Matemáticas universitarias — Grado 1 · Bachelor Year 1

3Números complejos

Los números complejos se encontraron en el volumen de High School como método computacional. Dispositivo para ecuaciones cuadráticas. Este capítulo los trata como un tema central. objeto: la forma exponencial y sus consecuencias (de Moivre, $n$ -th raíces, raíces de la unidad), la traducción sistemática entre $\C$ y geometría plana, y el uso de $\eu^{\iu\theta}$ como máquina para Demostrar identidades trigonométricas.

3.1 El campo $\C$ , módulo y conjugado

Definición 3.1 (El campo complejo)

$\C = \{a + \iu b : a, b \in \R\}$ con la adición habitual y el multiplicación determinada por $\iu^2 = -1$ . Cada $z = a + \iu b$ distinto de cero tiene un inverso: $z^{-1} = \frac{a - \iu b}{a^2 + b^2}$ — en el idioma de Capítulo 7, $\C$ es un campo. Se escribe $a = \Re(z)$ , $b = \Im(z)$ , $\conj{z} = a - \iu b$ (el conjugado) y $\abs{z} = \sqrt{a^2 + b^2}$ (el módulo).

Proposición 3.2 (Reglas para conjugado y módulo)

Para $z, w \in \C$ :

$\conj{z + w} = \conj z + \conj w$ , $\conj{zw} = \conj z\, \conj w$ , $\conj{\conj z} = z$ ;
$z \conj z = \abs z^2$ ; $\;\Re(z) = \frac{z + \conj z}{2}$ , $\Im(z) = \frac{z - \conj z}{2\iu}$ ;
$\abs{zw} = \abs z\, \abs w$ y $\abs{z^{-1}} = \abs{z}^{-1}$ para $z \neq 0$ ;
(desigualdad triangular) $\abs{z + w} \leq \abs z + \abs w$ , con igualdad si y sólo si $z$ y $w$ se encuentran en un rayo común de $0$ ( $w = \lambda z$ o $z = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ );
(desigualdad del triángulo inverso) $\bigl|\abs z - \abs w\bigr| \leq \abs{z - w}$ .

Demostración. (1) y (2) son cálculos directos sobre partes reales e imaginarias. (3): $\abs{zw}^2 = zw\,\conj{zw} = z\conj z\, w \conj w = \abs z^2 \abs w^2$ , luego saca raíces cuadradas; aplicar a $z \cdot z^{-1} = 1$ para el inversa.

(4) Ambos lados son no negativos, así que compara cuadrados:

\abs{z+w}^2 = (z+w)(\conj z + \conj w) = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\,\Re(z \conj w),

y $\Re(z\conj w) \leq \abs{z \conj w} = \abs z \abs w$ da $\abs{z+w}^2 \leq (\abs z + \abs w)^2$ . La igualdad obliga a $\Re(z \conj w) = \abs{z \conj w}$ , es decir $z \conj w \in \R_+$ ; si $w \neq 0$ esto da $z = \frac{z\conj w}{\abs w^2}\, w = \lambda w$ con $\lambda \geq 0$ (y el caso $w = 0$ es trivial).

(5) $\abs z = \abs{(z - w) + w} \leq \abs{z-w} + \abs w$ da $\abs z - \abs w \leq \abs{z - w}$ ; intercambie $z$ y $w$ por el otro signo. ∎

Ejemplo 3.3 (Un entrenamiento completo de módulo y argumento.)

Ponga $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ en forma algebraica y calcule es módulo dos veces. Multiplicando por el conjugado del denominador:

w = \frac{(3 + 4\iu)(1 + 2\iu)}{(1 - 2\iu)(1 + 2\iu)} = \frac{3 + 6\iu + 4\iu - 8}{1 + 4} = \frac{-5 + 10\iu}{5} = -1 + 2\iu .

Directamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$ . A través de la regla del cociente (Proposición 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — misma respuesta, no se necesita forma algebraica. La lección generaliza: módulos y Los argumentos viajan bien a través de productos y cocientes, reales y Las partes imaginarias viajan bien a través de sumas. Elige el representación que coincida con las operaciones en cuestión y convertir sólo cuando se ve obligado.

Ejemplo 3.4 (Ecuaciones que involucran el conjugado)

Resolver en $\C$ : $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$ . Una ecuación que mezcla $z$ y $\conj z$ es el polinomio no en $z$ ; el movimiento confiable es dividir en coordenadas reales. Con $z = x + \iu y$ :

z + 2\conj z = 3x - \iu y ,

entonces la ecuación dice $3x = 6$ y $-y = 2$ : la solución única es $z = 2 - 2\iu$ . (Compruebe: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$ .) Alternativamente, conjugado la ecuación completa para obtener $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ y resuelve el sistema lineal en el incógnitas $z, \conj z$ — misma respuesta y un truco útil cuando los coeficientes son complejos. Las ecuaciones en $z$ y $\conj z$ son realmente sistemas de dos ecuaciones reales; esperando “grado $1$ , uno solución” es segura aquí, pero $z\conj z = -1$ (sin solución) muestra la intuición polinómica falla tan pronto como aparecen los productos.

3.2 forma exponencial

Definición 3.5 (Exponencial complejo de un argumento imaginario)

Para $\theta \in \R$ se define

\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu \sin\theta .

Cada $z \neq 0$ se puede escribir $z = r\,\eu^{\iu\theta}$ con $r = \abs z > 0$ ; $\theta$ es un argumento de $z$ , determinado hasta sumar un múltiplo de $2\pi$ . El valor en $\intoc{-\pi}{\pi}$ es el argumento principal, escrito $\arg z$ .

Ejemplo 3.6 (Primeros valores y una identidad famosa)

Leyendo la definición en los ángulos cardinales:

\eu^{\iu\pi/2} = \iu, \qquad \eu^{\iu\pi} = -1, \qquad \eu^{2\iu\pi} = 1, \qquad \eu^{\iu\pi/4} = \frac{\sqrt2}2\,(1 + \iu) .

El segundo, reordenado como $\eu^{\iu\pi} + 1 = 0$ , es el de Euler. célebre identidad que vincula a $\eu$ , $\iu$ , $\pi$ , $1$ y $0$ ; en En esta etapa del libro se trata de una definición más que de una teorema, y su contenido real — por qué el exponencial analítico función de Capítulo 4, extendida a imaginario argumentos, merece el mismo nombre — se resuelve por el poder serie de Capítulo 17. Mientras tanto, la pantalla de arriba es vale la pena memorizar como tabla de conversión: se usa silenciosamente cada momento en que se lee un argumento en una imagen.

Teorema 3.7 (La ecuación funcional)

Para todos los $\theta, \varphi \in \R$ :

\eu^{\iu\theta}\, \eu^{\iu\varphi} = \eu^{\iu(\theta + \varphi)}, \qquad \abs{\eu^{\iu\theta}} = 1, \qquad \conj{\eu^{\iu\theta}} = \eu^{-\iu\theta} = (\eu^{\iu\theta})^{-1}.

En consecuencia, $\abs{zw} = \abs z \abs w$ también incluye los argumentos: $\arg(zw) \equiv \arg z + \arg w \pmod{2\pi}$ .

Demostración. Expanda el producto y use las fórmulas de suma:

(\cos\theta + \iu\sin\theta)(\cos\varphi + \iu\sin\varphi) = (\cos\theta\cos\varphi - \sin\theta\sin\varphi) + \iu\,(\sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi),

que es $\cos(\theta+\varphi) + \iu\sin(\theta+\varphi)$ . El módulo es $\sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1$ y la fórmula conjugado es la paridad del coseno y el seno; invierte $\eu^{\iu\theta}$ desde $\eu^{\iu\theta}\eu^{-\iu\theta} = \eu^0 = 1$ . ∎

Corolario 3.8 (fórmula de Moivre)

Para $\theta \in \R$ y $n \in \Z$ : $\;(\cos\theta + \iu\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + \iu\sin(n\theta)$ .

Demostración. Para $n \geq 0$ , inducción. El caso $n = 0$ dice $1 = 1$ . Suponiendo la fórmula para $n$ , la ecuación funcional (Teorema 3.7) da

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n+1} = \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{n}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu n\theta}\,\eu^{\iu\theta} = \eu^{\iu(n+1)\theta} ,

que es la fórmula en el rango $n + 1$ . Para $n < 0$ , escriba $n = -m$ con $m > 0$ : ya que $\eu^{\iu m\theta}$ tiene inversa $\eu^{-\iu m\theta}$ (Teorema 3.7 otra vez),

\bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^{-m} = \bigl(\eu^{\iu m\theta}\bigr)^{-1} = \eu^{\iu(-m)\theta} . \qedhere

∎

Ejemplo 3.9 (Ampliando $\cos 3\theta$ por de Moivre)

Escriba $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ . De Moivre y el binomio teorema dar

\cos 3\theta + \iu \sin 3\theta = (c + \iu s)^3 = c^3 - 3cs^2 + \iu\,(3c^2 s - s^3),

e identificando piezas reales, sustituyendo luego $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 3\theta = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta .

La parte imaginaria produce $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ libre: una identidad compleja siempre lleva dos reales. Leído al revés, la identidad del recuadro es la clave para la ecuación de trisección clásica: construir $\cos(\theta/3)$ de $\cos\theta$ significa resolver el $4x^3 - 3x = \cos\theta$ cúbico, que es de donde surge el álgebra de Capítulo 8 toma el relevo.

Proposición 3.10 (Fórmulas de Euler)

\cos\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}.

Demostración. Sumar, restar respectivamente, $\eu^{\iu\theta} = \cos\theta + \iu\sin\theta$ y $\eu^{-\iu\theta} = \cos\theta - \iu\sin\theta$ . ∎

Método 3.11 (Trigonometría vía exponenciales)

Linealizar $\cos^p\theta \sin^q\theta$ (convierte los poderes en una suma de $\cos k\theta$ , $\sin k\theta$ ): sustituir la de Euler fórmulas, expandir con el teorema del binomio (Teorema 2.16), reagrupe los términos conjugado.
Expandir $\cos n\theta$ como polinomio en $\cos\theta$ : escriba $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr)$ , expanda y convierta potencias pares de $\sin$ vía $\sin^2 = 1 - \cos^2$ .
Suma de series trigonométricas como $\sum_k \cos k\theta$ : Reconocer la parte real de una suma geométrica $\sum_k (\eu^{\iu\theta})^k$ .
El factorización de medio ángulo: para todos los $p, q$ ,

$\eu^{\iu p} + \eu^{\iu q} = 2 \cos\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}}, \qquad \eu^{\iu p} - \eu^{\iu q} = 2\iu \sin\tfrac{p - q}{2}\; \eu^{\iu \frac{p+q}{2}} .$

Ejemplo 3.12 (Linealización)

\cos^3\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} + \eu^{-\iu\theta}}{2}\Bigr)^{\!3} = \frac{\eu^{3\iu\theta} + 3\eu^{\iu\theta} + 3\eu^{-\iu\theta} + \eu^{-3\iu\theta}}{8} = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}.

Esta forma se integra inmediatamente — la razón misma de la linealización asuntos en Capítulo 15. Un producto mixto funciona De la misma manera, sólo que con ambas fórmulas de Euler a la vez:

\sin^2\theta\cos^2\theta = \Bigl(\frac{\sin2\theta}2\Bigr)^{\!2} = \frac{1}{4}\cdot \Bigl(\frac{\eu^{2\iu\theta} - \eu^{-2\iu\theta}}{2\iu} \Bigr)^{\!2} = \frac{2 - \eu^{4\iu\theta} - \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{1 - \cos4\theta}{8} ,

donde el atajo de doble ángulo en el primer paso salvó uno expansión binomial — siempre vale la pena escanear antes mecanizando.

Ejemplo 3.13 (Una suma binomial trigonométrica)

Para $n \in \N$ y $\theta \in \R$ , evalúe $S = \sum_{k=0}^{n}\binom nk \cos k\theta$ . Reconocer la parte real de una expansión binomial:

S = \Re\sum_{k=0}^n \binom nk \bigl(\eu^{\iu\theta}\bigr)^k = \Re\bigl(1 + \eu^{\iu\theta}\bigr)^n ,

luego factoriza el medio ángulo (Método 3.11 (4)): $1 + \eu^{\iu\theta} = 2\cos\frac\theta2\,\eu^{\iu\theta/2}$ , entonces

S = \Re\Bigl(2^n\cos^n\frac\theta2\;\eu^{\iu n\theta/2}\Bigr) = 2^n \cos^n\frac\theta2\,\cos\frac{n\theta}2 .

La parte imaginaria produce $\sum_k\binom nk\sin k\theta = 2^n\cos^n\frac\theta2\sin\frac{n\theta}2$ libre. Controles de cordura: $\theta = 0$ recupera $\sum\binom nk = 2^n$ y $\theta = \pi$ da $S = 0$ para $n \geq 1$ (cada factor $\cos\frac\pi2$ desaparece), es decir, la suma de filas alternas de Ejemplo 2.17. El método — “ver el coseno suma como la sombra de una potencia compleja, luego factoriza los semiángulos” — es exactamente el de Ejercicio 3.6, con el binomio Teorema que reemplaza la serie geométrica.

3.3 Raíces de números complejos

Teorema 3.14 ( $n$ -ésima raíz)

Sean $a = r\,\eu^{\iu\alpha} \neq 0$ y $n \in \N^*$ . la ecuacion $z^n = a$ tiene exactamente soluciones $n$ :

z_k = r^{1/n}\, \eu^{\iu\left(\frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}\right)}, \qquad k = 0, 1, \dots, n - 1 .

Demostración. Escriba $z = \rho\,\eu^{\iu\theta}$ ( $\rho > 0$ ). Entonces $z^n = \rho^n \eu^{\iu n\theta} = r \eu^{\iu\alpha}$ si y solo si $\rho^n = r$ (módulos) y $n\theta \equiv \alpha \pmod{2\pi}$ (argumentos), es decir, $\rho = r^{1/n}$ y $\theta = \frac{\alpha}{n} + \frac{2k\pi}{n}$ para algunos $k \in \Z$ . Queda por ver cuando dos Los números enteros $k, k'$ producen el mismo número: esto sucede exactamente cuando los ángulos difieren en un múltiplo de $2\pi$ ,

\frac{2k\pi}n - \frac{2k'\pi}n \in 2\pi\Z \iff \frac{k - k'}n \in \Z \iff n \mid k - k' .

Por división euclidiana, cada $k \in \Z$ es mod $n$ congruente con exactamente un elemento de $\{0, 1, \dots, n-1\}$ , por lo que este rango enumera cada solución una vez y el recuento es exactamente $n$ . (lo mismo argumento, ejecutado dentro de $\mathbb U_n$ , muestra las raíces de una forma regular $n$ -gon: valores consecutivos de $k$ giran según el ángulo fijo $\frac{2\pi}n$ .) ∎

Ejemplo 3.15 (Raíces cúbicas de $-27$ )

Resuelve $z^3 = -27$ . Forma exponencial del lado derecho: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$ , por lo que las tres raíces son

z_k = 3\,\eu^{\iu(\frac\pi3 + \frac{2k\pi}3)}, \quad k = 0, 1, 2 : \qquad z_0 = 3\eu^{\iu\pi/3} = \frac32 + \frac{3\sqrt3}2\,\iu, \quad z_1 = -3, \quad z_2 = \conj{z_0} .

Dos cheques. Primero, la raíz real $-3$ es la obvia, y la los otros dos son sus rotaciones por $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente $-3j$ y $-3j^2$ . En segundo lugar, el álgebra confirma: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$ , y la cuadrática tiene el discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ con raíces $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ . La idea: para los lados derechos reales, las raíces no reales siempre vienen en pares conjugado, por lo que se muestra una imagen de la solución conjunto. simétrico con respecto al eje real — una vista previa del real Teorema de factorización de Capítulo 8.

Ejemplo 3.16 (Un lado derecho no real)

Resuelva $z^4 = -8 + 8\iu\sqrt3$ . Forma exponencial del lado derecho: módulo $\sqrt{64 + 192} = 16$ , argumento $\theta$ con $\cos\theta = -\frac12$ , $\sin\theta = \frac{\sqrt3}2$ , es decir $\theta = \frac{2\pi}3$ . Las cuatro raíces son

z_k = 2\,\eu^{\iu(\frac\pi6 + \frac{k\pi}2)}, \quad k = 0, 1, 2, 3 : \qquad z_0 = \sqrt3 + \iu,\quad z_1 = \iu z_0 = -1 + \iu\sqrt3,

z_2 = -z_0 = -\sqrt3 - \iu,\qquad z_3 = -\iu z_0 = 1 - \iu\sqrt3 .

(Compruebe: $z_0^2 = 2 + 2\iu\sqrt3$ , entonces $z_0^4 = (2 + 2\iu\sqrt3)^2 = 4 - 12 + 8\iu\sqrt3 = -8 + 8\iu\sqrt3$ .) Una vez Se encuentra la raíz uno, las otras tres vienen libre: son sus rotaciones sucesivas por $\frac\pi2$ , es decir, sus productos con el cuarto raíces de la unidad — la estructura general detrás Teorema 3.14, vale la pena explotarlo antes de volver a calcularlo cada raíz desde cero. Esta vez no hay simetría conjugado: el El lado derecho no es real.

Definición 3.17 (Raíces de la unidad)

Los $n$ -ésimas raíces de la unidad son los soluciones de $z^n = 1$ :

\mathbb{U}_n = \bigl\{\, \omega^k : k = 0, \dots, n-1 \,\bigr\}, \qquad \omega = \eu^{2\iu\pi/n}.

Forman un grupo bajo multiplicación (Capítulo 7) y siéntate en los vértices de un góndono $n$ regular inscrito en el círculo unitario.

El quinto raíces de la unidad, = 2 π/5: a pentágono regular sobre el círculo unitario. — El quinto raíces de la unidad, $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ : a pentágono regular sobre el círculo unitario.

Proposición 3.18 (Suma de las raíces de la unidad)

Para $n \geq 2$ , el $n$ -ésimo raíces de la unidad suma cero: $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = 0$ .

Demostración. Suma geométrica con relación $\omega \neq 1$ : $\sum_{k=0}^{n-1} \omega^k = \frac{\omega^n - 1}{\omega - 1} = 0$ desde $\omega^n = 1$ . ∎

Ejemplo 3.19 (Lectura de partes reales e imaginarias)

Dividiendo $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^k = 0$ en real e imaginario partes produce dos identidades trigonométricas de forma gratuita:

\sum_{k=0}^{n-1}\cos\frac{2k\pi}n = 0, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\sin\frac{2k\pi}n = 0 \qquad (n \geq 2).

Geométricamente: el centroide de un góno regular $n$ inscrito en el el círculo unitario es su centro — los vértices se equilibran exactamente. Para $n = 5$ , la primera identidad da $1 + 2\cos\frac{2\pi}5 + 2\cos\frac{4\pi}5 = 0$ (emparejando $k$ con $n - k$ ), el inicio punto del cálculo de Ejercicio 3.8 de $\cos\frac{2\pi}5$ .

Ejemplo 3.20 (Raíces cuadradas en forma algebraica)

Para resolver $z^2 = 3 + 4\iu$ sin trigonometría, configure $z = x + \iu y$ :

x^2 - y^2 = 3, \qquad 2xy = 4, \qquad x^2 + y^2 = \abs{3 + 4\iu} = 5 .

Agregando el primero y el último: $x^2 = 4$ , entonces $x = \pm 2$ , luego $y = 2/x = \pm 1$ con el emparejamiento de signos mismo ( $xy = 2 > 0$ ): $z = \pm(2 + \iu)$ . Combinado con la fórmula habitual, esto resuelve cada cuadrática ecuación con coeficientes complejos (Ejercicio 3.7).

3.4 Números complejos y geometría plana.

Proposición 3.21 (diccionario geométrico)

Identificar el punto $M(x, y)$ del avión con su afijo $z = x + \iu y$ . Para puntos distintos $A, B, C$ de afijos $a, b, c$ :

$\abs{b - a}$ es la distancia $AB$ ;
$\arg\dfrac{c - a}{b - a}$ es el ángulo entre los vectores $\vect{AB}$ y $\vect{AC}$ (mod $2\pi$ );
$A, B, C$ están alineados si y sólo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \R$ ; las rectas $AB$ y $AC$ son perpendiculares si y sólo si $\dfrac{c - a}{b - a} \in \iu\R$ .

Demostración. (1) es la definición de módulo aplicada a $b - a$ , el afijo de $\vect{AB}$ . (2): escriba $b - a = r\eu^{\iu\theta}$ , $c - a = s\eu^{\iu\varphi}$ ; entonces $\frac{c-a}{b-a} = \frac sr \eu^{\iu(\varphi - \theta)}$ tiene el argumento $\varphi - \theta$ , el ángulo de $\vect{AB}$ a $\vect{AC}$ . (3): alineación significa ángulo $0$ o $\pi$ , es decir argumento en $\pi\Z$ , es decir el cociente es real; perpendicularidad significa ángulo $\pm\frac\pi2$ , es decir, el cociente es puramente imaginario. (El cociente es distinto de cero desde $C \neq A$ ). ∎

Observación 3.22 (Interludio: $\C$ es el plano con una multiplicación)

Vale la pena detenerse en lo que hace posible este capítulo: el avión $\R^2$ lleva adiciones en todas direcciones, pero no Multiplicación dada por Dios — y $\C$ is el avión equipado con uno, en el que multiplicar por un número fijo gira y escala. Esta estructura será ordeñada tres más. veces en este volumen. En Capítulo 21, la multiplicación por $a + \iu b$ reaparece como la matriz $2 \times 2$ con filas $(a, -b)$ y $(b, a)$ : la aritmética compleja es la primera, completamente familia concreta de productos matriciales. En Capítulo 23, el la fórmula $\Re(\conj z\,w)$ resulta ser el producto escalar, y $\abs z$ la norma euclidiana: la desigualdad del triángulo demostrada aquí Éste es el modelo para la historia de Cauchy-Schwarz allí. y en Capítulo 24, es mejor escribir un punto en movimiento $t \mapsto z(t)$ , de modo que la velocidad y la aceleración adquieran valores complejos derivadas — el movimiento circular, por ejemplo, es simplemente $z(t) = R\,\eu^{\iu\omega t}$ . Una buena multiplicación, cuatro capítulos de dividendos.

Proposición 3.23 (Aplicaciones $z \mapsto az + b$ )

Sea $a \in \C^*$ , $b \in \C$ . La transformación $f(z) = az + b$ de el avión:

es una traducción si $a = 1$ ;
de lo contrario tiene un punto fijo único $\zeta = \frac{b}{1-a}$ , y $f(z) - \zeta = a\,(z - \zeta)$ : $f$ es la rotación de centro $\zeta$ y ángulo $\arg a$ , compuestos con la escala de centro $\zeta$ y relación $\abs a$ .

En particular $z \mapsto \eu^{\iu\theta} z$ es la rotación del ángulo. $\theta$ sobre el origen, y $\conj z$ es el reflejo en lo real. eje.

Demostración. Si $a = 1$ , $f(z) = z + b$ se traduce por el vector del afijo $b$ . si $a \neq 1$ , la ecuación de punto fijo $z = az + b$ tiene la única solución $\zeta = \frac{b}{1-a}$ y luego $f(z) - \zeta = az + b - (a\zeta + b) = a(z - \zeta)$ . Escribiendo $a = \abs a\, \eu^{\iu\arg a}$ , la multiplicación por $a$ escala las distancias a $\zeta$ por $\abs a$ y suma $\arg a$ a ángulos en $\zeta$ , que es la composición anunciada. ∎

Ejemplo 3.24 (Clasificando una aplicación $z \mapsto az+b$ )

Tome $f(z) = \iu z + 1$ . Aquí $a = \iu \neq 1$ : el punto fijo es

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{1 - \iu} = \frac{1 + \iu}{2},

y desde $\abs a = 1$ , no hay ningún escalado: $f$ es el puro rotación del centro $\frac{1+\iu}2$ y ángulo $\arg \iu = \frac\pi2$ . Verifique: $f(\zeta) = \iu\,\frac{1+\iu}2 + 1 = \frac{\iu - 1}2 + 1 = \frac{1 + \iu}2 = \zeta$ y $f(0) = 1$ , $f(1) = 1 + \iu$ , $f(1 + \iu) = \iu\,(1 + \iu) + 1 = \iu$ : los cuatro puntos $0, 1, 1+\iu, \iu$ del ciclo del cuadrado unitario alrededor de su centro $\zeta$ , un cuarto giro a la vez — exactamente qué rotación por $\frac\pi2$ sobre el El centro del cuadrado debe ser suficiente.

La aplicación f(z) = z + 1 de : una rotación de un cuarto de vuelta sobre el punto fijo = 1+ 2. Los vértices de la unidad. ciclo cuadrado 0 1 1+ 0; ningún punto se mueve a lo largo de una línea recta, pero todo el cuadrado está rígidamente girado. — La aplicación $f(z) = \iu z + 1$ de Ejemplo 3.24: una rotación de un cuarto de vuelta sobre el punto fijo $\zeta = \frac{1+\iu}2$ . Los vértices de la unidad. ciclo cuadrado $0 \to 1 \to 1{+}\iu \to \iu \to 0$ ; ningún punto se mueve a lo largo de una línea recta, pero todo el cuadrado está rígidamente girado.

Observación 3.25 (Errores comunes con módulos y argumentos)

No inequalities in $\C$ . Escritura $z \leq w$ para los números no reales no tienen sentido; solo módulos, partes reales y se pueden comparar partes imaginarias.
$\sqrt{\phantom z}$ is reserved for $\R_+$ . Cada El número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas y ninguno de los dos tiene privilegios: escriba “sea $\delta$ un cuadrado raíz de $\Delta$ ” (calculada como en Ejemplo 3.20), nunca $\sqrt\Delta$ — la regla $\sqrt{ab} = \sqrt a\sqrt b$ ya falla en $a = b = -1$ .
Arguments live modulo $2\pi$ . Desde $\eu^{\iu\alpha} = \eu^{\iu\beta}$ concluye $\alpha \equiv \beta \pmod{2\pi}$ , no $\alpha = \beta$ ; olvidando el $2k\pi$ es como solución conjuntos de $z^n = a$ pierden $n - 1$ de sus elementos $n$ .
$\abs{z + w}$ is not $\abs z + \abs w$ . Igualdad en el triángulo la desigualdad es la alineada excepcional caso (Proposición 3.2 (4)); en general el módulo de una suma debe estimarse, no calcularse.

Ejemplo 3.26

$A, B, C$ (afijos $a, b, c$ , distintos por pares) forman un equilátero triángulo con los vértices en orden directo (en sentido antihorario) si y sólo si $\frac{c - a}{b - a} = \eu^{\iu\pi/3}$ : la rotación de el centro $A$ y el ángulo $\frac\pi3$ envía $B$ a $C$ . Ambas orientaciones juntos son capturados por la ecuación simétrica $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ (Ejercicio 3.10).

Observación 3.27 (Dónde se utiliza este capítulo)

La forma exponencial es el dispositivo computacional más reutilizado del volumen. Raíces de unidad se convierte en el ejemplo estándar de un grupo cíclico en Capítulo 7 e impulsa la factorización de $X^n - 1$ en Capítulo 8; agrupando raíces conjugado allí produce las factorizaciones reales utilizadas por fracciones parciales en Capítulo 9. Linealización (Método 3.11) es la preparación estándar para integrar potencias trigonométricas en Capítulo 15, y las ecuaciones características de Capítulo 5 tienen raíces complejas cuyas raíces reales e imaginarias Las piezas producen las soluciones oscilantes $\eu^{\lambda t}\cos\omega t$ . El diccionario geométrico regresa vestido de matrices: rotaciones y las similitudes se convierten en las matrices ortogonales de Capítulos 21 y 23 y curvas parametrizadas en Capítulo 24 suele escribirse mejor como aplicaciones $t \mapsto z(t) \in \C$ .

3.5 Ceremonias

Ejercicio 3.1 ★

Puesto en forma exponencial: $1 + \iu$ ; $\;\sqrt 3 - \iu$ ; $\;-5$ ; $\;\dfrac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu}$ . deducir $\cos\frac{5\pi}{12}$ y $\sin\frac{5\pi}{12}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.1.

$1 + \iu = \sqrt 2\, \eu^{\iu\pi/4}$ ; $\;\sqrt 3 - \iu = 2\, \eu^{-\iu\pi/6}$ ; $\;-5 = 5\, \eu^{\iu\pi}$ ;

\frac{1 + \iu}{\sqrt 3 - \iu} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{\iu(\pi/4 + \pi/6)} = \frac{\sqrt 2}{2}\, \eu^{5\iu\pi/12}.

Calcular el mismo cociente algebraicamente (multiplicar por conjugado):

\frac{(1 + \iu)(\sqrt 3 + \iu)}{4} = \frac{(\sqrt 3 - 1) + \iu(\sqrt 3 + 1)}{4}.

Identificando con $\frac{\sqrt 2}{2}(\cos\frac{5\pi}{12} + \iu\sin\frac{5\pi}{12})$ :

\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}, \qquad \sin\frac{5\pi}{12} = \frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}.

Ejercicio 3.2 ★

Calcule $(1 + \iu)^{20}$ . Para lo cual $n \in \N$ es $(1 + \iu)^n$ a número real?

Solución

Solución de Ejercicio 3.2.

$(1+\iu)^2 = 2\iu$ , so $(1+\iu)^{20} = (2\iu)^{10} = 2^{10}\,\iu^{10} = 1024 \times (-1) = -1024$ .

En forma exponencial $(1+\iu)^n = 2^{n/2}\, \eu^{\iu n\pi/4}$ , real si y sólo si $\sin\frac{n\pi}{4} = 0$ , es decir $4 \mid n$ . Entonces $(1+\iu)^n \in \R$ exactamente para los múltiplos de $4$ (valor $(-4)^{n/4}$ ).

Ejercicio 3.3 ★

Describe geométricamente el conjunto de $z \in \C$ tal que: $\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ ; $\;\abs{z - 1} = 2$ ; $\;\dfrac{z - 1}{z + 1} \in \iu\R$ (para $z \neq -1$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 3.3.

$\abs{z - 2} = \abs{z + \iu}$ : equidistancia de los puntos $2$ y $-\iu$ — la mediatriz del segmento que une $(2, 0)$ y $(0, -1)$ .

$\abs{z - 1} = 2$ : el círculo de centro $1$ y radio $2$ .

$\frac{z-1}{z+1} \in \iu\R$ : por Proposición 3.21 (3), los puntos $M(z)$ , $A(1)$ , $B(-1)$ satisface: líneas $MA$ y $MB$ perpendiculares (o $z = 1$ , donde el cociente es $0 \in \iu\R$ ). El conjunto es el círculo de diámetro. $[-1, 1]$ (el círculo unitario), menos el punto $-1$ donde se encuentra el cociente no está definido. Verifique por cálculo: $z = \eu^{\iu\theta}$ da $\frac{z-1}{z+1} = \frac{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} - \eu^{-\iu\theta/2})}{\eu^{\iu\theta/2}(\eu^{\iu\theta/2} + \eu^{-\iu\theta/2})} = \iu\tan\frac\theta2 \in \iu\R$ .

Ejercicio 3.4 ★

Linealice $\sin^4\theta$ y expanda $\cos 4\theta$ como un polinomio en $\cos\theta$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.4.

Linealización:

\sin^4\theta = \Bigl(\frac{\eu^{\iu\theta} - \eu^{-\iu\theta}}{2\iu}\Bigr)^{\!4} = \frac{\eu^{4\iu\theta} - 4\eu^{2\iu\theta} + 6 - 4\eu^{-2\iu\theta} + \eu^{-4\iu\theta}}{16} = \frac{\cos 4\theta - 4\cos 2\theta + 3}{8}.

Ampliación: de de Moivre, $\cos 4\theta = \Re\bigl((c + \iu s)^4\bigr) = c^4 - 6c^2 s^2 + s^4$ con $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ ; sustituyendo $s^2 = 1 - c^2$ :

\cos 4\theta = c^4 - 6c^2(1 - c^2) + (1 - c^2)^2 = 8c^4 - 8c^2 + 1 .

Ejercicio 3.5 ★

Resuelve $z^3 = 8\iu$ y coloca las soluciones en una imagen. resolver $z^4 = -4$ y factorice $X^4 + 4$ en dos polinomios cuadráticos reales.

Solución

Solución de Ejercicio 3.5.

$8\iu = 8\,\eu^{\iu\pi/2}$ , por lo que las raíces cúbicas son $2\,\eu^{\iu(\pi/6 + 2k\pi/3)}$ , $k = 0, 1, 2$ :

z_0 = 2\eu^{\iu\pi/6} = \sqrt 3 + \iu,\quad z_1 = 2\eu^{5\iu\pi/6} = -\sqrt 3 + \iu,\quad z_2 = 2\eu^{3\iu\pi/2} = -2\iu :

un triángulo equilátero en el círculo de radio $2$ .

$-4 = 4\eu^{\iu\pi}$ , por lo que $z^4 = -4$ tiene soluciones $\sqrt 2\, \eu^{\iu(\pi/4 + k\pi/2)}$ : $\;1 + \iu$ , $-1 + \iu$ , $-1 - \iu$ , $1 - \iu$ . Emparejamiento de raíces conjugado:

X^4 + 4 = \bigl(X^2 - 2X + 2\bigr)\bigl(X^2 + 2X + 2\bigr),

desde $(X - (1+\iu))(X - (1-\iu)) = X^2 - 2X + 2$ y de manera similar para el otro par. (Amplíe para comprobarlo).

Ejercicio 3.6 ★★

Para $\theta \in \R$ con $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ y $n \in \N$ , calcular

C_n = \sum_{k=0}^{n} \cos k\theta \qquad\text{and}\qquad S_n = \sum_{k=0}^{n} \sin k\theta

sumando la serie geométrica $\sum_k \eu^{\iu k\theta}$ y usando la factorización de medio ángulo.

Solución

Solución de Ejercicio 3.6.

$C_n + \iu S_n = \sum_{k=0}^{n} \eu^{\iu k\theta} = \frac{\eu^{\iu(n+1)\theta} - 1}{\eu^{\iu\theta} - 1}$ (suma geométrica, relación $\eu^{\iu\theta} \neq 1$ ). Factorización de medio ángulo (Método 3.11 (4)) en numerador y denominador:

\frac{2\iu\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\, \eu^{\iu(n+1)\theta/2}} {2\iu\sin\frac{\theta}{2}\, \eu^{\iu\theta/2}} = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\, \eu^{\iu n\theta/2}.

Tomando partes reales e imaginarias:

C_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \cos\frac{n\theta}{2}, \qquad S_n = \frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}} \sin\frac{n\theta}{2}.

Ejercicio 3.7 ★★

Resuelva en $\C$ : $z^2 - (3 + 4\iu) z + (-1 + 5\iu) = 0$ . (Compute the discriminant, extract its square roots as in Ejemplo 3.20.)

Solución

Solución de Ejercicio 3.7.

Discriminante: $\Delta = (3 + 4\iu)^2 - 4(-1 + 5\iu) = 9 + 24\iu - 16 + 4 - 20\iu = -3 + 4\iu$ . Raíces cuadradas de $-3 + 4\iu$ : resuelve $x^2 - y^2 = -3$ , $2xy = 4$ , $x^2 + y^2 = 5$ ; luego $x^2 = 1$ , $y = 2/x$ , igual signos: $\delta = \pm(1 + 2\iu)$ . Por lo tanto

z = \frac{(3 + 4\iu) \pm (1 + 2\iu)}{2} \in \{\, 2 + 3\iu,\; 1 + \iu \,\}.

Controlar: suma $= 3 + 4\iu$ y producto $(2+3\iu)(1+\iu) = -1 + 5\iu$ , según lo exigen los coeficientes.

Ejercicio 3.8 ★★

Sea $\omega = \eu^{2\iu\pi/5}$ .

Justifica $1 + \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = 0$ .
Configure $u = \omega + \omega^4$ y $v = \omega^2 + \omega^3$ . Calcule $u + v$ y $uv$ y deduzca que $u$ y $v$ son los raíces de $X^2 + X - 1$ .
Concluya que $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.8.

Proposición 3.18 con $n = 5$ .
$u + v = \omega + \omega^2 + \omega^3 + \omega^4 = -1$ por (1). Para el producto, expanda y reduzca los exponentes módulo $5$ :

$uv = (\omega + \omega^4)(\omega^2 + \omega^3) = \omega^3 + \omega^4 + \omega^6 + \omega^7 = \omega^3 + \omega^4 + \omega + \omega^2 = -1 .$

Entonces $u$ y $v$ tienen suma $-1$ y producto $-1$ : son los dos raíces de $X^2 + X - 1$ .
$u = \omega + \conj\omega = 2\cos\frac{2\pi}{5} > 0$ (el El ángulo es agudo), y la raíz positiva de $X^2 + X - 1$ es $\frac{-1 + \sqrt 5}{2}$ . Por lo tanto $\cos\frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt 5 - 1}{4}$ .

Ejercicio 3.9 ★★

Demuestre que para todos los $z, w \in \C$ (identidad de paralelogramo):

\abs{z + w}^2 + \abs{z - w}^2 = 2\abs z^2 + 2\abs w^2 ,

e interpretarlo geométricamente en el paralelogramo con vértices $0, z, w, z + w$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.9.

Expande ambos cuadrados como en la prueba de Proposición 3.2 (4):

\abs{z + w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 + 2\Re(z\conj w), \qquad \abs{z - w}^2 = \abs z^2 + \abs w^2 - 2\Re(z\conj w),

y agregar. Geométricamente, $\abs{z+w}$ y $\abs{z-w}$ son las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo con vértices $0, z, z+w, w$ , mientras que $\abs z$ y $\abs w$ son las longitudes de los lados: la suma de las Los cuadrados de las diagonales son iguales a la suma de los cuadrados de las cuatro. lados.

Ejercicio 3.10 ★★★

Demuestre que tres puntos distintos por pares de afijos $a, b, c$ forman un triángulo equilátero (cualquier orientación) si y sólo si

a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca .

Hint: the direct case is $\frac{c-a}{b-a} = -j^2$ and the indirect case $\frac{c-a}{b-a} = -j$ , where $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ satisfies $j^2 + j + 1 = 0$ ; or factor $a + jb + j^2c$ and $a + j^2 b + jc$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.10.

Sea $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , entonces $j^2 + j + 1 = 0$ y $\eu^{\iu\pi/3} = -j^2$ , $\eu^{-\iu\pi/3} = -j$ . El triangulo es equilatero directo si y solo $c - a = -j^2 (b - a)$ , si indirecta $c - a = -j(b - a)$ (Ejemplo 3.26).

Considere $P = a + jb + j^2 c$ y $Q = a + j^2 b + jc$ . Usando $1 + j^2 = -j$ y $j^3 = 1$ :

c - a + j^2(b - a) = c + j^2 b - (1 + j^2)\,a = c + j^2 b + ja = j\,(a + jb + j^2 c) = jP,

entonces el caso directo dice $jP = 0 \iff P = 0$ ; el mismo cálculo con $j$ en lugar de $j^2$ da $c - a + j(b - a) = j^2 Q$ , por lo que el el caso indirecto dice $Q = 0$ . Por lo tanto: equilátero (cualquier orientación) $\iff PQ = 0$ . Ampliando, con $j + j^2 = -1$ :

PQ = a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca) = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + bc + ca).

Entonces el triángulo es equilátero si y sólo si $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$ .

Ejercicio 3.11 ★★★

Para $n \in \N^*$ , evalúe $P = \prod_{k=1}^{n-1} \bigl(1 - \omega^k\bigr)$ donde $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ . Hint: $X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k)$ ; divide by $X - 1$ and evaluate at $X = 1$ . Deducir $\prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \dfrac{n}{2^{n-1}}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 3.11.

Ya que $\omega^k$ , $k = 0, \dots, n-1$ , son exactamente las raíces $n$ de $X^n - 1$ (Teorema 3.14), y el polinomio es mónico:

X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^k) = (X - 1) \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k).

Dividiendo por $X - 1$ : $\;1 + X + \dots + X^{n-1} = \prod_{k=1}^{n-1} (X - \omega^k)$ . La evaluación en $X = 1$ da $P = n$ .

Ahora $1 - \omega^k = -\eu^{\iu k\pi/n}\bigl(\eu^{\iu k\pi/n} - \eu^{-\iu k\pi/n}\bigr) = -2\iu\,\eu^{\iu k\pi/n} \sin\frac{k\pi}{n}$ , entonces tomando módulos en $P = n$ (cada $\sin\frac{k\pi}n > 0$ para $1 \leq k \leq n-1$ ):

n = \abs P = \prod_{k=1}^{n-1} 2\sin\frac{k\pi}{n} = 2^{n-1} \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n}, \qquad\text{hence}\qquad \prod_{k=1}^{n-1} \sin\frac{k\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} .

Ejercicio 3.12 ★★

Sea $n \geq 2$ . Resuelve la ecuación $(z + 1)^n = (z - 1)^n$ en $\C$ : demuestre que tiene exactamente $n - 1$ soluciones, todas puramente imaginarias, es decir

z_k = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}}, \qquad k = 1, \dots, n - 1 .

Hint: $z = 1$ is not a solution, so divide and use the raíces de unidad; then apply the half-angle factorization of Método 3.11.

Solución

Solución de Ejercicio 3.12.

$z = 1$ no es una solución ( $2^n \neq 0$ ), por lo que la ecuación es equivalente a $\bigl(\frac{z+1}{z-1}\bigr)^n = 1$ , es decir $\frac{z+1}{z-1} = \omega^k$ con $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ y $k \in \{0, \dots, n-1\}$ . El valor $k = 0$ está excluido ( $z + 1 = z - 1$ es imposible). Para $1 \leq k \leq n - 1$ , resolviendo $z + 1 = \omega^k(z - 1)$ da $z(1 - \omega^k) = -1 - \omega^k$ , entonces con $\varphi = \frac{2k\pi}{n}$ y el medio ángulo factorizaciones $1 + \eu^{\iu\varphi} = 2\cos\frac\varphi2\, \eu^{\iu\varphi/2}$ , $\eu^{\iu\varphi} - 1 = 2\iu\sin\frac\varphi2 \,\eu^{\iu\varphi/2}$ :

z_k = \frac{1 + \omega^k}{\omega^k - 1} = \frac{2\cos\frac{k\pi}{n}}{2\iu\,\sin\frac{k\pi}{n}} = -\iu\,\frac{\cos\frac{k\pi}{n}}{\sin\frac{k\pi}{n}} ,

puramente imaginario como se afirma. La aplicación $t \mapsto \cos t/\sin t$ es inyectivo en $\intoo0\pi$ (es estrictamente decreciente), por lo que el Los valores $n - 1$ $z_k$ son distintos por pares: la ecuación, de grado $n - 1$ una vez expandido (los términos $z^n$ se cancelan), tiene exactamente estos $n - 1$ soluciones.

3.6 Problema: el teorema de Napoleón

Problema 3.1

Levanta un triángulo equilátero hacia afuera a cada lado de un arbitrario triángulo: los tres centros de esos triángulos Siempre forman un triángulo equilátero. Este es el teorema de Napoleón — un enunciado sin motivo visible para ser cierto, lo cual el álgebra de $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ demuestra en tres líneas de cálculo. Este problema construye el conjunto de herramientas completo. (rotaciones, similitudes directas, el criterio $j$ de Ejercicio 3.10), demuestra el teorema de Napoleón interno y exterior, localiza el caso degenerado y cierra con una segunda joya de la misma escuela: teorema de van Schooten sobre triángulos equiláteros y la desigualdad de Ptolomeo. En todo momento, los puntos del avión son identificados con sus afijos.

Parte I — The number $j$ and rotations.

Calcule la forma algebraica de $j$ , luego $j^2$ , $j^3$ , $1 + j + j^2$ , $\conj j$ y $j^{-1}$ . Coloque $1$ , $j$ , $j^2$ en un bosquejo del círculo unitario.
Demuestre que la rotación del centro $a$ y el ángulo $\theta$ es $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , y que el composición de dos rotaciones, de ángulos $\theta$ y $\theta'$ , es una rotación del ángulo $\theta + \theta'$ si $\theta + \theta' \notin 2\pi\Z$ y una traducción. de lo contrario. (Utilice Proposición 3.23).
Vamos $b \neq c$ . Demuestre que hay exactamente dos puntos $p$ haciendo que $(b, c, p)$ sea equilátero, es decir, $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para un triángulo directo $(a, b, c)$ , verifique en el ejemplo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ que la opción $\eu^{-\iu\pi/3}$ es la que está en el otro lado de la línea $BC$ de $a$ — el exterior ápice.
De la solución de Ejercicio 3.10, $(a, b, c)$ es equilátero directo si $a + jb + j^2c = 0$ . probar los dos identidades de rotación

$b + jc + j^2a = j^2\,(a + jb + j^2c), \qquad c + ja + j^2b = j\,(a + jb + j^2c),$

y deducir que el criterio es invariante bajo condiciones cíclicas. permutación de $(a, b, c)$ .
Demuestre que si $a + jb + j^2c = 0$ y dos de los tres puntos coinciden, entonces los tres coinciden. (Entonces el criterio exactamente caracteriza: triángulo equilátero directo, o un solo punto.)

Parte II — Direct similarities.

Mostrar que el aplicaciones $f(z) = az + b$ con $a \in \C^*$ (similitudes directas) son estables bajo composición e inversión: la composición de dos de ellos, y la inverso de cualquiera de ellos, es nuevamente de esta forma. (En el idioma de Capítulo 7: forman un grupo.)
Dados $z_1 \neq z_2$ y $w_1 \neq w_2$ , muestra que hay un único similitud directa $f$ con $f(z_1) = w_1$ y $f(z_2) = w_2$ y proporcione $a$ y $b$ explícitamente.
Demuestre que una semejanza directa $f(z) = az + b$ multiplica todas las distancias por $\abs a$ y conserva el forma $\frac{c - a'}{b' - a'}$ de cualquier triángulo $(a', b', c')$ (El numerador y el denominador se multiplican por $a$ ). Deducir que dos triángulos son directamente similares exactamente cuando sus formas son iguales.
Determinar completamente la similitud directa con $f(0) = 1$ . y $f(1) = \iu$ : proporcione $a$ , $b$ , el punto fijo, la relación y el ángulo.
Vamos $\alpha + \beta = 1$ . Demuestre que el "punto ponderado" $g(a', b') = \alpha a' + \beta b'$ viaja con cada similitud directa: $f(\alpha a' + \beta b') = \alpha f(a') + \beta f(b')$ . Deduzca que los centroides, los puntos medios y la Los centros de Napoleón a continuación están todos transportados por similitudes. — la licencia algebraica detrás de cada "sin pérdida de En general, coloque el círculo circunstante en el círculo unitario” argumento.

Parte III — Napoleon’s theorem. Deja $(a, b, c)$ ser un triángulo directo. A cada lado levante el equilátero hacia afuera. triángulo (pregunta 3) y sean $n_a$ , $n_b$ , $n_c$ los centros (centroides) de los triángulos erigidos en $[b, c]$ , $[c, a]$ , $[a, b]$ respectivamente.

Demuestra que

$n_a = \alpha b + \beta c, \qquad n_b = \alpha c + \beta a, \qquad n_c = \alpha a + \beta b, \qquad\text{with}\quad \alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}{6},\ \beta = \conj\alpha .$
Verifique $\alpha + \beta = 1$ y deduzca que el triángulo $(n_a, n_b, n_c)$ tiene el mismo centroide como $(a, b, c)$ .
Utilizando las identidades de la pregunta 4, demuestre que

$n_a + j\,n_b + j^2 n_c = (\alpha j^2 + \beta j)\,(a + jb + j^2c) .$
Calcule $\alpha j + \beta$ y concluya: $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , por lo que $n_a + j n_b + j^2 n_c = 0$ para el triángulo cada: el Napoleón exterior el triángulo es equilátero directo (o un punto). Napoleón El teorema está demostrado.
En su lugar, erige los triángulos equiláteros interior. (opción $\eu^{+\iu\pi/3}$ en la pregunta 3) y deje que $m_a, m_b, m_c$ sea sus centros. Mostrar $m_a = \beta b + \alpha c$ (y cíclicamente), luego pruebe $m_a + j^2 m_b + j\,m_c = 0$ : el El triángulo interior de Napoleón también es equilátero, con el orientación opuesta.
Localice la degeneración: muestre que sucede $n_a = n_b = n_c$ exactamente cuando $a + j^2 b + jc = 0$ , es decir cuando $(a, b, c)$ es un triángulo equilátero indirecto. (Two points among $n_a, n_b, n_c$ coincide iff all three do, by question 5; then use $n_a + j^2 n_b + j n_c = j(\alpha + \beta j)(a + j^2b + jc)$ and check $\alpha + \beta j \neq 0$ .)
Realizar todo el cálculo en el triángulo $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ : proporcione $n_a, n_b, n_c$ exactamente, y verificar mediante cálculo directo de los tres lados al cuadrado longitudes que el triángulo es equilátero, de lado al cuadrado $\frac{2 + \sqrt3}{3}$ .

Parte IV — Ptolemy and van Schooten.

Acreditar la identidad, válido para todos los complejos $a, b, c, d$ :

$(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (a - c)(b - d) .$
Deduzca La desigualdad de Ptolomeo: para cuatro puntos cualesquiera $A, B, C, D$ ,

$AC \cdot BD \;\leq\; AB \cdot CD + AD \cdot BC ,$

con igualdad si y sólo si $(a-b)(c-d)$ y $(a-d)(b-c)$ se encuentran en un rayo común de $0$ .
Muestre que para $\theta, \varphi \in \R$ , $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .
(teorema de van Schooten) Sea $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ — por la Parte II esto no pierde generalidad entre triángulos equiláteros directos — y dejemos $p = \eu^{\iu\theta}$ con $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , un punto del círculo circunstante en el arco $BC$ que no contiene $A$ . probar

$PA = PB + PC .$

(Expresa las tres distancias con la pregunta 20 y utiliza una fórmula de suma a producto.)
Verifique en $p = -1$ que este sea exactamente el caso de igualdad. de la desigualdad de Ptolomeo para el orden cíclico $A, B, P, C$ : calcule $(a - b)(p - c)$ y $(a - c)(b - p)$ y verifique que su relación es un real positivo.

Part V — Synthesis.

Calcular el triángulo exterior de Napoleón del equilátero triángulo $(1, j, j^2)$ y describe el resultado. geométricamente.
¿Dónde exactamente se utilizó el problema: (i) la multiplicación como rotación; (ii) la estructura grupal de similitudes y la forma invariante; (iii) la factorización de medio ángulo de Método 3.11? Una frase cada uno.
En un breve párrafo, articule la moraleja del problema: ¿Qué significa el diccionario entre geometría plana y la álgebra de compra $\C$ , cuánto cuesta y cuál de los dos pasos de prueba — la identidad $\alpha j + \beta = 0$ o el cuadro clásico — explica Napoleón ¿Teorema mejor en tu opinión? Mencione un lugar donde El diccionario reaparecerá en forma matricial más adelante en este artículo. volumen.

Solución

Solución de Problema 3.1.

1. $j = \cos\frac{2\pi}3 + \iu\sin\frac{2\pi}3 = -\frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2$ ; $j^2 = \eu^{4\iu\pi/3} = -\frac12 - \iu\frac{\sqrt3}2 = \conj j$ ; $j^3 = 1$ ; $1 + j + j^2 = 0$ (suma de el cubo raíces de la unidad, Proposición 3.18); $j^{-1} = j^2$ (desde $j \cdot j^2 = 1$ ). En el círculo unitario, $1$ , $j$ , $j^2$ son los vértices de un triángulo equilátero directo.

2. La rotación del centro $a$ y el ángulo $\theta$ fija $a$ y convierte cada vector emitido desde $a$ por $\theta$ : $r(z) - a = \eu^{\iu\theta}(z - a)$ , es decir, $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z - a)$ . Componiendo $r(z) = a + \eu^{\iu\theta}(z-a)$ y $r'(z) = a' + \eu^{\iu\theta'}(z-a')$ :

r' \circ r\,(z) = \eu^{\iu(\theta + \theta')} z + \text{constant},

una aplicación de la forma $Az + B$ con $A = \eu^{\iu(\theta+\theta')}$ de módulo $1$ . Por Proposición 3.23, es una rotación. del ángulo $\arg A = \theta + \theta'$ si $A \neq 1$ , y un traducción si $A = 1$ , es decir si $\theta + \theta' \in 2\pi\Z$ .

3. $(b, c, p)$ es equilátero si $\abs{p - b} = \abs{c - b} = \abs{p - c}$ . Escribiendo $q = \frac{p - b}{c - b}$ , el primero igualdad dice $\abs q = 1$ y el segundo $\abs{q - 1} = 1$ ; juntos, $q = \eu^{\pm\iu\pi/3}$ (los dos puntos de intersección de los círculos $\abs q = 1$ y $\abs{q - 1} = 1$ son $\frac12 \pm \iu\frac{\sqrt3}2$ ). Por lo tanto $p = b + \eu^{\pm\iu\pi/3}(c - b)$ . Para $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ (un triángulo directo): la elección $\eu^{-\iu\pi/3}$ da

p = 1 + \Bigl(\tfrac12 - \iu\tfrac{\sqrt3}2\Bigr)(\iu - 1) = \tfrac{1 + \sqrt3}2\,(1 + \iu) \approx 1.37 + 1.37\,\iu ,

que se encuentra al otro lado de la línea $BC$ ( $x + y = 1$ ) desde $a = 0$ : hacia afuera. La elección $\eu^{+\iu\pi/3}$ da $p \approx -0.37 - 0.37\,\iu$ , en el mismo lado que $a$ : hacia adentro.

4. Multiplica $P = a + jb + j^2c$ por $j^2$ : $j^2 P = j^2 a + j^3 b + j^4 c = b + jc + j^2 a$ (usando $j^3 = 1$ , $j^4 = j$ ); y por $j$ : $jP = ja + j^2 b + c$ . Estas son las dos identidades. Si $P = 0$ entonces $j^2 P = jP = 0$ : el criterio es válido para $(b, c, a)$ y $(c, a, b)$ también — invariancia cíclica (como debe ser: una Al triángulo equilátero no le importa qué vértice aparece primero).

5. Si $a = b$ : $0 = a(1 + j) + j^2 c = -j^2 a + j^2 c$ (usando $1 + j = -j^2$ ), entonces $c = a$ . Si $b = c$ : $0 = a + b(j + j^2) = a - b$ , entonces $a = b$ . Si $a = c$ : $0 = a(1 + j^2) + jb = -ja + jb$ , entonces $a = b$ . En cada caso los tres puntos coinciden.

6. $(a'z + b') \circ (az + b) = a'a\,z + (a'b + b')$ con $a'a \neq 0$ : misma forma. El inverso de $z \mapsto az + b$ es $z \mapsto \frac1a z - \frac ba$ , nuevamente de la misma forma. con el identidad aplicación como elemento neutral, las similitudes directas forman una grupo bajo composición.

7. $f(z) = az + b$ satisface $f(z_1) = w_1$ , $f(z_2) = w_2$ si y solo $a z_1 + b = w_1$ y $a z_2 + b = w_2$ ; restando, $a(z_2 - z_1) = w_2 - w_1$ , entonces

a = \frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} \;(\neq 0), \qquad b = w_1 - a z_1

son forzados y, a la inversa, esta elección funciona: la existencia y singularidad.

8. $\abs{f(z) - f(w)} = \abs{a(z - w)} = \abs a\,\abs{z - w}$ : todas las distancias se multiplican por $\abs a$ . Para la forma:

\frac{f(c') - f(a')}{f(b') - f(a')} = \frac{a(c' - a')}{a(b' - a')} = \frac{c' - a'}{b' - a'} .

Si dos triángulos $(a', b', c')$ y $(a'', b'', c'')$ tienen iguales formas, sea $f$ la única similitud directa con $f(a') = a''$ y $f(b') = b''$ (pregunta 7); entonces la forma de $(a'', b'', f(c'))$ es igual a la de $(a', b', c')$ , por lo tanto la de $(a'', b'', c'')$ , y la forma determina el tercer vértice del primero dos: $f(c') = c''$ . Por el contrario, formas iguales se derivan de la invariancia mostrada.

9. $b = f(0) = 1$ ; $a + b = f(1) = \iu$ da $a = \iu - 1$ . Relación $\abs a = \sqrt2$ , ángulo $\arg(\iu - 1) = \frac{3\pi}4$ . Punto fijo:

\zeta = \frac{b}{1 - a} = \frac1{2 - \iu} = \frac{2 + \iu}5 .

Entonces $f$ es la similitud directa del centro $\frac{2+\iu}5$ , relación $\sqrt2$ y ángulo $\frac{3\pi}4$ .

10. Con $\alpha + \beta = 1$ y $f(z) = az + b$ :

f(\alpha a' + \beta b') = a\alpha a' + a\beta b' + b = \alpha(a a' + b) + \beta(a b' + b) = \alpha f(a') + \beta f(b') ,

la clave es $b = (\alpha + \beta)b$ . Los puntos medios ( $\alpha = \beta = \frac12$ ), los centroides (iterar) y los centros de Napoleón $\alpha b + \beta c$ a continuación son, por lo tanto, equivariante: transformando el El triángulo los transforma en consecuencia. De ahí que se demuestre una enunciado invariante de similitud para un triángulo bien ubicado demuestra para todos — la licencia utilizada en la pregunta 21.

11. El vértice exterior de $[b, c]$ es $p_a = b + \eu^{-\iu\pi/3}(c - b)$ (pregunta 3), por lo que el centro es

n_a = \frac{b + c + p_a}3 = \frac{2b + c + \frac{1 - \iu\sqrt3}2\,(c - b)}3 = \frac{(3 + \iu\sqrt3)\,b + (3 - \iu\sqrt3)\,c}6 = \alpha b + \beta c ,

con $\alpha = \frac{3 + \iu\sqrt3}6$ y $\beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 = \conj\alpha$ . El mismo cálculo en los lados. $[c, a]$ y $[a, b]$ dan $n_b = \alpha c + \beta a$ y $n_c = \alpha a + \beta b$ (cambio cíclico de roles).

12. $\alpha + \beta = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 3 - \iu\sqrt3}6 = 1$ . Por lo tanto

\frac{n_a + n_b + n_c}3 = \frac{(\alpha + \beta)(a + b + c)}3 = \frac{a + b + c}3 :

los dos triángulos comparten su centroide.

13. Agrupe por $\alpha$ y $\beta$ y aplique las preguntas 4 identidades a $P = a + jb + j^2c$ :

n_a + j n_b + j^2 n_c = \alpha\,(b + jc + j^2 a) + \beta\,(c + ja + j^2 b) = \alpha\,j^2 P + \beta\,j P = (\alpha j^2 + \beta j)\,P .

14. Con $j = \frac{-1 + \iu\sqrt3}2$ :

\alpha j = \frac{(3 + \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 - \iu\sqrt3 - 3}{12} = \frac{-3 + \iu\sqrt3}6 = -\beta ,

entonces $\alpha j + \beta = 0$ , por lo tanto $\alpha j^2 + \beta j = j(\alpha j + \beta) = 0$ , y la pregunta 13 da $n_a + jn_b + j^2n_c = 0$ para cada triángulo $(a, b, c)$ . Según el criterio (preguntas 4 a 5), el Los centros forman un triángulo equilátero directo o un solo punto: El teorema de Napoleón.

15. El ápice interno es $b + \eu^{+\iu\pi/3}(c - b)$ , y el cómputo de la pregunta 11 con $\eu^{+\iu\pi/3} = \frac{1 + \iu\sqrt3}2$ intercambia $\alpha$ y $\beta$ : $m_a = \beta b + \alpha c$ , $m_b = \beta c + \alpha a$ , $m_c = \beta a + \alpha b$ . Usando las identidades análogas $b + j^2c + ja = j\,Q$ y $c + j^2a + jb = j^2 Q$ para $Q = a + j^2b + jc$ :

m_a + j^2 m_b + j m_c = \beta(b + j^2 c + ja) + \alpha(c + j^2 a + jb) = (\beta j + \alpha j^2)\, Q = j(\beta + \alpha j)\,Q = 0 ,

desde $\alpha j = -\beta$ (pregunta 14). Entonces los centros internos satisfacer el criterio equilátero indirecto: equilátero con la orientación opuesta (o un punto).

16. Por pregunta 5 aplicada a la triple $(n_a, n_b, n_c)$ (que satisface el criterio directo), dos centros coinciden si y solo los tres lo hacen; y los tres coinciden si se cumplen los criterios ambos, es decir, si además $n_a + j^2 n_b + j n_c = 0$ . Calcular como en pregunta 13, con las identidades $b + j^2c + ja = jQ$ , $c + j^2a + jb = j^2Q$ :

n_a + j^2 n_b + j n_c = \alpha\,jQ + \beta\,j^2 Q = j(\alpha + \beta j)\,Q .

Directamente: $\beta j = \frac{(3 - \iu\sqrt3)(-1 + \iu\sqrt3)}{12} = \frac{-3 + 3\iu\sqrt3 + \iu\sqrt3 + 3}{12} = \frac{\iu\sqrt3}3$ , entonces $\alpha + \beta j = \frac{3 + \iu\sqrt3 + 2\iu\sqrt3}6 = \frac{1 + \iu\sqrt3}2 \neq 0$ . Por lo tanto, el triángulo exterior de Napoleón degenera si $Q = a + j^2b + jc = 0$ , es decir, si $(a, b, c)$ es un equilátero indirecto. triángulo — en ese caso todas las construcciones "hacia afuera" apuntan en la región circunscrita del triángulo y comparten un centro.

17. Con $a = 0$ , $b = 1$ , $c = \iu$ :

n_a = \alpha + \beta\iu = \frac{(3 + \sqrt3)(1 + \iu)}6, \qquad n_b = \alpha\iu = \frac{-\sqrt3 + 3\iu}6, \qquad n_c = \beta = \frac{3 - \iu\sqrt3}6 .

Lados cuadrados: $n_a - n_b = \frac{(3 + 2\sqrt3) + \iu\sqrt3}6$ da $\abs{n_a - n_b}^2 = \frac{(3 + 2\sqrt3)^2 + 3}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36} = \frac{2 + \sqrt3}3$ ; $n_b - n_c = \frac{(3 + \sqrt3)(-1 + \iu)}6$ da $\abs{n_b - n_c}^2 = \frac{2(3 + \sqrt3)^2}{36} = \frac{24 + 12\sqrt3}{36}$ ; $n_c - n_a = \frac{-\sqrt3 - \iu(3 + 2\sqrt3)}6$ vuelve a dar el mismo valor. Los tres lados cuadrados son iguales a $\frac{2 + \sqrt3}3$ : equilátero, como lo prometí.

18. Ampliar:

(a - b)(c - d) + (a - d)(b - c) = (ac - ad - bc + bd) + (ab - ac - bd + cd) = ab - ad - bc + cd ,

y $(a - c)(b - d) = ab - ad - bc + cd$ : igual.

19. Toma los módulos de la pregunta 18 y aplica el triángulo. desigualdad (Proposición 3.2 (4)):

AC \cdot BD = \abs{(a-b)(c-d) + (a-d)(b-c)} \leq \abs{a-b}\,\abs{c-d} + \abs{a-d}\,\abs{b-c} = AB \cdot CD + AD \cdot BC ,

con igualdad y si los dos sumandos se encuentran en un rayo común de $0$ (el caso de igualdad de la desigualdad triangular).

20. Factorización de medio ángulo (Método 3.11 (4)): $\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi} = 2\iu\,\sin\frac{\theta - \varphi}2\;\eu^{\iu(\theta + \varphi)/2}$ , y tomando módulos mata los factores unimodulares: $\abs{\eu^{\iu\theta} - \eu^{\iu\varphi}} = 2\,\abs{\sin\frac{\theta - \varphi}2}$ .

21. Con $p = \eu^{\iu\theta}$ , $\theta \in \intoo{2\pi/3}{4\pi/3}$ , la pregunta 20 da

PA = 2\,\abs{\sin\tfrac\theta2}, \quad PB = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac\pi3\bigr)}, \quad PC = 2\,\abs{\sin\bigl(\tfrac\theta2 - \tfrac{2\pi}3\bigr)} .

En el arco, $\frac\theta2 \in \intoo{\pi/3}{2\pi/3}$ : entonces $\sin\frac\theta2 > 0$ ; $\frac\theta2 - \frac\pi3 \in \intoo0{\pi/3}$ , por lo que el segundo seno es positivo; $\frac\theta2 - \frac{2\pi}3 \in \intoo{-\pi/3}0$ , por lo que el tercero es negativo y $PC = 2\sin\bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\bigr)$ . suma a producto:

\sin\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi3\Bigr) + \sin\Bigl(\frac{2\pi}3 - \frac\theta2\Bigr) = 2\,\sin\frac\pi6\,\cos\Bigl(\frac\theta2 - \frac\pi2\Bigr) = \sin\frac\theta2 ,

entonces $PB + PC = 2\sin\frac\theta2 = PA$ : teorema de van Schooten.

22. En $p = -1$ : $PA = 2$ , $PB = PC = 1$ y todos los lados de el triángulo equilátero tiene longitud $\sqrt3$ , por lo que ambos lados de Ptolomeo leyó $2\sqrt3$ . Algebraicamente, usando $-1 - j^2 = j$ y $1 + j = -j^2$ :

(a - b)(p - c) = (1 - j)\,(-1 - j^2) = (1 - j)j = j - j^2 = \iu\sqrt3 ,

(a - c)(b - p) = (1 - j^2)(j + 1) = 1 + j - j^2 - j^3 = j - j^2 = \iu\sqrt3 .

Los dos términos son iguales, por lo que su razón es $1 \in \R_{>0}$ : el caso de igualdad de la pregunta 19, que coincide exactamente con $PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$ .

23. Para $(a, b, c) = (1, j, j^2)$ : $n_a = \alpha j + \beta j^2 = -\beta + \beta j^2$ (pregunta 14) $= \beta(j^2 - 1)$ ; numéricamente $\beta(j^2 - 1) = \frac{(3 - \iu\sqrt3)}6 \cdot \bigl(-\frac32 - \iu\frac{\sqrt3}2\bigr) = -1$ . Asimismo $n_b = \alpha j^2 + \beta = -j$ y $n_c = \alpha + \beta j = -j^2$ . el El triángulo exterior de Napoleón de $(1, j, j^2)$ es $(-1, -j, -j^2)$ : el triángulo original reflejado a través de su centroide $0$ — mismo tamaño, girado media vuelta. Un triángulo equilátero es una forma fija. de la construcción de Napoleón, no un límite cada vez menor.

24. (i) Multiplicación por un número unimodular como rotación construyó los vértices y centros (preguntas 2–3, 11) y convirtió distancias circulares en senos (pregunta 20). (ii) El grupo La estructura y la invariante de forma justificaron la normalización de la círculo circunstante al círculo unitario y el triángulo a $(1, j, j^2)$ en la pregunta 21, a través de la equivarianza de la pregunta 10. (iii) La La factorización de medio ángulo impulsó tanto la pregunta 20 como la acabado de paso de suma a producto van Schooten.

25. El diccionario convierte enunciados geométrico en identidades polinómicas en las que cada hipótesis es una ecuación: lo que compra es mecanización — el teorema de Napoleón reducido a $\alpha j + \beta = 0$ , una línea de aritmética en $\Q(\iu\sqrt3)$ ; lo que cuesta es visibilidad geométrica — el el cómputo certifica pero no muestra por qué los centros cerrar en un triángulo equilátero. Una respuesta justa es que el La identidad explica el teorema inevitabilidad (se cumple idénticamente en $a, b, c$ , por lo que no se requiere ninguna configuración inteligente. involucrado), mientras que la imagen explica su contenido. lo mismo El diccionario regresa en forma matricial cuando las rotaciones se convierten en matrices ortogonales $2 \times 2$ de Capítulo 21 y Capítulo 23, donde “multiplicación por $\eu^{\iu\theta}$ ” es el prototipo de una isometría lineal.

3.1 El campo C\CC, módulo y conjugado

3.2 forma exponencial

3.3 Raíces de números complejos

3.4 Números complejos y geometría plana.

3.5 Ceremonias

3.6 Problema: el teorema de Napoleón

3.1 El campo $\C$ , módulo y conjugado