Matemáticas universitarias — Grado 2 · Bachelor Year 2

16Ecuaciones diferenciales

Year 1 resolvió las ecuaciones lineales que admiten fórmulas. este capitulo proporciona lo que las fórmulas no pueden: el Teorema de Cauchy-Lipschitz — existencia y unicidad para $y' = f(t, y)$ — demostrado con el Teorema del punto fijo de Banach, exactamente como se prometió en Capítulo 4; luego la teoría completa de lineal sistemas $X' = A(t)X + B(t)$ , con el matriz exponencial y el wronskiano como motores computacionales.

16.1 El teorema de Cauchy-Lipschitz

Teorema 16.1 (Cauchy–Lipschitz, versión global de Lipschitz)

Sea $I$ un segmento, $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ continuo y Lipschitz in the second variable, uniformemente en el primero: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ para todos los $t \in I$ . Luego, por cada $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ , el Cauchy problema

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

tiene exactamente una solución $y \colon I \to \R^n$ de clase $C^1$ .

Demostración. Reformulación. A continuo $y$ resuelve el problema si es así satisface la ecuación integral

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(teorema fundamental del cálculo en ambos sentidos; una solución continuo de la ecuación integral es automáticamente $C^1$ ).

Una contracción, después de volver a normalizarse. En el espacio banach $E = C(I, \R^n)$ con el ponderado norma

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(equivalente al sup norma: el peso está acotado arriba y abajo en el segmento $I$ , por lo que $E$ permanece completo), estimación para $y, z \in E$ y, digamos, $t \geq t_0$ :

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

Multiplicando por $\eu^{-2k(t - t_0)}$ y tomando el sup (el caso $t < t_0$ es simétrico): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : $T$ es una contracción $\frac12$ de completo $(E, N)$ . el El teorema del punto fijo de Banach (Teorema 4.12) produce un Punto fijo único: la solución única. ∎

Observación 16.2

Para $f$ simplemente $C^1$ (localmente Lipschitz), el teorema se cumple en la zona, con una solución máxima en un intervalo abierto máximo; las soluciones pueden explotar en un tiempo finito ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , desaparecido en $t = 1$ ). La hipótesis global Lipschitz es lo que compra todo el segmento. Dos consecuencias que vale la pena grabar: curvas solución de una EDO con campo Lipschitz nunca cruzar; y la función cero es la única solución que desaparece en cualquier parte de un ecuación lineal homogénea.

Ejemplo 16.3 (La unicidad es un teorema: un campo que se filtra)

Considere $y' = 2\sqrt{\abs y}$ con $y(0) = 0$ . el cero la función lo resuelve; también lo hace

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

que es $C^1$ (ambas piezas tienen el derivado $0$ en el pegamento punto) y satisface $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ para $t > 0$ — de hecho, retrasar el despegue da una solución para cada tiempo de liberación $c \geq 0$ : infinitas soluciones a través del mismos datos iniciales. Ninguna contradicción con Teorema 16.1: cerca de $y = 0$ ,

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

el campo no es Lipschitz en $y$ y el teorema no dice nada. Perspectiva final: la lectura física es un balde que se vacía bajo gravedad corre hacia atrás — desde el estado vacío, uno no puedo decir cuándo empezó a llenarse; El determinismo de las EDO es exactamente la condición Lipschitz, no una ley de la naturaleza.

16.2 Sistemas lineales

Teorema 16.4 (Estructura de sistemas lineales)

Sean $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ y $B \colon I \to \R^n$ continuo en un intervalo $I$ . Por cada $(t_0, X_0)$ el problema

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

tiene exactamente una solución en todo de $I$ . Las soluciones de la sistema homogéneo ( $B = 0$ ) forma un espacio vectorial $\mathcal{S}_H$ de dimensión exactamente $n$ , y la evaluación $X \mapsto X(t_0)$ es una isomorfismo $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; solución general $=$ particular $+$ homogéneo.

Demostración. En cada segmento $J \subseteq I$ que contiene $t_0$ : $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ es continuo y Lipschitz en $X$ con la constante $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (finita: continuo en un segmento): Teorema 16.1 se aplica en $J$ ; dejando $J$ escape $I$ , la singularidad une las soluciones en una sola en $I$ . La linealidad del conjunto de soluciones y del mapa de evaluación son claras; La evaluación es biyectiva por existencia (sobreyectiva) y unicidad. (inyectivo): $\dim \mathcal{S}_H = n$ . La estructura afín es Año El argumento de 1 textualmente. ∎

Ejemplo 16.5 (El isomorfismo de evaluación, concretamente)

Para $y'' + y = 0$ , visto como el sistema $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ con $X = (y, y')$ : el teorema dice que el espacio solución es un plano, y que $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ es un isomorfismo en $\R^2$ . Las soluciones $\cos$ y $\sin$ se evalúan como $(1, 0)$ . y $(0, 1)$ — la base canónica de $\R^2$ — por lo que forman una base del espacio de solución, y la solución cada es

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

con los coeficientes leídos directamente de los datos iniciales, no sistema lineal a resolver. Perspectiva final: elegir el sistema fundamental cuyos valores iniciales son los canónicos base (aquí $\cos, \sin$ ) es elegir exactamente las columnas de $\eu^{tA}$ ; el isomorfismo de evaluación es la razón inicial las condiciones parametrizan las trayectorias — el contenido geométrico de "dinámica determinista" para ecuaciones lineales.

Definición 16.6 (wronskiano)

Para las soluciones $X_1, \dots, X_n$ del sistema homogéneo, la wronskiano es $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Según el isomorfismo anterior, $W$ desaparece idénticamente (la familia está vinculada) o nunca (a fundamental sistema); cuantitativamente, $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , entonces

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(Liouville's formula)}.

Ejemplo 16.7 (Liouville comprobó una ecuación de Euler)

En $\intoo{0}{\infty}$ , la ecuación $t^2y'' + ty' - y = 0$ tiene las soluciones $y_1(t) = t$ y $y_2(t) = \frac1t$ (sustituta). Su wronskiano:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

nunca cero: un sistema fundamental. Ahora mira Liouville: en formulario normalizado $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ , el La matriz complementaria $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ tiene el rastro $-\frac1t$ , por lo que

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Información final: Liouville predice el forma del wronskiano antes de que se conozca cualquier solución — aquí, que $W$ debe ser $\frac{c}{t}$ ; esto es lo que impulsa el método de reducción de orden (Proposición 16.15), donde conociendo $y_1$ y la forma del wronskiano determina $y_2$ por una cuadratura.

Prueba de la fórmula de Liouville. $W(t) = \det M(t)$ con $M' = AM$ . Diferenciando el determinante como una función multilineal de las columnas,

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

Ahora el mapa $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ es $n$ -lineal y alterno (con dos iguales columnas $C_i = C_k$ , los términos $j \notin \{i, k\}$ desaparecen por completo, y los términos $j = i$ y $j = k$ se cancelan en pares después de una columna intercambio): por el teorema de unicidad (Teorema 2.14) es $c \cdot \det$ , con $c$ leído en las columnas canónicas: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . Por lo tanto $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : una EDO lineal escalar, resuelta por la fórmula del año 1. ∎

16.3 Coeficientes constantes: la matriz exponencial

Teorema 16.8

Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (o $\C$ ), el exponencial $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (Ejemplo 5.22) satisface: $t \mapsto \eu^{tA}$ es $C^1$ (de hecho $C^\infty$ ) con

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

y $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ cuando $AB = BA$ . El Cauchy el problema $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ tiene la solución única $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ; con una fuente, la variación de constantes la fórmula es válida:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

Demostración. Diferenciabilidad: la serie $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ y su serie derivada de términos $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ converge normalmente en cada segmento (normas $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): diferenciar término por término (Teorema 10.11, valorado en vector). Los dos ordenamientos $A\eu^{tA}$ y $\eu^{tA}A$ concuerdan ya que cada suma parcial conmuta con $A$ .

Derecho de grupo: para desplazamientos $A, B$ , el producto cauchy del dos series exponenciales se reorganizan exactamente según el teorema del binomio como en Ejemplo 7.15 (convergencia absoluta en el Banach el álgebra lo justifica): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; con $B = sA$ esto da la ley de grupo de un parámetro y $B = -A$ la inversa.

Problema de Cauchy: $X(t) = \eu^{tA}X_0$ lo resuelve (diferenciar); unicidad por Teorema 16.4. Variación de constantes: establecer $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; diferenciando, $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; integrar de $t_0$ a $t$ y multiplicar de vuelta por $\eu^{tA}$ . ∎

Método 16.9 (Computación $\eu^{tA}$ )

Reducir $A$ (Capítulo 3): si $A = PDP^{-1}$ es diagonal, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ con $\eu^{tD}$ diagonal de $\eu^{t\lambda_i}$ ; en uso general Dunford $A = D + N$ (desplazamientos): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ con $\eu^{tN}$ a polinomio en $t$ (la nilpotencia trunca la serie). complejo valores propios par en bloques exponenciales de tiempos de rotación (Ejercicio 16.5).

Observación 16.10 (Errores comunes)

(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ without commutation: tome $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Entonces $\eu^A = I + A$ , $\eu^B = I + B$ (nilpotencia), entonces

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{while}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

usando $(A+B)^2 = I$ ; y $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ . el La ley de grupo de Teorema 16.8 tiene un significado genuino. hipótesis. (ii) Intuición no lineal en césped lineal: soluciones de un sistema lineal con continuo Los coeficientes viven en todo el intervalo. (Teorema 16.4) — si es una solución candidata explota dentro de $I$ , la ecuación no era lineal o la el cálculo es incorrecto; por el contrario, para ecuaciones no lineales nunca prometas globalidad sin argumento ( $y' = y^2$ ). (iii) Dividiendo por lo desconocido: separando variables en $y' = y(1-y)$ descarta silenciosamente las soluciones constantes $0$ y $1$ — exactamente los que organizan la línea de fase (Ejercicio 16.3); Enumere primero las soluciones constantes. (iv) Vectores de corrección de datos iniciales, no escalares: y $n$ -ésimo La ecuación escalar de orden necesita condiciones $n$ ( $y, y', \dots$ en $t_0$ ); coincidir solo $y(t_0)$ deja un XXXP0203Familia de parámetros XXX, una fuente clásica de "pérdida" constantes.

Ejemplo 16.11 (A $3\times3$ exponencial de Dunford)

Resuelva $X' = AX$ para $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . Dunford por bloques: $A = D + N$ con $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ y $N = E_{12}$ , que conmutar ( $N$ vive dentro del bloque de valor propio- $2$ ) y $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

La solución general lee columna por columna: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . Comprobaciones de cordura: en $t = 0$ la matriz es $I$ ; su determinante es $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ , como exige Liouville; y el El factor $t$ aparece exactamente donde está el valor propio $2$ . defectuoso. Idea final: polinomios multiplicados por exponenciales son no es una suposición que deba memorizarse — son la serie truncada $\eu^{tN}$ , y su grado está limitado por la nilpotencia índice, nunca más.

Método 16.12 (Resolviendo $X' = AX + B(t)$ , de principio a fin)

Espectro de $A$ ; luego $\eu^{tA}$ por Método 16.9 (diagonalizar; o Dunford como en Ejemplo 16.11; o un truco polinomial como $A^2 = -I$ ).
Una solución particular: variación de constantes $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ siempre funciona; para el polinomio exponencial $B$ , un ansatz del mismo forma (grado elevado en resonancia, Ejercicio 16.10) es más rápido.
Solución general $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particular; ajustarse a los datos iniciales último, en el completo fórmula.
Comprobaciones de cordura: $X(t_0)$ correcto; la parte homogénea El crecimiento coincide con las piezas reales valor propio. (Ejercicio 16.8); y $\det$ de un fundamental La matriz obedece a Liouville.

Ejemplo 16.13 (Un retrato de fase)

$X' = AX$ con $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$ , por lo que la serie se divide en

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

las trayectorias son círculos que corren en el sentido de las agujas del reloj — el oscilador armónico $x'' + x = 0$ con ropa de primer orden. Valores propios $\pm\iu$ en el Eje imaginario: a centro. En términos más generales, las partes reales de el valores propios de $A$ decide el crecimiento o la decadencia de $\norm{X(t)}$ (Ejercicio 16.8).

Dos retratos de fase lineal. Izquierda: a centro (valores propios ±) — órbitas circulares cerradas del armónico oscilador. Derecha: a nodo estable (valores propios -1, -2) — todas las trayectorias caen en el origen tangencialmente a la lenta dirección propia. — Dos retratos de fase lineal. Izquierda: a *centro* (valores propios $\pm\iu$ ) — órbitas circulares cerradas del armónico oscilador. Derecha: a *nodo estable* (valores propios $-1, -2$ ) — todas las trayectorias caen en el origen tangencialmente a la lenta dirección propia.

El plano determinante de traza para X' = AX en dimensión 2: debajo del eje horizontal, sillas de montar; entre el eje y la parábola = 2/4, nodos; dentro de la parábola, espirales; en el eje positivo , centros. el fin de semana El problema prueba esta clasificación y sigue una vertical. línea de él — el oscilador amortiguado — en resonancia. — El plano determinante de traza para $X' = AX$ en dimensión $2$ : debajo del eje horizontal, sillas de montar; entre el eje y la parábola $\delta = \tau^2/4$ , nodos; dentro de la parábola, espirales; en el eje positivo $\delta$ , centros. el fin de semana El problema prueba esta clasificación y sigue una vertical. línea de él — el oscilador amortiguado — en resonancia.

Observación 16.14 (donde se utiliza)

Los sistemas lineales son el modelo local para todo lo no lineal: cerca de un equilibrio, se comporta un campo vectorial suave (en el casos hiperbólicos) como su linealización, cuyo retrato traza-plano determinante clasifica. El problema del fin de semana funciona. la historia del oscilador en su totalidad: amortiguando, forzando, resonancia y los teoremas de comparación de Sturm para variables coeficientes — las matemáticas detrás de los amortiguadores, AC circuitos y espacios espectrales por igual. Vuelve el volumen del año 3 con la teoría cualitativa (flujos, estabilidad, primeros integrales) en colectores.

16.4 Segundo orden con coeficientes variables.

Proposición 16.15

La ecuación $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $a, b, c$ continuo en $I$ ) es el sistema $X' = A(t)X + B(t)$ para $X = (y, y')$ : soluciones existen y son únicos en todo $I$ para cualquier dato inicial $(y(t_0), y'(t_0))$ ; soluciones homogéneas forman un plano. Si uno no desaparece Si se conoce la solución homogénea $y_1$ , se utiliza una segunda independiente. encontrado por bajando el orden: configurar $y = y_1 z$ activa el ecuación homogénea en una ecuación de primer orden para $z'$ , resuelta por cuadraturas.

Demostración. El formulario del sistema y Teorema 16.4 lo dan todo. estructural. Bajando: sustituyendo $y = y_1z$ ,

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

una ecuación lineal de primer orden en $u = z'$ , solucionable en el año 1 fórmula; integrar $u$ da $z$ , por lo tanto $y_2 = y_1 z$ , independiente de $y_1$ siempre que $z$ no sea constante. ∎

Ejemplo 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ en $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ es un solución. Sustituir $y = t^2z$ : de $y' = t^2z' + 2tz$ y $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ ,

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (hasta una constante), $z = -\frac{1}{3t^3}$ y $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . Solución general: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 Ceremonias

Ejercicio 16.1 ★

Resuelva $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ , para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonalizar) y $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

Solución

Solución de Ejercicio 16.1.

Primera matriz: valores propios $1, 2$ , vectores propios $(1,0)$ y $(1,1)$ . Descomponer $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : la solución es

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(El vector inicial es en sí mismo un vector propio).

Segundo: $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , entonces

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

Ejercicio 16.2 ★

¿Qué problemas de Cauchy tienen soluciones globales únicas en $\R$ por Teorema 16.1? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ . Para este último, resuelva explícitamente con $y(0) = 0$ y $y(0) = 1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — Lipschitz en $y$ uniformemente en cada segmento de tiempos: soluciones globales únicas en $\R$ (aplicar el teorema en cada segmento).

$y' = y^2$ : localmente Lipschitz solamente; ningún teorema global, y de hecho $y(0) = 1$ explota en $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ es $1$ -Lipschitz: existencia global y singularidad. Con $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (¡singularidad!). Con $y(0) = 1$ : $y$ permanece positivo (no puede cruzar la solución cero), por lo que $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

Ejercicio 16.3 ★

Demuestre que dos soluciones máximas distintas de $y' = f(t,y)$ ( $f$ Lipschitz en $y$ ) nunca toman el mismo valor al mismo tiempo, y deducir que las soluciones de $y' = y(1 - y)$ comenzando en $\intoo{0}{1}$ permanecerá en $\intoo{0}{1}$ para siempre.

Solución

Solución de Ejercicio 16.3.

Si $y(t_1) = z(t_1)$ en algún momento, entonces $y$ y $z$ resuelven lo mismo Problema de Cauchy en $t_1$ : la unicidad obliga a $y = z$ a su común intervalo — soluciones distintas nunca se encuentran.

Para $y' = y(1-y)$ : las constantes $0$ y $1$ son soluciones. un la solución que comienza en $\intoo{0}{1}$ nunca puede llegar a $0$ o $1$ (chocaría con una solución constante): permanece en $\intoo{0}{1}$ , por lo tanto es global (limitado: sin explosión — por ejemplo por el criterio de Ejercicio 16.9, o porque el campo vectorial está delimitada por la franja atrapada).

Ejercicio 16.4 ★★

Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (Dunford: $(A - 2I)^2 = 0$ ) y resuelva $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ , por variación de constantes.

Solución

Solución de Ejercicio 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford con $D = 2I$ , $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

Variación de constantes con $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

utilizando $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (Compruebe: $X(0) = 0$ ; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ por diferenciación.)

Ejercicio 16.5 ★★

Para $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ , demuestre $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — trayectorias en espiral — de dos formas: mediante la serie (escribir $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ ) y mediante la identificación compleja $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.5.

Serie: $A = \alpha I + \beta J$ con $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ ; los dos los pedidos conmutan, por lo que $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , y la serie de $\eu^{\beta t J}$ se divide en potencias pares/impares en $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : la escala de rotación indicada matriz.

Complejo: identifica $(x, y) \in \R^2$ con $z = x + \iu y$ ; el sistema $X' = AX$ lee $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ , cuyo La solución $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ es exactamente la espiral: módulo $\eu^{\alpha t}$ , argumento que avanza a gran velocidad $\beta$ .

Ejercicio 16.6 ★★

(Lema de Gronwall) Sea $u$ continuo no negativo con $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ en $\intco{t_0}{T}$ . probar $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (differentiate $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). Deducir nuevamente la unicidad en Cauchy–Lipschitz y la dependencia continuo $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ para dos soluciones con diferentes datos iniciales.

Solución

Solución de Ejercicio 16.6.

Deje $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . entonces

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

por la hipótesis. Integrando de $t_0$ a $t$ ( $v(t_0) = 0$ ): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , es decir $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; alimentación esto de nuevo en la hipótesis: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

Unicidad/dependencia: dos soluciones $y, z$ de la integral ecuación satisface

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

y Gronwall con $C = \norm{y_0 - z_0}$ da el exponencial atado; $C = 0$ da singularidad.

Ejercicio 16.7 ★★

Sabiendo que $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ resuelve $ty'' + 2y' + ty = 0$ en $\intoo{0}{\pi}$ , encuentre una segunda solución independiente mediante bajando el orden, y dando la solución general.

Solución

Solución de Ejercicio 16.7.

Sustituir $y = y_1 z$ por $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : el general La fórmula de reducción (Proposición 16.15) da, para $u = z'$ ,

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(la ecuación normalizada como $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). calcular $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : entonces

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{up to a constant}),

y $z = -\cot t$ , dando $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ . Solución general en $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(Éstas son las funciones esféricas de Bessel de orden cero).

Ejercicio 16.8 ★★★

Deje $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ con todo valores propios de (estrictamente) parte real negativa. Demuestre que toda solución de $X' = AX$ tiende a $0$ como $t \to +\infty$ , con una tasa exponencial: $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ para algunos $\alpha > 0$ . (Trigonalize; treat the triangular system from the last row up, or use Dunford: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ with $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ and $\eu^{tN}$ polynomial in $t$ .)

Solución

Solución de Ejercicio 16.8.

Dunford: $A = D + N$ desplazamientos, $D$ diagonalizable con el mismo valores propios, $N$ nilpotente, entonces

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(a matrix polynomial in } t).

Vamos $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . En una base diagonalizando $D$ , $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (entradas $\eu^{t\lambda_i}$ del módulo $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ); normas en diferentes bases se diferencian por constantes. Por lo tanto

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

absorbiendo el polinomio en un factor exponencial ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ , por lo tanto acotado).

Ejercicio 16.9 ★★★

(No hay escape en un tiempo finito para el crecimiento lineal) Supongamos que $f$ es continuo con $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ encendido $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ , localmente Lipschitz en $y$ . Usando Gronwall (Ejercicio 16.6) en la forma integral, demuestre que las soluciones máximas son globales (definidas en todos $\intco{0}{\infty}$ ).

Solución

Solución de Ejercicio 16.9.

Sea $y$ una solución máxima en $\intco{0}{T}$ , $T \leq \infty$ , y supongamos $T < \infty$ . La forma integral da, para $t < T$ ,

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

y Gronwall limita $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ con $\intco{0}{T}$ : la solución se queda en un compacto bola. Entonces $y' = f(t, y)$ está delimitado cerca de $T$ , por lo que $y$ es Lipschitz cerca de $T$ y extiende continuamente a $T$ (Cauchy criterio); resolver el problema de Cauchy en $(T, y(T))$ prolonga $y$ más allá de $T$ , contradiciendo la maximalidad. Por lo tanto $T = \infty$ : no escape de tiempo finito bajo crecimiento lineal.

Ejercicio 16.10 ★

Resuelva $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ : soluciones homogéneas, luego una solución particular de la forma $\alpha t\,\eu^{t}$ (why does the naive guess $\alpha\eu^t$ fail?); solución general y la solución con $y(0) = y'(0) = 0$ .

Solución

Solución de Ejercicio 16.10.

Raíces características de $r^2 - 3r + 2$ : $1$ y $2$ , por lo que el Las soluciones homogéneas son $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . la suposición $\alpha\eu^t$ falla porque $\eu^t$ ya resuelve el ecuación homogénea (la raíz $r = 1$ “resuena” con la lado derecho). Con $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ y

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ . Solución general: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . Datos iniciales $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ y $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

Ejercicio 16.11 ★★

Calcule $\eu^{tA}$ para el bloque Jordan

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

y describir todas las soluciones de $X' = AX$ : tiempos exponenciales vectores polinomiales, con grados hasta $2$ . ¿Dónde está el ¿De dónde proviene el grado del polinomio?

Solución

Solución de Ejercicio 16.11.

$A = \lambda I + N$ con $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ y $\lambda I$ conmutan con $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Soluciones: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — cada componente es $\eu^{\lambda t}$ multiplicado por un polinomio de grado $\leq 2$ . El límite de grado es el índice de nilpotencia menos uno: la serie de $\eu^{tN}$ se trunca en $N^2$ .

Ejercicio 16.12 ★★★

(Forzado periódico, respuesta periódica) Dejemos que $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ y $B \colon \R \to \R^n$ continuo y $T$ -periódico.

Demuestre que una solución de $X' = AX + B(t)$ es $T$ -periódico si y solo si $X(T) = X(0)$ (compare $X(\cdot + T)$ and $X$ ).
Demuestre que valores propios de $\eu^{TA}$ son los $\eu^{T\lambda}$ , $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (trigonalize over $\C$ ). Deducir: si no valor propio de $A$ se encuentra en $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , entonces $I - \eu^{TA}$ es invertible.
Bajo esa hipótesis, demuestre que el sistema tiene exactamente una solución periódica $T$ , con

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

¿A qué corresponde el caso excluido, para el oscilador armónico? (El problema del fin de semana responde: resonancia.)

Solución

Solución de Ejercicio 16.12.

Si $X(T) = X(0)$ , entonces $Y(t) = X(t + T)$ resuelve $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ con $Y(0) = X(0)$ : la unicidad (Teorema 16.4) da $Y = X$ , es decir, $X$ es $T$ -periódico. Lo contrario es trivial.
Trigonalizar sobre $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ con $T'$ superior triangular, diagonal $(\lambda_i)$ . Cada poder de un la matriz triangular es triangular con diagonal $(\lambda_i^k)$ , entonces $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ es triangular en la misma base con diagonal $(\eu^{T\lambda_i})$ : esos son los valores propios. entonces $I - \eu^{TA}$ es invertible si $\eu^{T\lambda} \neq 1$ para cada valor propio, es decir, si $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , que es la hipótesis establecida.
Variación de constantes: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , por lo que se lee $X(T) = X(0)$

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

que tiene una solución única $X(0)$ bajo el hipótesis de invertibilidad: exactamente un $T$ -periódico solución. Para el oscilador armónico ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ), el caso excluido es $\omega T \in 2\pi\Z$ : forzado cuyo período es múltiplo del periodo natural — resonancia, como problema del fin de semana cuantifica.

16.6 Problema: oscilaciones, resonancia y Sturm teoremas de comparación

Problema 16.1

Una ecuación gobierna el mundo mecánico y eléctrico:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

Este problema lo estudia completamente — a través del clasificación de trazas determinantes de sistemas lineales planos, los tres regímenes de amortiguación, la respuesta de estado estacionario a forzado periódico con su resonancia pico y la catástrofe resonancia — luego deja constante coeficientes para Separación y comparación de Sturm teoremas, que controlan la ceros de soluciones de $y'' + q(t)y = 0$ sin fórmula en todos.

Parte I — The trace–determinant plane. Deja $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ , $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

Demuestre que los valores propios de $A$ son $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ y clasifica: dos reales valores propios de signos opuestos si $\delta < 0$ ; real valores propios del mismo signo si $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ (signo de $\tau$ ); par conjugado no real si y así $\Delta < 0$ (parte real $\frac\tau2$ ).
(Sillín, $\delta < 0$ ) Con valores propios $\mu < 0 < \lambda$ y vectores propios $v_\pm$ , escriba el general solución y describir las trayectorias: dos estables y dos rayos inestables, todas las demás órbitas asintóticas a ambos. ¿Por qué no hay solución, pero $0$ permanece limitada a todos? de $\R$ ?
(Nodos, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Para $\mu < \lambda < 0$ : muestra que cada solución distinta de cero tiende a $0$ y que todas las órbitas excepto las del eje rápido llegan tangente a la dirección propia lenta (compare $\eu^{\mu t}$ and $\eu^{\lambda t}$ ).
(Espirales y centros, $\Delta < 0$ ) Escribiendo el valores propios $\alpha \pm \iu\beta$ , uso Ejercicio 16.5 (después de un cambio real de base, admitido en esa generalidad o probado para los sistemas de la Parte II, que son los que se utilizan a continuación) para describir las órbitas: espirales convergentes para $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergentes para $\tau > 0$ , cerradas curvas (centro) para $\tau = 0$ .
(Casos límite) Para un doble valor propio ( $\Delta = 0$ ): muestre $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ con $N = A - \lambda I$ nilpotente y distinga la estrella ( $N = 0$ ) del nodo inadecuado ( $N \neq 0$ ). Resuma la Parte I en el cuadro de traza-determinante de la figura de este capítulo.

Parte II — The damped oscillator. Ahora $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , es decir $X' = AX$ con $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

Calcula $\tau, \delta, \Delta$ y coloca los tres Regímenes en el plano traza-determinante: subamortiguado $0 < \zeta < 1$ (espiral estable), críticamente amortiguado $\zeta = 1$ (doble valor propio), sobreamortiguado $\zeta > 1$ (estable nodo); $\zeta = 0$ es el centro.
Resuelve los tres regímenes explícitamente:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : dos exponenciales reales. Definir el pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ y mostrar que la relación de máximos sucesivos de $\abs x$ es la constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ (la decremento logarítmico).
(El principio del cierrapuertas) Para $\zeta \geq 1$ el La tasa de desintegración se rige por el valor propio más lento. $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . mostrar eso $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ es un Función decreciente de $\zeta \geq 1$ : La amortiguación crítica $\zeta = 1$ proporciona la velocidad más rápida. retorno al reposo sin oscilaciones.
(Energía) Deje $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . Demuestre $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ y deduzca que para $\zeta > 0$ la ecuación no tiene solución periódica distinta de cero (a period would force $E$ constant, hence $x' \equiv 0$ ).
Explica en dos frases por qué el centro $\zeta = 0$ es estructuralmente frágil: cualquier $\zeta > 0$ , por pequeña que sea, destruye la periodicidad — y donde que se muestra en el plano determinante de la traza (el la línea central tiene el interior vacío).

Parte III — Forced oscillations and resonancia. Ahora $F(t) = F\cos(\gamma t)$ con $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : el estado estable) Buscar $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : mostrar

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

y escribe $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ con $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
Demuestre que la solución cada es $x_p$ más un transitorio de la Parte II, que tiende a $0$ : lo que sea los datos iniciales, el sistema se fija en el estado estable estado — amplitud $A(\gamma)$ , desfase $\varphi$ .
(La curva resonancia) Maximizar $A$ : muestra que $A(\gamma)$ tiene un máximo interior iff $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , en

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

y que para pequeños $\zeta$ el pico amplifica el respuesta estática $A(0) = \frac F{\omega^2}$ por el factor $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ , apagado resonancia) Para $\gamma \neq \omega$ , mostrar que la solución con $x(0) = x'(0) = 0$ es

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

acotado, con late — una oscilación rápida bajo una envolvente lenta — cuando $\gamma$ está cerca de $\omega$ .
( $\zeta = 0$ , resonancia) Para $\gamma = \omega$ , mostrar que $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ es una solución, y recuperarla como el límite de la cuestión 14 como $\gamma \to \omega$ : la amplitud crece linealmente para siempre — la catástrofe resonancia.
(enlace de Fourier) Un forzamiento periódico general se descompone en armónicos (el capítulo de Fourier); por linealidad la El estado estacionario es la suma de las respuestas armónicas. Para un oscilador no amortiguado de frecuencia $\omega = 3$ forzado por la onda cuadrada de Tipo Ejercicio 14.1 (armónicos en absoluto impar) números enteros), ¿qué armónico resuena? una frase en Por qué los ingenieros temen a las ondas cuadradas.

Parte IV — Sturm’s theorems. Considere $y'' + q(t)\,y = 0$ en un intervalo $I$ , $q$ continuo. (Cualquiera la ecuación $y'' + ay' + by = 0$ se reduce a esta forma normal por la sustitución $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; La pregunta 21 muestra una variante del truco en acción.)

Para dos soluciones $y_1, y_2$ , muestre que wronskiano $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ es constante, cero sif las soluciones son proporcionales; y que un distinto de cero La solución tiene solo ceros sencillo, aislado.
(Separación de Sturm) Dejemos que $y_1, y_2$ sea independiente soluciones y $a < b$ dos ceros consecutivos de $y_1$ . Demuestre que $y_2$ desaparece exactamente una vez cada $\intoo{a}{b}$ (evalúe la constante $W$ en $a$ y $b$ : $W = y_1'y_2$ allí, y $y_1'(a)$ , $y_1'(b)$ tienen signos opuestos): ceros de independientes las soluciones se entrelazan.
(Comparación de Sturm) Sea $q_1 \leq q_2$ en $I$ , $y \neq 0$ con $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ con $z'' + q_2z = 0$ y $a < b$ ceros consecutivos de $y$ . mostrar eso $z$ desaparece en $\intcc{a}{b}$ — estrictamente dentro si $q_1 < q_2$ en algún lugar de $\intoo ab$ (if $z \neq 0$ on $\intoo ab$ , study $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ with fixed signs for $y, z$ and compare the boundary values).
Deducir el límites de espaciado: si $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ en $I$ , entonces dos ceros consecutivos cualesquiera $a < b$ de una solución distinta de cero de $y'' + qy = 0$ satisfacer

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(compare with $u'' + M^2u = 0$ and $u'' + m^2u = 0$ , whose zeros are spaced $\frac\pi M$ and $\frac\pi m$ ). Verifique el oscilador armónico.
Transformar $ty'' + 2y' + ty = 0$ (Ejercicio 16.7) por $u = ty$ en $u'' + u = 0$ , recupere sus soluciones $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ al instante y concluir que el Los ceros de cada solución distinta de cero están espaciados exactamente. $\pi$ : Visión del mundo de Sturm — los ceros están controlados por el coeficiente $q$ , fórmulas o no.

Part V — Duhamel and the boundedness frontier.

(Duhamel para el oscilador) Demuestre que para continuo $F$ , la solución de $x'' + \omega^2x = F(t)$ con $x(0) = x'(0) = 0$ es

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

y volver a derivar la solución resonante de la pregunta 15 de ahí con $F(s) = F\cos(\omega s)$ (producto a suma).
( $\zeta > 0$ : entrada limitada, salida limitada) Mostrar que para $\zeta > 0$ y cualquier acotados continuo $F$ , cada solución de la ecuación amortiguada está acotada en $\intco{0}{\infty}$ (variation of constants plus the exponential decay $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ of Ejercicio 16.8).
( $\zeta = 0$ ) Demuestre que sin amortiguación, acotado El forzamiento periódico mantiene todas las soluciones limitadas. excepto exactamente en resonancia ( $\gamma = \omega$ , pregunta 15 versus pregunta 14): la amortiguación es ¿Qué convierte la frontera de acotación en uniforme? estabilidad.
Síntesis. En una oración cada uno: (i) cómo El plano traza-determinante organiza las Partes I-II y dónde lo deja la fuerza (Parte III); (ii) el significado físico de $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ y el factor $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) ¿Qué dice Sturm? los teoremas dicen que las fórmulas explícitas no pueden; (v) cuáles dos resultados de este problema el resto del El libro se reutilizará silenciosamente (Liouville-constante). wronskianos; estabilidad de entrada limitada).

Solución

Solución de Problema 16.1.

1. El polinomio característico es $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ , con raíces $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . Si $\delta < 0$ entonces $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ y las dos raíces reales tienen producto $\delta < 0$ : signos opuestos. Si $\delta > 0$ y $\Delta \geq 0$ : raíces reales del producto $> 0$ y suma $\tau$ : ambos de signo de $\tau$ . Si $\Delta < 0$ : conjugar el par $\alpha \pm \iu\beta$ con $\alpha = \frac\tau2$ , $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . Las órbitas con $a = 0$ (resp. $b = 0$ ) corren a lo largo del inestable (resp. estable) línea propia; todos los demás tienen $\norm X \to \infty$ en ambas direcciones del tiempo, asintótico a $\R v_+$ como $t \to +\infty$ y a $\R v_-$ como $t \to -\infty$ : la silla imagen. Limitación en todas las fuerzas $\R$ $b = 0$ (de lo contrario explosión en $+\infty$ ) y $a = 0$ (en $-\infty$ ): sólo el origen.

3. Con $\mu < \lambda < 0$ , ambos exponenciales decaen: $X(t) \to 0$ . Si $b \neq 0$ , factorice $\eu^{\lambda t}$ :

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

la dirección de $X(t)$ tiende a $\R v_\lambda$ , la lento dirección propia — todas las órbitas excepto el eje rápido llegar tangente a él (el panel derecho de la fase del capítulo retratos).

4. En la base donde $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (Ejercicio 16.5; para los sistemas osciladores de la Parte II esta forma se alcanza mediante un cambio real explícito de base), la La solución es $\eu^{\alpha t}$ veces una rotación del ángulo $\beta t$ : espirales logarítmicas, que se contraen cuando $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , se expanden cuando $\tau > 0$ y curvas cerradas (elipses). en las coordenadas originales) cuando $\tau = 0$ : el centro.

5. $\Delta = 0$ da el doble valor propio $\lambda = \frac\tau2$ ; por Cayley–Hamilton (Teorema 3.21), $(A - \lambda I)^2 = 0$ , por lo que $N = A - \lambda I$ es nilpotente, conmuta con $\lambda I$ y $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . Si $N = 0$ : $A = \lambda I$ , todos los rayos son órbitas (nodo estelar). Si $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ , y para $NX_0 \neq 0$ la dirección converge a la dirección propia única $\operatorname{im}N$ : nodo inadecuado. Esto completa el rastro – imagen determinante.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . Entonces: $0 < \zeta < 1$ da $\Delta < 0$ , $\tau < 0$ : espiral estable; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : nodo estable degenerado; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : nodo estable; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : centro. Un viaje vertical en el avión a $\delta = \omega^2$ .

7. Raíces $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . Para $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ , $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

Para $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . Para $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , ambas tasas negativas. Máximos sucesivos de $\abs x$ en el caso subamortiguado ocurren en tiempos separados por el pseudoperíodo $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (misma fase del coseno), y su relación es $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : el decremento logarítmico, un medidor de amortiguación legible en un osciloscopio.

8. Racionalizando,

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

cuyo denominador aumenta con $\zeta \geq 1$ : la desintegración La tasa es mayor en $\zeta = 1$ , donde equivale a $\omega$ . un la puerta sobreamortiguada se cierra sin portazos pero despacio; la amortiguación crítica es la óptima del ingeniero.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . Si $x$ fueran periódicos y no constante, $E$ sería periódico y no creciente, por lo tanto constante, forzando $x' \equiv 0$ : $x$ constante, y luego $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . Entonces para $\zeta > 0$ el único La solución periódica es el reposo: la amortiguación mata a todos los ciclo.

10. El centro $\zeta = 0$ vive en la línea $\tau = 0$ del plano determinante de la traza — un conjunto con vacío interior: una perturbación arbitrariamente pequeña de la matriz (cualquier amortiguación física) mueve $\tau$ fuera de cero y enciende el órbitas cerradas en espirales. Periodicidad de los no amortiguados. El oscilador es, por tanto, un fenómeno del filo de la navaja, no un fenómeno robusto. uno.

11. Sustituyendo $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ en la ecuación:

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

entonces $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ con $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ , es decir $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ y el $A(\gamma) = \abs z$ indicado.

12. La diferencia de dos soluciones resuelve el ecuación homogénea, que para $\zeta > 0$ decae a $0$ (pregunta 7): cada solución es igual a $x_p$ más un transitorio desapareciendo en el infinito. El estado estacionario es un atractor global: Se olvidan las condiciones iniciales, solo $A(\gamma)$ y el el desfase $\varphi$ permanece.

13. Minimizar $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ sobre $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ en $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ , interior iff $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . allí

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

Contra la respuesta estática $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : amplificación $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ para $\zeta$ pequeño — ligeramente amortiguado El sistema cerca de $\gamma_* \approx \omega$ multiplica la entrada a. cien veces cuando $\zeta = 0.005$ .

14. El $x$ indicado satisface $x(0) = x'(0) = 0$ y

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(las piezas $\cos\omega t$ se cancelan). El formulario del producto sigue de $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ con $p = \gamma t$ , $q = \omega t$ . Para $\gamma$ cerca de $\omega$ , el factor $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ es lento envolvente que modula la oscilación rápida $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ : latidos, con amplitud $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — grande, pero acotado.

15. Para $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

una solución. Y en $t$ fijo, dejando entrar a $\gamma \to \omega$ pregunta 14:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

La amplitud crece linealmente sin límite: el resonancia catástrofe — la razón por la que los soldados rompen el paso en los puentes.

16. La onda cuadrada lleva armónicos en cada impar. frecuencia $n = 1, 3, 5, \dots$ ; por linealidad, cada armónico $n$ es amplificado por la respuesta del oscilador en $\gamma = n$ . Para $\omega = 3$ , el tercer armónico llega exactamente a resonancia. Los ingenieros temen las entradas cuadradas (y en dientes de sierra) porque excitar todo armónicos impares a la vez: cualquiera que sea el natural frecuencia de la estructura, algún armónico lo está esperando.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ es constante (Liouville con un compañero de traza cero matriz). $W = 0$ en un momento hace el dato inicial de $y_2$ proporcionales a los de $y_1$ , por lo tanto $y_2$ proporcionales a $y_1$ (singularidad); $W \neq 0$ si es independiente. Si $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ entonces $y \equiv 0$ (singularidad): distinto de cero La solución tiene ceros simples y un cero simple está aislado. ( $y'$ de cartel fijo cercano).

18. Entre ceros consecutivos $a < b$ , $y_1$ mantiene un signo, diga $y_1 > 0$ en $\intoo ab$ : luego $y_1'(a) > 0$ y $y_1'(b) < 0$ (ceros simples). Evaluando la constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ en $a$ y $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

entonces $y_2(a)$ y $y_2(b)$ tienen signos opuestos ( $W \neq 0$ prohíbe desaparecer): $y_2$ desaparece en $\intoo ab$ (valores intermedios). Allí no puede desaparecer dos veces: dos ceros. de $y_2$ flanquearía un cero de $y_1$ por el mismo argumento con los roles intercambiados, contradiciendo la consecutivaidad: exactamente uno cero — entrelazado.

19. Supongamos que $z$ no tiene cero en $\intoo ab$ ; reemplazando $y, z$ por sus negativos, asume $y > 0$ y $z > 0$ en $\intoo ab$ . Configure $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ en $\intoo ab$ : $\varphi$ es no creciente. Pero $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (como $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ ) y $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (como $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ ): una función no creciente que se ejecuta desde $\leq 0$ a $\geq 0$ desaparece de manera idéntica, por lo que $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ en $\intoo ab$ . Si $q_1 < q_2$ en algún lugar de $\intoo ab$ , esto es absurdo ( $y, z > 0$ allí): $z$ debe desaparecer estrictamente en el interior. En general ( $q_1 \leq q_2$ ), $z$ desaparece en $\intoo ab$ o $\varphi \equiv 0$ fuerza a $z$ proporcional a $y$ , que desaparece en $a$ y $b$ : en todos los casos $z$ tiene un cero en $\intcc ab$ .

20. Límite superior: compare $y$ (coeficiente $q \geq m^2$ ) con $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coeficiente $m^2 \leq q$ , entonces $y$ desempeña el papel de $z$ en la pregunta 19): si $y$ no tuviera cero en $\intoc{a}{a + \pi/m}$ , los ceros $a$ y $a + \frac\pi m$ de $u$ serían consecutivos con $y \neq 0$ entre ellos, contradiciendo la pregunta 19: ceros consecutivos de $y$ están a la distancia $\leq \frac\pi m$ . Límite inferior: si dos ceros consecutivos $a < b$ de $y$ tenían $b - a < \frac\pi M$ , entonces $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coeficiente $M^2 \geq q$ ) sería tiene que desaparecer en $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ , donde su único cero es el propio $a$ — pero La pregunta 19 se aplicó en $\intoo{a}{b}$ con rigor en el los puntos finales dan un cero en $\intcc ab$ y $z > 0$ en $\intoc ab$ : contradicción. Por lo tanto $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; para $q \equiv \omega^2$ ambos límites colapsan a el espaciado exacto $\frac\pi\omega$ del armónico oscilador.

21. Con $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$ , entonces $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , y $y = \frac{u}{t}$ recupera $\frac{\sin t}t$ y $\frac{\cos t}t$ (Ejercicio 16.7) sin descenso de orden. Los ceros de cualquier solución distinta de cero son los de $R\sin(t + \varphi)$ : espaciado exactamente $\pi$ — Sturm’s Filosofía en acción: el coeficiente $q \equiv 1$ dicta los ceros, con fórmula o sin fórmula.

22. Establecer $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . Entonces $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

entonces $x'(0) = 0$ ; y $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (diferenciación de un integral de parámetros con límite variable, como en el capítulo de integración). Con $F(s) = F\cos\omega s$ , producto a suma da

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(la segunda pieza se integra a cero), entonces $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : pregunta 15 nuevamente, de Duhamel.

23. En formato de sistema $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ con $\operatorname{Sp}A$ de partes reales negativas ( $\zeta > 0$ ): variación de constantes y Ejercicio 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) dar

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

entrada limitada, salida limitada — uniformemente en el inicial datos después del transitorio.

24. Para $\zeta = 0$ y $\gamma \neq \omega$ , La solución de la pregunta 14 es acotada y agregando cualquier homogéneo solución (limitada: las órbitas del centro son círculos) la mantiene acotado; en $\gamma = \omega$ , la pregunta 15 crece linealmente. entonces para el oscilador no amortiguado, la acotación en condiciones periódicas El forzado falla exactamente en una frecuencia — resonancia — mientras que la pregunta 23 muestra cualquier restauración de amortiguación positiva acotación para todo entradas acotadas.

25. (i) El plano determinante de la traza clasifica todos dinámica lineal plana autónoma y oscilador de la Parte II recorre una línea vertical del mismo; forzando a salir del avión (no autónomo), y Duhamel asume el mando. (ii) $\gamma_*$ es la frecuencia que prefiere el sistema, $A(\gamma_*)$ el precio de excitarlo, y $\frac{1}{2\zeta}$ el factor de amplificación — los ingenieros de nitidez resonancia llaman a la calidad factor. (iii) Los teoremas de Sturm leen la oscilación fuera del signo y tamaño de $q$ solos: gobiernan las ecuaciones (Bessel, Schrödinger) cuyas soluciones no tienen fórmulas elementales. (iv) Constante wronskianos (pregunta 17, vía Liouville) y La estabilidad de entrada limitada (pregunta 23) se reutiliza silenciosamente. siempre que el libro encuentre ecuaciones de coeficientes variables o sistemas perturbados.