Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

19Ecuaciones diferenciales ordinarias

En segundo año se resolvieron las ecuaciones diferenciales lineales y se enunció el teorema de Cauchy–Lipschitz; este capítulo lo demuestra — y por partida doble: existencia y unicidad por el punto fijo de Banach, estructura global por la teoría de las soluciones maximales y el teorema de salida de los compactos. La teoría lineal se reconstruye después sobre cimientos honestos (resolvente, wronskiano, exponencial de matrices, Duhamel), y la segunda mitad del capítulo abre la teoría cualitativa — flujos, equilibrios, funciones de Lyapunov y estabilidad por linealización: cómo entender soluciones que nunca se calcularán. El péndulo, en el problema de fin de semana, es el caso de estudio eterno. En todo el capítulo, $U \subseteq \R\times\R^d$ es abierto y $f \colon U \to \R^d$ es continua; una solución de $x' = f(t, x)$ es una aplicación $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ un intervalo) con grafo en $U$ que satisface la ecuación.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Definición 19.1

$f$ es localmente lipschitziana en $x$ si todo punto de $U$ tiene un entorno $V$ y una constante $L$ con $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ para $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Si $f$ es $\mathcal C^1$ (o meramente $\partial_xf$ existe y es continua), es localmente lipschitziana en $x$ : en un entorno convexo compacto, la desigualdad del valor medio con $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Teorema 19.2 (Cauchy–Lipschitz, local)

Sean $f$ continua y localmente lipschitziana en $x$ , y $(t_0, x_0) \in U$ . Existe $T > 0$ tal que el problema de Cauchy

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

tiene exactamente una solución en $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Demostración. Elíjase $a, b > 0$ con $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , en el que $\norm f \leq M$ y $f$ es $L$ -lipschitziana en $x$ . Una función $\mathcal C^1$ es solución si y solo si satisface la ecuación integral

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(teorema fundamental del cálculo, en ambos sentidos). Sean $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ y

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{en } I\},

un subconjunto cerrado del espacio de Banach $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : completo (la Definición 7.1). Defínase $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : para $x \in \mathcal E$ , $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ lleva $\mathcal E$ en sí mismo — y para $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

una contracción. El punto fijo de Banach (el Teorema 7.4) da un único punto fijo en $\mathcal E$ : existencia, y unicidad entre las soluciones que permanecen en $\bar B(x_0, b)$ — pero toda solución en $I$ permanece allí ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ mientras el grafo siga en $Q$ , por un argumento de continuidad): unicidad en $I$ . ∎

Lema 19.3 (Grönwall)

Sea $u \colon I \to \intco0\infty$ continua, $t_0 \in I$ , y supóngase

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

con $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ . Entonces $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ en $I$ .

Demostración. Para $t \geq t_0$ : sea $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , de modo que $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ y $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Para $t \leq t_0$ , aplíquese lo mismo a $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Corolario 19.4 (Unicidad y dependencia continua)

Bajo las hipótesis del Teorema 19.2, dos soluciones de $x' = f(t,x)$ que coinciden en un punto coinciden en su intervalo común de definición. Cuantitativamente, si $x, y$ son dos soluciones con grafos en una región donde $f$ es $L$ -lipschitziana en $x$ , entonces

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Demostración. La estimación: $u = \norm{x - y}$ cumple $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (réstense las ecuaciones integrales); Grönwall. Unicidad global: el conjunto de coincidencia $\{t : x(t) = y(t)\}$ es cerrado en el intervalo común, no vacío y abierto — alrededor de cualquier punto de coincidencia, recúbrase un trozo compacto del grafo común por un número finito de cajas lipschitzianas y aplíquese la estimación con $u(t_1) = 0$ en cada una: localmente $x \equiv y$ . Un subconjunto no vacío, abierto y cerrado de un intervalo es todo el intervalo. ∎

19.2 Soluciones maximales

Teorema 19.5 (Soluciones maximales; salida de los compactos)

Supóngase $f$ continua y localmente lipschitziana en $x$ .

Todo problema de Cauchy tiene una única solución maximal $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : cualquier otra solución que pase por $(t_0, x_0)$ es una restricción suya. El intervalo es abierto.
(Salida) Para todo compacto $K \subseteq U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $(t, x(t)) \notin K$ para todo $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (y simétricamente en $T_-$ ): el grafo de una solución maximal acaba abandonando todo compacto de $U$ . En particular, para $U = \R\times\R^d$ y $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ cuando $t \to T_+^-$ (explosión).

Demostración. (1) Sea $\mathcal S$ el conjunto de todas las soluciones que pasan por $(t_0, x_0)$ ; por el Corolario 19.4, dos cualesquiera coinciden en la intersección de sus intervalos, de modo que se pegan: en $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ , defínase $x(t) = y(t)$ para cualquier $y$ definida en $t$ : una solución bien definida, evidentemente maximal y única. $J$ es abierto: una solución definida en un extremo podría prolongarse por el Teorema 19.2 en ese extremo.

(2) Supóngase que la afirmación falla en $T_+$ : existen $t_n \to T_+$ con $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; obsérvese que esto obliga a $T_+ < \infty$ o, si $T_+ = \infty$ , no hay nada que demostrar ( $K$ está acotado en tiempo). Sea, pues, $T_+ < \infty$ . Compacidad: unas constantes uniformes $M, L, a, b$ sirven para todos los datos de Cauchy en un entorno de $K$ — en concreto, recúbrase $K$ por un número finito de cajas $Q_i$ como en la demostración del teorema local y sea $T^* > 0$ el mínimo de los tiempos de existencia correspondientes: todo dato de Cauchy en $K$ lanza una solución que vive al menos $T^*$ más allá de su instante inicial. Aplicando esto en $(t_n, x(t_n))$ con $t_n > T_+ - T^*/2$ se extiende $x$ más allá de $T_+$ (la extensión coincide con $x$ por unicidad y luego la prolonga): contradicción con la maximalidad. Luego el grafo abandona $K$ definitivamente antes de $T_+$ . Para $U = \R\times\R^d$ : si $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , una sucesión $t_n \to T_+$ mantendría $(t_n, x(t_n))$ en el compacto $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : excluido. ∎

Corolario 19.6 (Existencia global bajo crecimiento lineal)

Si $U = I\times\R^d$ ( $I$ intervalo abierto) y $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ con $\alpha, \beta$ continuas, entonces toda solución maximal está definida en todo $I$ .

Demostración. En un compacto $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , de modo que, por Grönwall (con $\alpha, \beta$ acotada allí por $A, B$ ), $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : acotada. Si $T_+ < \sup I$ , el grafo permanece en un compacto de $I\times\R^d$ cerca de $T_+$ : en contra de la salida (Teorema 19.5). ∎

19.3 Sistemas lineales

En toda esta sección, $A \colon I \to M_d(\R)$ y $b \colon I \to \R^d$ son continuas; el sistema es $x' = A(t)x + b(t)$ — crecimiento lineal: todas las soluciones maximales viven en todo $I$ (el Corolario 19.6).

Teorema 19.7 (Estructura)

Las soluciones del sistema homogéneo $x' = A(t)x$ forman un espacio vectorial $S_H$ de dimensión $d$ ; para cada $t_0$ , la evaluación $x \mapsto x(t_0)$ es un isomorfismo $S_H \to \R^d$ . La resolvente $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , definida por: $t \mapsto R(t, s)v$ es la solución de valor $v$ en $s$ , cumple

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

y el problema no homogéneo se resuelve por la fórmula de Duhamel:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Por último, el wronskiano $w(t) = \det R(t, s)$ obedece la fórmula de Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , de modo que $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Demostración. La linealidad de la ecuación hace de las soluciones un espacio vectorial; la evaluación es lineal, inyectiva (unicidad: una solución que se anula en $t_0$ es $\equiv 0$ ) y sobreyectiva (existencia): dimensión $d$ . Las propiedades de la resolvente reformulan la unicidad (ambos miembros de cada identidad resuelven el mismo problema de Cauchy); la invertibilidad, de $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel: derívese la fórmula — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (la derivación bajo la integral es lícita: el integrando es $\mathcal C^1$ en $t$ con derivada continua en $(t,s)$ ; o verifíquese con la ecuación integral). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ y $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (de la ecuación integral), de modo que $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (desarrollo de $\det$ en $I$ ): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; intégrese la EDO lineal escalar. ∎

Teorema 19.8 (Exponencial de matrices)

Para $A \in M_d(\C)$ , la serie $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolutamente, en cualquier norma submultiplicativa), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ siempre que $AB = BA$ , y $t \mapsto \eu^{tA}$ es la resolvente del sistema de coeficientes constantes: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; es $\mathcal C^\infty$ con $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . Además: si $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ para todo valor propio $\lambda$ de $A$ , entonces $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ para $t \geq 0$ .

Demostración. Convergencia: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , sumable (el Ejercicio 7.1(b) en el álgebra de Banach $M_d$ ). Para $A, B$ que conmutan: el producto de Cauchy de las dos series absolutamente convergentes se reordena, vía el teorema del binomio (válido cuando $AB = BA$ ), en $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Derivabilidad, directamente: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ , pues $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Por tanto, $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ resuelve el problema de Cauchy que define $R(t,s)v$ . Cota espectral: por la forma de Jordan (el Teorema 3.18), $A = P(D + N)P^{-1}$ con $D$ diagonal portando los valores propios, $N$ nilpotente y $DN = ND$ . Entonces $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ con $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ para cierto $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) y $\eu^{tN}$ polinómica en $t$ (nilpotencia): el producto es $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (el polinomio pierde frente a $\eu^{-\delta t}$ ). ∎

Ejemplo 19.9 (El plano, clasificado)

Para $x' = Ax$ con $A \in M_2(\R)$ invertible, el retrato de fases cerca de $0$ lo deciden $\tau = \operatorname{tr}A$ y $\delta = \det A$ , a través de los valores propios $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : valores propios reales de signos opuestos — un punto de silla; dos trayectorias entran, dos salen y todas las demás pasan de largo. Siempre inestable.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : valores propios reales del mismo signo ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — un nodo, estable si y solo si $\tau < 0$ ; las trayectorias son tangentes a la dirección propia lenta.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : valores propios complejos conjugados $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — una espiral (foco), estable si y solo si $\tau < 0$ ; las soluciones son rotaciones $\eu^{\tau t/2}\times$ de periodo $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : valores propios imaginarios puros — un centro: órbitas cerradas (elipses), estabilidad sin estabilidad asintótica, exactamente el caso frontera que el Teorema 19.12 no puede decidir para sistemas no lineales (el equilibrio inferior del péndulo, el Problema 19.1, se sitúa aquí).

La parábola frontera $\tau^2 = 4\delta$ alberga los nodos degenerados (bloques de Jordan: trayectorias con una única dirección tangente). Todo se lee en dos números — por eso el primer reflejo ante cualquier retrato de fases plano es calcular $\operatorname{tr}$ y $\det$ ; por ejemplo, $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortiguado): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : espiral estable para $0 < c < 2$ , nodo estable para $c \geq 2$ — subamortiguamiento frente a sobreamortiguamiento, de un vistazo.

19.4 Flujos, equilibrios, estabilidad

Considérese ahora la ecuación autónoma $x' = F(x)$ , con $F \colon \Omega \to \R^d$ localmente lipschitziana en el abierto $\Omega \subseteq \R^d$ . Escríbase $\varphi_t(x_0) = x(t)$ para la solución maximal con $x(0) = x_0$ (el flujo); la autonomía da la propiedad de grupo $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ donde esté definida (ambos miembros resuelven el mismo problema en el instante $s$ ).

Definición 19.10

Un equilibrio es un punto $\bar x$ con $F(\bar x) = 0$ (de modo que $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). Es estable si para todo $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implica que la solución existe para todo $t \geq 0$ con $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; asintóticamente estable si además $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ para todo $x_0$ próximo a $\bar x$ .

Teorema 19.11 (Funciones de Lyapunov)

Sean $\bar x$ un equilibrio y $V \colon \mathcal V \to \R$ una función $\mathcal C^1$ en un entorno de $\bar x$ con:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ para } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Entonces $\bar x$ es estable. Si además $\dot V < 0$ fuera de $\bar x$ , entonces $\bar x$ es asintóticamente estable.

Demostración. A lo largo de una solución, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ decrece. Dado $\varepsilon$ (suficientemente pequeño para que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), sea $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compacidad, positividad) y tómese $\delta < \varepsilon$ con $V < m$ en $B(\bar x, \delta)$ (continuidad). Una solución que arranca en $B(\bar x, \delta)$ tiene $V(x(t)) < m$ en todo instante posterior, de modo que nunca puede alcanzar la esfera $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (donde $V \geq m$ ): permanece en la bola — y entonces existe para todo $t \geq 0$ : la solución permanece en el compacto $\bar B$ , de modo que el Teorema 19.5(2) (salida de los compactos) obliga a $T_+ = +\infty$ . Estabilidad.

Caso asintótico: sea $x(t)$ con arranque en $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ decrece hacia cierto $c \geq 0$ . Si $c > 0$ : la trayectoria permanece en $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , un compacto que excluye un entorno de $\bar x$ ( $V$ es continua con $V(\bar x) = 0 < c$ ). En $K$ , la función $\dot V$ es continua y estrictamente negativa, luego $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compacidad); entonces $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurdo, $V \geq 0$ . Luego $c = 0$ , y $x(t) \to \bar x$ (los puntos a distancia $\geq \rho$ de $\bar x$ dentro de la bola tienen $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Teorema 19.12 (Estabilidad por linealización)

Sean $F$ de clase $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ . Si todo valor propio de $A$ tiene $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , entonces $\bar x$ es asintóticamente estable.

Demostración. Trasládese $\bar x$ a $0$ y escríbase $F(x) = Ax + g(x)$ con $g(x) = o(\norm x)$ (diferenciabilidad $\mathcal C^1$ ). Tómese $\alpha > 0$ con $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; el Teorema 19.8) y $r > 0$ con $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ para $\norm x \leq r$ . Duhamel con $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

válido mientras $\norm{x(s)} \leq r$ . Entonces $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ cumple

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

de modo que Grönwall da $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , es decir, $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . Si $\norm{x_0} < r/C$ , la cota a priori mantiene $\norm{x(t)} < r$ para todo $t$ (un argumento de continuidad o de arranque progresivo: el conjunto de instantes donde $\norm x \leq r$ es abierto y cerrado en $\intco0{T_+}$ dada la estimación estricta), la solución es global y converge a $0$ exponencialmente: estabilidad asintótica. ∎

Método 19.13

Ante una EDO: (1) existencia y unicidad — compruébese si es localmente lipschitziana (normalmente $\mathcal C^1$ ); (2) globalidad — crecimiento lineal, acotación, o un compacto invariante vía una función de Lyapunov o una integral primera; en su defecto, sospéchese explosión y ensáyese la caricatura escalar $x' = x^2$ ; (3) sistemas lineales — resolvente, Duhamel y, para coeficientes constantes, la estructura propia de $A$ ; (4) cuestiones cualitativas — equilibrios, linealícese y búsquese una función de Lyapunov (la energía, cuando el sistema es mecánico) o una integral primera cuyos conjuntos de nivel atrapen las trayectorias. El problema de fin de semana recorre el método entero con el péndulo.

Retrato de fases del péndulo x'' = - x en el plano (x, x'): curvas de nivel de la energía E = x'22 - x. Curvas cerradas (azul): oscilaciones, E < 1; curvas corridas (naranja): rotaciones completas, E > 1; entre ellas, la separatriz (roja), E = 1, que conecta los equilibrios inestables (±π, 0). El problema de fin de semana demuestra todo lo que sugiere esta figura. — Retrato de fases del péndulo $x'' = -\sin x$ en el plano $(x, x')$ : curvas de nivel de la energía $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Curvas cerradas (azul): oscilaciones, $E < 1$ ; curvas corridas (naranja): rotaciones completas, $E > 1$ ; entre ellas, la *separatriz* (roja), $E = 1$ , que conecta los equilibrios inestables $(\pm\pi, 0)$ . El problema de fin de semana demuestra todo lo que sugiere esta figura.

19.5 Ejercicios

Ejercicio 19.1 ★

Resuélvanse explícitamente y determínese el intervalo maximal: (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Concíliese cada respuesta con el Teorema 19.5(2) y Corolario 19.6.

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

(a) Separando variables: $x(t) = \frac1{1 - t}$ en $\intoo{-\infty}1$ : explosión en $T_+ = 1$ , con $x(t) \to +\infty$ — exactamente el Teorema 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ en $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosión en ambos extremos. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , global: la solución permanece en $\intoo01$ , un conjunto acotado, de modo que el grafo no puede abandonar todo compacto de $\R\times\R$ en tiempo finito — $T_\pm = \pm\infty$ . Obsérvese que (a) y (b) no contradicen el Corolario 19.6: $x^2$ y $1 + x^2$ tienen crecimiento superlineal.

Ejercicio 19.2 ★

Sea $x, y$ solución de $x' = f(t,x)$ con $f$ globalmente $L$ -lipschitziana en $x$ sobre $\R\times\R^d$ . (a) Demuéstrese $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ , y muéstrese con un ejemplo (¡lineal!) que el factor $\eu^{L\abs t}$ se alcanza. (b) Dedúzcase que la aplicación de flujo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ es continua, de hecho lipschitziana en los acotados.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

(a) Es la estimación del Corolario 19.4 con $t_0 = 0$ . Optimalidad: para $x' = Lx$ (globalmente $L$ -lipschitziana), dos soluciones difieren exactamente en $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) La estimación dice: la aplicación de flujo en tiempo $t$ es $\eu^{L\abs t}$ -lipschitziana en la condición inicial — continuidad, uniformemente para $t$ en compactos; en conjuntos acotados con $f$ no globalmente lipschitziana, hágase lo mismo en un tubo compacto alrededor de las trayectorias con la constante local.

Ejercicio 19.3 ★★

Demuéstrese que cada una de las siguientes tiene todas sus soluciones maximales globales en $\R$ , citando el teorema adecuado: (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ con $q$ continua (conviértase en un sistema de primer orden); (d) $x' = A(t)x$ con $A$ continua y acotada — y dese la cota de Grönwall sobre $\norm{x(t)}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : acotada, es decir, crecimiento lineal con $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ : el Corolario 19.6 en $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : de nuevo sublineal (de hecho, acotada en los compactos temporales): global. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : lineal con coeficientes continuos: global (el marco del Teorema 19.7). (d) Global; Grönwall como en el Corolario 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ con $M = \sup\vertiii{A}$ .

Ejercicio 19.4 ★★

(a) Calcúlese $\eu^{tA}$ para $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ , y $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Resuélvase el oscilador forzado $x'' + x = \cos(\omega t)$ por Duhamel (en forma de sistema), para $\omega \neq 1$ y $\omega = 1$ : la resonancia aparece como el término secular $t\sin t$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

(a) $A^2 = -I$ para la primera: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Bloque de Jordan: $\lambda I$ y $N$ conmutan: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Tercera: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Sistema $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel con la resolvente de rotación da las soluciones particulares: para $\omega \neq 1$ , $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (verifíquese directamente); para $\omega = 1$ , la integral $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ produce el crecimiento secular $x_p = \frac t2\sin t$ : resonancia — el forzamiento bombea energía a la frecuencia natural y la amplitud crece linealmente.

Ejercicio 19.5 ★★

Para la ecuación escalar $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Demuéstrese que el wronskiano $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de dos soluciones cumple $w' = -p\,w$ (Abel), y dedúzcase que dos soluciones con $w \neq 0$ en algún punto forman una base. (b) Dada una solución $x_1$ que no se anula, hállese la solución general por reducción de orden: póngase $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ y verifíquese. Aplíquese a $t^2x'' - 2x = 0$ en $\intoo0{+\infty}$ con $x_1(t) = t^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , nunca nulo o idénticamente nulo. Si $w \neq 0$ , los vectores $(x_i, x_i')(t_0)$ son independientes en $\R^2$ y, como el espacio de soluciones tiene dimensión $2$ (el Teorema 19.7 para el sistema), $(x_1, x_2)$ es una base.

(b) Con $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , y

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(los términos cruzados se cancelan exactamente; desarróllese con cuidado). Para $t^2x'' - 2x = 0$ , i.e. $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) con $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , de modo que $x_2 = -\frac1{3t}$ : solución general $at^2 + \frac bt$ .

Ejercicio 19.6 ★★

(Logística) Para $x' = x(1 - x)$ : determínense todos los equilibrios y su estabilidad (por el Teorema 19.12 y directamente); demuéstrese que toda solución con $x(0) \in \intoo01$ es creciente y global, con límites $0$ y $1$ en $\mp\infty$ ; y resuélvase explícitamente para confirmarlo. Demuéstrese, más en general, que las soluciones escalares autónomas son monótonas, y conclúyase: no hay soluciones periódicas no constantes en dimensión $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

Equilibrios $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (inestable — las soluciones próximas se alejan, como muestra la forma explícita), $f'(1) = -1 < 0$ : asintóticamente estable (el Teorema 19.12 en dimensión $1$ ). Para $x(0) \in \intoo01$ : allí $f > 0$ , de modo que, mientras la solución permanezca en $\intoo01$ , crece; nunca puede alcanzar $0$ ni $1$ (unicidad: son trayectorias), de modo que permanece, está acotada — luego es global — y crece hacia un límite $L \in \intoc{x(0)}1$ . Si $f(L) \neq 0$ , entonces $x' \geq c > 0$ cerca del límite, lo que fuerza $x$ más allá de $L$ : así pues, $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; simétricamente, $x \to 0$ en $-\infty$ . Explícitamente, $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ lo confirma todo. En general: si una solución escalar autónoma tuviera $x'(t_0) = 0$ , entonces $x(t_0)$ es un equilibrio y la unicidad hace $x$ constante; en caso contrario, $f(x(t))$ mantiene un signo fijo (no se anula nunca y $t \mapsto f(x(t))$ es continua): $x$ es estrictamente monótona — de modo que una solución periódica no constante es imposible.

Ejercicio 19.7 ★★

(Integrales primeras) Sea $H \colon \Omega \to \R$ de clase $\mathcal C^1$ y considérese el sistema hamiltoniano plano $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Demuéstrese que $H$ es constante a lo largo de las soluciones. (b) Para $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : demuéstrese que todas las soluciones son globales y acotadas, y que el origen es estable (Lyapunov: $H$ ) aunque la linealización ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) no sea asintóticamente estable: la linealización puede ser inconcluyente.

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) Los conjuntos de nivel de $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ son compactos ( $H$ coerciva), de modo que las soluciones quedan atrapadas en compactos: globales y acotadas (el Teorema 19.5). Estabilidad de $(0,0)$ : $V = H$ es definida positiva ( $H = 0$ solo en el origen) con $\dot V = 0$ : el Teorema 19.11. La linealización $x' = y$ , $y' = 0$ tiene la matriz nilpotente no diagonalizable de valor propio $0$ : el Teorema 19.12 calla (su hipótesis $\operatorname{Re}\lambda < 0$ falla) y, en efecto, el sistema linealizado es inestable ( $y_0 \ne 0$ deriva) mientras que el no lineal es estable: linealizar en un equilibrio no hiperbólico no demuestra nada.

Ejercicio 19.8 ★★★

(Péndulo amortiguado) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Demuéstrese que $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ cumple $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : el origen es estable. (b) $\dot V$ se anula en todo el eje $y = 0$ : el criterio estricto de Lyapunov falla. Demuéstrese la estabilidad asintótica de todos modos, por linealización (el Teorema 19.12): calcúlense los valores propios de la matriz linealizada en $(0,0)$ y compruébese $\operatorname{Re} < 0$ para todo $c > 0$ . (c) ¿Qué ocurre en el equilibrio $(\pi, 0)$ ? Calcúlese la linealización y conclúyase (un valor propio positivo: inestabilidad — puede usarse el enunciado de inestabilidad de manera informal o exhibirse una solución explícita del sistema lineal que se escape).

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , y $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ es definida positiva en $\{\abs x < 2\pi\}$ alrededor del origen: estable (el Teorema 19.11). (b) La matriz linealizada en $(0,0)$ es $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , de polinomio característico $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : raíces $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — ambas reales negativas si $c \geq 2$ , complejas de parte real $-\frac c2 < 0$ si $0 < c < 2$ . En todos los casos $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : el Teorema 19.12 da estabilidad asintótica (pese a la degeneración $\dot V$ ). (c) En $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , linealización $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , característico $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : raíces de signos opuestos ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). A lo largo del vector propio inestable, el sistema lineal tiene la solución explícitamente divergente $\eu^{\lambda_+t}v_+$ con $\lambda_+ > 0$ : el péndulo invertido es inestable para todo amortiguamiento.

Ejercicio 19.9 ★★

(La frontera de la unicidad) Para $\alpha \in \intoo01$ , demuéstrese que el problema $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ tiene infinitas soluciones (adáptese el Problema 7.1, Parte III). Demuéstrese, en cambio, que para $\alpha = 1$ (es decir, $x' = \abs x$ ) la solución que pasa por $0$ es única, e identifíquese con precisión qué hipótesis del Teorema 19.2 distingue los dos casos.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

Para $\alpha \in \intoo01$ : además de $x \equiv 0$ , cada

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

es $\mathcal C^1$ y resuelve la ecuación (el exponente $\frac1{1-\alpha} > 1$ hace que la derivada se anule en $c$ ): un continuo de soluciones que pasan por $(0,0)$ . Para $\alpha = 1$ : $x \mapsto \abs x$ es globalmente $1$ -lipschitziana ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), de modo que el Teorema 19.2 se aplica y la única solución que pasa por $0$ es $x \equiv 0$ . La frontera es exactamente la condición de Lipschitz local en $0$ : $\abs x^\alpha$ tiene allí cocientes incrementales no acotados para $\alpha < 1$ .

Ejercicio 19.10 ★★★

(Las cotas a priori atrapan a las soluciones) Sea $F \colon \R^d \to \R^d$ localmente lipschitziana con $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ siempre que $\norm x \geq R$ . (a) Demuéstrese que la bola cerrada $\bar B(0, R)$ es positivamente invariante: las soluciones que arrancan dentro permanecen dentro para $t \geq 0$ . (Si $\norm{x(t_2)} > R$ , considérese el último instante $t_1 < t_2$ con $\norm{x(t_1)} = R$ y estúdiese $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ en $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) Dedúzcase la existencia global hacia el futuro para datos en la bola. Trátese después el sistema gradiente $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ con $G(x) \to +\infty$ cuando $\norm x \to \infty$ : demuéstrese que $G$ decrece a lo largo de las soluciones, que cada solución permanece en el conjunto de subnivel (acotado) $\{G \leq G(x_0)\}$ , y conclúyase la existencia global hacia el futuro.

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

(a) Supóngase $\norm{x(t_2)} > R$ para algún $t_2 > 0$ con $\norm{x(0)} \leq R$ , y sea $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : entonces $\norm{x(t_1)} = R$ y $\norm{x(t)} > R$ en $\intoc{t_1}{t_2}$ . En ese intervalo, $g(t) = \norm{x(t)}^2$ cumple $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (la hipótesis se aplica: $\norm{x(t)} \geq R$ ), de modo que $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : contradicción. La bola es positivamente invariante. (b) Una solución atrapada en la bola compacta no puede tener $T_+ < \infty$ (el Teorema 19.5(2)): global hacia el futuro. Sistema gradiente: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ decrece, de modo que la solución permanece en $\{G \leq G(x_0)\}$ , que es acotado (coercividad: fuera de una bola grande, $G > G(x_0)$ ) y cerrado: compacto. La salida es imposible: toda solución de un sistema gradiente coercivo es global hacia el futuro, deslizándose cuesta abajo para siempre.

Ejercicio 19.11 ★★

(Explosión por comparación) Considérese $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Demuéstrese que la solución maximal existe en cierto $\intco0{T_+}$ con $T_+ < \infty$ : compárese con $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (demuéstrese el lema de comparación necesario: si $x' \geq F(x)$ y $y' = F(y)$ con $x(0) \geq y(0)$ , entonces $x \geq y$ donde ambas vivan), y dedúzcase $T_+ \leq 1$ . (b) Acótese $T_+$ por debajo: en $\intcc01$ , $x' \leq x^2 + 1$ ; compárese con la supersolución $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , resuelta por $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , y conclúyase $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Ensámblese $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ y enúnciese la moraleja: el crecimiento superlineal del segundo miembro es lo que mata la existencia global (siendo el Ejercicio 19.3 el contrapunto), estando la frontera en la convergencia de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

(a) Lema de comparación: sea $w = x - y$ en el intervalo común; $w(0) \geq 0$ y $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ con $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ acotada en los intervalos de tiempo compactos ( $F$ localmente lipschitziana); entonces $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , de modo que $w \geq 0$ en todo el intervalo. Con $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explota en $1$ , y $x \geq y$ mientras $x$ viva; si $T_+ > 1$ , entonces $x$ sería finita en $t = 1$ dominando a $y \to \infty$ : absurdo. $T_+ \leq 1$ .

(b) La comparación invertida (el mismo lema, con los papeles intercambiados): en $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ , $t^2 \leq 1$ da $x' \leq x^2 + 1$ , mientras que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ cumple $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ : por tanto, $x \leq z$ mientras ambas estén definidas. Como $z$ es finita en $\intco0{\frac\pi4}$ , $x$ no puede explotar antes de $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Juntas: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numéricamente, $T_+ \approx 0.96$ ). Moraleja: para $x' = F(t, x)$ con $F$ superlineal en $x$ , las soluciones explotan en tiempo finito siempre que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (la solución de comparación alcanza el infinito en ese tiempo finito); el crecimiento lineal, donde la integral diverge, fuerza la existencia global (el Ejercicio 19.3). Es la misma integral de Osgood que en el Problema 7.1, gobernando ahora la huida hacia el infinito en lugar de la huida desde cero.

Ejercicio 19.12 ★★★

(Teorema de comparación de Sturm) Sean $q_1 \leq q_2$ continuas en un intervalo $I$ , y sean $u \neq 0$ solución de $u'' + q_1u = 0$ y $v \neq 0$ solución de $v'' + q_2v = 0$ . (a) Establézcase la identidad del wronskiano: con $W = uv' - u'v$ , $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Demuéstrese que entre dos ceros consecutivos $a < b$ de $u$ , o bien $v$ se anula en algún punto de $\intoo ab$ , o bien $q_1 = q_2$ y $v \propto u$ allí (supóngase también $u > 0$ en $\intoo ab$ y $v > 0$ ; intégrese (a) de $a$ a $b$ e inspecciónense los signos de los términos de borde $W(a), W(b)$ ). (c) Dedúzcase: las soluciones de $u'' + qu = 0$ con $q \geq m > 0$ se anulan al menos una vez en todo intervalo de longitud $\pi/\sqrt m$ (compárese con $v'' + mv = 0$ ); las soluciones con $q \leq 0$ se anulan a lo sumo una vez en $\R$ . Ensáyense ambas en $q \equiv \pm1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Sean $a < b$ ceros consecutivos de $u$ ; normalícese $u > 0$ en $\intoo ab$ (de modo que $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — no nulas por unicidad, pues $u(a) = u'(a) = 0$ forzaría $u \equiv 0$ ). Supóngase que $v$ no tiene ningún cero en $\intoo ab$ ; normalícese $v > 0$ allí (de donde $v(a), v(b) \geq 0$ por continuidad). Intégrese (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Pero $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ y $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : luego $W(b) - W(a) \geq 0$ . Igualdad en toda la cadena: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ con $uv > 0$ en el intervalo abierto obliga a $q_1 = q_2$ allí; y $W(a) = W(b) = 0$ obliga a $v(a) = v(b) = 0$ ; entonces $W \equiv 0$ en $\intcc ab$ (su derivada se anula), es decir, $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ en $\intoo ab$ : $v \propto u$ .

(c) Tómense $q_1 = m$ y $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , cuyos ceros consecutivos distan $\pi/\sqrt m$ , y $q_2 = q \geq m$ : por (b), toda solución $v$ de $v'' + qv = 0$ se anula en cada intervalo abierto de longitud $\pi/\sqrt m$ (en la alternativa degenerada $q \equiv m$ , $v \propto u$ también se anula). Si, en cambio, $q \leq 0$ : aplíquese (b) con $q_1 = q$ , $u = v$ y $q_2 = 0$ con la solución sin ceros $\mathbf 1$ de $v'' = 0$ . Si $v$ tuviera dos ceros consecutivos, (b) forzaría un cero de $\mathbf 1$ entre ellos o bien el caso degenerado $\mathbf 1 \propto v$ — ambos absurdos: $v$ se anula a lo sumo una vez. Ensayos: para $q = 1$ , $\sin t$ se anula cada $\pi = \pi/\sqrt1$ , como se predijo; para $q = -1$ , $\sinh t$ se anula exactamente una vez y $\eu^t$ ninguna — a lo sumo un cero, como se predijo.

19.6 Problema: el péndulo, resuelto por completo

Problema 19.1

Problema de fin de semana — oscilaciones, rotaciones, separatriz y periodo

La ecuación del péndulo $x'' = -\sin x$ — como sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x$ en $\R^2$ — es la drosófila de la dinámica: sencilla de escribir, imposible de resolver con fórmulas elementales y, sin embargo, completamente comprensible por el método cualitativo. Sea $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (la energía).

Parte I — Estructura global.

Demostrar que todas las soluciones maximales son globales (definidas en $\R$ ): úsense $\dot E = 0$ y el Teorema 19.5. Equilibrios: $(k\pi, 0)$ ; clasifíquense sus linealizaciones (de tipo centro para $k$ par, punto de silla para $k$ impar).
Demostrar que las trayectorias están contenidas en los conjuntos de nivel $\{E = E_0\}$ , y esbócense o descríbanse según el valor de $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (equilibrios), $-1 < E_0 < 1$ (curvas cerradas alrededor de $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (la separatriz que pasa por $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (grafos sobre $x$ : rotaciones).
Demostrar que el equilibrio inferior $(0,0)$ es estable pero no asintóticamente estable. (Lyapunov con $V = E + 1$ ; no asintótico: la conservación de la energía atrapa las órbitas en curvas de nivel alejadas del origen.)

Parte II — Las oscilaciones y su periodo. Fíjese $-1 < E_0 < 1$ y escríbase $E_0 = -\cos a$ con $a \in \intoo0\pi$ (la amplitud).

Demostrar que la solución con $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscila: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , y la órbita es la curva cerrada $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Justifíquese que la solución es periódica: la órbita es una curva compacta sin equilibrios, recorrida a velocidad acotada inferiormente — conviértase esto en un argumento (la solución vuelve a su punto inicial en tiempo finito y entonces la unicidad fuerza la periodicidad).
Establecer la fórmula del periodo

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(en un cuarto de órbita, $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ y sepárense las variables; justifíquese la convergencia impropia en $x = a$ ).
(Oscilaciones pequeñas) Sustitúyase $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ y demuéstrese

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(una integral elíptica completa). Dedúzcase por convergencia dominada que $T(a) \to 2\pi$ cuando $a \to 0^+$ : el límite armónico, independiente de la amplitud — el isocronismo aproximado de Galileo, con su corrección exacta $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (desarróllese el integrando e intégrese término a término, justificándolo por convergencia normal).
Demostrar que $T(a) \to +\infty$ cuando $a \to \pi^-$ (acótese el integrando por debajo cerca de $\varphi = \frac\pi2$ cuando $k \to 1$ , o aplíquese la convergencia monótona): al acercarse a la separatriz, el péndulo se frena sin límite.

Parte III — La separatriz.

Para $E_0 = 1$ , $y = 2\cos\frac x2$ en la rama superior: sepárense las variables e intégrese para hallar la solución explícita

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(con $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Verifíquese directamente que resuelve la ecuación del péndulo, y calcúlense sus límites y los de $y(t)$ cuando $t \to \pm\infty$ .
Conclúyase: la órbita separatriz conecta el punto de silla $(-\pi, 0)$ (cuando $t \to -\infty$ ) con el punto de silla $(\pi, 0)$ (cuando $t \to +\infty$ ) pero no alcanza ninguno en tiempo finito — en consonancia con la unicidad (¿por qué alcanzar un punto de silla en tiempo finito contradiría Corolario 19.4?).

Parte IV — Rotaciones y la imagen completa.

Para $E_0 > 1$ : demostrar que $y$ no se anula nunca, que $x$ es estrictamente monótona y global con $x(t) \to \pm\infty$ , y que $t \mapsto y(t)$ es periódica de periodo

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Ensámblese el retrato de fases completo (la figura del capítulo) justificando plenamente cada rasgo, y escríbase un resumen de diez líneas del método: energía, conjuntos de nivel, compacidad, unicidad — cómo entró cada teorema del capítulo. ¿En qué momento necesitamos una fórmula para la solución general?

Parte V — La función periodo bajo el microscopio.

Demostrar los momentos de Wallis

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

por inducción (integrando por partes), desarróllese el integrando de la pregunta 6 por la serie binómica y justifíquese la integración término a término para obtener la serie completa

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
Conviértase a la amplitud:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(sustitúyase el desarrollo de $\sin\frac a2$ y agrúpese). El isocronismo falla en el orden $a^2$ , y el fallo queda ahora cuantificado hasta el orden $a^4$ .
Demostrar que $a \mapsto T(a)$ es continua y estrictamente creciente en $\intoo0\pi$ , y conclúyase con las preguntas 6–7 que $T$ es una biyección de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : todo periodo supercrítico se realiza con exactamente una amplitud.
(Aritmética del relojero) Un péndulo regulado a amplitud infinitesimal mide el tiempo ideal; demuéstrese que, funcionando con amplitud $a$ , atrasa una fracción $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ del tiempo ideal, y calcúlese la deriva para $a = 0.2$ rad: unos $216$ segundos al día. (Las mejillas cicloidales de Huygens y las amplitudes constantes y pequeñas de los escapes son sendas respuestas a este número.)
Vuélvase al periodo de rotación $\tau$ de la pregunta 10: demuéstrese que $\tau$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ cuando $E_0 \to 1^+$ (convergencia monótona) y que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ cuando $E_0 \to +\infty$ (convergencia dominada): el giro rápido es asintóticamente rotación libre a velocidad angular $\sqrt{2E_0}$ .

Parte VI — El método exportado: Lotka–Volterra. La receta del péndulo — integral primera, curvas de nivel compactas, unicidad — resuelve un ecosistema. Fíjese $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ y considérese, en el cuadrante abierto $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ,

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ presas, $y$ depredadores).

Demostrar que $Q$ es invariante — los ejes son uniones de órbitas, explícitamente calculables, que ninguna solución puede cruzar (el Corolario 19.4) — y que el único equilibrio en $Q$ es $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
Demostrar que

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

es una integral primera, que $H = f(x) + g(y)$ con $f, g$ estrictamente convexas y propias en $\intoo0{+\infty}$ con mínimos en $x_*$ , $y_*$ , y dedúzcase que todas las soluciones maximales en $Q$ son globales.
Demostrar que para $h > h_* = H(x_*, y_*)$ el conjunto de nivel $\{H = h\}\cap Q$ es una curva cerrada alrededor del equilibrio: dos ramas continuas $y_\pm(x)$ sobre un intervalo compacto $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , pegadas en los extremos — el análogo de los óvalos del péndulo.
Demostrar que toda órbita de $Q$ que no sea un equilibrio es periódica: establézcase la circulación en sentido antihorario por las cuatro regiones que cortan las rectas $x = x_*$ y $y = y_*$ , acótese el tiempo de recorrido de cada arco por una integral con singularidad de raíz cuadrada convergente (como en la pregunta 5) y ciérrese con la unicidad (como en la pregunta 4).
(Ley de las medias de Volterra) Si $T$ es el periodo de una tal órbita, demuéstrese que

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

las medias temporales son iguales a los valores de equilibrio, sea cual sea la amplitud (intégrese $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ sobre un periodo).
(La paradoja de la pesca) Captúrense ambas especies a tasa $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : el sistema conserva su forma con $\alpha - \varepsilon$ y $\gamma + \varepsilon$ en lugar de $\alpha$ y $\gamma$ . ¿Qué les ocurre a las poblaciones medias? Explíquese la observación de d’Ancona (1914–1918): cuando la pesca en el Adriático disminuyó durante la guerra, la proporción de depredadores (tiburones) en las capturas aumentó — y por qué una pesca moderada favorece a las presas.
Escríbase la moraleja en diez líneas: qué teoremas del capítulo alimentan cada paso, qué sustituye a la energía del péndulo y por qué ninguno de los dos sistemas necesitó — ni admite — una solución elemental en forma cerrada.
(Modulación de la velocidad) En el régimen de rotación $E_0 > 1$ , demuéstrese que $y = x'$ oscila entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (en $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) y $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (en $x \equiv 0$ ), que la media temporal de $y$ en un periodo vale exactamente $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ y que la razón de modulación $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ cuando $E_0 \to \infty$ : la rotación rápida es asintóticamente uniforme.
(Monotonía del periodo de rotación) Demuéstrese que $\tau(E_0)$ es $\mathcal C^1$ y estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ (derívese bajo el signo integral, con dominación en todo $\intco{1 + \delta}\infty$ ), con $\tau \to \infty$ cuando $E_0 \to 1^+$ y $\tau \to 0$ cuando $E_0 \to \infty$ . Ensámblese la imagen completa de la bifurcación del péndulo a lo largo del eje de energías: equilibrios en $E_0 = -1$ , libraciones con periodo creciente de $2\pi$ a $\infty$ en $-1 < E_0 < 1$ , la separatriz en $E_0 = 1$ y rotaciones con periodo decreciente de $\infty$ a $0$ más allá.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : la energía es una integral primera. En una solución maximal, $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ está acotada; entonces $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ crece a lo sumo linealmente: en cualquier intervalo finito de tiempo la trayectoria permanece en un compacto de $\R^2$ , de modo que el Teorema 19.5(2) obliga a $T_\pm = \pm\infty$ . Equilibrios $(k\pi, 0)$ ; linealización $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ con $-\cos(k\pi) = \mp1$ : valores propios $\pm\iu$ para $k$ par (tipo centro, inconcluyente por sí solo) y $\pm1$ para $k$ impar (punto de silla).

2. $E$ constante a lo largo de las soluciones confina cada trayectoria a un conjunto de nivel $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Para $E_0 = -1$ : solo los puntos $(2k\pi, 0)$ . Para $-1 < E_0 < 1$ : escribiendo $E_0 = -\cos a$ , el conjunto es una unión disjunta de curvas cerradas $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sobre $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , una alrededor de cada equilibrio estable. Para $E_0 = 1$ : las curvas $y = \pm2\cos\frac x2$ que unen puntos de silla consecutivos — la separatriz — junto con los propios puntos de silla. Para $E_0 > 1$ : dos grafos $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , definidos para todo $x$ , que nunca tocan $y = 0$ .

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ se anula en $(0,0)$ , es positiva en un entorno punteado ( $\abs x < 2\pi$ ) y $\dot V = 0 \leq 0$ : el Teorema 19.11 da la estabilidad. No asintótica: la solución que pasa por $(a, 0)$ ( $0 < a$ pequeño) permanece en la curva de nivel $E = -\cos a$ , cuya distancia al origen es positiva (la curva corta el eje $x$ solo en $\pm a$ ): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. En la curva de nivel $C_a$ : no hay equilibrios ( $y = 0$ obligaría a $x = \pm a$ con $\sin(\pm a) \neq 0$ para $0 < a < \pi$ ), de modo que la velocidad $\norm{(y, -\sin x)}$ tiene un mínimo positivo $m$ en el compacto $C_a$ . Sígase la solución desde $(a, 0)$ : en el semiplano inferior $x' = y < 0$ , de modo que $x$ decrece de $a$ a $-a$ en tiempo finito (las integrales de cuarto y de medio periodo convergen: el análisis de la pregunta 5), alcanzando $(-a, 0)$ ; por la simetría $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ de la ecuación, el semiplano superior se recorre de vuelta en el mismo tiempo $\frac T2$ : la solución vuelve a $(a, 0)$ en el instante $T$ . La unicidad (el Corolario 19.4) propaga entonces: $x(t + T) = x(t)$ para todo $t$ : periódica.

5. En la rama donde $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ y $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; integrando $x$ de $-a$ a $a$ se obtiene el medio periodo, y la simetría $x \mapsto -x$ vuelve a partir la integral por la mitad:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergencia en $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ con $\sin a > 0$ : el integrando se comporta como $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , integrable.

6. Con $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ y $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , de modo que

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Cuando $a \to 0^+$ , $k \to 0$ : para $k \leq k_0 < 1$ el integrando está dominado por $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , continua en $\intcc0{\pi/2}$ : el teorema de convergencia dominada da $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Desarrollando $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ con $u = k^2\sin^2\varphi$ (convergencia normal para $k < 1$ ) y $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

el isocronismo solo vale en primer orden; el periodo crece con la amplitud.

7. Cuando $k \uparrow 1$ , los integrandos crecen hacia $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , cuya integral diverge: por convergencia monótona, $T(a) \to +\infty$ cuando $a \to \pi^-$ .

8. En la rama $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; con $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , de modo que $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , es decir,

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Verificación con la energía: con $\theta = \arctan\eu^t$ , $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , de modo que $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ y $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : la trayectoria está sobre la separatriz, y derivar $y^2 = 2(1 + \cos x)$ donde $y > 0$ reproduce $y' = -\sin x$ . Límites: $x \to \pm\pi$ y $y \to 0$ cuando $t \to \pm\infty$ .

9. La órbita tiende al punto de silla $(\pi, 0)$ hacia el futuro y a $(-\pi, 0)$ hacia el pasado, pero no llega nunca: si alcanzara $(\pi, 0)$ en un instante finito $t^*$ , dos soluciones maximales distintas — la solución separatriz y la solución constante en el punto de silla — pasarían por el mismo punto $(t^*, (\pi, 0))$ , en contra del Corolario 19.4. A los puntos de silla solo se llega asintóticamente.

10. Para $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ mantiene su signo, y $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ es estrictamente monótona y global (pregunta 1), con $x(t) \to \pm\infty$ . Como $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ y $\cos$ es $2\pi$ -periódica, $y$ recupera su valor cada vez que $x$ avanza $2\pi$ ; el tiempo necesario es

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(sustitución; periodicidad): $y$ es $\tau$ -periódica — el péndulo gira con velocidad de rotación asintóticamente constante $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ a energías grandes.

11. El método, por orden: la energía ( $\dot E = 0$ ) reduce el flujo bidimensional a curvas de nivel unidimensionales; la acotación de $y$ en cada nivel, más la salida de los compactos, da la existencia global; la compacidad de los niveles cerrados da cotas de velocidad y, con ellas, la periodicidad; la unicidad convierte el primer retorno en periodicidad exacta, prohíbe la llegada en tiempo finito a los puntos de silla y separa los tipos de órbita; la linealización y Lyapunov clasifican los equilibrios; la integral del periodo se analiza con los teoremas de convergencia del Capítulo 10. En ningún momento poseímos — ni necesitamos — una solución general en forma cerrada: la teoría cualitativa extrajo de la propia ecuación todos los rasgos del movimiento.

12. Por partes: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , de modo que $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; con $W_0 = \frac\pi2$ y $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (sepárese $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ), la inducción da el valor exhibido. Serie binómica: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ con $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , radio $1$ . Para $k \leq k_0 < 1$ y $u = k^2\sin^2\varphi$ , la serie $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalmente en $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), de modo que la integración término a término en la fórmula de la pregunta 6 es lícita:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Con $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , con resto uniforme para $k \leq k_0$ (cola dominada por una serie geométrica).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , de modo que

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

puesto que $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. En la forma elíptica de la pregunta 6, $a \mapsto k = \sin\frac a2$ es una biyección continua estrictamente creciente de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo01$ , y para cada $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ el integrando $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ es estrictamente creciente en $k$ : $T$ es estrictamente creciente. Continuidad: en $k \leq k_0 < 1$ el integrando está dominado por la continua $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , de modo que la convergencia dominada se aplica a lo largo de $k' \to k$ . Con los límites $T \to 2\pi$ cuando $a \to 0^+$ (pregunta 6) y $T \to +\infty$ cuando $a \to \pi^-$ (pregunta 7), la monotonía estricta y el teorema del valor intermedio hacen de $T$ una biyección de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Un reloj cuenta oscilaciones; regulado a amplitud infinitesimal, contabiliza el periodo armónico $2\pi$ por oscilación (en la unidad de tiempo del péndulo). Funcionando con amplitud $a$ , el periodo verdadero es $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : el reloj contabiliza $2\pi$ mientras transcurre realmente $T(a)$ , de modo que atrasa la fracción

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Para $a = 0.2$ rad (unos $11.5$ grados): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , y un día tiene $86400$ s: el reloj pierde $86400/400 = 216$ segundos — unos tres minutos y medio — al día. De ahí los dos remedios históricos: imponer una amplitud minúscula y constante (el escape), o doblar la ligadura para que el periodo sea exactamente independiente de la amplitud (las mejillas cicloidales de Huygens, 1657).

16. En $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ , el integrando es, para cada $x$ fijo, estrictamente decreciente en $E_0$ : $\tau$ es estrictamente decreciente. Cuando $E_0 \downarrow 1$ , los integrandos crecen puntualmente hacia $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , cuya integral sobre $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ( $\cos\frac x2$ se anula a primer orden en $\pm\pi$ ): la convergencia monótona da $\tau(E_0) \to +\infty$ . Cuando $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

por convergencia dominada (para $E_0 \geq 2$ , el integrando es a lo sumo $\sqrt2$ ). Así, $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : una vuelta lleva el tiempo de la rotación libre a velocidad $\sqrt{2E_0}$ , reducido el potencial a un rizo — en consonancia con la velocidad de rotación de la pregunta 10.

17. Los ejes soportan las soluciones explícitas $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ y $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , junto con el equilibrio $(0, 0)$ : son uniones de órbitas. El campo es $\mathcal C^1$ , luego localmente lipschitziano; una solución que arrancara en $Q$ y tocara un eje pasaría por un punto de una de esas órbitas y, por el Corolario 19.4, coincidiría con ella — imposible, viviendo una sobre el eje y la otra no. Así pues, $Q$ es invariante en ambos sentidos del tiempo. Equilibrios en $Q$ : $x > 0$ obliga a $\alpha - \beta y = 0$ y $y > 0$ obliga a $\delta x - \gamma = 0$ : el único punto $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. A lo largo de una solución,

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ tiene $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , $f'$ que solo se anula en $x_*$ y $f \to +\infty$ tanto en $0^+$ como en $+\infty$ : estrictamente convexa y propia, con mínimo $f(x_*)$ ; análogamente $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , con mínimo $g(y_*)$ . Así, $H \geq h_*$ con igualdad solo en $(x_*, y_*)$ , y cada subnivel $\{H \leq h\}\cap Q$ es compacto: $f(x) \leq h - g(y_*)$ confina $x$ a un intervalo compacto de $\intoo0{+\infty}$ por propiedad, y otro tanto $y$ , y el conjunto es cerrado en $\R^2$ puesto que $H \to +\infty$ en la frontera de $Q$ . Una solución maximal permanece en su conjunto de nivel compacto, de modo que no puede abandonar todo compacto en tiempo finito: el Teorema 19.5 la hace global.

19. Fíjese $h > h_*$ y póngase $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Como $f$ decrece estrictamente de $+\infty$ a $f(x_*)$ en $\intoc0{x_*}$ y crece estrictamente de vuelta hasta $+\infty$ en $\intco{x_*}{+\infty}$ , la ecuación $f(x) = c$ tiene exactamente dos raíces $x_- < x_* < x_+$ , y $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Para $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ tiene exactamente dos raíces $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , continuas en $x$ (inversas de las restricciones continuas estrictamente monótonas de $g$ a cada lado de $y_*$ ), con $y_\pm(x) \to y_*$ cuando $x \to x_\pm$ ; en $x = x_\pm$ la única solución es $y = y_*$ . Así, $\{H = h\}\cap Q$ es la unión de los grafos de $y_+$ y $y_-$ sobre $\intcc{x_-}{x_+}$ , pegados en $(x_\pm, y_*)$ : una curva cerrada alrededor de $(x_*, y_*)$ — el análogo de los óvalos del péndulo.

20. Sea $C_h = \{H = h\}\cap Q$ con $h > h_*$ : el único equilibrio de $Q$ queda fuera de $C_h$ , de modo que el campo no se anula nunca sobre él. Signos: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : el movimiento va hacia la derecha por debajo de la recta $y = y_*$ , hacia arriba a la derecha de $x = x_*$ , hacia la izquierda por encima y hacia abajo a la izquierda — circulación en sentido antihorario. Sígase la solución desde un punto $(x_0, y_-(x_0))$ de la rama inferior abierta, donde $x' > 0$ : el tiempo hasta alcanzar la esquina derecha $B = (x_+, y_*)$ es

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Cerca de $x_+$ , elíjase $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; para $x \in \intcc{x'}{x_+}$ , $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ es creciente y positiva pasado $x_*$ ), mientras que la relación de nivel y la desigualdad de Taylor dan $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ en el rango compacto de $y$ de $C_h$ : por tanto, $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ con $c > 0$ , y el integrando es $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : integrable — la convergencia de la pregunta 5, trasladada. En el resto de la rama el integrando es continuo. Así, $B$ se alcanza en tiempo finito; allí $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , la órbita entra en la región $x > x_*$ , $y > y_*$ , asciende hasta la esquina superior $(x_*, y_+)$ por la estimación simétrica (intercambiando los papeles de $f$ y $g$ ), y así por los cuatro arcos: tras un tiempo finito $T > 0$ la solución vuelve a su punto de partida. Por el Corolario 19.4 es $T$ -periódica — el argumento de la pregunta 4, palabra por palabra.

21. En una órbita $T$ -periódica de $Q$ , $t \mapsto \ln x(t)$ es $\mathcal C^1$ y $T$ -periódica, de modo que

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

lo que da $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; análogamente, $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ da $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . Las medias temporales son los valores de equilibrio, en toda órbita y con independencia de la amplitud — una ley de conservación que nadie introdujo a mano.

22. Con captura, el sistema vuelve a ser de tipo Lotka–Volterra, con parámetros $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (el equilibrio interior persiste porque $\varepsilon < \alpha$ ). La pregunta 21 aplicada al nuevo sistema:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{la media de presas sube}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{la media de depredadores baja}) :

la captura indiscriminada desplaza el equilibrio a favor de las presas. Los datos de d’Ancona se leen al revés: la guerra recortó la pesca, $\varepsilon$ bajó, de modo que la media de depredadores $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ subió y la de presas bajó — una mayor proporción de tiburones en las capturas, exactamente lo que registraron las lonjas del Adriático. Este es el principio de Volterra, el mismo mecanismo que hay detrás de las paradojas de los plaguicidas: diezmar ambos niveles tróficos beneficia al nivel que es devorado.

23. La receta, en ambos casos: (i) una integral primera — $E$ para el péndulo, $H$ aquí, hallada separando $\dd y/\dd x$ — colapsa el plano en curvas; (ii) la propiedad de ser propios y la compacidad de los conjuntos de nivel dan la existencia global por el Teorema 19.5; (iii) la geometría de los niveles — óvalos, por la forma de $\cos$ allí y la convexidad estricta de $f$ y $g$ aquí — se lee en la integral, no en el flujo; (iv) un campo que no se anula en un óvalo compacto, más singularidades integrables en las esquinas, fuerza un tiempo de retorno finito; (v) la unicidad (el Corolario 19.4) convierte el retorno en periodicidad y prohíbe la llegada en tiempo finito a los equilibrios; (vi) los dividendos — desarrollos del periodo, leyes de medias — provienen de los teoremas de convergencia aplicados a las integrales resultantes. Ni $x'' = -\sin x$ ni Lotka–Volterra admiten una solución elemental en forma cerrada (integrales elípticas en un caso, curvas de nivel trascendentes en el otro), y en ningún momento hizo falta: la propia ecuación, interrogada cualitativamente, entregó el movimiento entero.

24. En un nivel de energía $E_0 > 1$ , $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : extremos de $y^2$ en $\cos x = \pm1$ , lo que da las cotas enunciadas, alcanzadas en $x \equiv 0, \pi$ . Media temporal en un periodo $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ avanza exactamente $2\pi$ , de modo que

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

La razón de velocidades extremas es $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : a energía alta, el rizo $\pm1$ del potencial es despreciable frente a $E_0$ , y el péndulo gira casi uniformemente — la tabla de lavar se aplana.

25. En $E_0 \geq 1 + \delta$ , el integrando de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ está dominado por $(2\delta)^{-1/2}$ y su derivada respecto de $E_0$

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

por $(2\delta)^{-3/2}$ , ambas integrables en el compacto $\intcc{-\pi}\pi$ : la derivación bajo la integral (el Teorema 10.15) se aplica y da $\tau'(E_0) < 0$ (el integrando es estrictamente negativo): estrictamente decreciente, $\mathcal C^1$ . Límites: cuando $E_0 \to \infty$ , $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; cuando $E_0 \to 1^+$ : escríbase $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; el integrando crece a medida que $E_0$ decrece, de modo que, por convergencia monótona,

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

divergiendo la integral límite en $x = \pm\pi$ (allí $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , a no integrable $\frac1{\abs\cdot}$ ): el periodo explota al acercarse a la separatriz, en consonancia con el $T(a) \to \infty$ de la Parte II desde el lado de las libraciones. El eje de energías se lee así: reposo en $E_0 = -1$ ; libraciones, $2\pi \nearrow \infty$ , en $\intoo{-1}1$ ; la separatriz infinitamente lenta en $E_0 = 1$ ; rotaciones, $\infty \searrow 0$ , más allá. Una integral, la vida entera del péndulo.

Términos definidos en este capítulo

Ver los 395 términos del glosario