpha) = \alpha\ln x$ (aplíquese $\ln$ a la definición), luego

(x^\alpha)^\beta = \eu^{\beta\ln(x^\alpha)} = \eu^{\beta\alpha\ln x} = x^{\alpha\beta} ;

la primera y la tercera son los mismos desarrollos de dos líneas mediante $\exp(u + v) = \exp u\exp v$ y $\ln(xy) = \ln x + \ln y$ . La derivada es la regla de la cadena: $(\eu^{\alpha\ln x})' = \frac{\alpha}{x} \eu^{\alpha\ln x}$ .

Comparaciones: de $\frac{\ln t}{t} \to 0$ (demostrado en el volumen anterior), sustitúyase $t = x^{\alpha/\beta}$ : $\frac{\ln x}{x^{\alpha/\beta}} \to 0$ , y elévese después a la potencia $\beta$ . Para la segunda, sustitúyase $x = \ln u$ en la primera. ∎

Ejemplo 4.7 (Dos límites que conviene tener siempre a mano)

¿Cuánto valen $\lim_{x \to 0^+} x^x$ y $\lim_{x \to +\infty} x^{1/x}$ ? Las dos potencias se definen mediante la exponencial, así que lo primero es resolver el exponente:

x^x = \eu^{x\ln x}, \qquad x\ln x = -\frac{\ln(1/x)}{1/x} \longrightarrow 0 \quad (x \to 0^+), \qquad\text{so } x^x \longrightarrow \eu^0 = 1 ;

y $x^{1/x} = \eu^{(\ln x)/x} \to \eu^0 = 1$ cuando $x \to +\infty$ , directamente por la comparación de crecimientos. La idea clave: una potencia indeterminada (de la forma $0^0$ o $\infty^0$ ) se trata siempre reescribiéndola $u^v = \eu^{v\ln u}$ y analizando el producto $v \ln u$ — nunca adivinando por separado a partir de la base y del exponente. La función $x \mapsto \frac{\ln x}{x}$ que ha decidido los dos límites se estudia a fondo en el problema del fin de semana de este capítulo.

La escala de crecimiento de la : cerca del borde derecho, x apenas ha pasado de 1.6 mientras que x ya se ha salido del marco. Todos los cocientes (logaritmo entre potencia, potencia entre exponencial) tienden a 0 — el dibujo solo lo insinúa; las sustituciones de la demostración lo hacen exacto. — La escala de crecimiento de la Proposición 4.6: cerca del borde derecho, $\ln x$ apenas ha pasado de $1.6$ mientras que $\eu^x$ ya se ha salido del marco. Todos los cocientes (logaritmo entre potencia, potencia entre exponencial) tienden a $0$ — el dibujo solo lo insinúa; las sustituciones de la demostración lo hacen exacto.

Observación 4.8 (Errores frecuentes con potencias y logaritmos)

Dominios. $x^\alpha$ con $\alpha$ irracional exige $x > 0$ ; conviene evitar $(-8)^{1/3}$ y hablar de «la raíz cúbica real de $-8$ », porque la regla $(x^\alpha)^\beta = x^{\alpha\beta}$ falla en silencio sobre los negativos: $\bigl((-8)^2\bigr)^{1/6} = 2 \neq -2$ .
$\sqrt{x^2} = \abs x$ , no $x$ : olvidar el valor absoluto es la fuente clásica de soluciones negativas perdidas.
$\ln(xy) = \ln x + \ln y$ exige $x, y > 0$ . Para argumentos negativos, $\ln(xy)$ puede estar definido sin que lo esté el miembro derecho.
¿Qué es lo que crece? En $x^\alpha$ varía la base; en $a^x$ , el exponente. Sus crecimientos son radicalmente distintos (Proposición 4.6), y las expresiones híbridas como $x^{\ln x}$ o $x^{1/x}$ hay que reescribirlas como $\eu^{(\cdot)}$ antes de razonar — como en el Ejemplo 4.7.

4.2 Funciones trigonométricas inversas

Definición 4.9 ( $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ )

Las restricciones

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

son biyecciones estrictamente monótonas. Sus aplicaciones inversas se escriben $\arcsin$ , $\arccos$ y $\arctan$ . Así, por ejemplo, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) es el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ cuyo seno vale $x$ .

De izquierda a derecha: , , . Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta y = x. — De izquierda a derecha: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta $y = x$ .

Proposición 4.10 (Derivadas)

En el interior de sus dominios:

\arcsin' x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arccos' x = \frac{-1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \arctan' x = \frac{1}{1 + x^2}.

Demostración. Anticipando la regla de derivación de la función inversa, demostrada en el Capítulo 14: si $f$ es una biyección derivable con $f' \neq 0$ , entonces $(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ . Para $\arcsin$ : con $y = \arcsin x$ ,

\arcsin' x = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},

donde $\cos y = +\sqrt{1 - \sin^2 y}$ porque $y \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ obliga a $\cos y > 0$ . Análogamente, $\arccos' x = \frac{1}{-\sin y}$ con $\sin y > 0$ en $\intoo{0}{\pi}$ , y $\arctan' x = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$ usando $\tan' = 1 + \tan^2$ . ∎

Ejemplo 4.11 (Reconocer una constante escondida)

Estúdiese $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ . Regla de la cadena y un cálculo breve:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

puesto que $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Así pues, $g' = -\arctan'$ : la función $g + \arctan$ tiene derivada nula en el intervalo $\intoo{-1}{+\infty}$ y, por tanto, es constante ahí; su valor en $x = 0$ es $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Conclusión:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

En $\intoo{-\infty}{-1}$ vale el mismo cálculo de la derivada, pero la constante es otra ( $-\frac{3\pi}4$ : evalúese el límite cuando $x \to -\infty$ ). La idea clave: «derivada nula implica constante» es un enunciado intervalo por intervalo — exactamente la sutileza que explotan los Ejercicio 4.6 y Ejercicio 4.10.

Proposición 4.12 (Identidades usuales)

Para $x \in \intcc{-1}{1}$ : $\arcsin x + \arccos x = \dfrac{\pi}{2}$ .
Para $x > 0$ : $\arctan x + \arctan\dfrac 1x = \dfrac{\pi}{2}$ (y $-\frac\pi2$ para $x < 0$ ).
$\sin(\arccos x) = \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$ ; $\;\tan(\arcsin x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ para $\abs x < 1$ .

Demostración. (1) La derivada de $x \mapsto \arcsin x + \arccos x$ es nula en $\intoo{-1}{1}$ (Proposición 4.10), luego la función es constante ahí, igual a su valor $\frac\pi2$ en $0$ ; los valores en los extremos $\pm 1$ se comprueban directamente ( $\frac\pi2 + 0$ y $-\frac\pi2 + \pi$ ).

(2) El mismo método en $\intoo{0}{+\infty}$ : la derivada vale $\frac{1}{1+x^2} + \frac{-1/x^2}{1 + 1/x^2} = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{x^2 + 1} = 0$ , y en $x = 1$ la suma es $2\arctan 1 = \frac\pi2$ . Para $x < 0$ , úsese que $\arctan$ es impar.

(3) Con $y = \arccos x \in \intcc{0}{\pi}$ : $\sin y \geq 0$ , luego $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$ ; análogamente para $\cos(\arcsin x)$ , y la fórmula de la tangente es el cociente. ∎

Observación 4.13

$\arcsin(\sin\theta) = \theta$ se cumple solo para $\theta \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ : por ejemplo, $\arcsin(\sin\pi) = 0 \neq \pi$ . La composición en el otro sentido, $\sin(\arcsin x) = x$ , vale en todo $\intcc{-1}{1}$ .

Ejemplo 4.14 (Volver al intervalo principal)

Calcúlense

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{y}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

La receta: sustitúyase el ángulo por el único ángulo de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con la misma tangente, es decir, réstese el múltiplo adecuado de $\pi$ (el período de $\tan$ ). Primero: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , luego la respuesta es $-\frac\pi4$ . Segundo: $\frac{17\pi}5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , luego la respuesta es $\frac{2\pi}5$ . El cálculo es una división euclídea del ángulo por $\pi$ disfrazada — y las recetas análogas para $\arcsin$ (llevar por reflexión a $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , período $2\pi$ ) y $\arccos$ (llevar a $\intcc0\pi$ ) mueven el Ejercicio 4.1 y la respuesta a trozos del Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.15 (Sumar arcotangentes sin riesgos)

Demostremos que

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Dos ingredientes: la fórmula de la tangente de una suma y — el paso que olvidan los principiantes — una localización de la suma. Primero, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ con $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ da

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{y después}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Segundo, cada uno de los tres ángulos está en $\intoo0{\frac\pi4}$ (sus argumentos son menores que $1$ ), luego la suma está en $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; el único ángulo de ahí con tangente $1$ es $\frac\pi4$ . Sin la localización, la conclusión sería « $\frac\pi4$ salvo múltiplos de $\pi$ » — media demostración. La misma disciplina en dos pasos mueve los Ejercicio 4.8 y Ejercicio 4.12.

Ejemplo 4.16 (Una ecuación con arcotangentes)

Resuélvase $\arctan x + \arctan 2x = \dfrac\pi4$ . Localícese primero: el miembro izquierdo tiene el signo de $x$ (los dos términos lo tienen), así que toda solución cumple $x > 0$ , y entonces la suma está en $\intoo0\pi$ . Tómense tangentes (inyectiva en ningún intervalo de longitud $\pi$ , pero junto con la localización bastará): la fórmula de la suma da

\tan\bigl(\arctan x + \arctan 2x\bigr) = \frac{3x}{1 - 2x^2} = 1 \iff 2x^2 + 3x - 1 = 0 \iff x = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}4 .

La raíz negativa queda descartada por la localización; para el candidato positivo $x_0 = \frac{\sqrt{17} - 3}4 \approx 0.28$ , la suma está en $\intoo0\pi$ con tangente $1$ , y el único ángulo así es $\frac\pi4$ (en $\intoo{\frac\pi2}\pi$ la tangente es negativa): $x_0$ es la única solución. Obsérvese la forma del argumento: tomar tangentes puede crear soluciones, nunca perderlas, así que se resuelve la ecuación polinómica y después se filtra por localización — la misma disciplina de comprobación posterior que al elevar al cuadrado una ecuación.

4.3 Funciones hiperbólicas

Definición 4.17 ( $\cosh$ , $\sinh$ , $\tanh$ )

Para $x \in \R$ :

\cosh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}, \qquad \sinh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}

(coseno, seno y tangente hiperbólicos). $\cosh$ es par; $\sinh$ y $\tanh$ son impares.

Proposición 4.18 (Propiedades básicas)

Para todos $x, y \in \R$ :

$\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ ;
$\cosh' = \sinh$ , $\;\sinh' = \cosh$ , $\;\tanh' = 1 - \tanh^2 = \dfrac{1}{\cosh^2}$ ;
$\cosh(x+y) = \cosh x\cosh y + \sinh x \sinh y$ y $\sinh(x+y) = \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y$ ;
$\sinh$ es una biyección estrictamente creciente de $\R$ sobre $\R$ ; $\cosh$ restringido a $\R_+$ es una biyección estrictamente creciente sobre $\intco{1}{+\infty}$ ; $\tanh$ es una biyección estrictamente creciente de $\R$ sobre $\intoo{-1}{1}$ .

Demostración. (1) $\bigl(\frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2}\bigr)^2 = \frac{(\eu^{2x} + 2 + \eu^{-2x}) - (\eu^{2x} - 2 + \eu^{-2x})}{4} = 1$ .

(2) Se derivan las fórmulas de definición; para $\tanh$ , la regla del cociente da $\frac{\cosh^2 - \sinh^2}{\cosh^2}$ , que es a la vez $1 - \tanh^2$ y $\frac{1}{\cosh^2}$ por (1).

(3) Se desarrollan los miembros derechos con las definiciones. Con detalle para la primera fórmula:

\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y = \frac{(\eu^x + \eu^{-x})(\eu^y + \eu^{-y}) + (\eu^x - \eu^{-x})(\eu^y - \eu^{-y})}{4} ;

de los ocho productos, los cuatro «mixtos» ( $\eu^{x-y}$ , $\eu^{y-x}$ ) se cancelan por parejas, mientras que $\eu^{x+y}$ y $\eu^{-(x+y)}$ aparecen cada uno dos veces: el total es $\frac{2\eu^{x+y} + 2\eu^{-(x+y)}}{4} = \cosh(x+y)$ . La fórmula del seno es idéntica, sobreviviendo los términos mixtos en lugar de los otros.

(4) $\sinh' = \cosh \geq 1 > 0$ , luego $\sinh$ es estrictamente creciente, con límites $\pm\infty$ (término dominante $\pm\frac{\eu^{\abs x}}{2}$ ); el enunciado sobre la biyección se sigue entonces del teorema del valor intermedio (usado al nivel del volumen anterior; tratamiento sistemático en el Capítulo 13). En $\R_+$ , $\cosh' = \sinh \geq 0$ se anula solo en $0$ : estrictamente creciente desde $\cosh 0 = 1$ hasta $+\infty$ . Y $\tanh' > 0$ con límites $\pm 1$ en $\pm\infty$ : con detalle, detail,

\tanh x = \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{\eu^x + \eu^{-x}} = \frac{1 - \eu^{-2x}}{1 + \eu^{-2x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 1 ,

tras dividir numerador y denominador por $\eu^x$ , y la imparidad da el límite $-1$ en $-\infty$ ; la función estrictamente creciente $\tanh$ envía por tanto $\R$ sobre $\intoo{-1}1$ . ∎

A la izquierda: y , asintóticamente pegados a x/2 (a trazos). A la derecha: , creciente de -1 a 1. — A la izquierda: $\cosh$ y $\sinh$ , asintóticamente pegados a $\frac{\eu^x}{2}$ (a trazos). A la derecha: $\tanh$ , creciente de $-1$ a $1$ .

Observación 4.19 (¿Por qué «hiperbólicas»?)

El punto $(\cosh t, \sinh t)$ recorre la rama $x > 0$ de la hipérbola $x^2 - y^2 = 1$ (por la Proposición 4.18 (1)), exactamente como $(\cos t, \sin t)$ recorre la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$ . Toda identidad circular tiene una hermana hiperbólica, con cambios de signo gobernados por $\sinh^2 \leftrightarrow -\sin^2$ .

Ejemplo 4.20 (La fórmula de adición de $\tanh$ )

Dividiendo por $\cosh x\cosh y$ las dos fórmulas de adición de la Proposición 4.18 (3):

\tanh(x + y) = \frac{\sinh x\cosh y + \cosh x\sinh y} {\cosh x\cosh y + \sinh x\sinh y} = \frac{\tanh x + \tanh y}{1 + \tanh x\,\tanh y} ,

la hermana hiperbólica de la fórmula de adición de la tangente — con un $+$ donde la trigonometría tiene un $-$ . Un dividendo: como $\abs{\tanh} < 1$ , el miembro derecho es una regla de «suma de velocidades» que nunca sale de $\intoo{-1}1$ : si $u, v \in \intoo{-1}1$ , entonces $\frac{u + v}{1 + uv} \in \intoo{-1}1$ también (escríbanse $u = \tanh a$ , $v = \tanh b$ , posible por biyectividad, y léase la fórmula al revés). Comprobarlo por álgebra, sin funciones hiperbólicas, es un ejercicio algo penoso; parametrizar con $\tanh$ lo convierte en una línea — la misma estrategia que las funciones circulares brindan para la circunferencia unidad.

Proposición 4.21 (Funciones hiperbólicas inversas)

Las inversas que garantiza la Proposición 4.18 (4) tienen forma cerrada:

\operatorname{arsinh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 + 1}\bigr) \ (x \in \R), \qquad \operatorname{arcosh} x = \ln\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr) \ (x \geq 1),

\operatorname{artanh} x = \frac 12 \ln\frac{1 + x}{1 - x} \ (\abs x < 1),

con derivadas $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ , $\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ ( $x > 1$ ) y $\frac{1}{1 - x^2}$ , respectivamente.

Demostración. Para $\operatorname{arsinh}$ : resuélvase $x = \sinh y = \frac{\eu^y - \eu^{-y}}{2}$ . Poniendo $u = \eu^y > 0$ : $u^2 - 2xu - 1 = 0$ , luego $u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ (la raíz $x - \sqrt{x^2+1}$ es negativa), y $y = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ . Las otras dos son cálculos idénticos ( $u^2 - 2xu + 1 = 0$ para $\operatorname{arcosh}$ , quedándose con la raíz $\geq 1$ ; una reordenación de dos líneas para $\operatorname{artanh}$ ). Derivadas: se derivan las expresiones logarítmicas; por ejemplo,

\bigl(\ln(x + \sqrt{x^2+1})\bigr)' = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x + \sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} . \qedhere

∎

Ejemplo 4.22 (Las formas cerradas en acción)

La solución de $\cosh t = 2$ con $t \geq 0$ es, por la forma cerrada, $t = \operatorname{arcosh} 2 = \ln(2 + \sqrt3) \approx 1.317$ ; la otra solución es $-t$ , por paridad — y, en efecto, $\ln(2 - \sqrt3) = \ln\frac1{2 + \sqrt3} = -\ln(2 + \sqrt3)$ : las dos raíces $u = \eu^t$ de la cuadrática $u^2 - 4u + 1 = 0$ son inversas la una de la otra, como exige su producto $1$ (Vieta). Este cálculo mínimo muestra el patrón general: las ecuaciones hiperbólicas se convierten en cuadráticas en $\eu^t$ , y la simetría $t \mapsto -t$ aparece como la simetría $u \mapsto 1/u$ de la cuadrática — conviene recordarlo al resolver el Ejercicio 4.7.

Método 4.23 (Elegir la primitiva adecuada)

Los tres patrones de derivada que hay que memorizar para la integración (Capítulo 15):

\int \frac{\dd x}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{\dd x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arsinh} x + C,

y, para una cuadrática cualquiera, se reduce a estos completando cuadrados y reescalando.

Observación 4.24 (Dónde se usa este capítulo)

Este capítulo es el vocabulario de trabajo de todo el análisis que viene. La escala de crecimiento de la Proposición 4.6 decide cuestiones de convergencia en los Capítulos 11 y 17; las fórmulas de derivación de las Proposición 4.10 y Proposición 4.21 son las primitivas que más falta hacen en el Capítulo 15, vía el Método 4.23; las funciones hiperbólicas parametrizan las soluciones de la ecuación $y'' = y$ en el Capítulo 5 exactamente como las circulares parametrizan las de $y'' = -y$ . La caracterización de $\exp$ por $f' = f$ , $f(0) = 1$ (Proposición 4.1) es la semilla unidimensional de la teoría de las ecuaciones diferenciales lineales, y la catenaria $y = \cosh x$ vuelve entre las curvas planas del Capítulo 24.

Observación 4.25 (Interludio: el programa de la función inversa)

Este capítulo ha ejecutado cuatro veces el mismo programa: restringir una función hasta que sea una biyección estrictamente monótona, dar nombre a la inversa y transportar por ella todas las fórmulas. Lo que se ha usado en cada paso — que una función continua y estrictamente monótona en un intervalo es una biyección sobre un intervalo, y que su inversa es continua y después derivable fuera de los puntos críticos — se ha tomado a crédito del volumen anterior. La deuda se salda dentro de este volumen: el Capítulo 13 demuestra el enunciado sobre la biyección (el teorema de la inversa monótona, apoyado en el teorema del valor intermedio), y el Capítulo 14 demuestra la regla de derivación $(f^{-1})' = 1/(f' \circ f^{-1})$ que ha producido en silencio todas las fórmulas de las Proposición 4.10 y Proposición 4.21. Leer esos capítulos teniendo en mente $\arcsin$ y $\operatorname{arsinh}$ — como los ejemplos resueltos que la teoría se construyó para justificar — es la manera prevista de sortear la aparente circularidad.

4.4 Ejercicios

Ejercicio 4.1 ★

Calcúlense sin calculadora: $\arcsin\frac{\sqrt 3}{2}$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac 12\bigr)$ ; $\;\arctan(-1)$ ; $\;\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ ; $\;\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.1.

$\arcsin\frac{\sqrt 3}{2} = \frac\pi3$ ; $\;\arccos\bigl(-\frac12\bigr) = \frac{2\pi}{3}$ ; $\;\arctan(-1) = -\frac\pi4$ .

$\arcsin\bigl(\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)$ : $\sin\frac{5\pi}{6} = \frac12$ , y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\frac12$ es $\frac\pi6$ (no $\frac{5\pi}{6}$ ).

$\arccos\bigl(\cos\frac{7\pi}{4}\bigr)$ : $\cos\frac{7\pi}{4} = \frac{\sqrt 2}{2}$ , y el ángulo de $\intcc{0}{\pi}$ con ese coseno es $\frac\pi4$ .

Ejercicio 4.2 ★

Dese el dominio de definición de $f(x) = \arcsin(2x - 1)$ y calcúlese $f'$ donde exista. Las mismas preguntas para $g(x) = \arctan\sqrt{x}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.2.

$f(x) = \arcsin(2x - 1)$ exige $-1 \leq 2x - 1 \leq 1$ , es decir, $x \in \intcc{0}{1}$ . En $\intoo{0}{1}$ , la regla de la cadena y la Proposición 4.10 dan

f'(x) = \frac{2}{\sqrt{1 - (2x-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{4x - 4x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1 - x)}} .

$g(x) = \arctan\sqrt x$ está definida para $x \geq 0$ , y para $x > 0$ :

g'(x) = \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt x} = \frac{1}{2\sqrt x\,(1 + x)} .

Ejercicio 4.3 ★

Demuéstrese que, para todo $x \in \R$ , $\cosh x + \sinh x = \eu^x$ y $(\cosh x + \sinh x)^n = \cosh nx + \sinh nx$ para todo $n \in \Z$ (una fórmula de De Moivre hiperbólica).

Solución

Solución de Ejercicio 4.3.

$\cosh x + \sinh x = \frac{\eu^x + \eu^{-x}}{2} + \frac{\eu^x - \eu^{-x}}{2} = \eu^x$ . Por tanto, para $n \in \Z$ :

(\cosh x + \sinh x)^n = (\eu^x)^n = \eu^{nx} = \cosh nx + \sinh nx .

Ejercicio 4.4 ★

Simplifíquense $\cos(2\arcsin x)$ y $\sin(2\arctan x)$ hasta obtener expresiones algebraicas de $x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.4.

Con $y = \arcsin x$ : $\cos 2y = 1 - 2\sin^2 y = 1 - 2x^2$ , luego $\cos(2\arcsin x) = 1 - 2x^2$ .

Con $y = \arctan x$ : $\sin 2y = 2 \sin y \cos y = 2 \tan y \cos^2 y = \frac{2\tan y}{1 + \tan^2 y}$ , luego $\sin(2\arctan x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}$ .

Ejercicio 4.5 ★

Ordénense, para $x$ grande, las funciones $x^{100}$ , $\;\eu^{\sqrt x}$ , $\;(\ln x)^{1000}$ , $\;\eu^{x/100}$ , $\;x^{\ln x}$ , del crecimiento más lento al más rápido, con justificaciones basadas en la Proposición 4.6.

Solución

Solución de Ejercicio 4.5.

Del crecimiento más lento al más rápido:

(\ln x)^{1000} \;\ll\; x^{100} \;\ll\; x^{\ln x} \;\ll\; \eu^{\sqrt x} \;\ll\; \eu^{x/100} .

Justificaciones: $(\ln x)^{1000}/x^{100} \to 0$ por la Proposición 4.6 (los logaritmos pierden frente a las potencias). $x^{100} = \eu^{100\ln x}$ y $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2}$ : como $(\ln x)^2 - 100\ln x \to +\infty$ , gana la segunda. $x^{\ln x} = \eu^{(\ln x)^2} \ll \eu^{\sqrt x}$ porque $(\ln x)^2/\sqrt x \to 0$ (los logaritmos pierden frente a la potencia $x^{1/4}$ , elevada al cuadrado). Por último, $\sqrt x - x/100 \to -\infty$ , luego $\eu^{\sqrt x} \ll \eu^{x/100}$ .

Ejercicio 4.6 ★★

Estúdiese la función $f(x) = \arctan\dfrac{2x}{1 - x^2}$ en su dominio: calcúlese $f'$ , compárese con $(2\arctan x)'$ y exprésese $f(x)$ en términos de $\arctan x$ en cada uno de los tres intervalos del dominio.

Solución

Solución de Ejercicio 4.6.

Dominio: $x \neq \pm 1$ , tres intervalos. En cada uno,

f'(x) = \frac{\bigl(\frac{2x}{1-x^2}\bigr)'}{1 + \frac{4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{\frac{2(1-x^2) + 4x^2}{(1-x^2)^2}} {\frac{(1-x^2)^2 + 4x^2}{(1-x^2)^2}} = \frac{2(1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2}{1 + x^2} = (2\arctan x)' .

Así pues, $f(x) - 2\arctan x$ es constante en cada intervalo. Valores: en $x = 0$ , $f(0) = 0$ : la constante vale $0$ en $\intoo{-1}{1}$ . Cuando $x \to +\infty$ , $\frac{2x}{1-x^2} \to 0^-$ , luego $f \to 0$ , mientras que $2\arctan x \to \pi$ : la constante vale $-\pi$ en $\intoo{1}{+\infty}$ . Por imparidad, vale $+\pi$ en $\intoo{-\infty}{-1}$ . Resumen: $f = 2\arctan x$ en $\intoo{-1}{1}$ , $f = 2\arctan x - \pi$ para $x > 1$ , $f = 2\arctan x + \pi$ para $x < -1$ . (Es la fórmula del ángulo doble de la tangente, leída a través de $\arctan$ .)

Ejercicio 4.7 ★★

Resuélvanse en $\R$ : $\;\cosh x = 2$ ; después $5\cosh x - 4 \sinh x = 3$ (exprésense las soluciones con logaritmos). Indicación para la segunda: escríbase todo con $u = \eu^x$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.7.

$\cosh x = 2$ : con $u = \eu^x > 0$ , $u + u^{-1} = 4$ , luego $u^2 - 4u + 1 = 0$ , $u = 2 \pm \sqrt 3$ : $x = \ln(2 + \sqrt 3)$ o $x = \ln(2 - \sqrt 3) = -\ln(2 + \sqrt 3)$ (las dos soluciones son opuestas, pues $\cosh$ es par; ambas valen). Equivalentemente, $x = \pm \operatorname{arcosh} 2$ .

$5\cosh x - 4\sinh x = 3$ : sustituyendo las definiciones exponenciales, $\frac{5(u + u^{-1}) - 4(u - u^{-1})}{2} = 3$ , es decir, $u + 9u^{-1} = 6$ , o sea, $u^2 - 6u + 9 = (u - 3)^2 = 0$ : $u = 3$ , y una sola solución $x = \ln 3$ .

Ejercicio 4.8 ★★

Demuéstrese la identidad $\arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} = \frac{\pi}{4}$ y después la fórmula de Machin

4\arctan\frac 15 - \arctan\frac{1}{239} = \frac{\pi}{4}.

Indicación: calcúlese la tangente de los dos miembros con la fórmula de adición y contrólese en qué intervalo cae cada uno.

Solución

Solución de Ejercicio 4.8.

Sea $\alpha = \arctan\frac12 + \arctan\frac13$ . Fórmula de adición:

\tan\alpha = \frac{\frac12 + \frac13}{1 - \frac12\cdot\frac13} = \frac{5/6}{5/6} = 1 .

Las dos arcotangentes están en $\intoo{0}{\frac\pi4}$ (sus argumentos están en $\intoo{0}{1}$ ), luego $\alpha \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ ; el único ángulo de ahí con tangente $1$ es $\frac\pi4$ .

Machin: sea $\beta = \arctan\frac15$ . Ángulo doble dos veces:

\tan 2\beta = \frac{2/5}{1 - 1/25} = \frac{5}{12}, \qquad \tan 4\beta = \frac{2 \cdot 5/12}{1 - 25/144} = \frac{120}{119}.

Entonces

\tan\Bigl(4\beta - \frac\pi4\Bigr) = \frac{\frac{120}{119} - 1}{1 + \frac{120}{119}} = \frac{1/119}{239/119} = \frac{1}{239}.

Localización: $\beta < \arctan 1 = \frac\pi4$ y, de hecho, $\tan 4\beta = \frac{120}{119}$ está cerca de $1$ con $4\beta \in \intoo{0}{\frac\pi2}$ (pues $\beta < \frac\pi8$ , ya que $\tan\frac\pi8 = \sqrt 2 - 1 > \frac15$ ); luego $4\beta - \frac\pi4 \in \intoo{-\frac\pi4}{\frac\pi4}$ , donde $\arctan$ invierte a $\tan$ : $4\beta - \frac\pi4 = \arctan\frac{1}{239}$ , que es la fórmula de Machin.

Ejercicio 4.9 ★★

Demuéstrese que, para todo $x \geq 0$ , $\;x - \dfrac{x^3}{6} \leq \sin x \leq x$ (estúdiense las derivadas sucesivas de las diferencias), y dedúzcase que $\lim_{x \to 0^+} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac 16$ es plausible — el límite en sí se establece en el Capítulo 16.

Solución

Solución de Ejercicio 4.9.

Sea $f(x) = x - \sin x$ : $f(0) = 0$ y $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ , luego $f \geq 0$ en $\R_+$ : $\sin x \leq x$ .

Sea $g(x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$ : $g(0) = 0$ , $g'(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ , $g'(0) = 0$ , $g''(x) = -\sin x + x = f(x) \geq 0$ en $\R_+$ . Así, $g'$ es creciente con $g'(0) = 0$ , luego $g' \geq 0$ , luego $g$ es creciente con $g(0) = 0$ : $g \geq 0$ , es decir, $x - \frac{x^3}{6} \leq \sin x$ en $\R_+$ .

En consecuencia, $0 \leq \frac{x - \sin x}{x^3} \leq \frac 16$ para $x > 0$ : el cociente queda atrapado en la escala de $\frac16$ , y el Capítulo 16 muestra que su límite es exactamente $\frac 16$ .

Ejercicio 4.10 ★★★

Para $x \in \intcc{-1}{1}$ , póngase $h(x) = \arcsin\bigl(2x\sqrt{1 - x^2}\,\bigr) - 2\arcsin x$ . Cabría esperar $h = 0$ a partir de la identidad $\sin 2y = 2\sin y\cos y$ — pero $h$ no es idénticamente nula. Calcúlese $h'$ en los intervalos abiertos donde exista, evalúese $h$ en puntos bien elegidos y dese la descripción completa de $h$ como función constante a trozos en $\intcc{-1}{1}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 4.10.

Escríbase $y = \arcsin x$ , de modo que $2x\sqrt{1 - x^2} = 2\sin y\cos y = \sin 2y$ y $h(x) = \arcsin(\sin 2y) - 2y$ .

Para $\abs x \leq \frac{\sqrt 2}{2}$ : $2y \in \intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , luego $\arcsin(\sin 2y) = 2y$ y $h = 0$ .

Para $x \in \intoc{\frac{\sqrt 2}{2}}{1}$ : $2y \in \intoc{\frac\pi2}{\pi}$ , y el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con seno $\sin 2y$ es $\pi - 2y$ : luego $h(x) = \pi - 4\arcsin x$ . (Comprobación por la derivada: ahí $h'(x) = \frac{2(1 - 2x^2)}{\abs{1 - 2x^2}\sqrt{1 - x^2}} - \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{-4}{\sqrt{1 - x^2}}$ , la derivada de $-4\arcsin x$ ; y en $x = 1$ , $h(1) = \arcsin 0 - 2\cdot\frac\pi2 = -\pi = \pi - 4\cdot\frac\pi2$ .)

Para $x \in \intco{-1}{-\frac{\sqrt 2}{2}}$ , por imparidad de $h$ : $h(x) = -\pi - 4\arcsin x$ .

Ejercicio 4.11 ★★★

(Gudermanniana) Sea $g(x) = \arctan(\sinh x)$ para $x \in \R$ . Demuéstrese que $g$ es una biyección impar y estrictamente creciente de $\R$ sobre $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , que $g'(x) = \frac{1}{\cosh x}$ y que $\tan g(x) = \sinh x$ , $\;\sin g(x) = \tanh x$ , $\;\cos g(x) = \frac{1}{\cosh x}$ : la función $g$ enlaza la trigonometría circular con la hiperbólica sin números complejos.

Solución

Solución de Ejercicio 4.11.

$g = \arctan \circ \sinh$ es una composición de funciones impares y estrictamente crecientes, luego es impar y estrictamente creciente; cuando $x \to +\infty$ , $\sinh x \to +\infty$ , luego $g(x) \to \frac\pi2$ , y $g$ es una biyección sobre $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ (continuidad más teorema del valor intermedio). Regla de la cadena con la Proposición 4.18 (1):

g'(x) = \frac{\cosh x}{1 + \sinh^2 x} = \frac{\cosh x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh x} .

Por construcción, $\tan g(x) = \sinh x$ . Además, como $g(x) \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ tiene coseno positivo,

\begin{align*} \cos g(x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 g(x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \sinh^2 x}} = \frac{1}{\cosh x},\\ \sin g(x) &= \tan g(x) \cos g(x) = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \tanh x . \end{align*}

Ejercicio 4.12 ★★

Demuéstrese que

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \pi .

Indicación: calcúlese primero $\arctan 2 + \arctan 3$ , localizando la suma como en el Ejemplo 4.15; cuidado, aquí el denominador de la fórmula de adición es negativo.

Solución

Solución de Ejercicio 4.12.

Póngase $u = \arctan 2$ y $v = \arctan 3$ ; los dos están en $\intoo{\frac\pi4}{\frac\pi2}$ (sus argumentos son mayores que $1$ ), luego $u + v \in \intoo{\frac\pi2}{\pi}$ . La fórmula de adición da

\tan(u + v) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1 ,

y el único ángulo de $\intoo{\frac\pi2}{\pi}$ con tangente $-1$ es $\frac{3\pi}4$ : así pues, $\arctan 2 + \arctan 3 = \frac{3\pi}4$ . (Aplicar $\arctan$ a ciegas sobre la tangente daría $-\frac\pi4$ , con un error de $\pi$ — la localización es lo que salva el cálculo, y el denominador negativo $1 - 6$ es precisamente la señal de que la suma se ha salido de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ .) Sumando $\arctan 1 = \frac\pi4$ :

\arctan 1 + \arctan 2 + \arctan 3 = \frac\pi4 + \frac{3\pi}4 = \pi .

4.5 Problema: la ecuación $x^y = y^x$

Problema 4.1

¿Qué pares de números positivos cumplen $x^y = y^x$ ? Todo el mundo conoce un ejemplo de apariencia accidental, $2^4 = 4^2 = 16$ ; este problema muestra que en él no hay nada de accidental. Toda la ecuación está gobernada por las variaciones de una única función

f(t) = \frac{\ln t}{t} \qquad (t > 0),

cuyo estudio proporciona: el conjunto completo de soluciones (una diagonal más una rama curva que pasa por $(\eu, \eu)$ ), una parametrización racional de la rama, el hecho de que $(2, 4)$ es su único punto entero y la clasificación de todos sus puntos racionales — además de, como dividendos, la comparación de $\eu^\pi$ con $\pi^\eu$ y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ hacia $\eu$ .

Parte I — La función $f(t) = \ln t / t$ .

Justifíquese que $f$ es derivable en $\intoo0{+\infty}$ , calcúlese $f'$ y hágase la tabla de variación: $f$ crece estrictamente en $\intoc0\eu$ y decrece estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ .
Determínense los límites de $f$ en $0^+$ y en $+\infty$ (Proposición 4.6), el signo de $f$ (negativo en $\intoo01$ , nulo en $1$ , positivo más allá) y esbócese la gráfica.
Compruébese por cálculo directo que $f(2) = f(4)$ . (Téngase presente esta igualdad: de ella nace todo el problema.)
Sea $c \in \R$ . Discútase, según el valor de $c$ , el número de soluciones de $f(t) = c$ : exactamente una para $c \leq 0$ ; exactamente dos (una en $\intoo1\eu$ y otra en $\intoo\eu{+\infty}$ ) para $0 < c < \frac1\eu$ ; exactamente una para $c = \frac1\eu$ ; ninguna para $c > \frac1\eu$ .
Dedúzcase que $\eu^x > x^\eu$ para todo $x > 0$ con $x \neq \eu$ y, en particular, decídase cuál es mayor, $\eu^\pi$ o $\pi^\eu$ .

Parte II — La ecuación y su curva. En esta parte, $x, y > 0$ .

Pruébese que $x^y = y^x \iff f(x) = f(y)$ .
Dedúzcase la estructura del conjunto de soluciones: todos los pares diagonales $(x, x)$ ; y los pares no triviales ( $x \neq y$ ), que cumplen que las dos coordenadas son $> 1$ y que una está en $\intoo1\eu$ mientras la otra está en $\intoo\eu{+\infty}$ .
Parametrícense los pares no triviales: escribiendo $y = tx$ con $t > 0$ , $t \neq 1$ , pruébese que $x^y = y^x$ obliga a

$x(t) = t^{\frac1{t-1}}, \qquad y(t) = t\,x(t) = t^{\frac{t}{t-1}},$

y que, recíprocamente, todo par así es solución.
Compruébese que $t = 2$ da $(2, 4)$ y demuéstrese la simetría $x(1/t) = y(t)$ , $y(1/t) = x(t)$ : invertir el parámetro intercambia las dos coordenadas.
Determínense los límites de $x(t)$ e $y(t)$ cuando $t \to 1$ (los dos tienden a $\eu$ ), cuando $t \to +\infty$ ( $x \to 1$ , $y \to +\infty$ ) y cuando $t \to 0^+$ ( $x \to +\infty$ , $y \to 1$ ). Descríbase la rama resultante: una curva asintótica a las rectas $x = 1$ e $y = 1$ , que corta a la diagonal en $(\eu, \eu)$ .
Pruébese que $t \mapsto x(t)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ . (Estúdiese $h(t) = 1 - \frac1t - \ln t$ , cuyo signo controla la derivada de $\ln x(t) = \frac{\ln t}{t - 1}$ .)
Conclúyase que las soluciones no triviales definen una biyección estrictamente decreciente $\varphi \colon \intoo1\eu \to \intoo\eu{+\infty}$ con $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ , y que $\varphi$ es una involución de la rama: $\varphi(\varphi(x)) = x$ donde ambos miembros estén definidos.

Parte III — Puntos enteros y racionales.

Demuéstrese que $(2, 4)$ y $(4, 2)$ son las únicas soluciones enteras no triviales de $x^y = y^x$ .
Para $n \in \N^*$ , aplíquese la parametrización con $t = 1 + \frac1n$ y pruébese que

$x_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n+1}$

es una solución racional no trivial para todo $n$ , con $(x_1, y_1) = (2, 4)$ .
Recíprocamente, sea $(x, y)$ una solución racional no trivial con $y > x$ , y escríbase $t = y/x = 1 + \frac rs$ como fracción irreducible ( $r, s \in \N^*$ ). Usando $x = t^{s/r}$ y admitiendo la unicidad de la factorización en primos (conocida de la enseñanza anterior; demostrada en el Capítulo 6), pruébese que ser $x$ racional obliga a que $s$ y $s + r$ sean ambos potencias $r$ -ésimas de enteros.
Pruébese con el teorema del binomio que $a^r - b^r = r$ no tiene soluciones enteras $a > b \geq 1$ cuando $r \geq 2$ , y conclúyase: las soluciones racionales de $x^y = y^x$ son exactamente los pares $(x_n, y_n)$ de la pregunta 14 (y los pares intercambiados).
Verifíquese numéricamente el caso $n = 2$ : calcúlense $f(9/4)$ y $f(27/8)$ con cuatro decimales y compruébese que coinciden.

Parte IV — Dividendos.

Úsense las preguntas 7 y 11 para demostrar, sin ningún cálculo adicional, que la sucesión $x_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ es estrictamente creciente con $x_n < \eu$ , que $y_n = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^{n+1}$ es estrictamente decreciente con $y_n > \eu$ , y que ambas convergen a $\eu$ . (El parámetro $t_n = 1 + \frac1n$ decrece hacia $1$ .)
Establézcase la regla general de comparación para $1 < a < b$ : si $\eu \leq a$ , entonces $a^b > b^a$ ; si $b \leq \eu$ , entonces $a^b < b^a$ ; y véase con los dos ejemplos $(2, 3)$ y $(2, 5)$ que en el caso mixto $a < \eu < b$ se dan realmente los dos resultados.
Supóngase que la involución $\varphi$ de la pregunta 12 es derivable en $\eu$ (lo es). Derívese la identidad $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ y dedúzcase $\varphi'(\eu) = -1$ : la rama corta a la diagonal perpendicularmente.
Hállese en forma cerrada el único par solución con $y = 3x$ y compruébese numéricamente con cuatro decimales mediante $f$ .
Entre los números $\sqrt2$ , $\sqrt[3]3$ , $\sqrt[4]4$ , $\sqrt[5]5$ , determínese el mayor e identifíquense los dos que son iguales. (Compárense $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ .)

Parte V — Síntesis.

Descríbase el conjunto completo de soluciones de $x^y = y^x$ en el cuadrante $x, y > 0$ — diagonal más rama, su intersección $(\eu, \eu)$ , las asíntotas, el punto entero $(2, 4)$ , los puntos racionales que se acumulan en $(\eu, \eu)$ — de una forma que se pueda esbozar de memoria.
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) las comparaciones de crecimiento de la Proposición 4.6; (ii) el teorema del valor intermedio (a través de los enunciados sobre biyecciones); (iii) la unicidad admitida de la factorización en primos? Una frase para cada uno.
Moraleja, en un párrafo breve: una sola tabla de variación ha resuelto una ecuación con dos incógnitas, ha clasificado sus puntos racionales y ha demostrado la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ — coméntese esta economía y nómbrese dónde se industrializa cada hilo más adelante en el volumen (Capítulo 11 para la sucesión, Capítulo 14 para las tablas de variación, Capítulo 16 para la precisión que a la tabla le falta).

Solución

Solución de Problema 4.1.

1. $f$ es un cociente de funciones derivables con denominador no nulo en $\intoo0{+\infty}$ , y

f'(t) = \frac{\frac1t \cdot t - \ln t}{t^2} = \frac{1 - \ln t}{t^2} ,

positiva para $t < \eu$ , nula en $t = \eu$ y negativa para $t > \eu$ : $f$ crece estrictamente en $\intoc0\eu$ y decrece estrictamente en $\intco\eu{+\infty}$ , con máximo $f(\eu) = \frac1\eu$ .

2. Cuando $t \to 0^+$ : $\ln t \to -\infty$ y $\frac1t \to +\infty$ , luego $f(t) \to -\infty$ . Cuando $t \to +\infty$ : $f(t) \to 0$ por la comparación de crecimientos de la Proposición 4.6 ( $\beta = \alpha = 1$ ). Signo: el de $\ln t$ , luego $f < 0$ en $\intoo01$ , $f(1) = 0$ y $f > 0$ en $\intoo1{+\infty}$ . La gráfica sube desde $-\infty$ , cruza el cero en $1$ , alcanza su cima en $(\eu, \frac1\eu)$ y decae después hacia $0^+$ .

3. $f(4) = \frac{\ln 4}4 = \frac{2\ln 2}4 = \frac{\ln 2}2 = f(2)$ .

4. Por la tabla de variación y el teorema del valor intermedio (usado al nivel del volumen anterior; formalizado en el Capítulo 13). Para $c < 0$ : solo puede haber soluciones donde $f < 0$ , es decir, en $\intoo01$ , donde $f$ es una biyección estrictamente creciente sobre $\intoo{-\infty}0$ : exactamente una. Para $c = 0$ : solo $t = 1$ . Para $0 < c < \frac1\eu$ : en $\intoo1\eu$ , $f$ crece de $0$ a $\frac1\eu$ , una solución; en $\intoo\eu{+\infty}$ , $f$ decrece de $\frac1\eu$ a $0$ , una más; dos en total. Para $c = \frac1\eu$ : solo el punto de máximo $t = \eu$ . Para $c > \frac1\eu$ : ninguna.

5. Para $x \neq \eu$ , la maximalidad estricta da $f(x) < f(\eu)$ , es decir, $\frac{\ln x}x < \frac1\eu$ , o sea, $\eu\ln x < x$ , es decir, $\ln(x^\eu) < \ln(\eu^x)$ : $x^\eu < \eu^x$ . Con $x = \pi$ : $\eu^\pi > \pi^\eu$ (numéricamente, $23.14 > 22.46$ ).

6. Para $x, y > 0$ los dos miembros son positivos, luego

x^y = y^x \iff y\ln x = x\ln y \iff \frac{\ln x}x = \frac{\ln y}y \iff f(x) = f(y) ,

dividiendo por $xy > 0$ .

7. Sea $f(x) = f(y) = c$ con $x \neq y$ . Si $c \leq 0$ o $c = \frac1\eu$ , la pregunta 4 dice que la ecuación $f = c$ tiene una sola solución: imposible. Luego $0 < c < \frac1\eu$ y, de nuevo por la pregunta 4, las dos soluciones son un punto de $\intoo1\eu$ y otro de $\intoo\eu{+\infty}$ : las dos coordenadas son mayores que $1$ y $\eu$ queda entre ellas.

8. Sustituyendo $y = tx$ en $y\ln x = x\ln y$ :

tx\ln x = x(\ln t + \ln x) \iff (t - 1)\ln x = \ln t \iff \ln x = \frac{\ln t}{t - 1} ,

luego $x = t^{1/(t-1)}$ e $y = tx = t^{1 + \frac1{t-1}} = t^{t/(t-1)}$ . Recíprocamente, para estos valores, $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} = t\ln x$ e $y = tx$ , luego $\frac{\ln y}y = \frac{t\ln x}{tx} = \frac{\ln x}x$ : es solución. Toda solución no trivial tiene alguna razón $t = y/x \in \intoo0{+\infty} \setminus \{1\}$ , de modo que la parametrización es completa.

9. $t = 2$ : $x = 2^{1/1} = 2$ , $y = 2^{2/1} = 4$ . Y

x(1/t) = (1/t)^{\frac1{\frac1t - 1}} = (t^{-1})^{\frac{t}{1 - t}} = t^{\frac{t}{t - 1}} = y(t) ,

y después $y(1/t) = \frac1t\,x(1/t) = \frac{y(t)}t = x(t)$ : el cambio de parámetro $t \mapsto 1/t$ intercambia las coordenadas, como exige la simetría de la ecuación.

10. Cuando $t \to 1$ : $\frac{\ln t}{t-1} \to 1$ (es el cociente incremental de $\ln$ en $1$ ), luego $x \to \eu^1 = \eu$ e $y = tx \to \eu$ . Cuando $t \to +\infty$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to 0$ , luego $x \to 1$ , mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to +\infty$ , luego $y \to +\infty$ . Cuando $t \to 0^+$ : $\ln x = \frac{\ln t}{t-1} \to \frac{-\infty}{-1} = +\infty$ , luego $x \to +\infty$ , mientras que $\ln y = \frac{t\ln t}{t-1} \to \frac{0}{-1} = 0$ , luego $y \to 1$ (usando $t\ln t \to 0$ , Ejemplo 4.7). La rama va, pues, desde la asíntota $y = 1$ (a la derecha del todo), pasa por $(\eu, \eu)$ sobre la diagonal y se escapa a lo largo de la asíntota $x = 1$ (arriba del todo) — simétrica respecto de la diagonal por la pregunta 9.

11. $\ln x(t) = g(t) = \frac{\ln t}{t-1}$ , y

g'(t) = \frac{\frac{t-1}t - \ln t}{(t-1)^2} = \frac{h(t)}{(t-1)^2}, \qquad h(t) = 1 - \frac1t - \ln t .

$h(1) = 0$ y $h'(t) = \frac1{t^2} - \frac1t = \frac{1 - t}{t^2} < 0$ para $t > 1$ : $h < 0$ en $\intoo1{+\infty}$ , luego $g' < 0$ y $x = \eu^g$ es estrictamente decreciente ahí (de $\eu$ a $1$ , por la pregunta 10).

12. Por la pregunta 11, $t \mapsto x(t)$ es una biyección estrictamente decreciente de $\intoo1{+\infty}$ sobre $\intoo1\eu$ ; escríbase $t(x)$ para su inversa (también estrictamente decreciente) y póngase $\varphi(x) = y(t(x))$ . Obsérvese que $h < 0$ también en $\intoo01$ (ahí $h' > 0$ y $h(1) = 0$ ), de modo que $x(\cdot)$ es decreciente también en $\intoo01$ ; por tanto, $y(t) = x(1/t)$ (pregunta 9) es creciente en $t$ sobre $\intoo1{+\infty}$ , de $\eu$ a $+\infty$ . Componiendo: $\varphi = y \circ t(\cdot)$ es estrictamente decreciente de $\intoo1\eu$ sobre $\intoo\eu{+\infty}$ , y $x^{\varphi(x)} = \varphi(x)^x$ por la pregunta 8. Por último, para un valor común $c = f(x) \in \intoo0{\frac1\eu}$ , el par $\{x, \varphi(x)\}$ es el conjunto de las dos soluciones de $f = c$ (pregunta 4); extendiendo $\varphi$ a $\intoo\eu{+\infty}$ como la aplicación inversa, $\varphi(\varphi(x))$ devuelve el otro (es decir, el original) elemento: $\varphi \circ \varphi = \mathrm{id}$ .

13. Si $(x, y)$ es una solución entera no trivial con $x < y$ , la pregunta 7 sitúa $x \in \intoo1\eu$ : el único entero de ahí es $x = 2$ . Entonces $f(y) = f(2) = \frac{\ln2}2$ con $y > \eu$ ; por la pregunta 4, la ecuación $f = \frac{\ln2}2$ tiene exactamente una solución más allá de $\eu$ , y la pregunta 3 la exhibe: $y = 4$ . Luego $(2, 4)$ , y su intercambio, son las únicas.

14. $t = 1 + \frac1n = \frac{n+1}n$ da $\frac1{t - 1} = n$ y $\frac t{t-1} = n + 1$ , luego

x_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n}, \qquad y_n = \Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{n+1},

manifiestamente racionales, distintos ( $y_n = t\,x_n \neq x_n$ ), y $n = 1$ da $x_1 = 2$ , $y_1 = 4$ .

15. $t = y/x$ es racional y $> 1$ ; escríbase $t - 1 = \frac rs$ como fracción irreducible, de modo que $t = \frac{s + r}s$ con $\gcd(s + r, s) = \gcd(r, s) = 1$ . La pregunta 8 da $x = t^{s/r}$ , luego

x^r = t^s = \frac{(s+r)^s}{s^s} ,

fracción irreducible (ningún primo divide a la vez a $s + r$ y a $s$ ). Escribiendo $x = \frac pq$ como fracción irreducible, $x^r = \frac{p^r}{q^r}$ también lo es y, por la unicidad de la representación irreducible: $p^r = (s+r)^s$ y $q^r = s^s$ . Compárese el exponente de un primo cualquiera $\ell$ en $q^r = s^s$ : $r \cdot v_\ell(q) = s \cdot v_\ell(s)$ , luego $r$ divide a $s\,v_\ell(s)$ ; como $\gcd(r, s) = 1$ , $r$ divide a $v_\ell(s)$ para todo primo $\ell$ (factorización única, admitida; demostrada en el Capítulo 6), luego $s = b^r$ para algún entero $b$ . El mismo argumento sobre $p^r = (s+r)^s$ da $s + r = a^r$ .

16. Supóngase $a^r - b^r = r$ con enteros $a > b \geq 1$ y $r \geq 2$ . Entonces $a \geq b + 1$ , luego, por el teorema del binomio,

a^r - b^r \geq (b+1)^r - b^r = \sum_{k=0}^{r-1}\binom rk b^k \geq \binom r0 + \binom r{r-1} b^{r-1} \geq 1 + r > r ,

una contradicción. Por la pregunta 15, $a^r - b^r = (s + r) - s = r$ obliga a $r = 1$ : $t = 1 + \frac1s$ , y la solución es $(x_s, y_s)$ de la pregunta 14. Junto con los pares intercambiados, la clasificación es completa.

17. $f\bigl(\tfrac94\bigr) = \frac{\ln 2.25}{2.25} = \frac{0.81093}{2.25} = 0.3604$ y $f\bigl(\tfrac{27}8\bigr) = \frac{\ln 3.375}{3.375} = \frac{1.21640}{3.375} = 0.3604$ (cuatro decimales): iguales, como promete la construcción — de modo que $\bigl(\tfrac94\bigr)^{27/8} = \bigl(\tfrac{27}8\bigr)^{9/4}$ .

18. Los parámetros $t_n = 1 + \frac1n$ decrecen estrictamente hacia $1$ . Como $x(\cdot)$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ (pregunta 11), $x_n = x(t_n)$ es estrictamente creciente; como $y(\cdot)$ es estrictamente creciente ahí (pregunta 12), $y_n = y(t_n)$ es estrictamente decreciente. Por la pregunta 7, $x_n \in \intoo1\eu$ e $y_n \in \intoo\eu{+\infty}$ : luego $x_n < \eu < y_n$ para todo $n$ . Por último, $t_n \to 1$ y la pregunta 10 dan $x_n \to \eu$ e $y_n \to \eu$ . La clásica convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ cae de la geometría de la rama, sin ninguna desigualdad nueva.

19. Si $\eu \leq a < b$ : como $f$ es estrictamente decreciente en $\intco\eu{+\infty}$ , $f(a) > f(b)$ , es decir, $b\ln a > a\ln b$ , o sea, $a^b > b^a$ . Si $1 < a < b \leq \eu$ : $f$ estrictamente creciente da $f(a) < f(b)$ , luego $a^b < b^a$ . Caso mixto: $2 < \eu < 3$ y $2^3 = 8 < 9 = 3^2$ ; pero $2 < \eu < 5$ y $2^5 = 32 > 25 = 5^2$ : se dan los dos resultados, según de qué lado de la rama caiga el punto $(a, b)$ .

20. La rama corta a la diagonal en $\eu$ y $\varphi$ se extiende ahí por continuidad con $\varphi(\eu) = \eu$ . Derivando $\varphi(\varphi(x)) = x$ en $x = \eu$ con la regla de la cadena: $\varphi'(\varphi(\eu))\,\varphi'(\eu) = \varphi'(\eu)^2 = 1$ , luego $\varphi'(\eu) = \pm1$ ; como $\varphi$ es decreciente, $\varphi'(\eu) = -1$ . La rama cruza la diagonal con pendiente $-1$ : perpendicularmente.

21. $y = 3x$ es el caso $t = 3$ : $x = 3^{1/2} = \sqrt3$ e $y = 3^{3/2} = 3\sqrt3$ . Comprobación: $f(\sqrt3) = \frac{0.54931}{1.73205} = 0.3171$ y $f(3\sqrt3) = \frac{\ln 5.19615}{5.19615} = \frac{1.64792}{5.19615} = 0.3171$ : iguales con cuatro decimales, de modo que $(\sqrt3)^{3\sqrt3} = (3\sqrt3)^{\sqrt3}$ .

22. $n^{1/n} = \eu^{f(n)}$ , y $\exp$ es creciente, así que el orden es el de $f(n)$ : $f(3) = \frac{\ln3}3 \approx 0.3662$ supera a $f(2) = f(4) = \frac{\ln2}2 \approx 0.3466$ (pregunta 3) y a $f(5) \approx 0.3219$ . El mayor es $\sqrt[3]3$ , y el par de iguales es $\sqrt2 = \sqrt[4]4$ — el par entero $(2, 4)$ con otro disfraz más.

23. El conjunto de soluciones es la unión de la diagonal $\{(x, x) : x > 0\}$ y una única rama, simétrica respecto de la diagonal, estrictamente decreciente desde la asíntota $x = 1$ (cuando $y \to +\infty$ ) hasta la asíntota $y = 1$ (cuando $x \to +\infty$ ), que cruza la diagonal exactamente una vez, en $(\eu, \eu)$ , y ahí con pendiente $-1$ . Sobre la rama están los puntos enteros $(2, 4)$ y $(4, 2)$ — los únicos — y los puntos racionales $(x_n, y_n)$ , que avanzan monótonamente por la rama hacia $(\eu, \eu)$ sin alcanzarlo nunca ( $\eu$ es irracional; los puntos racionales de la rama se acumulan en un rincón irracional).

24. (i) Las comparaciones de crecimiento dieron los límites de $f$ en $+\infty$ (pregunta 2) y $t\ln t \to 0$ (pregunta 10), modelando tanto la tabla de variación como las asíntotas. (ii) El teorema del valor intermedio, a través de los enunciados sobre biyecciones, convirtió la tabla de variación en recuentos exactos de soluciones (pregunta 4) y en la existencia de la aplicación inversa $t(x)$ (pregunta 12). (iii) La factorización única movió las dos identificaciones de fracciones irreducibles de la pregunta 15, el corazón aritmético de la clasificación de los puntos racionales.

25. Un solo cálculo de derivada — el signo de $1 - \ln t$ — lo ha generado todo: el recuento de soluciones para cada nivel $c$ , la forma y las asíntotas de la rama, la desigualdad extremal $\eu^x \geq x^\eu$ , la clasificación de las soluciones enteras y racionales y la convergencia monótona de $\bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . Esta es la economía de pensar con tablas de variación: un estudio unidimensional resuelve una ecuación de dos variables porque la ecuación se factoriza a través de una sola función. El Capítulo 11 rehará la convergencia de $(x_n)$ con la teoría general de las sucesiones monótonas; el Capítulo 14 funda con rigor las tablas de variación sobre el teorema del valor medio; y el Capítulo 16 aporta lo que la tabla no puede — la velocidad de la convergencia $x_n \to \eu$ (es de orden $1/n$ ).

4.1 Exponencial, logaritmo, potencias

4.2 Funciones trigonométricas inversas

4.3 Funciones hiperbólicas

4.4 Ejercicios

4.5 Problema: la ecuación xy=yxx^y = y^xxy=yx

4.5 Problema: la ecuación $x^y = y^x$