Matemáticas universitarias — Grado 3 · Bachelor Year 3

19Ecuaciones diferenciales ordinarias

Year 2 resolvió ecuaciones diferenciales lineales y estableció la Teorema de Cauchy-Lipschitz; este capítulo lo demuestra — dos veces terminado: existencia y unicidad por el punto fijo de Banach, estructura global por la teoría de soluciones maximas y la Teorema de escape de los compactos. La teoría lineal es entonces reconstruido sobre cimientos honestos (disolvente, Wronskiano, matriz exponencial, Duhamel), y se abre la segunda mitad del capítulo la teoría cualitativo — fluye, equilibrios, Funciones de Lyapunov y estabilidad por linealización: cómo comprender soluciones que uno nunca calculará. El péndulo, en el problema del fin de semana, es el eterno caso de estudio. A lo largo, $U \subseteq \R\times\R^d$ está abierto y $f \colon U \to \R^d$ es continuo; un solución de $x' = f(t, x)$ es un $\mathcal C^1$ mapa $x \colon I \to \R^d$ ( $I$ un intervalo) con gráfico en $U$ que satisface la ecuación.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Definición 19.1

$f$ es localmente Lipschitz en $x$ si cada punto de $U$ tiene un entorno $V$ y una constante $L$ con $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ para $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Si $f$ es $\mathcal C^1$ (o simplemente $\partial_xf$ existe y es continuo), es localmente Lipschitz en $x$ : en un compacto convexo entorno, la desigualdad del valor medio con $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Teorema 19.2 (Cauchy–Lipschitz, local)

Sea $f$ continuo y localmente Lipschitz en $x$ y $(t_0, x_0) \in U$ . Hay $T > 0$ tal que el problema de Cauchy

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

tiene exactamente una solución en $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Demostración. Elija $a, b > 0$ con $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , en el que está $\norm f \leq M$ y $f$ . $L$ -Lipschitz en $x$ . Una función $\mathcal C^1$ es una solución si satisface la ecuación integral

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(teorema fundamental del cálculo, en ambos sentidos). Dejemos que $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ y

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{on } I\},

un subconjunto cerrado del espacio de Banach $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : completo (Definición 7.1). Defina $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : para $x \in \mathcal E$ , $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ asigna $\mathcal E$ a sí mismo — y para $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

una contracción. El punto fijo de Banach (Teorema 7.4) proporciona un punto fijo único en $\mathcal E$ : existencia y unicidad entre soluciones. permanecer en $\bar B(x_0, b)$ — pero cualquier solución en $I$ permanece allí ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ siempre y cuando como el gráfico queda en $Q$ , un argumento continuidad): unicidad en $I$ . ∎

Lema 19.3 (Verde la pared)

Sea $u \colon I \to \intco0\infty$ continuo, $t_0 \in I$ y supongamos .

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

con $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ . Luego $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ en $I$ .

Demostración. Para $t \geq t_0$ : sea $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , entonces $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ y $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Para $t \leq t_0$ , aplique lo mismo a $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Corolario 19.4 (Singularidad y dependencia continua)

Bajo las hipótesis de Teorema 19.2, dos soluciones de $x' = f(t,x)$ que concuerdan en un punto concuerdan en su intervalo común de definición. Cuantitativamente, si $x, y$ son dos soluciones con gráficos en una región donde $f$ es $L$ -Lipschitz en $x$ , entonces

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Demostración. La estimación: $u = \norm{x - y}$ satisface $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (resta las ecuaciones integrales); Grën la pared. Unicidad global: el conjunto de acuerdos $\{t : x(t) = y(t)\}$ está cerrado en el intervalo común, no está vacío y abierto — alrededor de cualquier punto de acuerdo, cubra una pieza compacto de la gráfica común por un número finito de cajas de Lipschitz y aplicar la estimación con $u(t_1) = 0$ en cada uno: localmente $x \equiv y$ . Un subconjunto cerrado abierto no vacío de un intervalo lo es todo. ∎

19.2 Soluciones maximas

Teorema 19.5 (Soluciones máximas; escapar de los compactos)

Supongamos $f$ continuo, localmente Lipschitz en $x$ .

Cada problema de Cauchy tiene un único máximo solución $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : cada Otra solución a través de $(t_0, x_0)$ es su restricción. El intervalo está abierto.
(Escapar) Por cada compacto $K \subseteq U$ hay $\varepsilon > 0$ tal que $(t, x(t)) \notin K$ para todos los $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (y simétricamente en $T_-$ ): the graph of a máximo solución eventually leaves every compacto subset of $U$ . En particular, para $U = \R\times\R^d$ y $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ como $t \to T_+^-$ (explosión).

Demostración. (1) Sea $\mathcal S$ el conjunto de todas las soluciones hasta $(t_0, x_0)$ ; por Corolario 19.4 cualquiera de los dos está de acuerdo la intersección de sus intervalos, por lo que se pegan: en $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ , defina $x(t) = y(t)$ para cualquier $y$ definido en $t$ : una solución bien definida, evidentemente máximo y único. $J$ está abierto: una solución definida en un punto final podría prolongarse por Teorema 19.2 en ese punto final.

(2) Supongamos que el reclamo falla en $T_+$ : hay $t_n \to T_+$ con $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; tenga en cuenta que esto obliga a $T_+ < \infty$ o, si $T_+ = \infty$ , no hay nada que probar ( $K$ está acotado en el tiempo). Entonces dejemos que $T_+ < \infty$ . Compacidad: las constantes uniformes $M, L, a, b$ funcionan para todos los datos de Cauchy en un entorno de $K$ — concretamente, cubra $K$ con un número finito de casillas $Q_i$ como en la prueba del teorema local y sea $T^* > 0$ el mínimo de los tiempos de existencia correspondientes: cualquier dato de Cauchy en $K$ lanza una solución que vive al menos $T^*$ más allá de su inicial tiempo. La aplicación de esto en $(t_n, x(t_n))$ con $t_n > T_+ - T^*/2$ extiende $x$ más allá de $T_+$ (la extensión concuerda con $x$ por unicidad, luego la prolonga): contradicción con maximalidad. Entonces el gráfico deja $K$ definitivamente antes $T_+$ . Para $U = \R\times\R^d$ : si $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , una secuencia $t_n \to T_+$ mantiene $(t_n, x(t_n))$ en el compacto $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : excluido. ∎

Corolario 19.6 (Existencia global bajo crecimiento lineal)

Si $U = I\times\R^d$ (intervalo abierto $I$ ) y $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ con $\alpha, \beta$ continuo, entonces cada solución máxima se define en todos $I$ .

Demostración. En un compacto $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , entonces por Grönwall (con $\alpha, \beta$ delimitado por $A, B$ allí) $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : acotado. Si $T_+ < \sup I$ , el gráfico queda en un compacto de $I\times\R^d$ cerca de $T_+$ : contradice la fuga (Teorema 19.5). ∎

19.3 Sistemas lineales

A lo largo de esta sección $A \colon I \to M_d(\R)$ y $b \colon I \to \R^d$ son continuo; el sistema es $x' = A(t)x + b(t)$ — crecimiento lineal: todos los soluciones maximas viven en todos de $I$ (Corolario 19.6).

Teorema 19.7 (Estructura)

Las soluciones del sistema homogéneo $x' = A(t)x$ forman una $d$ espacio vectorial dimensional $S_H$ ; para cada $t_0$ , el La evaluación $x \mapsto x(t_0)$ es un isomorfismo $S_H \to \R^d$ . El disolvente $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , definido por: $t \mapsto R(t, s)v$ es la solución con valor $v$ en $s$ , satisface

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

y el problema no homogéneo se resuelve con Duhamel’s fórmula:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Finalmente el Wronskiano $w(t) = \det R(t, s)$ obedece a la fórmula de Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , por lo que $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Demostración. La linealidad de la ecuación convierte las soluciones en un espacio vectorial; la evaluación es lineal, inyectiva (unicidad: una solución que desaparece en $t_0$ es $\equiv 0$ ) y sobreyectivo (existencia): dimensión $d$ . Las propiedades disolvente reafirman la unicidad (ambos lados de cada identidad resuelven el mismo problema de Cauchy); invertibilidad de $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel: diferenciar la fórmula — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (la diferenciación bajo la integral es legítima: la el integrando es $\mathcal C^1$ en $t$ con derivada continuo en $(t,s)$ ; o verificar mediante la ecuación integral). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ y $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (de la ecuación integral), por lo que $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (expansión de $\det$ en $I$ ): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; integrar el EDO lineal escalar. ∎

Teorema 19.8 (matriz exponencial)

Para $A \in M_d(\C)$ , la serie $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolutamente, en cualquier norma submultiplicativa), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ siempre que $AB = BA$ , y $t \mapsto \eu^{tA}$ es el disolvente del sistema constante: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; es $\mathcal C^\infty$ con $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . Además: si $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ para cada valor propio $\lambda$ de $A$ , luego $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ para $t \geq 0$ .

Demostración. Convergencia: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , sumable (Ejercicio 7.1(b) en el álgebra de Banach $M_d$ ). Para desplazarse $A, B$ : el producto de Cauchy de los dos series absolutamente convergentes se reorganizan, a través del binomio teorema (válido cuando $AB = BA$ ), en $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Diferenciabilidad, directamente: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ desde $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Por lo tanto $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ resuelve el problema de Cauchy. problema al definir $R(t,s)v$ . Límite espectral: por el forma jordana (Teorema 3.18), $A = P(D + N)P^{-1}$ con $D$ diagonal que lleva los valores propios, $N$ nilpotente y $DN = ND$ . Entonces $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ con $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ para algunos Polinomio $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) y $\eu^{tN}$ en $t$ (nilpotencia): el producto es $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (polinomio superado por $\eu^{-\delta t}$ ). ∎

Ejemplo 19.9 (El avion clasificado)

Para $x' = Ax$ con $A \in M_2(\R)$ invertible, la fase El retrato cerca de $0$ lo decide $\tau = \operatorname{tr}A$ . y $\delta = \det A$ , a través de los valores propios $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : valores propios reales de signos opuestos — un sillín; dos trayectorias entran, dos salen, todos los demás pasan volando. Siempre inestable.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : valores propios reales del mismo signo ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — a nodo, estable y si $\tau < 0$ ; las trayectorias son tangente a la dirección propia lenta.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : valores propios conjugados complejos $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — a espiral (enfoque), estable iff $\tau < 0$ ; las soluciones son $\eu^{\tau t/2}\times$ rotaciones de periodo $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : puramente imaginario valores propios — a centro: cerrado órbitas (elipses), estabilidad sin estabilidad asintótica, exactamente el límite que Teorema 19.12 no puede decidir por sistemas no lineales (el equilibrio inferior del péndulo, Problema 19.1, se sienta aquí).

La parábola límite $\tau^2 = 4\delta$ lleva la nodos degenerados (bloques Jordan: trayectorias con un solo dirección tangente). Todo se lee en dos números — por eso el primer reflejo antes de cualquier fase plana el retrato es para calcular $\operatorname{tr}$ y $\det$ ; por ejemplo $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortiguado): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : estable espiral para nodo $0 < c < 2$ , estable para $c \geq 2$ — subamortiguación versus sobreamortiguación, en uno mirada.

19.4 Flujos, equilibrios, estabilidad.

Considere ahora la ecuación autónomo $x' = F(x)$ , $F \colon \Omega \to \R^d$ localmente Lipschitz en el abierto $\Omega \subseteq \R^d$ . Escriba $\varphi_t(x_0) = x(t)$ para el solución máxima con $x(0) = x_0$ (el fluir); la autonomía da la propiedad del grupo $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ donde se definió (ambos lados resuelven el mismo problema en el momento $s$ ).

Definición 19.10

Un equilibrio es un punto $\bar x$ con $F(\bar x) = 0$ (es decir, $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). es estable si por cada $\varepsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implica que la solución existe para todos los $t \geq 0$ con $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; asintóticamente estable si además $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ para todos los $x_0$ cerca de $\bar x$ .

Teorema 19.11 (Funciones de Lyapunov)

Sea $\bar x$ un equilibrio y $V \colon \mathcal V \to \R$ una función $\mathcal C^1$ sobre un entorno de $\bar x$ con:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ for } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Entonces $\bar x$ es estable. Si además $\dot V < 0$ está fuera de $\bar x$ , entonces $\bar x$ es asintóticamente estable.

Demostración. A lo largo de una solución, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ disminuye. Dado $\varepsilon$ (lo suficientemente pequeño que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), dejemos $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compacidad, positividad) y elija $\delta < \varepsilon$ con $V < m$ en $B(\bar x, \delta)$ (continuidad). una solución comenzando en $B(\bar x, \delta)$ tiene $V(x(t)) < m$ para todos tiempos posteriores, por lo que nunca podrá llegar a la esfera $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (donde $V \geq m$ ): permanece en la bola — y luego existe para todos los $t \geq 0$ : la solución permanece en el compacto $\bar B$ , por lo que Fuerzas Teorema 19.5(2) (escapar de los compactos) $T_+ = +\infty$ . Estabilidad.

Caso asintótico: dejemos que $x(t)$ comience en $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ disminuye a algo de $c \geq 0$ . Si $c > 0$ : el trayectoria permanece en $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , un conjunto compacto que excluye un entorno de $\bar x$ ( $V$ es continuo con $V(\bar x) = 0 < c$ ). En $K$ , la función $\dot V$ es continuo, estrictamente negativo, por lo tanto $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compacidad); luego $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurdo, $V \geq 0$ . entonces $c = 0$ y $x(t) \to \bar x$ (los puntos a la distancia $\geq \rho$ de $\bar x$ dentro de la pelota tienen $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Teorema 19.12 (Estabilidad por linealización)

Sea $F$ $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ . Si cada valor propio de $A$ tiene $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , entonces $\bar x$ es asintóticamente estable.

Demostración. Traduce $\bar x$ a $0$ y escribe $F(x) = Ax + g(x)$ con $g(x) = o(\norm x)$ (diferenciabilidad $\mathcal C^1$ ). elegir $\alpha > 0$ con $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; Teorema 19.8) y $r > 0$ con $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ para $\norm x \leq r$ . Duhamel con $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

válido hasta $\norm{x(s)} \leq r$ . Entonces $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ satisface

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

entonces Grönwall da $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , es decir, $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . si $\norm{x_0} < r/C$ , el límite a priori mantiene $\norm{x(t)} < r$ para todos los $t$ (un argumento continuidad/bootstrap: el conjunto de horarios en los que $\norm x \leq r$ está abierto y cerrado $\intco0{T_+}$ dada la estimación estricta), la solución es global, y converge a $0$ exponencialmente: asintótico estabilidad. ∎

Método 19.13

Frente a una EDO: (1) existencia/singularidad — comprobar local Lipschitz (generalmente $\mathcal C^1$ ); (2) globalidad — lineal crecimiento, acotación o un compacto invariante a través de un Lyapunov función o primera integral; en su defecto, sospeche de explosión y prueba sobre la caricatura escalar $x' = x^2$ ; (3) lineal sistemas — disolvente, Duhamel, y para constante coeficientes de la estructura propia de $A$ ; (4) cualitativo preguntas — equilibrar, linealizar y buscar una Lyapunov función (energía, cuando el sistema es mecánico) o una primera integral cuyo nivel establece trayectorias trampa. el fin de semana El problema recorre todo el método a través del péndulo.

Retrato de fase del péndulo x'' = - x en el Plano (x, x'): curvas de nivel de la energía E = x'22 - x. Curvas cerradas (azul): oscilaciones,E < 1; curvas de carrera (naranja): rotaciones completas, E > 1; entre ellos el separatriz (rojo), E = 1, conectando el equilibrios inestables (±π, 0). El problema del fin de semana demuestra todo lo que sugiere esta imagen. — Retrato de fase del péndulo $x'' = -\sin x$ en el Plano $(x, x')$ : curvas de nivel de la energía $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Curvas cerradas (azul): oscilaciones, $E < 1$ ; curvas de carrera (naranja): rotaciones completas, $E > 1$ ; entre ellos el *separatriz* (rojo), $E = 1$ , conectando el equilibrios inestables $(\pm\pi, 0)$ . El problema del fin de semana demuestra todo lo que sugiere esta imagen.

19.5 Ceremonias

Ejercicio 19.1 ★

Resuelva explícitamente y determine el intervalo máximo: (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Concilia cada respuesta con Teorema 19.5(2) y Corolario 19.6.

Solución

Solución de Ejercicio 19.1.

(a) Separación de variables: $x(t) = \frac1{1 - t}$ en $\intoo{-\infty}1$ : ampliación en $T_+ = 1$ , con $x(t) \to +\infty$ — exactamente Teorema 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ en $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : ampliación en ambos extremos. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , global: la solución permanece en $\intoo01$ , un conjunto acotado, por lo que el gráfico no puede escapar de cada compacto de $\R\times\R$ en un tiempo finito — $T_\pm = \pm\infty$ . Las notas (a), (b) no contradicen Corolario 19.6: $x^2$ y $1 + x^2$ tienen crecimiento superlineal.

Ejercicio 19.2 ★

Deje que $x, y$ resuelva $x' = f(t,x)$ con $f$ globalmente $L$ -Lipschitz en $x$ en $\R\times\R^d$ . (a) Demuestre $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ y muestre con un ejemplo (¡lineal!) que el se alcanza el factor $\eu^{L\abs t}$ . (b) Deduzca que la aplicación fluir $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ es continuo, de hecho Lipschitz en conjuntos acotados.

Solución

Solución de Ejercicio 19.2.

(a) Esta es la estimación de Corolario 19.4 con $t_0 = 0$ . Nitidez: para $x' = Lx$ (globalmente $L$ -Lipschitz), dos las soluciones difieren exactamente en $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) La estimación dice: la aplicación time- $t$ fluir es $\eu^{L\abs t}$ -Lipschitz en el estado inicial — continuidad, uniformemente para $t$ en compactos; en conjuntos acotados de Lipschitz no globalmente $f$ , ejecute lo mismo en un tubo compacto alrededor de las trayectorias con la constante local.

Ejercicio 19.3 ★★

Demuestre que cada uno de los siguientes tiene todos soluciones maximas global en $\R$ , citando el teorema correcto: (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ con $q$ continuo (convertir a sistema de primer orden); (d) $x' = A(t)x$ con $A$ continuo y acotado — y dar el Grönwall enlazado en $\norm{x(t)}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : crecimiento acotado, es decir, lineal con $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ : Corolario 19.6 en $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : nuevamente sublineal (de hecho limitado a compactos de tiempo): global. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : lineal con continuo coeficientes: globales (Teorema 19.7’s configuración). d) Mundial; Grönwall como en Corolario 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ con $M = \sup\vertiii{A}$ .

Ejercicio 19.4 ★★

(a) Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ , y $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Resuelva el oscilador forzado $x'' + x = \cos(\omega t)$ por Duhamel (forma sistema), para $\omega \neq 1$ y $\omega = 1$ : resonancia aparece como el término secular $t\sin t$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.4.

(a) $A^2 = -I$ para el primero: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Bloque de Jordania: $\lambda I$ y $N$ desplazamiento: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Tercero: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Sistema $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel con el rotación disolvente da las soluciones particulares: para $\omega \neq 1$ , $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (verificar directamente); para $\omega = 1$ la integral $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ produce el crecimiento secular $x_p = \frac t2\sin t$ : resonancia — el forzamiento bombea energía a la frecuencia natural y el la amplitud crece linealmente.

Ejercicio 19.5 ★★

Para la ecuación escalar $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Demuestre que el Wronskiano $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de dos soluciones satisface $w' = -p\,w$ (Abel), y deducir que dos Las soluciones con $w \neq 0$ en algún lugar forman una base. (b) Dada una solución que no desaparece $x_1$ , encuentre la solución general solución por reducción de orden: configure $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ y verifique. Aplicar a $t^2x'' - 2x = 0$ en $\intoo0{+\infty}$ con $x_1(t) = t^2$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , nunca cero o idénticamente cero. Si $w \neq 0$ , los vectores $(x_i, x_i')(t_0)$ son independientes en $\R^2$ , y desde el el espacio de la solución tiene la dimensión $2$ (Teorema 19.7 para el sistema), $(x_1, x_2)$ es una base.

(b) Con $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , y

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(los términos cruzados se cancelan exactamente; expanda con cuidado). Para $t^2x'' - 2x = 0$ , es decir $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) con $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , entonces $x_2 = -\frac1{3t}$ : solución general $at^2 + \frac bt$ .

Ejercicio 19.6 ★★

(Logística) Para $x' = x(1 - x)$ : determine todos los equilibrios y su estabilidad (por Teorema 19.12 y directamente); mostrar cada solución con $x(0) \in \intoo01$ es creciente, global, con límites $0$ y $1$ en $\mp\infty$ ; y resolver explícitamente para confirmar. Mostrar de manera más general que Las soluciones escalares autónomas son monótonas y concluyen: no hay soluciones periódicas no constantes en la dimensión $1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.6.

Equilibrios $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (inestable — las soluciones cercanas se alejan, como lo explícito muestra el formulario), $f'(1) = -1 < 0$ : asintóticamente estable (Teorema 19.12 en la dimensión $1$ ). Para $x(0) \in \intoo01$ : $f > 0$ allí, siempre y cuando el la solución permanece en $\intoo01$ aumenta; nunca podrá alcanzar $0$ o $1$ (singularidad: esas son trayectorias), por lo que permanece, está acotado — por lo tanto global — y aumenta hasta un límite $L \in \intoc{x(0)}1$ . Si $f(L) \neq 0$ , entonces $x' \geq c > 0$ cerca del límite, forzando a $x$ a pasar $L$ : entonces $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; simétricamente $x \to 0$ en $-\infty$ . Explícitamente $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ lo confirma todo. Generalmente: si un la solución autónoma escalar tenía $x'(t_0) = 0$ , luego $x(t_0)$ es un equilibrio y la unicidad hace que $x$ sea constante; de lo contrario $f(x(t))$ mantiene un signo fijo (nunca desaparece, y $t \mapsto f(x(t))$ es continuo): $x$ es estrictamente monótono — por lo que una solución periódica no constante es imposible.

Ejercicio 19.7 ★★

(Primeras integrales) Sea $H \colon \Omega \to \R$ $\mathcal C^1$ y considere el sistema hamiltoniano plano $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Demuestre que $H$ es constante a lo largo de las soluciones. (b) Para $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : mostrar todas las soluciones son globales y acotados, y que el origen es estable (Lyapunov: $H$ ) a través de la linealización ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) es no asintóticamente estable: la linealización se puede no concluyente.

Solución

Solución de Ejercicio 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) Los conjuntos de niveles de $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ son compacto ( $H$ coercitivo), por lo que las soluciones quedan atrapadas en compactos: global y acotado (Teorema 19.5). Estabilidad de $(0,0)$ : $V = H$ es positivo definido ( $H = 0$ sólo en el origen) con $\dot V = 0$ : Teorema 19.11. el linealización $x' = y$ , $y' = 0$ tiene el no diagonalizable matriz nilpotente con valor propio $0$ : Teorema 19.12 guarda silencio (su hipótesis $\operatorname{Re}\lambda < 0$ falla), y de hecho el El sistema linealizado es inestable ( $y_0 \ne 0$ se desvía) mientras que el el no lineal es estable: linealización en un nivel no hiperbólico el equilibrio no prueba nada.

Ejercicio 19.8 ★★★

(Péndulo amortiguado) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Mostrar $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ satisface $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : el origen es estable. (b) $\dot V$ desaparece en todo el eje $y = 0$ : Lyapunov el criterio estricto falla. Demuestre la estabilidad asintótica de todos modos, por linealización (Teorema 19.12): calcular los valores propios de la matriz linealizada en $(0,0)$ y verifique $\operatorname{Re} < 0$ por cada $c > 0$ . (c) ¿Qué sucede en el equilibrio $(\pi, 0)$ ? Calcular el linealización y conclusión (un valor propio positivo: inestabilidad — puede utilizar la declaración de inestabilidad informalmente o producir una solución de escape explícita del sistema lineal).

Solución

Solución de Ejercicio 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ y $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ es positivo definitivo en $\{\abs x < 2\pi\}$ alrededor del origen: estable (Teorema 19.11). (b) La matriz linealizada en $(0,0)$ es $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , con polinomio característico $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : raíces $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — ambas reales negativas si $c \geq 2$ , complejas con reales parte $-\frac c2 < 0$ si $0 < c < 2$ . en todos los casos $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : Teorema 19.12 proporciona estabilidad asintótica (a pesar del degenerado $\dot V$ ). (c) En $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , linealización $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , característica $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : raíces de opuestos señales ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). A lo largo de lo inestable vector propio, el sistema lineal tiene el escape explícito solución $\eu^{\lambda_+t}v_+$ con $\lambda_+ > 0$ : el El péndulo invertido es inestable para cada amortiguación.

Ejercicio 19.9 ★★

(Frontera de unicidad) Para $\alpha \in \intoo01$ , demuestre que el problema $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ tiene infinitamente muchas soluciones (adaptar Problema 7.1, Parte III). Muestre por el contrario que para $\alpha = 1$ (es decir, $x' = \abs x$ ) la solución a través de $0$ es única e identifique exactamente qué hipótesis de Teorema 19.2 distingue los dos casos.

Solución

Solución de Ejercicio 19.9.

Para $\alpha \in \intoo01$ : además de $x \equiv 0$ , cada

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

es $\mathcal C^1$ y resuelve la ecuación (el exponente $\frac1{1-\alpha} > 1$ hace desaparecer la derivada en $c$ ): a continuo de soluciones a través de $(0,0)$ . Para $\alpha = 1$ : $x \mapsto \abs x$ es globalmente $1$ -Lipschitz ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), entonces Se aplica Teorema 19.2 y el único La solución a través de $0$ es $x \equiv 0$ . La frontera es exactamente la condición local de Lipschitz en $0$ : $\abs x^\alpha$ tiene cocientes de diferencias ilimitados allí para $\alpha < 1$ .

Ejercicio 19.10 ★★★

(Soluciones de trampa de límites a priori) Sea $F \colon \R^d \to \R^d$ ser localmente Lipschitz con $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ siempre que $\norm x \geq R$ . (a) Demuestre que la bola cerrada $\bar B(0, R)$ es positivamente Invariante: las soluciones que comienzan dentro permanecen dentro para $t \geq 0$ . (If $\norm{x(t_2)} > R$ , consider the last time $t_1 < t_2$ with $\norm{x(t_1)} = R$ and study $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ on $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) Deduzca la existencia global de avance para los datos en la pelota. Luego trate el sistema de gradiente $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ con $G(x) \to +\infty$ como $\norm x \to \infty$ : muestre que $G$ disminuye a lo largo de las soluciones, que cada La solución permanece en el conjunto de subniveles (limitado) $\{G \leq G(x_0)\}$ y concluye la existencia directa global.

Solución

Solución de Ejercicio 19.10.

(a) Supongamos $\norm{x(t_2)} > R$ para algunos $t_2 > 0$ con $\norm{x(0)} \leq R$ , y deja que $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : luego $\norm{x(t_1)} = R$ y $\norm{x(t)} > R$ en $\intoc{t_1}{t_2}$ . en ese intervalo $g(t) = \norm{x(t)}^2$ tiene $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (se aplica la hipótesis: $\norm{x(t)} \geq R$ ), entonces $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : contradicción. el la pelota es positivamente invariante. (b) Una solución atrapada en la bola compacto no puede tener $T_+ < \infty$ (Teorema 19.5(2)): global adelante. Sistema de gradiente: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ disminuye, por lo que la solución permanece en $\{G \leq G(x_0)\}$ , que está acotada (coercitividad: fuera de un gran bola, $G > G(x_0)$ ) y cerrado: compacto. escapar es imposible: toda solución de un sistema de gradiente coercitivo es avance global, deslizándose cuesta abajo para siempre.

Ejercicio 19.11 ★★

(Ampliación en comparación) Considere $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Mostrar que solución máxima existe en algunos $\intco0{T_+}$ con $T_+ < \infty$ : comparar con $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (prove the comparison lemma you need: if $x' \geq F(x)$ and $y' = F(y)$ with $x(0) \geq y(0)$ , then $x \geq y$ where both live), y deducir $T_+ \leq 1$ . b) Consolidado $T_+$ desde abajo: el $\intcc01$ , $x' \leq x^2 + 1$ ; comparar con la supersolución $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , resuelta por $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , y concluir $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Ensamble $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ y enmarque el moraleja: el crecimiento superlineal del lado derecho es lo que mata la existencia global (siendo Ejercicio 19.3 el contrapunto), siendo la frontera la convergencia de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.11.

(a) Lema de comparación: sea $w = x - y$ en el común intervalo; $w(0) \geq 0$ y $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ con $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ acotados en compacto intervalos de tiempo ( $F$ localmente Lipschitz); entonces $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , entonces $w \geq 0$ en todo momento. con $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explota en $1$ , y $x \geq y$ mientras viva $x$ ; si $T_+ > 1$ , entonces $x$ sería sé finito en $t = 1$ mientras dominas $y \to \infty$ : absurdo. $T_+ \leq 1$ .

(b) La comparación inversa (mismo lema, roles intercambiados): en $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ , $t^2 \leq 1$ da $x' \leq x^2 + 1$ , mientras que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ satisface $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ : por lo tanto $x \leq z$ siempre que ambos están definidos. Dado que $z$ es finito en $\intco0{\frac\pi4}$ , $x$ no pueden explotar antes $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Juntos: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numéricamente $T_+ \approx 0.96$ ). Moraleja: para $x' = F(t, x)$ con $F$ superlineal en $x$ , las soluciones explotan en un tiempo finito siempre que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (el la solución de comparación alcanza el infinito en ese tiempo finito); El crecimiento lineal, donde la integral diverge, fuerza a la globalización. existencia (Ejercicio 19.3). es el mismo osgood integral como en Problema 7.1, que ahora rige el escapar al infinito en lugar del escape desde cero.

Ejercicio 19.12 ★★★

(Teorema de comparación de Sturm) Sea $q_1 \leq q_2$ continuo en un intervalo $I$ , y deje que $u \neq 0$ resuelva $u'' + q_1u = 0$ , $v \neq 0$ resuelva $v'' + q_2v = 0$ . (a) Establecer la identidad Wronskiano: con $W = uv' - u'v$ , $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Demuestre que entre dos ceros consecutivos $a < b$ de $u$ , $v$ desaparece en algún lugar de $\intoo ab$ , o $q_1 = q_2$ y $v \propto u$ allí (assume $u > 0$ on $\intoo ab$ and $v > 0$ too; integrate (a) from $a$ to $b$ and inspect the signs of the boundary terms $W(a), W(b)$ ). (c) Deducir: soluciones de $u'' + qu = 0$ con $q \geq m > 0$ desaparecer al menos una vez en cada intervalo de longitud $\pi/\sqrt m$ (comparar con $v'' + mv = 0$ ); soluciones con $q \leq 0$ desaparece como máximo una vez en $\R$ . Pruebe ambos en $q \equiv \pm1$ .

Solución

Solución de Ejercicio 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Sean $a < b$ ceros consecutivos de $u$ ; normalizar $u > 0$ en $\intoo ab$ (por lo que $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — distinto de cero por unicidad, ya que $u(a) = u'(a) = 0$ forzaría a $u \equiv 0$ ). Supongamos que $v$ no tiene cero en $\intoo ab$ ; normalizar $v > 0$ allí (de ahí $v(a), v(b) \geq 0$ por continuidad). Integrar (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Pero $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ y $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : entonces $W(b) - W(a) \geq 0$ . Igualdad en todo: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ con $uv > 0$ en el intervalo abierto fuerza $q_1 = q_2$ allí; y $W(a) = W(b) = 0$ fuerza a $v(a) = v(b) = 0$ ; luego $W \equiv 0$ en $\intcc ab$ (su derivado desaparece), es decir $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ en $\intoo ab$ : $v \propto u$ .

(c) Tome $q_1 = m$ y $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , cuyos los ceros consecutivos están separados por $\pi/\sqrt m$ , y $q_2 = q \geq m$ : según (b), cada solución $v$ de $v'' + qv = 0$ desaparece en cada intervalo abierto de longitud $\pi/\sqrt m$ (en el alternativa degenerada $q \equiv m$ , $v \propto u$ desaparece también). Si en cambio $q \leq 0$ : aplique (b) con $q_1 = q$ , $u = v$ y $q_2 = 0$ con la solución libre de cero $\mathbf 1$ de $v'' = 0$ . Si $v$ tuviera dos ceros consecutivos, (b) forzaría ya sea un cero de $\mathbf 1$ entre ellos o el degenerado caso $\mathbf 1 \propto v$ — ambos absurdos: $v$ desaparece en la mayoría una vez. Pruebas: para $q = 1$ , $\sin t$ desaparece cada $\pi = \pi/\sqrt1$ , como se predijo; para $q = -1$ , $\sinh t$ desaparece exactamente una vez y $\eu^t$ nunca — como máximo una cero, como se predijo.

19.6 Problema: el péndulo, completamente resuelto

Problema 19.1

Problema de fin de semana — oscilaciones, rotaciones, separatriz y el punto

La ecuación del péndulo $x'' = -\sin x$ — como sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x$ en $\R^2$ — es la drosophila de dinámica: simple de escribir, imposible de resolver por elemental fórmulas, pero completamente comprensibles por el análisis cualitativo. método. Dejemos que $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (el energía).

Parte I — Global structure.

Mostrar que todos los soluciones maximas son globales (definido por $\R$ ): utilice $\dot E = 0$ y Teorema 19.5. Equilibrios: $(k\pi, 0)$ ; clasificar sus linealizaciones (de tipo central para pares $k$ , montura para impar $k$ ).
Mostrar que las trayectorias están contenidas en el nivel. establece $\{E = E_0\}$ , y dibuje/descríbalos según el valor de $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (equilibrios), $-1 < E_0 < 1$ (curvas cerradas alrededor $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (la separatriz a través $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (gráficos sobre $x$ : rotaciones).
Demuestre que el equilibrio inferior $(0,0)$ es estable pero no asintóticamente estable. (Lyapunov with $V = E + 1$ ; non-asymptotic: energy conservation traps órbitas on level curves away from the origin.)

Parte II — Oscillations and their period. Fije $-1 < E_0 < 1$ y escriba $E_0 = -\cos a$ con $a \in \intoo0\pi$ (la amplitud).

Demuestre que la solución con $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscila: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , y el órbita es la curva cerrada $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . justificar que la solución es periódica: el órbita es un compacto Curva sin equilibrios, recorrida con velocidad acotada. a continuación — convierta esto en un argumento (la solución devuelve hasta su punto inicial en un tiempo finito, luego la unicidad periodicidad de las fuerzas).
Establecer la fórmula del período

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(on a cuarto de órbita, $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ and separate variables; justify the improper convergence at $x = a$ ).
(Pequeñas oscilaciones) Sustituir $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ y mostrar

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(una integral elíptica completo). Deducir por dominado convergencia que $T(a) \to 2\pi$ como $a \to 0^+$ : el límite armónico, independiente de la amplitud — El isocronismo aproximado de Galileo, con su exacta corrección $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (expandir el integrando e integrar término por término, justificando por convergencia normal).
Mostrar que $T(a) \to +\infty$ como $a \to \pi^-$ (bound the integrand below near $\varphi = \frac\pi2$ when $k \to 1$ , or apply monotone convergence): acercándose a la separatriz, la el péndulo se desacelera sin límite.

Parte III — The separatrix.

Para $E_0 = 1$ , $y = 2\cos\frac x2$ en la parte superior rama: separar variables e integrar para encontrar la solución explícita

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(con $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Verifique directamente que resuelve la ecuación del péndulo y calcula su límites y los límites de $y(t)$ como $t \to \pm\infty$ .
Concluye: la separatriz órbita conecta la silla $(-\pi, 0)$ (como $t \to -\infty$ ) al sillín $(\pi, 0)$ (como $t \to +\infty$ ) pero no llega a ninguno de los dos en tiempo finito — consistente con la unicidad (¿por qué? ¿Alcanzar una silla de montar en un tiempo finito contradeciría Corolario 19.4?).

Parte IV — Rotations, and the full picture.

Para $E_0 > 1$ : mostrar $y$ nunca desaparece, $x$ es estrictamente monótono y global con $x(t) \to \pm\infty$ , y $t \mapsto y(t)$ es periódico con período

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Ensamble el retrato de fase completo (el capítulo figura) con justificación completa de cada característica, y Escribe un resumen de diez líneas del método: energía, conjuntos de niveles, compacidad, unicidad — cómo cada teorema del capítulo ingresado. ¿Dónde alguna vez ¿Necesita una fórmula para la solución general?

Part V — The period function under the microscope.

Demuestra los momentos Wallis

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

por inducción (integrar por partes), ampliar la integrando de la pregunta 6 por la serie binomial, y justificar la integración término por término para obtener la plena serie

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
Convertir a la amplitud:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(substitute the expansion of $\sin\frac a2$ and collect). El isocronismo falla en el orden $a^2$ , y la falla ahora está cuantificada en el pedido $a^4$ .
Demuestre que $a \mapsto T(a)$ es continuo y estrictamente aumentando en $\intoo0\pi$ , y concluir con las preguntas 6–7 de que $T$ es una biyección de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : cada El período supercrítico se realiza exactamente por uno. amplitud.
(Aritmética del relojero) Un péndulo regulado a la amplitud que desaparece mantiene el tiempo ideal; muestra esa carrera en amplitud $a$ se retrasa por la fracción $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ de ideal tiempo y calcular la deriva para $a = 0.2$ rad: alrededor de $216$ segundos por día. (Las mejillas cicloidales de Huygens y el pequeño amplitudes constantes de escapes son ambas respuestas a este número.)
Volver al periodo de rotación $\tau$ de la pregunta 10: muestra que $\tau$ es estrictamente decreciente en $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ como $E_0 \to 1^+$ (convergencia monótona), y que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ como $E_0 \to +\infty$ (convergencia dominada): el giro rápido es rotación asintóticamente libre a velocidad angular $\sqrt{2E_0}$ .

Part VI — The method exported: Lotka–Volterra. La receta del péndulo — primera integral, compacto curvas de nivel, unicidad — resuelve un ecosistema. Corrija $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ y considere, en el cuadrante abierto $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ,

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ presa, $y$ depredadores).

Demuestre que $Q$ es invariante — los ejes son uniones de órbitas, explícitamente computable, que no tiene solución puede cruzar (Corolario 19.4) — y que el equilibrio único en $Q$ es $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
Demuestra que

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

es una primera integral, que $H = f(x) + g(y)$ con $f, g$ estrictamente convexo y adecuado en $\intoo0{+\infty}$ con mínimos en $x_*$ , $y_*$ y deduzca que todos los soluciones maximas en $Q$ son globales.
Mostrar que para $h > h_* = H(x_*, y_*)$ el nivel establecido $\{H = h\}\cap Q$ es una curva cerrada alrededor del equilibrio: dos ramas continuo $y_\pm(x)$ sobre a compacto intervalo $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , pegado en los puntos finales — el análogo del péndulo óvalos.
Demuestre que todo desequilibrio órbita en $Q$ es periódico: establece la circulación en sentido antihorario a través de las cuatro regiones cortadas por las líneas $x = x_*$ y $y = y_*$ , acotó el tiempo de cruce de cada arco por una integral con raíz cuadrada convergente singularidad (como en la pregunta 5), y cerrar con unicidad (como en la pregunta 4).
(Ley de promedios de Volterra) Si $T$ es el periodo de tal órbita, demuestre que

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

los promedios temporales son iguales a los valores de equilibrio, cualquiera que sea la amplitud (integrate $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ over one period).
(La paradoja de la pesca) Cosecha ambas especies a ritmo $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : el sistema mantiene su forma con $\alpha - \varepsilon$ y $\gamma + \varepsilon$ en lugar de $\alpha$ y $\gamma$ . que ¿Le sucede a la población promedio? explicar Observación de d’Ancona (1914-1918): cuando el Adriático La pesca disminuyó durante la guerra, la proporción de depredadores (tiburones) en la captura aumentó — y por qué la pesca moderada favorece a la presa.
Escribe la moraleja de diez líneas: ¿qué teoremas de la capítulo potencia cada paso, lo que reemplaza el la energía del péndulo y por qué ninguno de los sistemas es necesario — o admite — una solución elemental de forma cerrada.
(Modulación de velocidad) En el régimen de rotación $E_0 > 1$ , mostrar que $y = x'$ oscila entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (en $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) y $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (en $x \equiv 0$ ), que el El promedio de tiempo de $y$ durante un período es exactamente $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , y que la modulación relación $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ como $E_0 \to \infty$ : la rotación rápida es asintóticamente uniforme.
(Monotonicidad del período de rotación) Demuestre que $\tau(E_0)$ es $\mathcal C^1$ y estrictamente disminuyendo en $\intoo1{+\infty}$ (differentiate under the integral sign, with domination on every $\intco{1 + \delta}\infty$ ), con $\tau \to \infty$ como $E_0 \to 1^+$ y $\tau \to 0$ como $E_0 \to \infty$ . Montar el completo imagen de bifurcación del péndulo a lo largo del Eje energético: equilibrios en $E_0 = -1$ , libraciones. con período que aumenta de $2\pi$ a $\infty$ en $-1 < E_0 < 1$ , la separatriz en $E_0 = 1$ , y rotaciones con período decreciente de $\infty$ a $0$ más allá.

Solución

Solución de Problema 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : la energía es una primera integral. En un máximo solución, $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ es acotado; entonces $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ crece como máximo linealmente: en cualquier tiempo finito intervalo la trayectoria permanece en un compacto de $\R^2$ , por lo que Teorema 19.5(2) fuerza a $T_\pm = \pm\infty$ . Equilibrios $(k\pi, 0)$ ; linealización $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ con $-\cos(k\pi) = \mp1$ : valores propios $\pm\iu$ para $k$ par (tipo centro, no concluyente) por sí solo) y $\pm1$ para $k$ impar (silla de montar).

2. $E$ constante a lo largo de las soluciones confina cada una trayectoria a un nivel establecido $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Para $E_0 = -1$ : sólo los puntos $(2k\pi, 0)$ . Para $-1 < E_0 < 1$ : escribiendo $E_0 = -\cos a$ , el conjunto es una unión disjunta de curvas cerradas $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sobre $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , una alrededor de cada equilibrio estable. Para $E_0 = 1$ : las curvas $y = \pm2\cos\frac x2$ se unen monturas consecutivas — la separatriz — junto con la las propias sillas de montar. Para $E_0 > 1$ : dos gráficos $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , definidos para todos los $x$ , nunca tocando $y = 0$ .

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ desaparece en $(0,0)$ , es positivo en un entorno pinchado ( $\abs x < 2\pi$ ) y $\dot V = 0 \leq 0$ : Teorema 19.11 da estabilidad. No asintótico: la solución a través de $(a, 0)$ ( $0 < a$ pequeña) permanece en el curva de nivel $E = -\cos a$ , cuya distancia al origen es positivo (la curva se encuentra con el eje $x$ solo en $\pm a$ ): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. En la curva de nivel $C_a$ : no hay equilibrios ( $y = 0$ fuerza $x = \pm a$ con $\sin(\pm a) \neq 0$ para $0 < a < \pi$ ), por lo que la velocidad $\norm{(y, -\sin x)}$ tiene un mínimo $m$ en el compacto $C_a$ . Siga la solución de $(a, 0)$ : en el semiplano inferior $x' = y < 0$ , entonces $x$ disminuye de $a$ a $-a$ en un tiempo finito (el cuarto/mitad integrales de periodo convergen: análisis de la pregunta 5), llegando a $(-a, 0)$ ; por la simetría $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ de la ecuación, se recorre la mitad superior de nuevo en el mismo tiempo $\frac T2$ : la solución vuelve a $(a, 0)$ en el momento $T$ . Unicidad (Corolario 19.4) luego propaga: $x(t + T) = x(t)$ para todos los $t$ : periódico.

5. En la rama donde $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ y $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; integrando $x$ de $-a$ a $a$ da el medio período, y la simetría $x \mapsto -x$ vuelve a dividir la integral por la mitad:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergencia en $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ con $\sin a > 0$ : el integrando se comporta como $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , integrable.

6. Con $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ y $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , entonces

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Como $a \to 0^+$ , $k \to 0$ : para $k \leq k_0 < 1$ el el integrando está dominado por $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , continuo en $\intcc0{\pi/2}$ : DCT proporciona $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Expandiendo $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ con $u = k^2\sin^2\varphi$ (convergencia normal para $k < 1$ ) y $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

el isocronismo se aplica sólo al primer orden; el período crece con amplitud.

7. Como $k \uparrow 1$ los integrandos aumentan a $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , cuyo integral diverge: por convergencia monótona, $T(a) \to +\infty$ como $a \to \pi^-$ .

8. En la rama $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; con $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , entonces $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , es decir

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Verificación a través de la energía: con $\theta = \arctan\eu^t$ , $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , entonces $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ y $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : la trayectoria recae sobre la separatriz, y diferenciando $y^2 = 2(1 + \cos x)$ donde $y > 0$ reproduce $y' = -\sin x$ . Límites: $x \to \pm\pi$ y $y \to 0$ como $t \to \pm\infty$ .

9. El órbita tiende al sillín $(\pi, 0)$ hacia adelante y $(-\pi, 0)$ hacia atrás pero nunca llega: si llegó $(\pi, 0)$ en un tiempo finito $t^*$ , dos máximo soluciones distintos — la solución separatriz y la constante solución en la silla — pasaría por el mismo punto $(t^*, (\pi, 0))$ , contradiciendo Corolario 19.4. Sólo se abordan las sillas de montar asintóticamente.

10. Para $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ mantiene su signo, y $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ es estrictamente monótono, global (pregunta 1), con $x(t) \to \pm\infty$ . Dado que $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ y $\cos$ son periódicos $2\pi$ , $y$ vuelve a su valor cada vez que $x$ avanza en $2\pi$ ; el tiempo necesario es

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(sustitución; periodicidad): $y$ es $\tau$ -periódico — el péndulo gira con rotación asintóticamente constante tarifa $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ para grandes energías.

11. El método, en orden: energía ( $\dot E = 0$ ) reduce el fluir bidimensional a unidimensional curvas de nivel; limitación de $y$ en cada nivel más escapar de los pactos da existencia global; compacidad de los niveles cerrados da límites de velocidad. y por tanto periodicidad; unicidad convierte el primer retorno en periodicidad exacta, prohíbe el tiempo finito llegada a sillas de montar, y separa los tipos órbita; linealización y Lyapunov clasificar los equilibrios; el integral de periodo se analiza con la convergencia teoremas de Capítulo 10. En ningún momento nos poseer — o necesita — una solución general de forma cerrada: la La teoría cualitativa extrajo cada característica del movimiento. de la propia ecuación.

12. Piezas: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , entonces $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; con $W_0 = \frac\pi2$ y $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (dividido $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ), La inducción proporciona el valor mostrado. Serie binomial: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ con $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , radio $1$ . Para $k \leq k_0 < 1$ y $u = k^2\sin^2\varphi$ , la serie $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalmente en $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), por lo que término por término La integración en la fórmula de la pregunta 6 es legítima:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Con $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , el resto uniforme para $k \leq k_0$ (cola dominada por un serie geométrica).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , entonces

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

desde $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. En la forma elíptica de la pregunta 6, $a \mapsto k = \sin\frac a2$ es un continuo estrictamente creciente biyección de $\intoo0\pi$ a $\intoo01$ , y para cada $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ el integrando $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ es estrictamente creciente en $k$ : $T$ es estrictamente creciente. Continuidad: en $k \leq k_0 < 1$ el El integrando está dominado por continuo $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , por lo que domina la convergencia. se aplica a lo largo de $k' \to k$ . Con los límites $T \to 2\pi$ como $a \to 0^+$ (pregunta 6) y $T \to +\infty$ como $a \to \pi^-$ (pregunta 7), monotonicidad estricta y el valor intermedio teorema hace de $T$ una biyección de $\intoo0\pi$ a $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Un reloj cuenta las oscilaciones; regulado al desaparecer amplitud, reserva el período armónico $2\pi$ por oscilación (en la unidad de tiempo del péndulo). Corre en amplitud $a$ , la verdadera el período es $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : el reloj marca $2\pi$ mientras que $T(a)$ realmente transcurre, por lo que se retrasa por la fracción

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Para $a = 0.2$ rad (aproximadamente $11.5$ grados): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , y un día tiene $86400$ s: el el reloj pierde $86400/400 = 216$ segundos — unos tres y un Medios minutos — por día. De ahí los dos remedios históricos: imponer una pequeña amplitud constante (el escape), o doblar la restricción para que el período esté exactamente libre de amplitud (Las mejillas cicloidales de Huygens, 1657).

16. En $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ el integrando es, para cada fijo $x$ , estrictamente decreciente en $E_0$ : $\tau$ es estrictamente disminuyendo. A medida que $E_0 \downarrow 1$ aumentan los integrandos puntualmente a $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , cuya integral sobre $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ( $\cos\frac x2$ desaparece al primero orden en $\pm\pi$ ): la convergencia monótona da $\tau(E_0) \to +\infty$ . Como $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

por convergencia dominada (para $E_0 \geq 2$ el integrando es como máximo $\sqrt2$ ). Entonces $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : uno el giro toma el tiempo de rotación libre a velocidad $\sqrt{2E_0}$ , el potencial reducido a una onda expansiva — pregunta coincidente Velocidad de rotación de 10.

17. Los ejes llevan las soluciones explícitas $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ y $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , junto con el equilibrio $(0, 0)$ : son uniones de órbitas. El campo es $\mathcal C^1$ , por lo tanto localmente Lipschitz; una solución que comienza en $Q$ que tocara un eje pasaría por un punto de uno de esos órbitas y, por Corolario 19.4, coinciden con ello — imposible, uno vive en el eje y el otro no. Entonces $Q$ es invariante en ambas direcciones del tiempo. Equilibrios en $Q$ : $x > 0$ fuerza a $\alpha - \beta y = 0$ y $y > 0$ fuerza $\delta x - \gamma = 0$ : el punto único $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. A lo largo de una solución,

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ tiene $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , $f'$ desaparece solo en $x_*$ y $f \to +\infty$ ambos en $0^+$ y en $+\infty$ : estrictamente convexo y propio, mínimo $f(x_*)$ ; igualmente $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , mínimo $g(y_*)$ . Entonces $H \geq h_*$ con igualdad solo en $(x_*, y_*)$ , y cada subnivel $\{H \leq h\}\cap Q$ es compacto: $f(x) \leq h - g(y_*)$ limita $x$ a un intervalo compacto de $\intoo0{+\infty}$ por propiedad, así mismo $y$ , y el conjunto está cerrado en $\R^2$ desde $H \to +\infty$ en el límite de $Q$ . Un solución máxima permanece en su conjunto de niveles compacto, por lo que no puede salir de cada compacto en un tiempo finito: Teorema 19.5 lo hace global.

19. Repare $h > h_*$ y configure $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Dado que $f$ disminuye estrictamente de $+\infty$ a $f(x_*)$ en $\intoc0{x_*}$ y aumenta estrictamente hasta $+\infty$ en $\intco{x_*}{+\infty}$ , la ecuación $f(x) = c$ tiene exactamente dos raíces $x_- < x_* < x_+$ y $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Para $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ tiene exactamente dos raíces $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , continuo en $x$ (inversas de las raíces estrictamente restricciones monótonas continuo de $g$ en cada lado de $y_*$ ), con $y_\pm(x) \to y_*$ como $x \to x_\pm$ ; en $x = x_\pm$ la solución única es $y = y_*$ . Entonces $\{H = h\}\cap Q$ es la unión de las gráficas de $y_+$ y $y_-$ sobre $\intcc{x_-}{x_+}$ , pegado en $(x_\pm, y_*)$ : una curva cerrada alrededor de $(x_*, y_*)$ — el análogo del péndulo óvalos.

20. Dejemos $C_h = \{H = h\}\cap Q$ con $h > h_*$ : el Sólo el equilibrio de $Q$ está fuera de $C_h$ , por lo que el campo nunca desaparece en él. Señales: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : el movimiento va justo debajo de la línea $y = y_*$ , arriba a la derecha de $x = x_*$ , arriba a la izquierda, abajo la izquierda — circulación en sentido antihorario. Sigue el solución desde un punto $(x_0, y_-(x_0))$ de la parte inferior abierta rama, donde $x' > 0$ : el tiempo para llegar a la esquina derecha $B = (x_+, y_*)$ es

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Cerca de $x_+$ , elija $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; para $x \in \intcc{x'}{x_+}$ , $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ está aumentando y es positivo después de $x_*$ ), mientras que el La relación de niveles y la desigualdad de Taylor dan $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ en el rango compacto $y$ de $C_h$ : por lo tanto, $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ con $c > 0$ , y la el integrando es $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : integrable — Convergencia de la pregunta 5, transpuesta. En otros lugares del rama el integrando es continuo. Entonces se alcanza $B$ en tiempo finito; allí $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , el órbita ingresa a la región $x > x_*$ , $y > y_*$ , sube a la esquina superior $(x_*, y_+)$ por la estimación simétrica (roles de $f$ y $g$ intercambiados), y así sucesivamente alrededor de los cuatro arcos: después de un tiempo finito $T > 0$ la solución vuelve a su punto de partida. Por Corolario 19.4 es $T$ -periódico — argumento de la pregunta 4, textualmente.

21. En un $T$ -periódico órbita en $Q$ , $t \mapsto \ln x(t)$ es $\mathcal C^1$ y $T$ -periódico, entonces

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

dando $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; igualmente $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ da $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . los promedios de tiempo son los valores de equilibrio, para cada órbita independientemente de amplitud — una ley de conservación que nadie puso a mano.

22. Con la cosecha el sistema vuelve a estar Lotka–forma Volterra, con parámetros $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (el El equilibrio interior persiste desde $\varepsilon < \alpha$ ). Pregunta 21 aplicada al nuevo sistema:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{prey average rises}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{predator average falls}) :

La cosecha indiscriminada inclina la balanza hacia la presa. Los datos de D’Ancona leen esto al revés: el corte de guerra pesca, $\varepsilon$ cayó, por lo que el depredador promedio $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ rosa y la presa promedio cayó — una fracción mayor de tiburones en la captura, exactamente lo que registraron los mercados de pescado del Adriático. Este es el de Volterra. En principio, el mismo mecanismo detrás de las paradojas de los pesticidas: eliminar ambos niveles tróficos beneficia al nivel que se consume.

23. La receta, en ambas ocasiones: (i) una primera integral — $E$ para el péndulo, $H$ aquí, encontrado separando $\dd y/\dd x$ — colapsa el avión en curvas; (ii) La idoneidad y compacidad de los conjuntos de niveles dan existencia a través de Teorema 19.5; (iii) el geometría de los niveles — óvalos, a partir de la forma de $\cos$ allí y la convexidad estricta de $f$ y $g$ aquí — es lea la integral, no la fluir; (iv) un no desaparecido campo en un óvalo compacto más singularidades de esquina integrable fuerza un tiempo de retorno finito; (v) unicidad (Corolario 19.4) convierte el retorno en periodicidad y prohíbe llegar al equilibrio en un tiempo finito; (vi) los dividendos — expansiones de períodos, leyes de promedios — provienen de los teoremas de convergencia aplicados a la integrales resultantes. Ni $x'' = -\sin x$ ni Lotka–Volterra admite una solución elemental de forma cerrada (integrales elípticas en un caso, curvas de nivel trascendental en el otro), y en ningún momento fue necesaria: la ecuación mismo, interrogado cualitativamente, entregó todo el movimiento.

24. En un nivel de energía $E_0 > 1$ , $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : extremos de $y^2$ en $\cos x = \pm1$ , dando los límites indicados, alcanzados en $x \equiv 0, \pi$ . tiempo promedio durante un período $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ avanza en exactamente $2\pi$ , entonces

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

La relación de velocidades extremas es $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : a alta energía el potencial La ondulación de $\pm1$ es insignificante frente a $E_0$ y el péndulo. gira casi uniformemente — la tabla de lavar se aplana.

25. En $E_0 \geq 1 + \delta$ , el integrando de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ está dominado por $(2\delta)^{-1/2}$ y su $E_0$ -derivada

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

por $(2\delta)^{-3/2}$ , ambos integrable en el compacto $\intcc{-\pi}\pi$ : diferenciación bajo la integral (Teorema 10.15) aplica y da $\tau'(E_0) < 0$ (el integrando es estrictamente negativo): estrictamente decreciente, $\mathcal C^1$ . Límites: como $E_0 \to \infty$ , $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; como $E_0 \to 1^+$ : escriba $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; el integrando aumenta como $E_0$ disminuye, por lo que por convergencia monótona

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

la integral de límite diverge en $x = \pm\pi$ (hay $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , un no integrable $\frac1{\abs\cdot}$ ): el punto explota acercándose a la separatriz, coincidiendo con $T(a) \to \infty$ de la Parte II desde el lado de libración. la energia el eje dice: descanso en $E_0 = -1$ ; libraciones, $2\pi \nearrow \infty$ , en $\intoo{-1}1$ ; la separatriz infinitamente lenta en $E_0 = 1$ ; rotaciones, $\infty \searrow 0$ , más allá. uno integral, toda la vida del péndulo.