Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

3Números complejos

Los números complejos aparecieron en el volumen anterior como un recurso de cálculo para las ecuaciones de segundo grado. Este capítulo los trata como un objeto central: la forma exponencial y sus consecuencias (De Moivre, raíces $n$ -ésimas, raíces de la unidad), la traducción sistemática entre $\C$ y la geometría del plano, y el uso de $\eu^{\iu\theta}$ como máquina de demostrar identidades trigonométricas.

3.1 El cuerpo $\C$ , módulo y conjugado

Definición 3.1 (El cuerpo de los complejos)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ con la suma usual y la multiplicación determinada por $\iu^2 = -1$ . Todo $z = a + \iu b$ no nulo tiene inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — en el lenguaje del Capítulo 7, $\C$ es un cuerpo. Se escribe $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (el conjugado) y $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (el módulo).

Proposición 3.2 (Reglas del conjugado y del módulo)

Para $z, w \in \C$ :

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ , y $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ para $z \neq 0$ ;
(desigualdad triangular) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , con igualdad si y solo si $z$ y $w$ están en una misma semirrecta desde $0$ ( $w = \lambda z$ o $z = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ );
(desigualdad triangular inversa) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ .

Demostración. (1) y (2) son cálculos directos sobre las partes real e imaginaria. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , y se toman raíces cuadradas; aplíquese a $z \cdot z^{-1} = 1$ para el inverso.

(4) Los dos miembros son no negativos, así que se comparan cuadrados:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

y $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ da $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ . La igualdad obliga a $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ , es decir, $z \conj w \in \R_+$ ; si $w \neq 0$ , esto da $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ (y el caso $w = 0$ es trivial).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ da $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; intercámbiense $z$ y $w$ para el otro signo. ∎

Ejemplo 3.3 (Un ejercicio completo de módulo y argumento)

Póngase $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ en forma algebraica y calcúlese su módulo de dos maneras. Multiplicando por el conjugado del denominador:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Directamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . Por la regla del cociente (Proposición 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — la misma respuesta, sin necesidad de forma algebraica. La lección se generaliza: módulos y argumentos viajan bien a través de productos y cocientes; las partes real e imaginaria, a través de sumas. Elíjase la representación que se ajuste a las operaciones en juego y conviértase solo cuando no quede más remedio.

Ejemplo 3.4 (Ecuaciones con el conjugado)

Resuélvase en $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Una ecuación que mezcla $z$ y $\conj z$ no es polinómica en $z$ ; lo fiable es separar en coordenadas reales. Con $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

la ecuación se lee $3x = 6$ y $-y = 2$ : la única solución es $z = 2 - 2\iu$ . (Comprobación: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Alternativamente, se conjuga toda la ecuación para obtener $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ y se resuelve el sistema lineal en las incógnitas $z, \conj z$ — la misma respuesta, y un truco útil cuando los coeficientes son complejos. Las ecuaciones en $z$ y $\conj z$ son en realidad sistemas de dos ecuaciones reales; esperar «grado $1$ , una solución» es seguro aquí, pero $z\conj z = -1$ (sin solución) muestra que la intuición polinómica falla en cuanto aparecen productos.

3.2 Forma exponencial

Definición 3.5 (Exponencial compleja de argumento imaginario)

Para $\theta \in \R$ se define

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Todo $z \neq 0$ se puede escribir $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ con $r = \abs z > 0$ ; $\theta$ es un argumento de $z$ , determinado salvo múltiplos de $2\pi$ . El valor de $\intoc{-\pi}{\pi}$ es el argumento principal, escrito $\arg z$ .

Ejemplo 3.6 (Primeros valores, y una identidad célebre)

Leyendo la definición en los ángulos notables:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

La segunda, reescrita como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , es la célebre identidad de Euler, que enlaza $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ y $0$ ; a esta altura del libro es un desarrollo de la definición más que un teorema, y su contenido real — por qué la función exponencial analítica del Capítulo 4, extendida a argumentos imaginarios, merece el mismo nombre — lo zanjan las series de potencias del Capítulo 17. Entretanto, conviene memorizar la fórmula anterior como tabla de conversión: se usa en silencio cada vez que se lee un argumento en un dibujo.

Teorema 3.7 (La ecuación funcional)

Para todos $\theta, \varphi \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

En consecuencia, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ arrastra también los argumentos: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ .

Demostración. Se desarrolla el producto y se usan las fórmulas de adición:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

que es $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ . El módulo vale $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ , y la fórmula del conjugado es la paridad del coseno y del seno; esta invierte $\eu^{\iu\theta}$ , ya que $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ . ∎

Corolario 3.8 (Fórmula de De Moivre)

Para $\theta \in \R$ y $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ .

Demostración. Para $n \geq 0$ , se procede por inducción. El caso $n = 0$ dice $1 = 1$ . Suponiendo la fórmula para $n$ , la ecuación funcional (Teorema 3.7) da

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

que es la fórmula en el rango $n + 1$ . Para $n < 0$ , escríbase $n = -m$ con $m > 0$ : como $\eu^{\iu m\theta}$ tiene inverso $\eu^{-\iu m\theta}$ (de nuevo Teorema 3.7),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

Ejemplo 3.9 (Desarrollo de $\cos 3\theta$ por De Moivre)

Escríbase $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre y el teorema del binomio dan

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

e igualando partes reales y sustituyendo después $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

La parte imaginaria da gratis $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ : una identidad compleja arrastra siempre dos reales. Leída al revés, la identidad anterior es la clave de la clásica ecuación de la trisección: construir $\cos(\theta/3)$ a partir de $\cos\theta$ equivale a resolver la cúbica $4x^3 - 3x = \cos\theta$ , que es donde toma el relevo el álgebra del Capítulo 8.

Proposición 3.10 (Fórmulas de Euler)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

Demostración. Súmense, respectivamente réstense, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ y $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ . ∎

Método 3.11 (Trigonometría mediante exponenciales)

Linealizar $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (convertir potencias en una suma de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): sustitúyanse las fórmulas de Euler, desarróllese con el teorema del binomio (Teorema 2.16) y agrúpense los términos conjugados.
Desarrollar $\cos n\theta$ como polinomio en $\cos\theta$ : escríbase $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , desarróllese y conviértanse las potencias pares de $\sin$ mediante $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
Sumar series trigonométricas como $\sum_k \cos k\theta$ : recuérdese que son la parte real de una suma geométrica $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
La factorización por el ángulo mitad: para todos $p, q$ ,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

Ejemplo 3.12 (Linealización)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Esta forma se integra de inmediato — justamente por eso importa la linealización en el Capítulo 15. Un producto mixto funciona igual, solo que con las dos fórmulas de Euler a la vez:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

donde el atajo del ángulo doble en el primer paso ahorró un desarrollo binomial — siempre conviene buscarlo antes de mecanizar.

Ejemplo 3.13 (Una suma trigonométrica binomial)

Para $n \in \N$ y $\theta \in \R$ , calcúlese $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Reconózcase la parte real de un desarrollo binomial:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

y factorícese después el ángulo mitad (Método 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , luego

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

La parte imaginaria da gratis $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ . Comprobaciones: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$ , y $\theta = \pi$ da $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada factor $\cos\frac\pi2$ se anula), es decir, la suma alternada de una fila del Ejemplo 2.17. El método —«ver la suma de cosenos como la sombra de una potencia compleja y factorizar después ángulos mitad»— es exactamente el del Ejercicio 3.6, con el teorema del binomio en lugar de la serie geométrica.

3.3 Raíces de números complejos

Teorema 3.14 (Raíces $n$ -ésimas)

Sean $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ y $n \in \N^*$ . La ecuación $z^n = a$ tiene exactamente $n$ soluciones:

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Demostración. Escríbase $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ). Entonces $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ si y solo si $\rho^n = r$ (módulos) y $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumentos), es decir, $\rho = r^{1/n}$ y $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ para algún $k \in \Z$ . Queda por ver cuándo dos enteros $k, k'$ dan el mismo número: eso ocurre exactamente cuando los ángulos difieren en un múltiplo de $2\pi$ ,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

Por la división euclídea, todo $k \in \Z$ es congruente módulo $n$ con exactamente un elemento de $\{0, 1, \dots, n-1\}$ , de modo que ese rango enumera cada solución una sola vez y el recuento es exactamente $n$ . (El mismo argumento, hecho dentro de $\mathbb U_n$ , muestra que las raíces forman un $n$ -ágono regular: los valores consecutivos de $k$ giran el ángulo fijo $\frac{2\pi}n$ .) ∎

Ejemplo 3.15 (Raíces cúbicas de $-27$ )

Resuélvase $z^3 = -27$ . Forma exponencial del miembro derecho: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , así que las tres raíces son

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Dos comprobaciones. Primera: la raíz real $-3$ es la evidente, y las otras dos son sus rotaciones de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ y $-3j^2$ . Segunda: el álgebra lo confirma, $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , y la cuadrática tiene discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ con raíces $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . La idea clave: para miembros derechos reales, las raíces no reales vienen siempre en pares conjugados, de modo que el dibujo del conjunto de soluciones es simétrico respecto del eje real — un anticipo del teorema de factorización real del Capítulo 8.

Ejemplo 3.16 (Un miembro derecho no real)

Resuélvase $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forma exponencial del miembro derecho: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$ y argumento $\theta$ con $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , es decir, $\theta = \frac{2\pi}3$ . Las cuatro raíces son

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Comprobación: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , luego $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Una vez hallada una raíz, las otras tres salen gratis: son sus rotaciones sucesivas de $\frac\pi2$ , es decir, sus productos por las raíces cuartas de la unidad — la estructura general que hay detrás del Teorema 3.14, y que conviene aprovechar antes de recalcular cada raíz desde cero. Esta vez no hay simetría de conjugación: el miembro derecho no es real.

Definición 3.17 (Raíces de la unidad)

Las raíces $n$ -ésimas de la unidad son las soluciones de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Forman un grupo con la multiplicación (Capítulo 7) y se sitúan en los vértices de un $n$ -ágono regular inscrito en la circunferencia unidad.

Las raíces quintas de la unidad, = 2 π/5: un pentágono regular sobre la circunferencia unidad. — Las raíces quintas de la unidad, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : un pentágono regular sobre la circunferencia unidad.

Proposición 3.18 (Suma de las raíces de la unidad)

Para $n \geq 2$ , las raíces $n$ -ésimas de la unidad suman cero: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ .

Demostración. Suma geométrica de razón $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ , puesto que $\omega^n = 1$ . ∎

Ejemplo 3.19 (Leer las partes real e imaginaria)

Separar $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ en partes real e imaginaria da gratis dos identidades trigonométricas:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

Geométricamente: el baricentro de un $n$ -ágono regular inscrito en la circunferencia unidad es su centro: los vértices se compensan exactamente. Para $n = 5$ , la primera da $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (emparejando $k$ con $n - k$ ), punto de partida del cálculo de $\cos\frac{2\pi}5$ del Ejercicio 3.8.

Ejemplo 3.20 (Raíces cuadradas en forma algebraica)

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sin trigonometría, póngase $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Sumando la primera y la última: $x^2 = 4$ , luego $x = \pm 2$ , y entonces $y = 2/x = \pm 1$ con el mismo emparejamiento de signos ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Combinado con la fórmula habitual, esto resuelve toda ecuación de segundo grado con coeficientes complejos (Ejercicio 3.7).

3.4 Números complejos y geometría del plano

Proposición 3.21 (Diccionario geométrico)

Identifíquese el punto $M(x, y)$ del plano con su afijo $z = x + \iu y$ . Para puntos distintos $A, B, C$ de afijos $a, b, c$ :

$\abs{b - a}$ es la distancia $AB$ ;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ es el ángulo entre los vectores $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ (módulo $2\pi$ );
$A, B, C$ están alineados si y solo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; las rectas $AB$ y $AC$ son perpendiculares si y solo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

Demostración. (1) es la definición de módulo aplicada a $b - a$ , el afijo de $\vect{AB}$ . (2): escríbanse $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; entonces $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ tiene argumento $\varphi - \theta$ , el ángulo de $\vect{AB}$ a $\vect{AC}$ . (3): estar alineados significa ángulo $0$ o $\pi$ , es decir, argumento en $\pi\Z$ , es decir, cociente real; ser perpendiculares significa ángulo $\pm\frac\pi2$ , es decir, cociente imaginario puro. (El cociente no es nulo, pues $C \neq A$ .) ∎

Observación 3.22 (Interludio: $\C$ es el plano con una multiplicación)

Vale la pena detenerse en lo que hace posible este capítulo: el plano $\R^2$ tiene sumas en todas las direcciones, pero ninguna multiplicación dada de antemano — y $\C$ es el plano dotado de una, en la que multiplicar por un número fijo gira y escala. Esta única estructura se exprimirá tres veces más en este volumen. En el Capítulo 21, la multiplicación por $a + \iu b$ reaparece como la matriz $2 \times 2$ de filas $(a, -b)$ y $(b, a)$ : la aritmética compleja es una primera familia de productos de matrices, enteramente concreta. En el Capítulo 23, la fórmula $\Re(\conj z\,w)$ resulta ser el producto escalar, y $\abs z$ la norma euclídea: la desigualdad triangular demostrada aquí es el modelo de la historia de Cauchy–Schwarz de allí. Y en el Capítulo 24, un punto móvil se escribe mejor $t \mapsto z(t)$ , de modo que velocidad y aceleración se vuelven derivadas de valores complejos — el movimiento circular, por ejemplo, es sin más $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ . Una buena multiplicación, cuatro capítulos de dividendos.

Proposición 3.23 (Las aplicaciones $z \mapsto az + b$ )

Sean $a \in \C^*$ , $b \in \C$ . La transformación $f(z) = az + b$ del plano:

es una traslación si $a = 1$ ;
en caso contrario tiene un único punto fijo $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , y $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ es la rotación de centro $\zeta$ y ángulo $\arg a$ , compuesta con la homotecia de centro $\zeta$ y razón $\abs a$ .

En particular, $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ es la rotación de ángulo $\theta$ alrededor del origen, y $\conj z$ es la simetría respecto del eje real.

Demostración. Si $a = 1$ , $f(z) = z + b$ traslada según el vector de afijo $b$ . Si $a \neq 1$ , la ecuación de punto fijo $z = az + b$ tiene la única solución $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , y entonces $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ . Escribiendo $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ , multiplicar por $a$ escala las distancias a $\zeta$ por $\abs a$ y suma $\arg a$ a los ángulos en $\zeta$ , que es la composición anunciada. ∎

Ejemplo 3.24 (Clasificar una aplicación $z \mapsto az+b$ )

Tómese $f(z) = \iu z + 1$ . Aquí $a = \iu \neq 1$ : el punto fijo es

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

y, como $\abs a = 1$ , no hay escala alguna: $f$ es la rotación pura de centro $\frac{1+\iu}2$ y ángulo $\arg \iu = \frac\pi2$ . Comprobación: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ , y $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : los cuatro puntos $0, 1, 1+\iu, \iu$ del cuadrado unidad rotan alrededor de su centro $\zeta$ , un cuarto de vuelta cada vez — exactamente lo que debe hacer una rotación de $\frac\pi2$ alrededor del centro del cuadrado.

La aplicación f(z) = z + 1 del : una rotación de un cuarto de vuelta alrededor del punto fijo = 1+ 2. Los vértices del cuadrado unidad recorren el ciclo 0 1 1+ 0; ningún punto se mueve en línea recta y, sin embargo, todo el cuadrado gira rígidamente. — La aplicación $f(z) = \iu z + 1$ del Ejemplo 3.24: una rotación de un cuarto de vuelta alrededor del punto fijo $\zeta = \frac{1+\iu}2$ . Los vértices del cuadrado unidad recorren el ciclo $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ ; ningún punto se mueve en línea recta y, sin embargo, todo el cuadrado gira rígidamente.

Observación 3.25 (Errores frecuentes con módulos y argumentos)

En $\C$ no hay desigualdades. Escribir $z \leq w$ para números no reales carece de sentido; solo se pueden comparar módulos, partes reales y partes imaginarias.
$\sqrt{\phantom z}$ está reservado para $\R_+$ . Todo complejo no nulo tiene dos raíces cuadradas y ninguna es privilegiada: escríbase «sea $\delta$ una raíz cuadrada de $\Delta$ » (calculada como en Ejemplo 3.20), nunca $\sqrt\Delta$ — la regla $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ ya falla en $a = b = -1$ .
Los argumentos viven módulo $2\pi$ . De $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ dedúzcase $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , no $\alpha = \beta$ ; olvidar el $2k\pi$ es como los conjuntos de soluciones de $z^n = a$ pierden $n - 1$ de sus $n$ elementos.
$\abs{z + w}$ no es $\abs z + \abs w$ . La igualdad en la desigualdad triangular es el caso excepcional de alineación (Proposición 3.2 (4)); en general, el módulo de una suma hay que acotarlo, no calcularlo.

Ejemplo 3.26

$A, B, C$ (de afijos $a, b, c$ , distintos dos a dos) forman un triángulo equilátero con los vértices en orden directo (antihorario) si y solo si $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : la rotación de centro $A$ y ángulo $\frac\pi3$ envía $B$ a $C$ . Las dos orientaciones juntas quedan recogidas en la ecuación simétrica $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (Ejercicio 3.10).

Observación 3.27 (Dónde se usa este capítulo)

La forma exponencial es el recurso de cálculo más reutilizado del volumen. Las raíces de la unidad se convierten en el ejemplo estándar de grupo cíclico en el Capítulo 7 y mueven la factorización de $X^n - 1$ en el Capítulo 8; agrupar allí las raíces conjugadas produce las factorizaciones reales que usan las fracciones simples del Capítulo 9. La linealización (Método 3.11) es la preparación estándar para integrar potencias trigonométricas en el Capítulo 15, y las ecuaciones características del Capítulo 5 tienen raíces complejas cuyas partes real e imaginaria producen las soluciones oscilantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ . El diccionario geométrico vuelve con ropaje matricial: las rotaciones y las semejanzas se convierten en las matrices ortogonales de los Capítulos 21 y 23, y las curvas parametrizadas del Capítulo 24 se escriben a menudo mejor como aplicaciones $t \mapsto z(t) \in \C$ .

3.5 Ejercicios

Ejercicio 3.1 ★

Póngase en forma exponencial: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ . Dedúzcanse $\cos\frac{5\pi}{12}$ y $\sin\frac{5\pi}{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

Calculando el mismo cociente por vía algebraica (multiplicando por el conjugado):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

Identificando con $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ :

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

Ejercicio 3.2 ★

Calcúlese $(1 + \iu)^{20}$ . ¿Para qué $n \in \N$ es $(1 + \iu)^n$ un número real?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , luego $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ .

En forma exponencial, $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , que es real si y solo si $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , es decir, $4 \mid n$ . Así pues, $(1+\iu)^n \in \R$ exactamente para los múltiplos de $4$ (con valor $(-4)^{n/4}$ ).

Ejercicio 3.3 ★

Descríbase geométricamente el conjunto de los $z \in \C$ tales que: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (para $z \neq -1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : equidistancia de los puntos $2$ y $-\iu$ — la mediatriz del segmento que une $(2, 0)$ y $(0, -1)$ .

$\abs{z - 1} = 2$ : la circunferencia de centro $1$ y radio $2$ .

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : por la Proposición 3.21 (3), los puntos $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ cumplen que las rectas $MA$ y $MB$ son perpendiculares (o bien $z = 1$ , donde el cociente vale $0 \in \iu\R$ ). El conjunto es la circunferencia de diámetro $[-1, 1]$ (la circunferencia unidad) menos el punto $-1$ , donde el cociente no está definido. Comprobación por cálculo: $z = \eu^{\iu\theta}$ da $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ .

Ejercicio 3.4 ★

Linealícese $\sin^4\theta$ y desarróllese $\cos 4\theta$ como polinomio en $\cos\theta$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

Linealización:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

Desarrollo: por De Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ con $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; sustituyendo $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

Ejercicio 3.5 ★

Resuélvase $z^3 = 8\iu$ y sitúense las soluciones en un dibujo. Resuélvase $z^4 = -4$ y factorícese $X^4 + 4$ en dos polinomios reales de segundo grado.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , luego las raíces cúbicas son $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ :

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

un triángulo equilátero sobre la circunferencia de radio $2$ .

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , así que $z^4 = -4$ tiene soluciones $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ . Emparejando las raíces conjugadas:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

puesto que $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ , y análogamente para el otro par. (Desarróllese para comprobarlo.)

Ejercicio 3.6 ★★

Para $\theta \in \R$ con $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ y $n \in \N$ , calcúlense

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{y}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

sumando la serie geométrica $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ y usando la factorización por el ángulo mitad.

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (suma geométrica de razón $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ ). Factorización por el ángulo mitad (Método 3.11 (4)) en numerador y denominador:

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

Tomando partes real e imaginaria:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

Ejercicio 3.7 ★★

Resuélvase en $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ . (Calcúlese el discriminante y extráiganse sus raíces cuadradas como en Ejemplo 3.20.)

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

Discriminante: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ . Raíces cuadradas de $-3 + 4\iu$ : resuélvase $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ ; entonces $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , con los mismos signos: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ . Por tanto

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

Comprobación: suma $= 3 + 4\iu$ y producto $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , como exigen los coeficientes.

Ejercicio 3.8 ★★

Sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Justifíquese $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Póngase $u = \omega + \omega^4$ y $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calcúlense $u + v$ y $uv$ , y dedúzcase que $u$ y $v$ son las raíces de $X^2 + X - 1$ .
Conclúyase que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

Proposición 3.18 con $n = 5$ .
$u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ por (1). Para el producto, desarróllese y redúzcanse los exponentes módulo $5$ :

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

Así pues, $u$ y $v$ tienen suma $-1$ y producto $-1$ : son las dos raíces de $X^2 + X - 1$ .
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (el ángulo es agudo), y la raíz positiva de $X^2 + X - 1$ es $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Luego $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Ejercicio 3.9 ★★

Demuéstrese que, para todos $z, w \in \C$ (identidad del paralelogramo):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

e interprétese geométricamente en el paralelogramo de vértices $0, z, w, z + w$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

Desarróllense los dos cuadrados como en la demostración de la Proposición 3.2 (4):

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

y súmense. Geométricamente, $\abs{z+w}$ y $\abs{z-w}$ son las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo de vértices $0, z, z+w, w$ , mientras que $\abs z$ y $\abs w$ son las longitudes de los lados: la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados.

Ejercicio 3.10 ★★★

Demuéstrese que tres puntos distintos dos a dos, de afijos $a, b, c$ , forman un triángulo equilátero (con cualquier orientación) si y solo si

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

Indicación: el caso directo es $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ y el indirecto $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , donde $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ cumple $j^2 + j + 1 = 0$ ; o bien factorícense $a + jb + j^2c$ y $a + j^2 b + jc$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

Sea $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , de modo que $j^2 + j + 1 = 0$ y $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ . El triángulo es equilátero directo si y solo si $c - a = -j^2 (b - a)$ , e indirecto si y solo si $c - a = -j(b - a)$ (Ejemplo 3.26).

Considérense $P = a + jb + j^2 c$ y $Q = a + j^2 b + jc$ . Usando $1 + j^2 = -j$ y $j^3 = 1$ :

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

de modo que el caso directo se lee $jP = 0 \iff P = 0$ ; el mismo cálculo con $j$ en lugar de $j^2$ da $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ , así que el caso indirecto se lee $Q = 0$ . Por tanto: equilátero (con cualquier orientación) $\iff PQ = 0$ . Desarrollando, con $j + j^2 = -1$ :

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

Luego el triángulo es equilátero si y solo si $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ .

Ejercicio 3.11 ★★★

Para $n \in \N^*$ , calcúlese $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ , donde $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ . Indicación: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; divídase por $X - 1$ y evalúese en $X = 1$ . Dedúzcase $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

Como los $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , son exactamente las $n$ raíces de $X^n - 1$ (Teorema 3.14), y el polinomio es mónico:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

Dividiendo por $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ . Evaluando en $X = 1$ se obtiene $P = n$ .

Ahora bien, $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , de modo que, tomando módulos en $P = n$ (cada $\sin\frac{k\pi}n > 0$ para $1 \leq k \leq n-1$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{luego}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

Ejercicio 3.12 ★★

Sea $n \geq 2$ . Resuélvase la ecuación $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ en $\C$ : véase que tiene exactamente $n - 1$ soluciones, todas imaginarias puras, a saber,

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

Indicación: $z = 1$ no es solución, así que se divide y se usan las raíces de la unidad; aplíquese después la factorización por el ángulo mitad del Método 3.11.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

$z = 1$ no es solución ( $2^n \neq 0$ ), así que la ecuación equivale a $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ , es decir, $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ con $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ y $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . El valor $k = 0$ queda excluido ( $z + 1 = z - 1$ es imposible). Para $1 \leq k \leq n - 1$ , resolver $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ da $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ , de modo que, con $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ y las factorizaciones por el ángulo mitad $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ :

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

imaginarios puros, como se afirmaba. La aplicación $t \mapsto \cos t/\sin t$ es inyectiva en $\intoo0\pi$ (es estrictamente decreciente), luego los $n - 1$ valores $z_k$ son distintos dos a dos: la ecuación, de grado $n - 1$ una vez desarrollada (los términos $z^n$ se cancelan), tiene exactamente estas $n - 1$ soluciones.

3.6 Problema: el teorema de Napoleón

Problema 3.1

Levántese un triángulo equilátero hacia fuera sobre cada lado de un triángulo arbitrario: los tres centros de esos triángulos forman siempre un triángulo equilátero. Este es el teorema de Napoleón — un enunciado sin razón visible para ser cierto, que el álgebra de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ demuestra en tres líneas de cálculo. Este problema construye toda la caja de herramientas (rotaciones, semejanzas directas, el criterio de $j$ del Ejercicio 3.10), demuestra el teorema de Napoleón interior y exterior, localiza el caso degenerado y cierra con otra joya de la misma escuela: el teorema de Van Schooten sobre triángulos equiláteros y la desigualdad de Ptolomeo. En todo el problema, los puntos del plano se identifican con sus afijos.

Parte I — El número $j$ y las rotaciones.

Calcúlese la forma algebraica de $j$ , y después $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ y $j^{-1}$ . Sitúense $1$ , $j$ , $j^2$ en un esbozo de la circunferencia unidad.
Pruébese que la rotación de centro $a$ y ángulo $\theta$ es $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , y que la composición de dos rotaciones, de ángulos $\theta$ y $\theta'$ , es una rotación de ángulo $\theta + \theta'$ si $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ , y una traslación en caso contrario. (Úsese la Proposición 3.23.)
Sea $b \neq c$ . Pruébese que hay exactamente dos puntos $p$ que hacen equilátero a $(b, c, p)$ , a saber, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para un triángulo directo $(a, b, c)$ , compruébese en el ejemplo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ que la elección $\eu^{-\iu\pi/3}$ es la que queda al otro lado de la recta $BC$ respecto de $a$ — el vértice exterior.
De la solución del Ejercicio 3.10, $(a, b, c)$ es equilátero directo si y solo si $a + jb + j^2c = 0$ . Demuéstrense las dos identidades de rotación

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

y dedúzcase que el criterio es invariante por permutación cíclica de $(a, b, c)$ .
Pruébese que si $a + jb + j^2c = 0$ y dos de los tres puntos coinciden, entonces los tres coinciden. (De modo que el criterio caracteriza exactamente: triángulo equilátero directo, o un solo punto.)

Parte II — Semejanzas directas.

Pruébese que las aplicaciones $f(z) = az + b$ con $a \in \C^*$ (semejanzas directas) son estables por composición e inversión: la composición de dos de ellas, y la inversa de cualquiera de ellas, vuelve a ser de esta forma. (En el lenguaje del Capítulo 7: forman un grupo.)
Dados $z_1 \neq z_2$ y $w_1 \neq w_2$ , pruébese que hay una única semejanza directa $f$ con $f(z_1) = w_1$ y $f(z_2) = w_2$ , y dense $a$ y $b$ explícitamente.
Pruébese que una semejanza directa $f(z) = az + b$ multiplica todas las distancias por $\abs a$ y conserva la forma $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de todo triángulo $(a', b', c')$ (numerador y denominador quedan ambos multiplicados por $a$ ). Dedúzcase que dos triángulos son directamente semejantes exactamente cuando sus formas coinciden.
Determínese por completo la semejanza directa con $f(0) = 1$ y $f(1) = \iu$ : dense $a$ , $b$ , el punto fijo, la razón y el ángulo.
Sea $\alpha + \beta = 1$ . Pruébese que el «punto ponderado» $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ conmuta con toda semejanza directa: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Dedúzcase que baricentros, puntos medios y los centros de Napoleón de más abajo son transportados por las semejanzas — la licencia algebraica que hay detrás de todo argumento del tipo «sin pérdida de generalidad, tómese la circunferencia circunscrita como circunferencia unidad».

Parte III — El teorema de Napoleón. Sea $(a, b, c)$ un triángulo directo. Sobre cada lado levántese el triángulo equilátero exterior (pregunta 3) y sean $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ los centros (baricentros) de los triángulos levantados sobre $[b, c]$ , $[c, a]$ , $[a, b]$ , respectivamente.

Pruébese que

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{con}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
Compruébese que $\alpha + \beta = 1$ y dedúzcase que el triángulo $(n_a, n_b, n_c)$ tiene el mismo baricentro que $(a, b, c)$ .
Usando las identidades de la pregunta 4, pruébese que

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
Calcúlese $\alpha j + \beta$ y conclúyase: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , luego $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ para todo triángulo: el triángulo de Napoleón exterior es equilátero directo (o un punto). El teorema de Napoleón queda demostrado.
Levántense ahora los triángulos equiláteros hacia dentro (elección $\eu^{+\iu\pi/3}$ en la pregunta 3) y sean $m_a, m_b, m_c$ sus centros. Pruébese que $m_a = \beta b + \alpha c$ (y cíclicamente), y demuéstrese después que $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : el triángulo de Napoleón interior también es equilátero, con la orientación opuesta.
Localícese la degeneración: pruébese que $n_a = n_b = n_c$ ocurre exactamente cuando $a + j^2 b + jc = 0$ , es decir, cuando $(a, b, c)$ es un triángulo equilátero indirecto. (Dos de los puntos $n_a, n_b, n_c$ coinciden si y solo si los tres coinciden, por la pregunta 5; úsese después $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ y compruébese que $\alpha + \beta j \neq 0$ .)
Hágase todo el cálculo con el triángulo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : dense $n_a, n_b, n_c$ exactamente y verifíquese, por cálculo directo de las tres longitudes al cuadrado de los lados, que el triángulo es equilátero, de lado al cuadrado $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

Parte IV — Ptolomeo y Van Schooten.

Demuéstrese la identidad, válida para todos los complejos $a, b, c, d$ :

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
Dedúzcase la desigualdad de Ptolomeo: para cuatro puntos cualesquiera $A, B, C, D$ ,

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

con igualdad si y solo si $(a-b)(c-d)$ y $(a-d)(b-c)$ están en una misma semirrecta desde $0$ .
Pruébese que, para $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
(Teorema de Van Schooten) Sea $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — por la parte II esto no supone pérdida de generalidad entre los triángulos equiláteros directos — y sea $p = \eu^{\iu\theta}$ con $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , un punto de la circunferencia circunscrita en el arco $BC$ que no contiene a $A$ . Demuéstrese

$PA = PB + PC .$

(Exprésense las tres distancias con la pregunta 20 y úsese una fórmula de transformación de suma en producto.)
Verifíquese en $p = -1$ que esto es exactamente el caso de igualdad de la desigualdad de Ptolomeo para el orden cíclico $A, B, P, C$ : calcúlense $(a - b)(p - c)$ y $(a - c)(b - p)$ y compruébese que su cociente es un real positivo.

Parte V — Síntesis.

Calcúlese el triángulo de Napoleón exterior del propio triángulo equilátero $(1, j, j^2)$ y descríbase el resultado geométricamente.
¿Dónde ha usado exactamente el problema: (i) la multiplicación como rotación; (ii) la estructura de grupo de las semejanzas y el invariante de forma; (iii) la factorización por el ángulo mitad del Método 3.11? Una frase para cada uno.
En un párrafo breve, formúlese la moraleja del problema: qué aporta el diccionario entre la geometría del plano y el álgebra de $\C$ , qué cuesta y cuál de los dos pasos de la demostración — la identidad $\alpha j + \beta = 0$ o el dibujo clásico — explica mejor, en su opinión, el teorema de Napoleón. Menciónese un lugar donde el diccionario reaparecerá en forma matricial más adelante en este volumen.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (suma de las raíces cúbicas de la unidad, Proposición 3.18); $j^{-1} = j^2$ (pues $j \cdot j^2 = 1$ ). Sobre la circunferencia unidad, $1$ , $j$ , $j^2$ son los vértices de un triángulo equilátero directo.

2. La rotación de centro $a$ y ángulo $\theta$ fija $a$ y gira un ángulo $\theta$ todo vector con origen en $a$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , es decir, $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ . Componiendo $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ y $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ :

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constante},

una aplicación de la forma $Az + B$ con $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de módulo $1$ . Por la Proposición 3.23, es una rotación de ángulo $\arg A = \theta + \theta'$ si $A \neq 1$ , y una traslación si $A = 1$ , es decir, si $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ .

3. $(b, c, p)$ es equilátero si y solo si $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ . Escribiendo $q = \frac{p - b}{c - b}$ , la primera igualdad dice $\abs q = 1$ y la segunda $\abs{q - 1} = 1$ ; juntas, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (los dos puntos de corte de las circunferencias $\abs q = 1$ y $\abs{q - 1} = 1$ son $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ ). Luego $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (triángulo directo), la elección $\eu^{-\iu\pi/3}$ da

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

que queda al otro lado de la recta $BC$ ( $x + y = 1$ ) respecto de $a = 0$ : hacia fuera. La elección $\eu^{+\iu\pi/3}$ da $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ , del mismo lado que $a$ : hacia dentro.

4. Multiplíquese $P = a + jb + j^2c$ por $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (usando $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ ); y por $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$ . Estas son las dos identidades. Si $P = 0$ , entonces $j^2 P = jP = 0$ : el criterio se cumple también para $(b, c, a)$ y $(c, a, b)$ — invariancia cíclica (como debe ser: a un triángulo equilátero le da igual qué vértice se enumere primero).

5. Si $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (usando $1 + j = -j^2$ ), luego $c = a$ . Si $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , luego $a = b$ . Si $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , luego $a = b$ . En cada caso, los tres puntos coinciden.

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ con $a'a \neq 0$ : la misma forma. La inversa de $z \mapsto az + b$ es $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ , de nuevo de la misma forma. Con la aplicación identidad como elemento neutro, las semejanzas directas forman un grupo con la composición.

7. $f(z) = az + b$ cumple $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ si y solo si $a z_1 + b = w_1$ y $a z_2 + b = w_2$ ; restando, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , de modo que

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

quedan forzados y, recíprocamente, esta elección sirve: existencia y unicidad.

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : todas las distancias quedan multiplicadas por $\abs a$ . Para la forma:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

Si dos triángulos $(a', b', c')$ y $(a'', b'', c'')$ tienen la misma forma, sea $f$ la única semejanza directa con $f(a') = a''$ y $f(b') = b''$ (pregunta 7); entonces la forma de $(a'', b'', f(c'))$ coincide con la de $(a', b', c')$ y, por tanto, con la de $(a'', b'', c'')$ , y la forma determina el tercer vértice a partir de los dos primeros: $f(c') = c''$ . Recíprocamente, la igualdad de formas se sigue de la invariancia anterior.

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ da $a = \iu - 1$ . Razón $\abs a = \sqrt2$ , ángulo $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ . Punto fijo:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

Así pues, $f$ es la semejanza directa de centro $\frac{2+\iu}5$ , razón $\sqrt2$ y ángulo $\frac{3\pi}4$ .

10. Con $\alpha + \beta = 1$ y $f(z) = az + b$ :

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

siendo la clave $b = (\alpha + \beta)b$ . Los puntos medios ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), los baricentros (iterando) y los centros de Napoleón $\alpha b + \beta c$ de más abajo son, por tanto, equivariantes: transformar el triángulo los transforma en consecuencia. Así, demostrar un enunciado invariante por semejanza para un triángulo bien colocado lo demuestra para todos — la licencia usada en la pregunta 21.

11. El vértice exterior sobre $[b, c]$ es $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (pregunta 3), luego el centro es

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

con $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ y $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ . El mismo cálculo sobre los lados $[c, a]$ y $[a, b]$ da $n_b = \alpha c + \beta a$ y $n_c = \alpha a + \beta b$ (desplazamiento cíclico de los papeles).

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ . Por tanto

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

los dos triángulos comparten baricentro.

13. Agrúpese por $\alpha$ y $\beta$ y apliquénse las identidades de la pregunta 4 a $P = a + jb + j^2c$ :

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. Con $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ :

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

de modo que $\alpha j + \beta = 0$ , luego $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , y la pregunta 13 da $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ para todo triángulo $(a, b, c)$ . Por el criterio (preguntas 4–5), los centros forman un triángulo equilátero directo o un solo punto: el teorema de Napoleón.

15. El vértice interior es $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ , y el cálculo de la pregunta 11 con $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ intercambia $\alpha$ y $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ . Usando las identidades análogas $b + j^2c + ja = j\,Q$ y $c + j^2a + jb = j^2 Q$ para $Q = a + j^2b + jc$ :

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

puesto que $\alpha j = -\beta$ (pregunta 14). Así pues, los centros interiores cumplen el criterio de equilátero indirecto: equilátero con la orientación opuesta (o un punto).

16. Por la pregunta 5 aplicada a la terna $(n_a, n_b, n_c)$ (que cumple el criterio directo), dos centros coinciden si y solo si coinciden los tres; y los tres coinciden si y solo si se cumplen los dos criterios, es decir, si además $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ . Calcúlese como en la pregunta 13, con las identidades $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ :

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

Directamente: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , luego $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ . Por tanto, el triángulo de Napoleón exterior degenera si y solo si $Q = a + j^2b + jc = 0$ , es decir, si y solo si $(a, b, c)$ es un triángulo equilátero indirecto — en ese caso las construcciones «hacia fuera» apuntan todas hacia dentro y comparten un mismo centro.

17. Con $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ :

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

Lados al cuadrado: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ da $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ da $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ da otra vez el mismo valor. Los tres lados al cuadrado valen $\frac{2 + \sqrt3}3$ : equilátero, como se prometía.

18. Desarróllese:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

y $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : iguales.

19. Tómense módulos en la pregunta 18 y aplíquese la desigualdad triangular (Proposición 3.2 (4)):

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

con igualdad si y solo si los dos sumandos están en una misma semirrecta desde $0$ (el caso de igualdad de la desigualdad triangular).

20. Factorización por el ángulo mitad (Método 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , y tomar módulos elimina los factores unimodulares: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .

21. Con $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , la pregunta 20 da

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

Sobre el arco, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : entonces $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , luego el segundo seno es positivo; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , luego el tercero es negativo y $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ . Transformando la suma en producto:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

luego $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : el teorema de Van Schooten.

22. En $p = -1$ : $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ , y todos los lados del triángulo equilátero miden $\sqrt3$ , de modo que los dos miembros de Ptolomeo valen $2\sqrt3$ . Algebraicamente, usando $-1 - j^2 = j$ y $1 + j = -j^2$ :

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

Los dos términos son iguales, luego su cociente es $1 \in \R_{>0}$ : el caso de igualdad de la pregunta 19, que reproduce exactamente $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ .

23. Para $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (pregunta 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; numéricamente, $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ . Análogamente, $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ y $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ . El triángulo de Napoleón exterior de $(1, j, j^2)$ es $(-1, -j, -j^2)$ : el triángulo de partida reflejado a través de su baricentro $0$ — del mismo tamaño, girado media vuelta. Un triángulo equilátero es una forma fija de la construcción de Napoleón, no un límite que se encoge.

24. (i) La multiplicación por un número unimodular como rotación construyó los vértices y los centros (preguntas 2–3 y 11) y convirtió distancias sobre la circunferencia en senos (pregunta 20). (ii) La estructura de grupo y el invariante de forma justificaron normalizar la circunferencia circunscrita a la circunferencia unidad y el triángulo a $(1, j, j^2)$ en la pregunta 21, mediante la equivariancia de la pregunta 10. (iii) La factorización por el ángulo mitad movió tanto la pregunta 20 como el paso de suma a producto que remata Van Schooten.

25. El diccionario convierte los enunciados geométricos en identidades polinómicas en las que toda hipótesis es una ecuación: lo que aporta es mecanización — el teorema de Napoleón reducido a $\alpha j + \beta = 0$ , una línea de aritmética en $\Q(\iu\sqrt3)$ —; lo que cuesta es visibilidad geométrica — el cálculo certifica, pero no muestra por qué los centros se cierran en un triángulo equilátero. Una respuesta razonable es que la identidad explica la inevitabilidad del teorema (se cumple idénticamente en $a, b, c$ , de modo que no interviene ninguna astucia de configuración), mientras que el dibujo explica su contenido. El mismo diccionario vuelve en forma matricial cuando las rotaciones se convierten en las matrices ortogonales $2 \times 2$ de los Capítulo 21 y Capítulo 23, donde «multiplicar por $\eu^{\iu\theta}$ » es el prototipo de isometría lineal.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario

3.1 El cuerpo C\CC, módulo y conjugado

3.2 Forma exponencial

3.3 Raíces de números complejos

3.4 Números complejos y geometría del plano

3.5 Ejercicios

3.6 Problema: el teorema de Napoleón

Términos definidos en este capítulo

3.1 El cuerpo $\C$ , módulo y conjugado