¿Qué es Subespacios afines; aplicaciones afines? — Matemáticas

Definición 17.5 Matemáticas universitarias — Grado 2 · Capítulo 17 — Espacios afines

Un subespacio afín es un conjunto $\mathcal{F} = A + F = \{A + u : u \in F\}$ con $F$ un subespacio vectorial (su dirección); equivalentemente, un conjunto no vacío estable por baricentros. Los subespacios afines de $\R^n$ son exactamente los conjuntos de soluciones de los sistemas lineales $MX = B$ (primer año: solución particular más núcleo). Una aplicación $f \colon \mathcal{E} \to \mathcal{E}'$ es afín cuando conserva los baricentros; equivalentemente, cuando

f(A + u) = f(A) + \varphi(u)

para una (única) aplicación lineal $\varphi = \vec f$ , la parte lineal. Aplicaciones afines de $\R^n$ : $X \mapsto MX + C$ . Las composiciones son afines con las partes lineales compuestas; $f$ es biyectiva si y solo si lo es $\vec f$ .

Ejemplos

Ejemplo 17.9 (Clasificar una aplicación afín, de principio a fin)

Sea $f(x, y) = (2x - 1,\ 3y - 4)$ sobre $\R^2$ . Su parte lineal es $\varphi = \operatorname{diag}(2, 3)$ , cuyo espectro $\{2, 3\}$ evita el $1$ : por el criterio del punto fijo demostrado más abajo (Proposición 17.17), $f$ tiene exactamente un punto fijo, hallado resolviendo

x = 2x - 1, \qquad y = 3y - 4 \qquad\Longrightarrow\qquad \Omega = (1, 2).

Recentrando en $\Omega$ (póngase $x = 1 + u$ , $y = 2 + v$ ):

f(1 + u,\ 2 + v) = (1 + 2u,\ 2 + 3v) :

en el sistema de referencia de $\Omega$ , $f$ es su parte lineal, una dilatación anisótropa que estira por $2$ en horizontal y por $3$ en vertical desde el centro $(1, 2)$ . La lección general: una aplicación afín es “aplicación lineal más datos de posición”, y los datos de posición colapsan en un único origen bien elegido siempre que $1$ no sea valor propio. Recíprocamente, trasladar mal el origen crea los términos constantes: la geometría afín es el arte de elegir dónde poner el $0$ .

Ejemplo 17.2 (Un espacio afín sin origen natural)

El plano de soluciones $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ no es un subespacio vectorial ( $0 \notin \mathcal E$ ), pero sí es un espacio afín dirigido por $E = \{x + y + z = 0\}$ : para $A, B \in \mathcal E$ , la diferencia $\vect{AB} = B - A$ cae en $E$ (las sumas se cancelan), Chasles se hereda de $\R^3$ y $B \mapsto \vect{AB}$ es biyectiva sobre $E$ . Ningún punto de $\mathcal E$ está distinguido: cualquier elección de “origen” $O \in \mathcal E$ sirve igual de bien, y todas las identificaciones $M \mapsto \vect{OM}$ difieren en traslaciones. Esta es la situación típica: los conjuntos de soluciones de los problemas lineales no homogéneos (sistemas lineales, ecuaciones diferenciales lineales del Capítulo 16) son afines, nunca lineales, y el lema “solución particular más núcleo” es exactamente el enunciado $\mathcal F = A + F$ de la definición siguiente.

Ejemplo 17.18 (Isometrías del plano, completadas)

Una isometría afín del plano euclídeo tiene parte lineal en $O(2)$ : una rotación $R_\theta$ o una simetría axial (volumen del primer año). Si $\theta \neq 0$ : $1 \notin \operatorname{Sp} R_\theta$ , luego la aplicación es una rotación en torno a un único centro (Proposición 17.17). Si la parte lineal es una simetría axial: o bien es una simetría respecto de un eje (existen puntos fijos), o bien una simetría con deslizamiento (una simetría axial compuesta con una traslación a lo largo del eje, sin punto fijo). Junto con las traslaciones, esta es la clasificación completa de las isometrías del plano.

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